1、周炳琨激光原理第二章習題解答(完整版)1.試利用往返矩陣證明對稱共焦腔為穩(wěn)定腔，即任意傍軸光線在其中可以往返無限多次,而且兩次往返即自行閉合。證明：設從鏡M1TM2TM1,初始坐標為0%,往返一次后坐標變?yōu)?T00，往返兩次后坐標變?yōu)?T*T而對稱共焦腔,貝UA=1-生=-1R2B=2L1,、R2j=01/I.R1力=0D=-".R1l1-2L=-1所以，T=-1故,-10r。0-1即，兩次往返后自行閉合。2 .試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡腔的穩(wěn)定性條件。L,g2=1-R2解：共軸球面腔的穩(wěn)定性條件為0Vgig2<1,其中g(shù)1=1-R1(a對平凹腔：R2=°

2、6;,則g2=1,0<1-<1,即0<L<R1R1(b)對雙凹腔:0<g1*g2<1,0<1-R1人1R2J<1R1LR2AL或R<LR2<L且R+R2AL(c)對凹凸腔:R1=R1,R2=-R2,0<1LRiRi>L且RTR2I<L3 .激光器的諧振腔由一面曲率半徑為1m的凸面鏡和曲率半徑為2m的凹面鏡組成，工作物質(zhì)長0.5m,其折射率為1.52,求腔長L在什么范圍內(nèi)是穩(wěn)定腔。解：由圖可見有工作物質(zhì)時光的單程傳播有效腔長減小為無工作物質(zhì)時的(1、Le=Lc-L1-1?'nJ事LLeYLe由0<1+1-

3、i<1得1mcLe<2m11人2廠e貝U1.17m：Lc:二2.17mc4 .圖2.1所示三鏡環(huán)形腔，已知l,試畫出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑R在什么范圍內(nèi)該腔是穩(wěn)定腔。圖示環(huán)形強為非共軸球面鏡腔。在這種情況下，對于在由光軸組成的平面內(nèi)傳輸?shù)淖游绻饩€，式(2.2.7)中的f=(RcosH)/2,對于在與此垂直的平面內(nèi)傳輸?shù)幕∈腹饩€，f=R/(2cos9),6為光軸與球面鏡法線的夾角。解:透鏡序列圖為R=：R22rr31也221R=該三鏡環(huán)形腔的往返矩陣為:0YlL、ABl01人01人-f<01CDA=D=13Lf由穩(wěn)定腔的條件:1.-1<1A+D)<1

4、,得:L,L-一<f<一或faL。32若為子午光線，由f=1Rcos30二則牛<<2L或:>空23、33.3RI31若為弧矢光線，由f=則-<R<-一或R>a/3R2cos30.325.有一方形孔徑共焦腔氨窟激光器,L=30cm,d=2a=0.12cm,人=6328nm，鏡的反射率為門=1，2=096'其他損耗以每程0.003估計。此激光器能否作單模運轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加一個方形小孔闌來選擇TEM00，小孔邊長應為多大？試根據(jù)圖2.5.5作一大略的估計、氨就增益由公式0eg1=1+3*10“：計算。解：菲涅耳數(shù)n=2a_(0.06c

5、m)L30cm*632.8nm1.9增益為egl=13*10'0302=1.075TEM0。模衍射損耗為4.7*10，TEM。模衍射損耗為10上，總損耗為0.043,增益大于損耗；TEM02模衍射損耗為5*10上，總損耗為0.043，增益大于損耗；衍射損耗與腔鏡損耗和其它損耗相比均可忽略，三橫模損耗均可表示為0=0.234e-0*eg01=1.05>1因此不能作單模運轉(zhuǎn)為實現(xiàn)TEM00單橫模運轉(zhuǎn)所加小孔光闌邊長為:20s=2L兀230*632.85.0*10m6,試求出方形鏡共焦腔面上teM30模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布的嗎?3斛：H3(X)=8X12X=0Xi=0，X23

6、=±，由q/x=0土"得節(jié)線位置：2L'2因此節(jié)線是等間距分布的。7.求圓形鏡共焦腔tem20和TEM02模在鏡面上光斑的節(jié)線位置。解:tem02模的節(jié)線位置由締合拉蓋爾多項式:由12（。）=；（24：+；2）=0得=12=2±ay2,又,-_cr2則I72一2-2r=-,1二10s0s1，2TEM20模的節(jié)線位置為=0或$所24=0,即：=0,二2，二,328.今有一球面腔，R1=15m，R2=_m，L=80cm。試證明該腔為穩(wěn)定腔；求出解：g1=1-=0.47Ri它的等價共焦腔的參數(shù)。g2=1-=1.8,g1*g2=0.846R2即：0<g1，g

7、2<1,所以該腔為穩(wěn)定腔。由公式(2.8.4)Zi=LR-L=-1.31mL-RiL-R2-LR1-LZ2=-0.15mL-RiL-R22LR1-LR2-LR1R2-L2f=12122=0.25mI.L-R1L-R22f=0.5m9.某二氧化碳激光器采用平凹腔，L=50cm,R=2m,2a=1cm,九=10.6/m。試計算12,83r8s2、00、e0、600、000各為夕人。解：g1-LR1=1'92=1-R2-2I：R12（R2-L）”|l（R-L）（r+R2-L）一2L（R2-L）14JI（R1二）431.7*10%4二r-n1匕匹r2（rl）/兀（R2-L）（R1+R2-

8、L）.一1但（LR0，（Rf1二R2-L3/42.0*10m*3:二4.0*10”rad0=8.1*10-10口。=2Nef1Nef214g1g2（1-g1g2）a2二二.2一s12a22=20522.0500s210.試證明，在所有相同而R不同的對稱穩(wěn)定球面腔中，共焦腔的衍射損耗最低。這里L表示腔長，r=R1=R2為對稱球面腔反射鏡的曲率半徑，a為鏡的橫向線度。證明：在共焦腔中，除了衍射引起的光束發(fā)散作用以外，還有腔鏡對光束的會聚作用。這兩種因素一起決定腔的損耗的大小。對共焦腔而言，傍軸光線的幾何偏折損耗為零。只要N不太小，共焦腔模就將集中在鏡面中心附近，在邊緣處振幅很小，衍射損耗極低。11

9、.今有一平面鏡和一R=1m的凹面鏡，問：應如何構(gòu)成一平凹穩(wěn)定腔以獲得最小的基模遠場角；畫出光束發(fā)散角與腔長L的關(guān)系曲線。，2、141.解“2、口!g1'g2-2g1g2>22i±9=1）lg1g2（1-g1g2）l一g2啕*j4當L=R2=0.5m時，日o最小.212.推導出平凹穩(wěn)定腔基模在鏡面上光斑大小的表達式,作出：（1）當R=100cm時，切s1s2隨R而變化的曲線。n隨L而變化的曲線；（2）當L=100cm時，n,"s2'si7解:-R2(R2-L)Ti4|l(rL)(Ri+R2-L)一L(R2-L)/4，(Rtr)區(qū)R2(%-L)/口:L(R

10、2-L)(Ri+R2-L)_(%”4(R2-LR2=R=100cm(2)L=100cm13.某二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面鏡的Rh)R=2m,腔長L=1m。試給出它所產(chǎn)生的高I斯光束的腰斑半徑s的大小和位置、該高斯光束的f及1A的大小。000解：工2L(R1-L)(R2-L)(R1R2-L)f=2(L-R)(L-R)=L(R2-L)=1*(2-1)=1m2即：f=1ma=2：f3.7*101.8*107m14 .某高斯光束腰斑大小為0o=1.14mm,人=10.6Nm。求與束腰相距30cm、10m、1000m遠處的光斑半徑切及波前曲率半徑Rf2,R(z)=z+一z二一2其中，f=-00.3

11、85mz=30cm：co(30cm)上1.45mm,R(30cm)&0.79mz=10m：co(10m)定29.6mm,R(10m)定10.0mR(1000m)：1000mz=1000m：8(1000m)之2.96m,15 .若已知某高斯光束之00=0.3mm,人=632.8nm。求束腰處的q參數(shù)值，與束腰相距30cm處的q參數(shù)值，以及在與束腰相距無限遠處的q值。11/：.解：=-i-,R(0)二q0R(0)二2_2束腰處：q0=i0-=if:i44.66cm九q(z)=q0z(2.10.8)z=30cm:q(30cm)：(3044.66i)cmz=二：q(二)=：16.某高斯光束00

12、=1.2mm,人=10.6Nm。今用F=2cm的錯透鏡來聚焦，當束腰與透鏡的距離為10m、1m、10cm、0時，求焦斑大小和位置，并分析所得的結(jié)果。解:.(l-F)F(l-F)2f2(2.10.17).2_F2'q)(F-l)2f2(2.10.18)l=10m:l2.00410二m,0=2.4010"mr25l=1m:l2.03410m,0=2.2510mrl=10cm:l：2.01710，m,0=5.53103mF25l=0:l1.99610m,0=5.6210m可見，透鏡對束腰斑起會聚作用，位置基本不變在透鏡焦點位置。17.CO2激光器輸出光九=10.6Nm,co。=3m

13、m,用一F=2cm的凸透鏡聚焦,求欲得到60=20Mm及2.5Mm時透鏡應放在什么位置。_2解：f=三：.2.67m22.2F-.0，:0-22(F-l)2f2(2.10.18)222F'0(F-l)=2-一f.021.885m2l1.39m22十2:568.9ml：23.87m18.如圖2.2光學系統(tǒng)，入射光九=10.6m,求切0及l(fā)3。_2解：f=',.2.67mli_2(l1-F"(l1-F1)2f20.02m(F1i)2f2_-5：2.2510ml2=l2T1=13cmj-1.5010Mml3"2F'0.08許'02F22,(l2-F

14、2)2f-521.4110m19 .某高斯光束8。=1.2mm,九=10.6Nm。今用一望遠鏡將其準直。主鏡用鍍金反射鏡R=1m,口徑為20cm；副鏡為一錯透鏡，F(xiàn)i=2.5cm,口徑為1.5cm；高斯束腰與透鏡相距l(xiāng)=1m,如圖2.3所示。求該望遠系統(tǒng)對高斯束的準直倍率。(2.11.19)解：M=M1o二0R-f=00.427m,F2=0.5m2M=50.9520 .激光器的諧振腔由兩個相同的凹面鏡組成，它出射波長為九的基模高斯光束，今給定功率計，卷尺以及半徑為a的小孔光闌，試敘述測量該高斯光束共焦參數(shù)f的實驗原理及步1Pf=a*L(2R-L)2,束驟。腰半徑:解：由兩個相同的凹面鏡組成的諧

15、振腔所對應共焦腔的焦距為:-L%。當L=R時，束腰半徑最大。所以，對稱共焦腔有最大的束腰半徑。實驗步驟：1,對某一腔長，測得束腰光斑的位置，此位置單位面積內(nèi)具有該腔內(nèi)光束的最大光功率。2,改變腔長，同1測量束腰光斑處小孔后的光功率。在束腰光斑光功率最小時，用卷尺測得兩腔鏡間距L。1則有，L=R,f='L。221 .已知一二氧化碳激光諧振腔由兩個凹面鏡構(gòu)成，R1=1m,R=2m,L=0.5m。如何選擇高斯光束腰斑切0的大小和位置才能使它成為該諧振腔中的自再現(xiàn)光束?1解：由式(2.12.3)及球面反射鏡等價焦距F=R,有:2又11+l2=L,取九=10.6Nm。得：11=0.375m,l2

16、=0.125m,60=1.28*10二m22 .(1)用焦距為F的薄透鏡對波長為人、束腰半徑為00的高斯光束進行變換，并使變換后的高斯光束的束腰半徑co；<切0（此稱為高斯光束的聚焦），在Ff和F<f_2l?（2）在聚焦過程（f=）兩種情況下，如何選擇薄透鏡到該高斯光束束腰的距離中，如果薄透鏡到高斯光束束腰的距離，,心,0當F<f時，總滿足<'101,并在l=F時，最小。(2)l不變:F222：二1二F(F-l)2f2l2f2<2l23.試由自再現(xiàn)變換的定義式（2.12.2）用q參數(shù)法來推導出自再現(xiàn)變換條件式（2.12.3)。解:qc(lc=l)=q(0)

17、(2.12.2)2二,.2F21)qc二iZ-2-22(F-l)2()2-2''022F-'02202(F-l)()(2.10.18)一200即切02二一0(F-l)2()口.F2一得:1=-22022(F-l)2()2,21，：；為22故F=1l1()22l(2.12.3)24.試證明在一般穩(wěn)定腔（R,R2,L）中，其高斯模在腔鏡面處的兩個等相位面的曲率半徑分別等于各該鏡面的曲率半徑。解：l不能改變，如何選擇透鏡的焦距F?LI1JR22L1-R24L22L一生R22IRiR1R2R2RiR1R2R2L.1由（2.12.10）,參考平面上的曲率半徑為R=2B/(D-A)

18、4L.4L2R224L4LR2-R1R1R2R1RR2R125.試從式（2.14.12）導出式（2.14.13）、一.一、_2一一，并證明對雙凸腔B-4C>0O解:R2(2.14.12a)R2l2-R2(l1L)=212(11L)=l2l2Ll1R1(2.14.12b)附/卜L)=21102L)(2)將（1）代入（2）得:R2(l1L)R1l1-R(21L)=2l1(R2-2(l1L)'R2(l1L)L)R2-2(l1L),2.2L(L-R2)l1_l12L-R-R2RL(L-Q)八-=0(2.4.13)2L-R1-R2l12B11c=0B=2L(L-R2),C2L-R1-R2_LR(L-R)2L-R1-R2R(l1L)(1)R2-2。1L)32_4腔空32匚_-(2L-R-R2)22L-R-R2對于雙凸腔R=-R,R2=-R2B2_4L2(LR2)24LR(LR)0一(2LR1R2)22LR|R226.試計算R=1m,L=0.25m,a1=2.5cm,a?=1cm的虛共焦腔的：單程和上往返。若想保持ai不變并從凹面鏡Mi端單端輸出，應如何選擇a2?反之，若想保持a2不變并從凸面鏡M2端單端輸出，應如何選擇ai?在這兩種單端輸出的條件下，上單程和往返各為多大?題中為為鏡Mi的橫截面半徑，Ri為其曲率半徑，a2、R2的