1、1.1 狀態變量及狀態空間表達式1.3 狀態變量及狀態空間表達式的建立(一)1.2 狀態變量及狀態空間表達式的模擬結構圖 1.5 狀態矢量的線性變換(坐標變換)1.4 狀態變量及狀態空間表達式的建立(二) 1.8 時變系統和非線性系統的狀態空間表達式1.6 從狀態空間表達式求傳遞函數陣1.7 離散時間系統的狀態空間表達式1.1 狀態變量及狀態空間表達式1.1.1 狀態變量 狀態變量是既足以完全確定系統運動狀態而個數又是最小的一組變量，當其在t=t0時刻的值已知時，則在給定tt0時刻的輸入作用下，便能完全確定系統在任何tt0時刻的行為。 1.1.2 狀態矢量 如果 個狀態變量用 表示，并把這些狀

2、態變量看作是矢量 的分量，則 就稱為狀態矢量，記作：1.1.3 狀態方程 以狀態變量 為坐標軸所構成的 維空間，稱為狀態空間。1.1.4 狀態方程由系統的狀態變量構成的一階微分方程組稱為系統的狀態方程。用圖下所示的 網絡，說明如何用狀態變量描述這一系統。圖一根據電學原理，容易寫出兩個含有狀態變量的一階微分方程組：亦即（1） 式(1)就是圖1.1系統的狀態方程，式中若將狀態變量用一般符號 ，表示，即令 并寫成矢量矩陣形式，則狀態方程變為：或1.1.5 輸出方程 在指定系統輸出的情況下，該輸出與狀態變量間的函數關系式，稱為系統的輸出方程。如在圖1.1系統中，指定 作為輸出，輸出一般用y表示，則有：

3、式中(2)式（3）就是圖1.1系統的輸出方程，它的矩陣表示式為：或（3）式中或（4）1.1.6 狀態空間表達式 在經典控制理論中，用指定某個輸出量的高階微分方程來描述系統的動態過程。如上圖一所示的系統，在以 作輸出時，從式(1)消去中間變量i，得到二階微分方程為：其相應的傳遞函數為：（6）（5） 回到式（5）或式（6）的二階系統，若改選 和 作為兩個狀態變量，即令 則得一階微分方程組為：（8） 設單輸入一單輸出定常系統，其狀態變量為 則狀態方程的一般形式為：輸出方程式則有如下形式：用矢量矩陣表示時的狀態空間表達式則為： 因而多輸入一多輸出系統狀態空間表達式的矢量矩陣形式為：式中，x和A為同單輸

4、入系統，分別為n維狀態矢量和nn系統矩陣；為r維輸入(或控制)矢量；為m維輸出矢量；（9）（10） 為了簡便，下面除特別申明，在輸出方程中，均不考慮輸入矢量的直接傳遞，即令D D = 0 。1.1.7 狀態空間表達式的系統框圖 和經典控制理論相類似，可以用框圖表示系統信號傳遞的關系。對于式(9)和式(10)所描述的系統，它們的框圖分別如圖a和b所示。1.2 狀態變量及狀態空間表達式的模擬結構圖 狀態空間表達式的框圖可按如下步驟繪制：積分器的數目應等于狀態變量數，將它們畫在適當的位置，每個積分器的輸出表示相應的某個狀態變量，然后根據所給的狀態方程和輸出方程，畫出相應的加法器和比例器，最后用箭頭將

5、這些元件連接起來。對于一階標量微分方程：它的模擬結構圖示于下圖再以三階微分方程為例：將最高階導數留在等式左邊，上式可改寫成它的模擬結構圖示于下圖 同樣，已知狀態空間表達式，也可畫出相應的模擬結構圖，下圖是下列三階系統的模擬結構圖。下圖是下列二輸出的二階系統的模擬結構圖。1.3 狀態變量及狀態空間表達式的建立(一) 這個表達式一般可以從三個途徑求得：一是由系統框圖來建立，即根據系統各個環節的實際連接，寫出相應的狀態空問表達式；二是從系統的物理或化學的機理出發進行推導；三是由描述系統運動過程的高階微分方程或傳遞函數予以演化而得。1.3.1 從系統框圖出發建立狀態空間表達式 該法是首先將系統的各個環

6、節，變換成相應的模擬結構圖，并把每個積分器的輸出選作一個狀態變量 其輸入便是相應的 然后，由模擬圖直接寫出系統的狀態方程和輸出方程。1.3.2 從系統的機理出發建立狀態空間表達式 一般常見的控制系統，按其能量屬性，可分為電氣、機械、機電、氣動液壓、熱力等系統。根據其物理規律，如基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守恒定律等，即可建立系統的狀態方程。當指定系統的輸出時，很容易寫出系統的輸出方程。1.4 狀態變量及狀態空間表達式的建立(二) 考慮一個單變量線性定常系統，它的運動方程是一個 階線性常系數微分方程：相應的傳遞函數為1.4.1 傳遞函數中沒有零點時的實現在這種情況下，系統的微分方程為： 相應的系

7、統傳遞函數為 上式的實現，可以有多種結構，常用的簡便形式可由相應的模擬結構圖 (下圖)導出。這種由中間變量到輸入端的負反饋，是一種常見的結構形式，也是一種最易求得的結構形式。 將圖中每個積分器的輸出取作狀態變量，有時稱為相變量相變量，它是輸出 的各階導數。至于每個積分器的輸入，顯然就是各狀態變量的導數。從圖（a），容易列出系統的狀態方程： 輸出方程為： 表示成矩陣形式，則為： 順便指出，當 矩陣具有式上矩陣的形式時，稱為友矩陣友矩陣，友矩陣的特點是主對角線上方的元素均為1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均為零。 1.4.2 傳遞函數中有零點時的實現 此時，系統的微分方程為：相應地，系統傳

8、遞函數為：設待實現的系統傳遞函數為：因為 上式可變換為（26）令則對上式求拉氏反變換，可得：每個積分器的輸出為一個狀態變量，可得系統的狀態空問表達式：或表示為：推廣到 階系統，式(26)的實現可以為：（28）求得其對應的傳遞函數為：（29） 為求得 令式（29）與式（26）相等，通過對 多項式系數的比較得：故得：（30）也可將式(30)寫成式(31)的形式，以便記憶。（31） 將上圖a的每個積分器輸出選作狀念變最，如圖所示，得這種結構下的狀態空間表達式：即（32）擴展到 階系統，其狀態空間表達式為：（33）式中（34）或記為：1.4.3 多輸入一多輸出系統微分方程的實現一雙輸入一雙輸出的三階系

9、統為例，設系統的微積分方程為：（35） 同單輸入一單輸出系統一樣，式(35)系統的實現也是非唯一的。現采用模擬結構圖的方法，按高階導數項求解：對每一個方程積分：故得模擬結構圖，如下圖所示： 取每個積分器的輸出為一個狀態變量，如上圖所示。則式（35）的一種實現為：或表示為：（36）1.5 狀態矢量的線性變換(坐標變換)1.5.1 系統狀態空間表達式的非唯一性 對于一個給定的定常系統，可以選取許多種狀態變量，相應地有許多種狀態空間表達式描述同一系統，也就是說系統可以有多種結構形式。所選取的狀態矢量之間，實際上是一種矢量的線性變換線性變換(或稱坐標變換)。 設給定系統為：（37） 我們總可以找到任意

10、一個非奇異矩陣 將原狀態矢量 作線性變換，得到另一狀態矢量 設變換關系為：即代入式（37），得到新的狀態空間表達式：（38）1.5.2 系統特征值的不變性及系統的不變量 1.系統特征值系統系統特征值就是系統矩陣 的特征值，也即特征方程：（43） 的根。 方陣A且有n個特征值；實際物理系統中， 為實數方陣，故特征值或為實數，或為成對共軛復數；如 為實對稱方陣，則其特征值都是實數。2系統的不變量與特征值的不變性同一系統，經非奇異變換后，得：其特征方程為：（44） 式(43)與式(44)形式雖然不同，但實際是相等的，即系統的非奇異變換，其特征值是不變的。可以證明如下： 將特征方程寫成多項式形式 由于

11、特征值全由特征多項式的系數 唯一確定，而特征值經非奇異變換是不變的，那么這些系統 也是不變的量。所以稱特征多項式的系數為系統的不變量。3特征矢量一個 維矢量 ：經過以 作為變換陣的變換，得到一個新的矢量 即 如果此 即矢量 ，經 線性變換后，方向不變，僅長度變化 倍則稱 為 的對應于 的特征矢量，此時有1.5.3 狀態空間表達式變換為約旦標準型這里的問題是將 (45) 變換為：(46) 根據系統矩陣 求其特征值，可以直接寫出系統的約旦標準型矩陣無重根時有重根時 而欲得到變換的控制矩陣 和輸出矩陣CTCT，則必須求出變換矩陣T T。下面根據A A陣形式及有無重根的情況，分別介紹幾種求T T的方法

12、。 1.A陣為任意形式(1)A陣的特征值無重根時 設 是A A的 個互異特征根，求出A A。的特征矢量 則變換矩陣由A A的特征矢量 構成，即2A陣為標準型，即 (1)A A的特征值無重根時，其變換是一個范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)矩陣矩陣，為：(2)A A特征值有重根時，以有 的三重根為例：(3)有共軛復根時，以四階系統其中有一對共軛復根為例，即 3系統的并聯型實現此時已知系統傳遞函數：（55） 現將式(55)展開成部分分式。由于系統的特征根有兩種情況：一是所有根均是互異的，一是有重根。1.6 從狀態空間表達式求傳遞函數陣1.6.1 傳遞函數(陣)1單

13、輸入一單輸出系統已知系統的狀態空間表達式： 式中， 為 維狀態矢量； 和 為輸出和輸入，它們都是標量；A A為 方陣; 為 列陣；c c為 行陣；d為標量，一般為零。（62）對式(62)進行拉氏變換，并假定初始條件為零，則有： （63） 故UX間的傳遞函數為：（64）它是一個 的列陣函數。間的傳遞函數為：它是一個標量。 2 2多輸入一多輸出系統多輸入一多輸出系統已知系統的狀態空間表達式：（66）式中， 為r1輸入列矢量； 為m1輸出列矢量；B B為nr控制矩陣；C C為mn輸出矩陣；D D為mr直接傳遞陣；X X，A A為同單變量系統。 同前，對式(66)作拉氏變換并認為初始條件為零，得：（6

14、7）故 間的傳遞函數為（68）它是一個 nr 矩陣函數。 故 間的傳遞函數為：它是一個mr矩陣函數，即（69）其中各元素 都是標量函數，它表征第 個輸入對第 個輸出的傳遞關系。當 時 ，意味著不同標號的插入與輸出有相互關聯，稱為有耦合關系，這正是多變量系統的特點。式(69)還可以表示為： 可以看出， 的分母，就是系統矩陣A A的特征多項式， 的分子是一個多項式矩陣。 應當指出，同一系統，盡管其狀態空間表達式可以作各種非奇異變換而不是唯一的，但它的傳遞函數陣是不變的c對于已知系統如式(66)，其傳遞函數陣為式(69)。當做坐標變換，即令 時，則該系統的狀態空間表達式為：（71）那么對應上式的傳遞

15、函數陣 應為：即同一系統，其傳遞函數陣是唯一的。1.6.2 子系統在各種連接時的傳遞函數陣實際的控制系統，往往由多個子系統組合而成，或并聯，或串聯，或形成反饋連接。現僅以兩個子系統作各種連接為例，推導其等效的傳遞函數陣。設系統1為：（72）簡記為：設系統2為：簡記為： 1并聯連接 所謂并聯連接，是指各子系統在相同輸入下，組合系統的輸出是各子系統輸出的代數和，結構簡圖如下圖所示。 由式(72)和式(73)，并考慮 得系統的狀態空間表達式：從而系統的傳遞函數陣為：故子系統并聯時，系統傳遞函數陣等于子系統傳遞函數陣的代數和。 2串聯連接串聯連接下如圖所示。讀者可自己證明，其串聯連接傳遞函數陣為： 即

16、子系統串聯時，系統傳遞函數陣等于子系統傳遞函數陣之積。但應注意，傳遞函數陣相乘，先后次序不能顛倒。3具有輸出反饋的系統如下圖所示，由圖可得：即從而系統的傳遞函數陣為：這里又遇到分塊求逆的問題，假定：故有：從而得：由上兩式解得：即于是：所以有：同理也可求得：1.7 離散時間系統的狀態空間表達式 連續時間系統的狀態空間方法，完全適用于離散時間系統。類似在連續系統中，從微分方程或傳遞函數建立狀態空間表達式，叫系統的實現。在離散系統中，從差分方程或脈沖傳遞函數求取離散狀態空間表達式，也是一種實現。相應地，系統傳遞函數為：(78)設系統差分方程為：(77)實現的任務就是確定一種狀態空間表達式：(79)在

17、認為兩相鄰采樣時刻， 不變的條件下，式(79)的狀態空間表達式也可以用模擬結構圖(下圖)表示。下圖中T T 代表單位延遲器，類似于連續系統中的積分器。 實現是非唯一的，較簡單的實現見下圖所示的模擬結構圖。圖中 為已知參數， 為待定常數。以每個延遲器的輸出作為一個狀態變量，可得：矢量矩陣形式的離散狀態空間表達式為：式中 的求法，類似于1.4節中式(34)求 的計算公式，即：多變量離散狀態空間表達式為：1.8 時變系統和非線性系統的狀態空間表達式1.8.1線性時變系統 以上討論的只是定常系統，其特征是它的狀態空間表達式中的A A、B B、C C、DD等矩陣的元素既不依賴于輸入、輸出，也與時間無關。線性時變系統有：它們的元素有些或全部是時間t的函數。線性時變系統的狀態空間表達式為：（81） 從高階線性時變微分方程推演出狀態空間表達式的方法，類似于前述線性定常系統。 1.8.2 非線性系統非線性的動態特性是用如下的n個一階微分方程組描述的：用矢量矩陣表示，則為：（83）式中， 為矢量