1、2020蘇科版九上第二章軸對稱圖形一圓中的最值問題培優訓練(2)班級：姓名：得分：一、解答題1.在下列正多邊形中，0是正多邊形的中心，泄義：AO8c為相應正多邊形的基本三角形，如圖1,08c是正三角形ABC的基本三角形；如圖2,08c是正方形48緲的基本三角形：如圖3,"8C是正邊7員;如£.的基本三角形，將基本三角形0BC繞點0逆時針旋轉加得到0EU若線段BC與線段8U相交于點”，則圖1中m的取值范圍是，圖3中m的取值范圍是在圖1中，若BC與相交于點小求證：BO=CO.在圖2中，正方形的邊長為4,將基本三角形0BC繞點0逆時針旋轉135。得到/08C.邊BC上的一點P旋轉

2、后的對應點為P,若8QW有最小值，求出該最小值及此時BP的長度如圖3,當3，C_L0C時，宜接寫出a的值.2. 已知：AidFC。，AC = 6. BC = 8, AB = 10,點D是邊AB 士的一點，過GD兩點的00分別與邊CA,CB交于點E,F.若點D是AB的中點，在圖1中用尺規作出一個符合條件的圖形(保留作圖痕跡，不寫作法);如圖2,連結EF,若EF/AB,求線段EF的長：請寫出求線段EF長度最小值的思路.(2)如圖3,當點D在邊AB±.運動時，線段EF長度的最小值是3.如圖，在直角梯形ABCD中ABCD,乙C=%。，以AD為直徑的G)0與BC相切于點E,交辦于點£

3、連接DE.CL)證明：DE平分"DC；(2)已知AD=4,CD的長為x(2<x<4).當=2.5時，求弦DE的長度：當X為何值時，。尸廠C的值最大？最大值是多少？4.A,B是G)C上的兩個點，點P在(DC的內部.方乙在8為直角則稱“P3為AB關于G)C的內直角，特別地，當圓心C在“P8邊(含頂點)上時，稱“P8為AB關于G)C的最佳內直角如圖L“MB是AB關于C)C的內直角，“N3是AB關于G)C的最佳內直角.在平而直角坐標系Xoy中.如圖2,G)0的半徑為5,4(0,-5),3(4,3)是G)0上兩點.已知件(1,0),P2(0.3),&(2,1),在"

4、;PBAPB/4民氏中，是AB關于00的內直角的是:若在直線y=2x/6上存在一點P,使得”PE是AB關于G)0的內直角，求b的取值范圍.點E是以T(t,0)為圓心，4為半徑的圓上一個動點，G)與X軸交于點D(點D在點F的右邊).現有點M(1,0),N(0m),對于線段MN上每一點都存在點八使4力正是DE關于C)的最佳內直角，請直接寫出”的最大值，以及”取得最大值時/的取值范囤.直用砂5 .【發現問題】愛好數學的小明在做作業時碰到這樣的一道題目：如圖，點0為坐標原點，G)0的半徑為1,點力(2,0).動點B在G)0上，連結作等邊C為順時針順序)，求0C的最大值；【解決問題】小明經過多次的嘗試與

5、探索，終于得到解題思路：在圖中，連接OB.以0B為邊在0B的左側作等邊三角形B0E,連接AE.(1)請你找出圖中與0C相等的線段，并說明理由：(2)線段0C的最大值為一.【靈活運用】(3)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(5,0),點P為線段AB外一動點，且=2,PM=PB,/)物=90。，求線段AM長的最大值及此時點P的坐標.【遷移拓展】如圖，8c=4J2,點D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個動點，以BD為邊作等邊勿劭，請直接寫出AC的最值.6 .如圖1,在平面直角坐標系中，點A,B的坐標分別為力(8,0)和3(0,6),點P為X軸負半軸上的一個動點，畫

6、勿破的外接圓，圓心為M,連結BM并延長交圓于點C,連結CP.(1)求證：Z-OBP=JABC.(2)當G)M的直徑為14時，求點P的坐標.如圖2,連結0C,求0c的最小值和0C達到最小值時力BP的外接圓圓心M的坐標.7 .如圖，也班三個頂點的坐標分別為4(-4,0),8(4,0),C(0,3),點D是BC邊的中點.點P以每秒1個單位長度的速度由A向C運動，點。以每秒“個單位長度的速度沿t4運點Q在4Z的運動過程中，是否存在“的值，使例/M最小若存在，請求出”的值：若不存在，請說明理由；若a=3,以P0為直徑作0M,當G)M經過線段BC英中的一個端點時，求/值.8 .如圖，在Av48c中，AB=

7、AC=3,ABAG=100°,D是BC的中點.小明對圖進行了如下探究：在線段AD上任取一點P,連接PB.將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉80。，點B的對應點是點E,連接BE,得到石在小明發現，隨著點P在線段距2位卷的變化，點E的位苣也在變化，點E可能在直線AD的左根“，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側請你幫助小明繼續探究，并解答下列問題：(1)當點E在直線AD上時，如圖所示.(V)ABEP=°連接CE,直線CE與直線AB的位宜關系是.(2)請在圖中畫出bBPE,使點E在直線AD的右側，連接CE.試判斷宜線CE與直線AB的位置關系，并說明理由.(3)當點P在線段AD

8、上運動時，求AE的最小值.9.【問題發現】如圖1,半圓0的直徑AB=10,點P是半圓。上的一個動點，則，以8的而積最大值是【問題探究】如圖2所示，AB.AC,是某新區的三條規劃路，其中4B二Gkm.AC=3km,=60°,缸所對的圓心角為60。.新區管委會想在缸路邊建物資總站點P,在AB、AC路邊分別建物資分站點E、£即分別在氏、線段AB和AC上選取點P、E、F.由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按PTETFTP的路徑進行運輸，因此，要在務物資站點之間規劃道路PE、）初FP.顯然，為了快捷環保和節約成本，就要使線段PE、EF.FP之和最短（各物資站點與所在道路之間的

9、距離、路寬均忽略不計）.可求得aPEF周長的最小值為S;【拓展應用】如圖3是某街心花園的一角，在扇形0AB中，”OB=90o,OA=72米，在圍墻04和0B上分別有兩個入口C和D,且4C=4米，D是0B的中點，出口E在屈上.現準備沿宏，站從入口到出口鋪設兩條景觀小路，在四邊形C切火內種花，在剩余區域種草. 出口E設在距直線0B多遠處可以使四邊形6WE的而積最大？最大而積是多少？（小路寬度不計） 已知鋪設小路CE所用的普通石材每米的造價是200元，鋪設小路DE所用的景觀石材每米的造價是400元.請問：在行上是否存在點£,使鋪設小路CE和DE的總造價最低？若存在，求出最低總造價和出口E距

10、直線0B的距離：若不存在，請說明理由10 .在平而直角坐標系XOy,對于點P(%p,yJ和圖形G,設Q(勺，%)是圖形G上任意一點，IxP-”n的最小值叫點P和圖形G的“水平距離”，的最小值叫點P和圖形G的“豎直距離”，點P和圖形G的“水平距離”與“豎直距離”的最大值叫做點P和圖形G的“絕對距離”例如：點P(-2,3)和半徑為1的G)0,因為C)0上任一點Q(XQjQ)滿足TW勺W1,-IWy/i,點P和C)0的“水平距離”為-2力的最小值，即|2(1)1=1,點P和00的“豎直距離”為|3-yp|的最小值即|3-1|=2,因為2>1,所以點P和G)0的“絕對距離”為2.已知C)0半徑為

11、1,力(2,|),8(4,1),C(4,3)(1) ®直接寫出點A和G)0的“絕對距離”已知D是28c邊上一個動點，當點D與G)0的“絕對距離”為2時，寫出一個滿足條件的點D的坐標；(2)已知£是工宓邊一個動點，直接寫出點E與G)0的“絕對距離”的最小值及相應的點E的坐標已知。是G)0上一個動點，估C沿直線四平移過程中，直接寫出點P與Zx/8c的“絕對距離”的最小值及相應的點P和點C的坐標11 .定義：圓心在三角形的一邊上，與另一邊相切，且經過三角形一個頂點(非切點)的圓稱為這個三角形圓心所在邊上的'伴隨圓”.【概念理解】(I)教師通過舉例幫助學生加以理解：如圖1,

12、v4FC0,ZT=90。，AB=10,AC=y>.-.00的圓心0在8c邊上，與AC邊相切于點E,并且過頂點8,.00就是BC邊上的一個伴隨圓.并引導同學求該伴隨圓半徑的思路：請你根據以上的思路，求出BC邊上的伴隨圓的半徑r：【問題探究】(2)如圖2,在的條件下，C點沿直線CB向左運動到點D,78=AD.求此時'ABO所有的伴隨圓的半徑：【拓展應用】(3)如圖3,在的條件下，作D關于B點的對稱點E,得到力8E,如是跳邊上的一種伴隨圓，過圓心M作FG1,故，是G)M在口上半圓上任意一點,HJ_LM_LED于/，連結，K是的中點，當H沿著上半圓周逆時針方向運動時，當”EZ度數取最大值

13、時，直接寫出線段EK的長.12 .如圖，4(0,2),8(6,2),C(0,c)(c>0),以A為圓心M長為半徑的筋交y軸正半軸于點D,筋與BC有交點時，交點為E,P為麗上一點.(1)若C=6J3+2.BC=,的長為：0二6J2時，判斷CP與04的位置關系，井加以證明：(2)若C=10,求點P與BC距離的最大值；的最大距離(結果(3)分別直接寫出當c=I,c=6,c=9,C=時，點P與無需化簡)O備用囹答案和解析LO°WqW120°0°WaW一解：CL）由題意圖1中，L48c是等邊三角形，。是中心,LAOB=120°乙a的取值范圍是：0°

14、<aW1200,圖3中T8CDEF是正邊形,0是中心，.Z-BOC=n 加的取值范圍是：08<aWin故答案為：0°WaW120%0°WaW如圖1中，作0E_l_BC于E；0F_1刖C，于F,連接00» 乙OEB二乙OFCf=90%OB=OCo4OBE=ZC OBEWbOCF(AAS)9 OE=OF,BE=dF 0d=OoX RtOdERtA00F(HL)、 OE=OF9 BO=OC.(3) 如圖2中，總點。光源BC的對稱點&連接OE交BC于K,連郎已以比子點戶”，連接0P:此時0P"場"的值最小，即BP+W有最小值. /x

15、BOB。=135o,LBOC=90°, 乙OCB二ZFzoC=45% OSIIBC. OK工BC,OB=OC,一BK=CK=2fOB=2z2>VKP/OEiyOK=KE,一EP=PBf伊二為夕=JZ BP=2+V2<CRtAOEBEg=OB2+龍OP=OP/J42+(V2)2=3J2A"P+W"最小值，最小值為3Ji,C此時BP，=2+V2.(4)如圖3中,:OC1B'C',OB'=OC1 -COB=-ACOB=30°,2 ,ZxBCo=60o,2*解：®如圖1所示:如圖2,連結CDFD,圖2”*AC=6,B

16、C=8-AB=10»AC+BC=A甘.48c是直角三角形，MOB=90o, ,EF是C)0的直徑， D是AB中點， DA=DB=DC=5,乙B二乙DOB, EFUAB, 一LA=乙CEF, 乙CDF二乙CEF,LA=ZCDFt AA-f-AB=90°, 乙CDF+EDCB=90% 乙CFD=90% CD是0。的直徑，EF=CD=5,由/!C?+BC2=ACB=90°,所以，EF是G)0的直徑.由于CD是Oo的弦，所以，有EF2CD9所以，當CD是0。的直徑時，EF最小，(2)y.解：如圖3,由知，CQ是G>0的直徑時，爐最小，即：最小值為CD,當點D在邊48

17、土運動時，只有CDJJ占時,CD最小,由知，“8c是直角三角形,人$,隨二IAC-BC=AB-CDtaACBC=ABCD,0MrMr-Rk-乂LU,AFIO5故答案為：BC是G)0的切線，OEX_BC,VABIICD,乙C=90o,一乙8=90°, AB1BC,CD±BC, .ab/oe/cd9 LOED二乙CDE, OD=OE,一LOED二乙ODE, 2aODE=ACDE,ED平分乙力DC連接AF交0E于H.VABUOEHCD.AO=0D.BE=EC,-0E=*(43+CD), 0E=2,CD=23 匕=1.5* 力D是G)0的直徑， AAFD=90o, 乙B二乙C二，、

18、.四邊形A8677是矩形， AFIIBCy OE±BC,OEX_AF. AH=FHfAB=CF二HE八5, OH=OE-EH=0.5,AH=1ACf_Off=V22_(0.5)2=V15AH二FH二CE二一f2DE=yJCff+=J.)2+=畫,設AB=CF=m.OE=+CD).%+m=4m=4%,DFCF=(4x)(2x-4)=-2x2+12%-16=-2(%3)2+2,2V0,x二3時，。廠6F的值最大，最大值為2.4.Z-AP2B9乙AP3B圖1-P1(1,0),A(Of-5),3(4,3),AB=V42+82=4V5>P,A=V12+52=V26|P;B=J3?+3?=

19、3伍5不在以AB為直徑的圓弧上，故/不是AB關于G)0的內直角，-P2(03),A(0-5),8(4,3),KPqA=8,AB4V*5*PoB=4, .Pz收+PzB=板 Z-AP2B=90% .2M28是AB關于G)0的內直角，同理可得，P二+”二A孔 /加逐是AB關于G)0的內直角，故答案為：AAPzB.乙AP3B；-/初8是AB關于0。的內直角，7陽二90。，且點P在G)0的內部， 滿足條件的點P形成的圖形為如圖2中的半圓H(點兒B均不能取到)，過點B作BD_Ly軸于點Z入VA(O-Sy8(4,3), BD=4,AD-8»并可求出直線48的解析式為y=2x-5,當直線y-2戶6

20、過直徑AB時，b=-5,連接OB,作直線OH交半圓于點E,過點£作直線仔他交y軸于點F, -0A=0B9AH=BH9 EH±AB. EH工EF, .EF是半圓H的切線 乙OAH=AOAH.乙OHB=乙BDA=90°,.o./OAHABADtOHBD4«AHAD32OH=-AH=-EH.22"OH=EOt乙EoF二乙AOH,ZxFEo=乙AHo=90°,AAEOFAHOA(ASA)9一OF=OA=5,:EFIIAB,直線AB的解析式為y=2x-5,直線)的解析式為y=2%+5,此時b二S,b的取值范用是一5VbS5對于線段MN上每一個點

21、H,都存在點7；使乙方戒是DE關于0T的最佳內直角，一點T一左左乙叫正的邊上， "二4,乙DH二90。，線段MN上任意一點(不包含點M)都必須在以TP為直徑的圓上，該圓的半徑為2. 當點NI%該圓的最高點時，”有最大值，即”的最大值為2.分兩種情況：若點H不與點M重合，那么點T必須在邊HE上，此時4勿/二90。，點在以Dr為直徑的圓上,如圖3,當。G與MN相切時，GH1MN,一0M=1,ON=2,一的V=一0"M75>AGMH=GMNfAGHM=ZJWM,ON=GH=2,GHM"NOM(ASA),MN=GM=V5>.OG=Vr51>aOT=V5+

22、1>當丁與M重合時，t=I,此時的取值范羽是一潔一1Wt<1,若點H與點M重合時，臨界位置有兩個，一個是當點T與M重合時，t=I,另一個是當TM=4時，2二5,此時r的取值范圍是IWt<5,綜合以上可得，/的取值范用是一J5TWt<5.5.解：(1)如圖1中，結論：0C=4E,理由：-加8a帕8都是等邊三角形，"BC=BA,B。二BE乙CBA=ZxOBE=60%/xCBo=AABE, ACBOW力BE(SAS), OC=AE.在ZT8中，AEWOE+OA,.當£、0,A共線， 力E的最大值為3. .OC的最大值為3. 答案為3如圖2,連接BM,將AM

23、PM繞著點P順時針旋轉90o得至ljPBN,連接AM則是等腰直角三角形,:PN=PA二2、BN二AM、4的坐標為(2.0),點8的坐標為(5,0),-0A=2f08=5,AB=3, 線段AM長的最大值二線段BN長的最大值，.當N在線段縱的延長線時，線段BN取得最大值(如圖2中)最大值二四X” AN=r2AP=2V2t 最大值為2J2+3;如圖3,過P作PE_LX軸于E,圖3/PN是等腰直角三角形,PE=AE=/2> -0E=80力B4E=5-3一返二2-Q P(2-J2AV2)(4)如圖4中，以Be為邊作等邊三角形'BCM、AABD二乙CBM=60°,nAABC=ADB

24、M.NAB=DB.BC=BM9.ABCDBM(SAS)9-AC=MD,欲求AQ的最大值，只要求出DM的最大值即可，BC=472BDC=90%點D在以BC為直徑的C)0上運動，由圖象可知，當點D在BC上方，DM_LEC時，DM的值最大，最大值J2J2+2J6.-力C的最大值為2逅+2品.當點A在線段BD的右側時*同法可得AC的最小值為2V6-2V2-6.解：(1)如圖1,連結AG ,Be為0M的直徑， 乙BAC=BOP=9" ACB=APB. /xOBP+LAPB=乙ABC+Z-ACB=90°,/xOBP=LABC-SI(2)Z-BAC=90°,>1(8,0)

25、,B(6,0) OB=6,OA=8,一AB=10 AC=yJ=V142-IO2=4V6乙BoP=LBAC,乙OBP=AABC,OBPsABC,OPOBAZE=ZF1點P的坐標為(-yJ6,0)；如圖2,記直線AC與y軸的交點為E,VAC_1_力8,貝IUOAE=AOBA=90°-ABAO.當OC最小時，OC±AE.此時OC=OA-sinAOAE=OA-SinZ0B>1=8X?二二%>求得點Q的坐標為(器-軌又點M為BC的中點%B+ArC642-25_方+比_272-25,點M的坐標為隔|I).7.解：如圖1,過點戶作松工低垂足為&由題意得：AP=t=2.

26、八RtAAOC,AO=4.OC=3=5cosAPAO二籌上"Eg86.AE=,PE所以OE二昔,所以P的坐標為(-呂如圖2,作點D關于X軸的對稱點ZA當P,Q,在同一直線上，且D9_L力C時,PQ+勿最小如圖2,作“PJL力C,垂足為P,并交X軸于0,APr由題意得，cosAPAO±,Rt40c中，C0Sm4Q二籌二右貝廿二？5a=.4分兩種情況：當點。在4T3的運動過程中，若G)M過點C,如圖3,連接C0,過C作X軸的平行線FG,分別過P,0作FG的垂線，垂足分別為F,G,PF交X軸于N,由題意得：AP=t,AQ=at=3t,CSo二箔砥AP“N=*ON=4易得，P（F勺

27、芳），p（3t-4,0）,PQ是直徑，ZaPCQ=90°,.PFCs'CGQ、GFPFQG-CG'33t-4整理得12t2+85L125=0,解得，t=5(舍去)：若G)M過點&t=|.當點0在8%的運動過程中，若0M過點C,如圖4,過C作X軸的平行線FG,連接奴分別過P,0作FG的垂線，垂足分別為F,G,PQ是直徑，ZxPCQ90°,PFCCGQfOF_PF 比一CG此時P（菩一4普），（?（123tt0）,M8f 5(P.宥5上善罵得34m況+65=0,解得,4|O%或 t =12-3t綜上所述，滿足條件的/值有：t=%Jet=、=5%=|8.解

28、：50：EC/ABX力。垂直平分線段8C,一PB二PC,.乙BCE=-ZBPE=40%2一AABC=40°,一ABIIEC(3)如圖中，作)”±CE于H, 點E在射線CE上運動，點P在線段AD上運動， 當點P運動到與點A重合時，AE的值最小,此時AE的最小值刃8=3ArPEF=ZPBE=50°,結論：AB/EC.理由：-AB=AC.BD=DC, -AD±BC, 一乙BDE=90% 乙EBD=9。°50。=40o, -任垂直平分線段8c EB=EC,一乙ECB二乙EBC=40°, AB二AC乙BAC=100°, AABC=LA

29、CB=40°,ABC二ECB. -AB/EC故答案為50；ECIIABX9.253V21-9解：【問題發現】如圖1,點P運動至半圓0的中點時，底邊AB上的高最大，即PO=T=S.此時PMB的而枳最大值，I0X5=25,故答案為：25：【問題探究】如圖2,假設P點即為所求.分別作點P關于AB.AQ的對稱點P、PJ連接PP',分別交AB、AC于點E、£連接PE,PF,F、P 在一條直線由對稱性可知，PE+EF+PF=P"E+EF+FP"=P'P",且0、E、上,A APE = A APnFAPU即為最短距離，其長度取決于PA的長度，

30、作出幺己的圓心0,連接A0,與缸交于P,P點即為使PA最短的點，AB=6,AC=3km,乙BAC=60°,48。是直角三角形，MBC=30o,BC=3V3>8c所對的圓心角為60。，08C是等邊三角形，乙CEo=60。，80=8C=3J3> AAB0=90°,AO=3z7>4=3V73V3>Z-PAE=LEAP.LPAF=AFA/'LFfAF=2AABC=120°,PA=AFy=30% 叩二2PAcosAAPE=y/3PA=3VH9PEF周長的最小值J3J21-9,故答案為：3VH-9:【拓展應用】如圖3-1,作0G_LC2垂足為G

31、,延長0G交屈于點叭則此時CDE的面積最大，J0A=0B=12,4C=4,點D為0B的中點,.,.0C=8,0D"61在骯ACOD中，CD=10,OG=4.8>GE*=12-4.8=7.2,一四邊形比跳而積的最大值為S+S"如二寸X6X8+X10X7.2=60:2作FH，08,垂足為H, LEOH+乙OEH=90：LOH+Z-ODC=90o,AOEH二ZxODC,又.ZxCOD="HO=90°, NACoDfOHjODEfHA=CD OEf6 EfH10 12圖3 E'H=7.2：出口E設在距直線08的7.2米處可以使四邊形CoDE的而積最

32、大為60平方米;鋪設小路QE和DE的總造價為200CE+400DE=200(CE+2DE),如圖3-2,連接0Er延長仍到點。使BQ=0B=72連接£0在AE0D與AQ0E中，4E0D=ZQ0Ef且OD_0E_10E*0Q2.E0D”Q0E9故QE=2DE,一CE+2DE=CE+QE、問題轉化為求CE+在的最小值,連接C0,交篦于點E,此時CE+如取得最小值為C0,在仇AC0Q中，Co=8,00=24,加二80故總造價的最小值為1600J10元：作E'H_LOB,垂足為，連接OE，,設£7/二尤貝IJQH=3%,在RtEOH中,0+He2=OEr（24-3x）2+X

33、2=122,解得，二W二叱匹（舍去），55 總造價的最小值為1600JT07L出口E距直線道的距離為叱邏米510.解：（1）如圖1中,點A和G>0的“水平距離”是1,點A和00的“豎直距離”是15,又一1.5>1,點A和G）0的“絕對距離”是15當點D與。的“絕對距離”為2時，點D的橫坐標為3, 一力（乙|）,B（4,1）,C（4,3）, 直線四速度解析式為V二一號虎+4,宜線AC的解析式為v=T+2,綜上所述，滿足條件的點D的坐標為（3,*或（3,.如圖2中,16T76由題意可知滿足條件的點E在直線y二兀與直線AB的交點處.(y=X尸二/y解得 滿足條件的點E坐標為(y,y).如圖3中，過點A作X軸的垂線，過點8作y軸的垂線交于點R當點廠在直線y二X上時，點P與勿8c的“絕對距離”的有最小值，此時點P即為直線y二x與00的交點(如圖所示);圖3設 F(m Zn)PI IJF (m + 2f , 點B在直線y二-務+4上, m二f(m+2)+4,解得m二EC"y軸，8C=2,aC(y,y),此時P(%¥).點P與估C的“絕對距離”的最小值為歲一獸.11.解：(I)在力BC中，ZJI=90%AB=10.AC二一BC=y/Ag+A(f二一3 OE! IA B、又0E與AC邊相切于點E,4=90%ZxOEC=