1、序列的收斂性與子序列的收斂性摘要：本文研究序列的收斂性與子序列的收斂性之間的關系情況，分析和推導Bolzano-Welerstrass定理和一些結論，得出序列和子序列的收斂的幾種判定方法并應用于控制收斂定理的一個重要推廣，這對于我們進一步了解序列與子序列之間的關系有著一定的意義。關鍵詞：序列；子序列；收斂；極限1引言在數學分析里，對于序列的研究主要是極限問題，但沒有較系統地討論序列的收斂性與子序列的收斂性的關系；本文主要分析序列與子序列之間的關系，從中得出一些定理和結論，這對于我們對序列收斂性判定和研究序列與子序列間的關系具有很大的幫助。2序列和子序列的定義及其相互關系2.1序列和子序列的定義

2、定義：若函數f的定義域為整個全體正整數集合N+，則稱f:N+TR或f(n)nWN+為序列。因為正整數集合N+的元素可按照由大到小的順序排列，故序列f(n)也可以寫為1,a2,a3,a4,n,a,或者簡單地記為4,其中an稱為該序列的通項。序列可分為有界序列，無界序列，單調序列，常序列或周期序列等。從序列an中將其項抽出無窮多項來，按照它們在原來序列中的順序排成一列：an,an,，an,又得一個新n17n2nk7的序列。為),稱為原來序列的子序列。易見anj中的第k項是an中的第nk項，所以總有、Ak,事實上為本身也是Gn的一個子序列，且是一個最大的子序列(nk=k時)。2.2序列與子序列之間的

3、若干關系定理1(Bolzano-Welerstrass):若序列an有界，則必存在收斂子序列ank,若序列an無界，則必存在子序列ank,使ankT8(或ankT-8).證明：(1)不妨設an中有無限多個不同的項，否則結論顯然成立.用有限覆蓋定理(見注釋)來證明結論.設序列an為一有界序列，則存在m,M,使m_an_Mn=1,2,下面先證明在m,M中存在一點c,使該點任一鄰域內有an中的無窮多項.用反證法，若此斷言不成立，則對任意awmM都存在一鄰域(a-篦田+露)，露o0在此鄰域內它有小中的有限項，A=(a-需且十瓦),awh,MD構成Im,M】的一開區間覆蓋.由有限覆蓋定理，存在有限子覆蓋

4、，即存在aj1j=1,2，k),使k1m,M1a；-、a*,a；、a*jmjjk依反證假設，U(a*-6a*,a；)中至多含有小的有限項與j1jjm<a-M好2)矛盾.據以上證明，存在anw(c-1,c+1),又在1c-1,c+1中，存在一項a%使出>»,否則與c的任何鄰域中有4的無窮項矛盾，同樣我們可以在1c-1,c+1中找到一項an,使n3>n2A在c-1,c+1中找到一項an使333.kkk、下、4A，最終得到一個序列心為滿足：(i)、熊是4的子序列(ii)1ank一C<k于是，由（i）和（ii）知，ank是an的收斂子序列.（2）另外對于無界序列4,則

5、可以利用序列無界定義，類似（1）后面一部分可以證明出存在子序列；an.nk例1：對于有界序列（-1，它存在子序列（-if收斂于1,當kT.例2:對于無界序列；n）,它的一切子序列都發散到二.以上是關于序列與其子序列在序列有界和無界的情況下進行的關系探討，進一步對于單調有界序列分析，我們有如下定理：定理2：若%為單調有界序列，就為4的一個子序列，且有kTa,（kts）則有anTa（nT心）.證明：由于an是單調有界序列，可根據序列單調有界定理（見注釋）知道，an收斂，而liman存在，現假設記為b,即m4=b,由定義，對寸©>0,3N1,n：nj使當nAN1時候，有zan-b&l

6、t;2由于Qk是Ln）的子序列，且ankTa（kT8）,故對上述s>0,3N2>0,使當nk>k>N2時，就有Zank-a一k2又取N=maxN1,N2,當k>N時，就有nk>N2,于是有：zank-b<2由ba=b-annkzz+ank-a<b-ank+anka=ank_b'+ank_a+_=s122即有a=b成立，所以liman=a成立.x例3設序列.=2+J2+J2+二十整,azJ為4的一個子序列且有a2kt2,(kTi),則有an?2(njs).3序列與子序列的三個定理定理3:序列4收斂于a的充要條件是它的任何子序列4也都收斂于同

7、一個極限a.證明：依題意，設lim%=a,改拆為%的一個子序列，于是對于任給的n,二/k/s>0,存在N,使得n>N當時就有xn-a<&,因為bn1是xn的子序列，故有nk'k,所以當k>N時，nk>N,從而有：Xnk-a<8按照序列極限定義知nm，Xn=a,即%)收斂且與4的極限相同.反之若序列凡的任一子序列都收斂，且有相同的極限a,因為4本身為自己的一個子序列，所以有limXn=a.n_：-.：定理4：序列QJ收斂的充要條件是奇子序列a2k,與偶子序列a2k都收斂，且它們的極限相等.證明：根據定理3,序列an的奇子序列a2k,與偶子序列a

8、2kL且它們的極限相等.設!ima2k=ima2k=a.根據序列極限的定義，即kk_但k1wN,V2k-1Ak1,有a2ka<z.V®>0j_尸2wN,V2kAk2，有a2k-a<®.劫=maxk1,k2).于是，Vn>N,有an-a<"即"man=a.(證畢)定理5:若序列4收斂于a的充要條件是4的任一子序列晨-中必有子序列“,使得xnkta(kts).證明：由定理3我們可以知道：若序歹I4收斂于a，則它的任何子序列xnk也都收斂于同一個極限a,由題意必要性得證.已知序列4的任一子序列xn中必有子序列5，使得XnkTa(k

9、Tg),則由定理3有Xnkta(kT6).用反證法，假設limXn¥a則必然存在/A0,對于任意自然數N,都有X二0n>0時，有Xno-a|>&0當N=1時，ni>1,使瓜a|之®0當N=r時，有ran2,使Xn2-a之劭當N時，有1>，使Xnk-a之加由此可以得到%的一個子序列Xn,它的每一項Xn都滿足Xn-a之加，nknkk故&nk)不收斂于a,且Xnk中不存在收斂于a的子序列，這與已知矛盾，因此limXn=a成立。n_4序列與子序列定理的應用定理3的應用利用定理3,可以用來判定一個序列不收斂的情況.即若對一個序列4,可以找到兩個

10、不可能有相同極限的子序列4和匕則有小必發散。nknk例4證明(sinn發散。證明：因下述兩區間長度均大于1,故必存在自然數nk和nk滿足：'3；l"nkwi2kn+,2kn+,nkw(2k+1再，(2k+2JnIL44-''“"'2-'顯然叫<n2b，及n<n2c，且sinnk至匚，sinnk<0,因此，sinnJ和2sinn；是兩個不可能有相同極限的子序列，這證明了sinn發散.定理5的應用應用定理5,可以判斷一個序列收斂。例5(控制收斂定理的推廣)設X為一隨機變量，其分布函數為F(X),又設隨機變量序列fn(xj

11、!滿足fn(xj<g(x),n>1,g(x)dF(x)<8且fn(x)Jf(x),則有Rlimfn(xJdF(x)=Jf(x)dF(x)成立.n：RR引理1：設(fn)及f均為實值可測函數，且fn-Af,(nT8)則存在子序列(L),使fnk一絲Tf,(nT9).引理2(控制收斂定理):設X為一隨機變量，其分布函數為F(x),若隨機變量序列fn(x)滿足以下成立：fn(x，Wg(x),n>1,g(x)dF(x)<8,且3)一事f(x),則有RlimJfn(x)dF(x)=ff(x)dF(x).(見注釋)n-RR證明：由fn(x)-Jf(x)知，對fn的任一子序列fn均有fn'(x)-p)f)x.由引理1,必存在fn'的子序列fnj,使得fnk(x)aeTf(x).于是用引理2就有lim.fnkxdFx=fxdFx.kl_kRR由于子序列fn的任意性，上式說明：序列“fn(x)dRx>的任一子序列.Rf1fn(x)dF(x”均收斂于ff(x)dF(x),故由定理5知：.RRnim.fnxdFX=fxdFx.'-RR證畢.參考文獻：李成章，黃玉民.數學分析（