1、求求 導導 法法 則則基本公式基本公式導導 數數xyx 0lim微微 分分xydy 關關 系系)( xodyydxydyydxdy 高階導數高階導數一、主要內容0000()()()lim.hf xhf xfxh 0000( )()()lim.xxf xf xfxxx 0000()()()lim.xf xxf xfxx 000000000( )()( )()( )()limlimlimxxxxxxf xf xf xf xf xf xAAxxxxxx 00000( )()lim,( )()xxf xf xAAf xxfxxx 若稱 為在， 記作左導數的。00000( )()lim,( )()xxf

2、 xf xBBf xxfxxx 若稱為在， 記作右導數的。0( )f xx在在處處的的導導數數：00(),xxd f xd yd xd x 00,()|x xfxy oxy( )yf x T0 xM1.幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為000()().yyfxxx 0001().()yyxxfx (),fxf 都對應一個導數值這樣就定義了一個函數(),稱為簡數稱導函導數f：若函數 在某開區間(a,b)上每導函數一點可導( , )(,)fa

3、bxab則稱 在區間可導。對每一( )( )dydf xfxydxdx記作或或及 :( ),( , )fxfxxa b 1. 可導可導 = 連續連續= 極限存在極限存在 2. 極限不存在極限不存在=不連續不連續=不可導不可導 極限存在：極限存在：00lim( )lim( )xxxxf xf x 連連 續：續：000lim( )lim( )()xxxxf xf xf x 可可 導：導：000000( )()( )()limlimxxxxf xf xf xf xxxxx 00( lim ( )()0)xxf xf x可導與連續的關系可導與連續的關系:凡可導函數都是連續函數凡可導函數都是連續函數.

4、.可可導導連連續續 1( )( ) )( )( )af xbg xafxbg x （ ）() ,()fxg x四四導導數數設設可可則則運運算算法法則則導導， 那那么么(2) ( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x 2()()()()()(3) ()()0 )()()fxfxg xg xfxg xg xg x 導數運算法則導數運算法則() ,()fxg x進進行行四四則則運運算算的的前前提提條條件件是是注注意意：可可導導初等函數的求導問題1.常數和基本初等函數的導數公式常數和基本初等函數的導數公式 )(csc)(sec)(cot)(tan)(cos)(sin)()

5、(xxxxxxxC )cot()(arctan)(arccos)(arcsin)(ln)(log)()(xarcxxxxxeaaxx01 xxcosxsin x2secx2csc xx tansec xx cotcsc lnxaaxeaxln/1x/121/1x 21/1x )1/(12x )1/(12x 1111() ()()()fyfxfxfy 或或結論：反函數的導數等于函數導數的倒數.xuxd yd yduyyud xdud x 或或 ()()()fxfxx ( )( )( ).y xfux 反函數的導數反函數的導數復合函數的導數復合函數的導數結論結論：因變量對自變量求導,等于因變量對中

6、間變量求導,乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則)反函數和復合函數求導對數求導法 觀察函數觀察函數.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對數先在方程兩邊取對數, 然后利用隱函數的求導然后利用隱函數的求導方法求出導數方法求出導數.-對數求導法對數求導法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數數多個函數相乘和冪指函多個函數相乘和冪指函xvxu112( ),( )()()()f xfxx xxxn例例1 1 求求 121()()()( ),()()xxxnf xfxx xxn例例2 2 求求 （ ）一般地一般地( )( )( )( ( )0)v xf xu

7、 xu x)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf ( )( )( )( )( ) ( ) ln ( )( )v xv x u xfxu xv xu xu x )(ln)()(lnxuxvxf ( )( )( )( ( )0)v xf xu xu x 推推廣廣：11(ln |)(ln |( )|)( )( )uf xfxuf x ( )( )(ln |( ) |)fxf xf x 即即隱函數的導數 定義定義: :( ).yy x由方程G(x,y)=0所確定的函數稱為隱函數.)(形式稱為顯函數形式稱為顯函數xfy ( ,)0G x y)(xfy 隱函數的

8、顯化隱函數的顯化問題問題:隱函數不易顯化或不能顯化如何求導隱函數不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數求導法則隱函數求導法則: :1.用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.2.利用一階微分形式的不變性利用一階微分形式的不變性,)()(間間的的函函數數關關系系與與確確定定若若參參數數方方程程xytytx ( )1.;( )dydytdtdxdxtdt 利利用用微微分分形形式式的的不不變變性性：.)()()()()(322tttttdxyd (6) (6) 參變量函數的求導法則參變量函數的求導法則2.利利用用復復合合函函數數和和反反函函數數的的導導數數注意：注意：1

9、. 1. 求求n階導數時階導數時,求出求出1-3或或4階后階后,不要急于不要急于合并合并,分析結果的規律性分析結果的規律性,寫出寫出n階導數階導數.二階和二階以上的導數統稱為二階和二階以上的導數統稱為高階導數高階導數.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或( )ln(1),.nyxy 例例：設設求求解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn高階導 2.利用萊比尼茲方法利用萊比尼茲方法000( )( )()( )( )( )( )( , )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

10、,nnkkn knkyf xyg xa bnf x g xnf x g xC fx gxff gg 命題：設及在上有 階導數，則的 階導數成立下列公式：其中，).(.0 xfA 可可微微可可導導( ),( ),( ).yf xxdydf xdyfxx 函函數數在在任任意意點點 的的微微分分稱稱為為函函數數的的微微分分記記作作或或即即一元函數可導與可微的關系：一元函數可導與可微的關系：在一元微積分中在一元微積分中可導可導與與可微可微是一致的是一致的的微分形式總是的微分形式總是函數函數是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx 微分形式的不變性微分形式的不變性dxxfdy)(

11、微分形式不變性：微分形式不變性：微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:(:(如圖如圖) ).,對對應應的的增增量量就就是是切切線線縱縱坐坐標標坐坐標標增增量量時時是是曲曲線線的的縱縱當當dyy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲線線段段切切線線段段的的附附近近在在點點很很小小時時當當 應用：應用：導數與微分微分學所要解決的兩類問題微分學所要解決的兩類問題:函數的增量問題函數的增量問題微分的概念微分的概念函數的變化率問題函數的變化率問題導數的概念導數的概念導數與微分的關系導數與微分的關系:.可微可微可導可導 在一元微積分中在一元

12、微積分中可導可導與與可微可微是一致的是一致的).(xfdxdy ( ).dyfx dx 微分的求法,( )dyAxdyfx dx 求法求法: : 計算函數的導數計算函數的導數, 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1.基本初等函數的微分公式基本初等函數的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan

13、11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函數和、差、積、商的微分法則函數和、差、積、商的微分法則2()()()()duvdudvd CuCduuvduudvd uvvduudvdvv arc主要題型：主要題型：1。分段函數在分段點上可導性：利用定義。分段函數在分段點上可導性：利用定義,不論是一階不論是一階還是高階還是高階2。函數求導：。函數求導： 利用四則運算法則，基本積分表利用四則運算法則，基本積分表 復合函數求導：鏈式法則。復合函數求導：鏈式法則。 隱函數和參數方程求導隱函數和參數方程求導:復合函數求導法復合函數求導法, 利用微分利用微分形式的

14、不變性形式的不變性 冪指函數求導：對數求導法冪指函數求導：對數求導法 積分法積分法原原 函函 數數基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數的積分函數的積分一、主要內容 ,IxI 對對于于定定義義在在區區間間 上上的的函函數數f f( (x x) )若若對對)()( xfxF 有有 ( ) ( ) F xf xI則則稱稱是是在在 區區間間上上的的一一個個原原函函數數( )( ),f x dxf x 表表示示函函數數的的原原: :函函數數的的全全體體定定義義則稱則稱( )f x dx 的

15、不定積分的不定積分為為 )( xf記記號號分分積積數數函函積積被被被積表達式被積表達式項項數數常常 dxxf)(積分變量積分變量CxF )(不定積分 例例),2 , 1(已已知知某某曲曲線線過過點點處處切切線線點點其其上上),(yx 的兩倍，的兩倍，的斜率為的斜率為x求其方程求其方程解解則由題意知則由題意知xxf2)( ),2 , 1(曲線過點曲線過點又又,12C 1 C即即12 xy故所求曲線為故所求曲線為xy02x C )(xfdxx 2)( xfy 設設曲曲線線方方程程原原函函數數存存在在定定理理連續函數一定有原函數連續函數一定有原函數),()( xfxF 若若( )( ),G xf x

16、 ( )( ),G xF xC 則則 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況） dxxkf)()2(.)( dxxfk)0 ( k常常數數不定積分運算性質：不定積分運算性質：( )Fx dx ( )dF x )(dxxf dxxfdxd)( dxxfd)( )F xC ( )F xC )(xf)(xfdxxf)(不定積分是求導或求微分函數的逆運算不定積分是求導或求微分函數的逆運算 問題問題1:1:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積問題問題2:2:變速直線運動的路程變速直線運動的路程定積分定積分定積分定積分的

17、性質的性質定積分的定積分的計算法計算法牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、主要內容一、主要內容注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數數及及積積分分區區間間有有關關， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定積積分分是是一一數數值值. （3 3）當當函函數數)(xf在在區區間間,ba上上的的定定積積分分存存在在時時， 而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關關.稱稱)(xf在區間在區間,ba上上可積可積. baIdxxf)(iinixf )(lim10 積積分分區區間間,ba積分上限積分上限積分下限積分下限定積分 ,

18、 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 定積分的幾何意義幾何意義：幾何意義：積積取取負負號號軸軸下下方方的的面面在在軸軸上上方方的的面面積積取取正正號號；在在數數和和之之間間的的各各部部分分面面積積的的代代直直線線的的圖圖形形及及兩兩條條軸軸、函函數數它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)( 當當函函數數)(xf在在區區間間,ba上上連連續續時時，1 1：2 2： 設函數設函數)(xf在區間在區間,ba上有界，上有界，稱稱)(xf在在區區間間,b

19、a上上可可積積. .且且只只有有有有限限個個間間斷斷點點，則則)(xf在在定積分存在的充分條件區間區間,ba上可積上可積. .3 3： 設函數設函數)(xf在區間在區間,ba上單調有界，上單調有界， 則則)(xf在在區間區間,ba上可積上可積. .對定積分的對定積分的補充規定補充規定:（1）當）當ba 時，時，0)( badxxf；（2）當當ba 時時， abbadxxfdxxf)()(.說明說明 在下面的性質中，假定定積分都存在下面的性質中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小在，且不考慮積分上下限的大小定積分的性質 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補充補充：不論：

20、不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,假設假設bca 性質性質3 3 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數數).性質性質2 2 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性質性質1 1（定積分對于積分區間具有可加性）（定積分對于積分區間具有可加性）則則0)( dxxfba. . )(ba dxba 1dxba ab .性質性質4 4性質性質5 5如如果果在在區區間間,ba上上0)( xf，（用于比較兩個函數積（用于比較兩個函數積分值大小）分值大小）性質性質5 5的推論：的推論：則則dxxfba )( dxxgba )(. . )

21、(ba ( (1 1) ) 如如果果在在區區間間,ba上上)()(xgxf ， dxxfba )(dxxfba )(.)(ba （2）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區區間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，設設M及及m分分別別是是函函數數性質性質6 6（此性質可用于估計積分值的大致范圍）（此性質可用于估計積分值的大致范圍）如如果果函函數數)(xf在在閉閉區區間間,ba上上連連續續，則則在在積積分分區區間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質性質7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中

22、值公式積分中值公式積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使得以區間使得以區間,ba為為 在在區區間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為為曲曲邊邊的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的一個矩形的面積。的一個矩形的面積。積積分分上上限限函函數數及及導導數數,)( baCxf 設設, bax 則對則對的的函函數數是是 )(xdxxfxa abxyo)(xfy x)(x 記為記為 xadttf)(xx)(x 積積分分上上限限函函數數定定理理3 3若若( ) , ,f xC a b )()(

23、xfxF ( )baf x dx 則則( )baF x ( )( )F bF a微積分學第二基本定理微積分學第二基本定理Newton-Leibniz 公式公式 （不定積分和定積分的關系）（不定積分和定積分的關系）1 定理定理,)( baCxf 若若, )( baDdttfxa 則則 xadttfdxd)( 且且)(xf 的的一一個個原原函函數數是是即即 )( )( xfdttfxa 微積分學第一基本定理原函數存在定理微積分學第一基本定理原函數存在定理 （連續函數的原函數一定存在）（連續函數的原函數一定存在） 2定定理理 ( ), ( )f xx 若若連連續續可可導導( )( )xadf t d

24、tdx 則則 ( )( )fxx 微積分學基本定理：微積分學基本定理： )()()(xxdttfdxd )(xf )(x )(xf )(x 原理：原理： )()()(xxdttf cxdttf)()( )()(xcdttf )()(xcdttf )()(xcdttf 二、典型例題例例1 1).0(),100()2)(1()(fxxxxxf 求求設設解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 例例2 2.,1111ln411arctan21222yxxxy 求求設設解解,12xu 設設,11ln41arctan21 uuuy則則)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx .,)0, 0()(22dxydyxxyxfyyx求求所所確確定定由由方方程程設設函函數數 例例4 4解解兩邊取對數兩邊取對數,ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即(1ln)ln1,(1)y yx ,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1