1、巧添輔助圓妙證幾何題1.求角例1如圖1，在AABC中，AB=AC,NB的平分線交AC于D,BC=BD+AD，求NA的度數。解：作AABD的外接圓交圖1BC于E,連結DE。因為BD是ZABC的平分線cc所以AD=DE得AD=DE且.EDC=.ABC=.C所以EC=DE=ADDEB=2C由BC=BDAD=BEEC得BE=BD所以.DEB，BDE=2.C1在ABDE中一NC+2NC+2ZC=1802所以.C=ABC=40故A=100例2如圖2,矩形ADEH是由三個正方形ABGH,BCFG和CDEF所組成，BH、CH、DH與AD所成的角分別為0、P>求證：E+了=90°。圖2證明：設A

2、H=1，貝UHB=J2有HB2=BCBD作O,使H、C、D都在O上，貝UHB為。O的切線所以=BHC因為：=：BHC=：=45所以:一=90例3如圖3,AB=AC=AD，如果2DAC是/CAB的k倍，那么ZDBC是NBDC的倍。圖3解：因為AB=AC=AD所以作以A為圓心，AB為半徑的圓，使B、C、D三點都在OA上所以.DAC=2.DBC.CAB=2.BDC.DAC2DBC.DBC從而k=CAB2BDC.BDC所以ZDBC是NBDC的k倍2.證線段例4如圖4,在RtAABC中，NC=90。，NC平分線CE與斜邊的垂直平分線DE交于E。求證：CD=DE。圖4證明：作RUABC的外接圓OD,則圓心

3、即為AB的中點D,作DE'_LAB交D于E',由cCAE'=BE'知ACE'=/BCE'故CE'是NC的平分線即CE'就是CE所以CD=DE例5如圖5,在AABC中，BD_LAC,CE_LAB,。為AABC的外接圓圓心。求證：AO_ED圖5證明：作MBC的外接圓。，過A作切線AF,貝U2FAC=ABC因為BD_AC,CEAB所以以BC為直徑的圓必過D、E兩點于是.ADE=.ABC即.FAC=.ADEAF/DE因為AO_AF所以AO_DE例6如圖6,在AABC中，AB=AC=J3,D是BC上的一點，且AD=1,求BD-DC的值。&l

4、t;*圖6解：以A為圓心，AB的長為半徑作OA交AD、DA的延長線于E、F,則點C在A上AE=AF=,3由相交弦定理，得BD-DC=DE-DF=（板3-1）（構+1）=2例7如圖7,在AABC中，£B=2/C。求證:AC<2AB。圖7證明：作MBC的外接圓，在其圓上截取BD=Ab，貝UABD=AC。連結BD、CD和AD,有AD=AC,AB=BD,AD<AB+BD所以AC:2AB例8如圖8,在平行四邊形ABCD中，過點A的圓分別交AB、AD、AC（或其延長線）于P、R、Q。求證：AB-AP+ADAR=ACAQ。圖8證明：過B、P、Q三點作圓交AC于G,連結PQ、PC、BG、

5、QR則有BGC=/BPQ=/R因為BC/AR所以.BCA=CAR,CGBARQ于是竺二竺ARAQARCB=CGAQ因為BC=AD所以AR-AD=CGAQ因為AP-AB=AGAQ所以AP-AB十AD-AR=(AG+GC)AQ=AC.AQ3.面積例9如圖9,已知AB=BC=CA=AD,AH_LCD于H,CP_LBC交AH于P。3求證：SBC=AP-BD。4圖9證明：因為AB=AC=AD所以B、C、D三點必在以A為圓心，AB為半徑的圓上如圖9作輔助圓，易知£2=1/BAC=lx60'=30”221=90-60'=30所以.1=/21同樣.4CAD2乂AACD是等腰三角形AH_LCD于H1所以-3CAD2貝U.3=.4于是APCBCDAP-BD=BCAC<1>1_、3.3_而S辦BC=BC-AC=BC-AC<2>A224ffi<1A代入<2A,得SBC=23AP-BD。44.判定三角形形狀例10如圖10,P、Q為線段BC上兩定點，且BP=CQ,A為BC外一動點。當A運動到使£BAP=£CAQ時，MBC是什么形狀的三角形？試證明你的結論。圖10證明：作AABP、AACQ的外接圓O01、O2,則O1、O2是等圓。連結公共弦AD并延長交BC于E則AE垂直平