1、小學數學奧林匹克競賽真題集錦及解答一、填空題1三個連續偶數，中間這個數是m，則相鄰兩個數分別是 _m-2_和 _m+2_ _ 。2有一種三位數，它能同時被2、 3、 7 整除，這樣的三位數中，最大的一個是_966_，最小的一個是 _126_。解題過程： 2×3×7=42；求三位數中 42 的倍數 126、168、 9663小麗發現：小表妹和讀初三哥哥的歲數是互質數，積是 144，小表妹和讀初三哥哥的歲數分別是 _9_歲和 _16_歲。解題過程： 144=2× 2× 2× 2× 3× 3；（9、16）=14一個四位數，它的第一

2、個數字等于這個數中數字0 的個數，第二個數字表示這個數中數字1 的個數，第三個數字表示這個數中數字 2 的個數，第四個數字等于這個數中數字 3 的個數，那么這個四位數是 _1210_。5 2310 的所有約數的和是_6912_。解題過程： 2310=2×3×5×7×11；約數和 =（ 1+2）×（ 1+3）×（ 1+5）×（ 1+7）×（ 1+11）6已知 2008 被一些自然數去除，得到的余數都是10，這些自然數共有 _11_個。3解題過程： 2008-10=1998；1998=2×3 ×37

3、；約數個數 =（ 1+1）×（1+3）×（ 1+1）=16（個）其中小于 10 的約數共有 1， 2， 3， 6， 9； 16-5=11（個）7從 1、2、3、1998、1999 這些自然數中，最多可以取多少個數，才能使其中每兩個數的差不等于 4？_ 1000 _。解題過程： 1，5，9，13， 1997（500 個） 隔 1 個取 1 個，共取 250 個2 ，6，10， 14， 1998（500 個）隔 1 個取 1 個，共取 250 個3 ，7，11， 15， 1999（500 個）隔 1 個取 1 個，共取 250 個4 ，8，12， 16， 1996（499 個）

4、隔 1 個取 1 個，共取 250 個8黑板上寫有從1 開始的若干個連續的奇數：1， 3， 5， 7， 9， 11，13擦去其中的一個奇數以后，剩下的所有奇數之和為1998，那么擦去的奇數是 _27_。2解題過程： 1+3+5+ +（ 2n-1 ） =n ； 45×45=2025；2025-1998=279一個 1994 位的整數，各個數位上的數字都是 3。它除以 13，商的第 200 位（從左往右數）數字是 _5_，商的個位數字是 _6_，余數是 _5_。解題過程： 33333333 3÷13=256410 25641010在小于 5000 的自然數中，能被11 整除，并

5、且數字和為13 的數，共有 _18_個。解題過程：能被 11 整除的條件是：奇數位數字和與偶數位數字和相差為11 的倍數；1位數不滿足條件； 2 位數也不滿足條件（各位數字應相等，數字和不等于13）；應為 3 或 4 位數； 13=12+1；偶數位數字和 =1，奇數位數字和 =12 時，共有 14 個；偶數位數字和 =12，奇數位數字和 =1 時，共有 4 個； 14+4=18（個）11設 n 是一個四位數，它的 9 倍恰好是其反序數（例如： 123 的反序數是 321），則 n_1089_。解題過程：千位只能是 1；個位只能是 9；百位只能是 0 或 1；如百位是 1，則十位必須為 0，但所

6、得數 1109 不滿足題意；如百位是 0，則十位必須為 8，得數 1089 滿足題意12555555 的約數中，最大的三位數是_555_。解題過程：555555=3×5× 11×37×91； 3× 5× 37=55513設a 與 b 是兩個不相等的自然數，如果它們的最小公倍數是72，那么a 與b 之和可以有_17_種不同的值。解題過程： 72=2×2×2×3×3；a=72，b=（ 1+3）×（ 1+2） -1=12-1=11 ； a=36， b=8 或 24；a=24，b=9 或 18

7、； a=18， b=8；a=9，b=8；11+6=1714小明的兩個衣服口袋中各有 13 張卡片，每張卡片上分別寫著 1，2，3， 13。如果從這兩個口袋中各拿出一張卡片來計算它們所寫兩數的乘積，可以得到許多不相等的乘積，那么，其中能被6 整除的乘積共有 _21_個。解題過程： 6×1，2，3， 13共 13 個；12× 7， 8， 9， 13=6×14，16， 18， 26共 7 個；9×10=6×15共1個；13+7+1=21 （個）15一列數 1，2，4，7，11，16，22，29，這列數的組成規律是第2 個數比第 1 個數多 1；第 3

8、 個數比第 2 個數多 2；第 4 個數比第 3 個數多 3；依此類推。那么這列數左起第1992 個數除以5 的余數是 _2_。解題過程：a2-a 1=1； a3-a 2 =2； an-1 -a n-2=n-2； an-a n-1 =n-1 ；an-a 1=1+2+3+ +n-1=n（ n-1 ） /2 ；an= n （ n-1 ）/2+1 ；a1992=1992×（ 1992-1 ） /2+1=996×1991+1=（995+1）×（ 1990+1） +116兩個自然數的和是50，它們的最大公約數是5，則這兩個數的差是 _ 20 或 40 _。解題過程：（a、

9、b） =5；5|a ， 5|b ；a=5，b=45 或 a=15， b=3517將一個兩位數的個位數字與十位數字交換后得到一個新數，它與原數相加，得到的和恰好是某個自然數的平方，這個和是_121_。解題過程：和可能為兩位數，也可能為三位數，但肯定是11 的倍數，即11 的平方。18100 以內所有被 5 除余 1 的自然數的和是 _970_。解題過程： 1+6+11+16+ 91+96=（ 1+96）× 20÷ 2=970199 個連續的自然數，它們都大于80，那么其中質數至多 _4_個。解題過程： 9 個連續的自然數，末尾可能是 0-9 ，末尾是 0、2、4、 6、8 的

10、一定被 2 整除，末尾是 5 的一定被 5 整除，每連續 3 個自然數中一定有一個是 3 的倍數，只有末尾是 1、 3、7、9 的數可能是質數于是質數只可能在這 5 個連續的奇數中，所以質數個數不能超過 420如果一個自然數的約數的個數是奇數，我們稱這個自然數為“希望數”，那么， 1000 以內最大的“希望數”是 _961_。解題過程：自然數的因數都是成對出現的，比如1 和本身是一對，出現奇數個因數的時候是因為其中有一對因數是相等的，即這個自然數是完全平方數。1000 以內最大的完全平方數是 312=961，所以這個希望數是 96121兩個數的最大公約數是21，最小公倍數是126。這兩個數的和

11、是 _105 或 147_。解題過程： 126=21×2×3；這兩個數是 42 和 63，或 21 和 12622甲數是 36，甲乙兩數的最小公倍數是288，最大公約數是 4，乙數應該是 _32_。解題過程： 4 |364×8=3236÷4=9288÷ 4÷ 9=823一個三位數能同時被2、5、7 整除，這樣的三位數按由小到大的順序排成一列，中間的一個是 _560_。解題過程： 2×5×7=70；70× 2， 3， 4， 13，14=140，210，280， 910， 98024有四個互不相等的自然數，最

12、大數與最小數的差等于4，最小數與最大數的積是一個奇數，而這四個數的和是最小的兩位奇數，那么這四個數的乘積是_30_。解題過程：最小數、最大數均為奇數，中間有一個偶數，4 個數和為 11，分別為 1、 2、 3、 525兩個整數相除得商數是 12 和余數是 26，被除數、除數、商數及余數的和等于 454，除數是_30_。解題過程：設除數是X，則 12X+26+X+12+26=454； X=3026在 1×2×3×× 100 的積的尾部有 _21_個連續的零。解題過程：尾數為5的共 10個，尾數 1個0的 9個，2個 0的 1個，共 21個 027有 0、1

13、、4、7、9 五個數字，從中選出四個數組成一個四位數（例如被 3 整除的這樣的四位數，從小到大排列起來，第 5 個數的末位數字是1409），把其中能_9_。解題過程：1047、1074、1407、1470、1704、1740、4017、4071、 4107、 41701479、1497、1749、179428一些四位數，百位數字都是3，十位數字都是6，并且他們既能被2 整除又能被3 整除。甲是這樣四位數中最大的，乙是最小的，則甲乙兩數的千位數字和個位數字（共四個數字）的總和是 _18_。解題過程：求 ?36?中能被 3 整除的偶數；甲為9366，乙為 1362；9+6+1+2=1829把自然數

14、按由小到大的順序排列起來組成一串數：1、2、 3、 9、 10、11、12、，把這串數中兩位以上的數全部隔開成一位數字，組成第二串數： 1、2、 9、1、0、1、 1、1、 2、 1、 3、。則第一串數中 100 的個位數字 0 在第二串數中是第 _192_個數。解題過程： 1-9 （共 9 個）， 10-99 （共 180 個），100（共 3 個）30某個質數與 6、8、12、14 之和都仍然是質數， 一共有 _1_個滿足上述條件的質數。解題過程：除 2 和 5 以外，其它質數的個位都是1，3，7，9；6，8，12， 14 都是偶數，加上唯一的偶數質數2 和仍然是偶數，所以不是2；14 加

15、上任何尾數是 1 的質數，最后的尾數都是 5，一定能被 5 整除； 12 加上任何尾數是 3 的質數，尾數也是 5；8 加上任何尾數是 7 的質數，尾數也是 5； 6 加上任何尾數是 9 的質數，尾數也是 5；所以，這個質數的末位一定不是1，3，7，9；只有 5符合31已知 a 與 b 的最大公約數是12，a 與 c 的最小公倍數是300，b 與 c 的最小公倍數也是300。那么滿足上述條件的自然數a、b、c 共有 _30_組。（例如 a12，b 300，c300，與 a300， b12，c300 是不同的兩個自然數組）解題過程：（ a， b） =12， a=12m，b=12n（ m， n=1

16、 或 5 或 25，且（ m，n）=1）； a ，c=300 ，b ，c=300 ， c=25k（k=1，2，3，4，6，12）；當 m=1，n=1 時， a=12，b=12，c=25k當 m=1，n=5 時， a=12，b=60，c=25k當 m=1，n=25 時， a=12， b=300，c=25k當 m=5，n=1 時， a=60，b=12，c=25k當 m=25， n=1 時， a=300，b=12，c=25k故有30 組32從左向右編號為 1 至 1991 號的 1991 名同學排成一行。從左向右 1 至 11 報數，報數為 11 的同學原地不動，其余同學出列；然后留下的同學再從左向

17、右 1 至 11 報數，報數為 11 的同學留下，其余同學出列；留下的同學第三次從左向右 1 至 11 報數，報到 11 的同學留下，其余同學出列。那么最后留下的同學中，從左邊數第一個人的最初編號是 _1331_。解題過程： 11× 11×11=133133在 1，9，8，9 后面寫一串這樣的數字：先計算原來這4 個數的后兩個之和8 9 17，取個位數字 7 寫在 1， 9，8，9 的后面成為 1，9，8，9，7；再計算這 5 個數的后兩個之和9716；取個位數字6 寫在 1， 9， 8，9，7 的后面成為 1，9，8，9，7， 6；再計算這 6 個數的后兩個之和 7613

18、，取個位數字 3 寫在 1，9，8，9，7，6 的后面成為 1，9，8，9，7，6， 3。繼續這樣求和，這樣填寫，成為數串 1， 9， 8， 9， 7， 6， 3， 9， 2，1，3，4那么這個數串的前 398 個數字的和是 _1990_。解題過程： 1，9，|8 ， 9， 7， 6， 3， 9， 2， 1， 3， 4，7，1，|8 ，9，7，6，3，398-2=396；396÷ 12=33；8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60； 60×33+10=1990二、判斷題1兩個連續整數中必有一個奇數一個偶數。（ ）2偶數的個位一定是0、2、4、6 或 8。 （

19、）3奇數的個位一定是1、3、5、7 或 9。 （ ）4所有的正偶數均為合數。（ × ）5奇數與奇數的和或差是偶數。（ ）6偶數與奇數的和或差是奇數。（ ）7奇數與奇數的積是奇數。（ ）8奇數與偶數的積是偶數。（ ）9任何偶數的平方都能被4 整除。（ ）10任何奇數的平方被8 除都余 1。 （ ）11相鄰偶數最大公約數為2，最小公倍數為它們乘積的一半。 （ ）12任何一個自然數，不是質數就是合數。（ × ）13互質的兩個數可以都不是質數。（ ）14如果兩個數的積是它們的最小公倍數，這兩個數一定是互質數。（ ）三、計算題1能不能將（ 1）505；（2）1010 寫成 10 個連

20、續自然數之和？如果能，把它寫出來；如果不能，說明理由。解題過程： S=n+（n+1）+（n+2）+（n+3）+（ n+4）+（ n+5）+（ n+6）+（ n+7）+（ n+8）+（ n+9）=10n+45（一定是奇數）（1）505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54（2）1010 是偶數，不能寫成10 個連續自然數之和2（1）從 1 到 3998 這 3998 個自然數中，有多少個能被4 整除？（2）從1 到3998 這3998 個自然數中，有多少個數的各位數字之和能被4 整除？解題過程：（1） 3998÷ 4=999（個）2（2）考慮個位，選法有 10 種

21、 ; 十位，選法有 10 種 ; 百位選法有 10 種; 選定之后個位、十位、百位數字之和除以 4 的余數有 3 種情況，余 0、余 1、余 2、余 3，對應這四種在千位上剛好有一種與之對應，共有 1000 個； 1000-1=999（個）3請將 1， 2， 3， 99， 100 這一百個自然數中既是奇數又是合數的自然數排成一行，使每兩個相鄰的數都不互質（若一行寫不下，可移至第二行接著寫，若第二行仍寫不下，可移至第三行接著寫）。解題過程： 9，15，21，27，33， 39，45，51， 57，63， 69，75，81， 87，93，9915， 25，35，55， 65，85，9521， 35

22、，49，77， 9133， 55，77，9925， 35，55，65， 85，95； 15，9，21，27， 33，39，45， 51，57， 63，69，75，81， 87，93，99； 77，91，494一個自然數除以8 得到的商加上這個數除以9 的余數，其和是13。求所有滿足條件的自然數。解題過程：設這個數為n，除以 9 的余數 r 8，所以除以 8 得到的商 q13-8=5，且 q13n=8q+k=9p+r=>k=9p+r-8p=9p+r-8 ×（ 13-r ）=9×（ p+r ） -104=4q=5， n=8× 5+4=44q=6， n=8

23、5; 6+4=52q=7， n=8× 7+4=60q=8， n=8× 8+4=68q=9， n=8× 9+4=76q=10，n=8×10+4=84q=11，n=8×11+4=92q=12，n=8×12+4=100q=13，n=8×13+4=1085有紅、黃、藍、綠四種顏色的卡片，每種顏色的卡片各有3 張。相同顏色的卡片上寫相同的自然數，不同顏色的卡片上寫不同的自然數。老師把這12 張卡片發給 6 名同學，每人得到兩張顏色不同的卡片。然后老師讓學生分別求出各自兩張卡片上兩個自然數的和。六名同學交上來的答案分別為： 92、125

24、、133、 147、158、191。老師看完 6 名同學的答案后說，只有一名同學的答案錯了。問：四種顏色卡片上所寫各數中最小數是多少？解題過程：設四張卡片上的數從小到大分別為A、B、C、D，則六位同學所計算的分別為A+B、A+C、A+D、 B+C、B+D、C+D這 6 個和數，且最小的兩個依次為A+B、A+C，最大的兩個依次為C+D、B+D。（A+B） +（ C+D）=（A+C）+（B+D）=（A+D） +（ B+C）；而 92+191=283=125+158， 133+147=280283；所以， A+B=92，A+C=125，B+D=158，C+D=191；133、147 中有一個不正確。

25、若 147 是正確的， 則 B+C=147，A+D=283-147=136。C-B=（A+C）- （A+B）=125-92=33 => C=90 ，B=57，A=92-57=35，D=191-90=101若 133 是正確的， 則 A+D=133，B+C=283-133=150。C-B=（A+C）- （A+B）=125-92=33 => B=50 ，C=83，A=92-50=42，D=191-83=108所以，四種顏色卡片上所寫各數中最小數是35 或 42。6有三個數字能組成6 個不同的三位數，這6 個三位數的和是2886，求所有這樣的6 個三位數中最小的三位數。（說明理由）解題過

26、程：設這三個數字從小到大分別為A、 B、C，顯然，它們互不相等且都不等于0。則 222×（ A+B+C） =2886 => A+B+C=2886÷222=13百位數為 1 是最小的，另兩個數分別為3 和 9；所以最小的三位數為1397求小于 1001 且與 1001 互質的所有自然數的和。解題過程： 10017×11× 1312 1000=（11000）× 1000÷2500500714 21 994（ 7994）× 142÷27107111 22 990（ 11990）× 90÷2450

27、4513 26 988（ 13988）× 76÷23803877+154+231+ +924=（77+924）× 12÷2=600691+182+273+ +910=（91+910）× 10÷2=5005143+286+429+858=（ 143+858）× 6÷2=3003500500710714504538038+6006+5005+30033603608三張卡片，在它們上面各寫一個數字（如圖）。從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數、二位數、三位數。請你將其中的質數都寫出來。解題過

28、程： 2、3、13、 23、 319一串數排成一行，它們的規律是這樣的：頭兩個數都是 1，從第三個數開始，每一個數都是前兩個數的和，也就是： 1，1，2，3，5，8， 13，21，34，55，。問：這串數的前 100 個數是（包括第 100 個數）有多少個偶數？解題過程： 100÷3=33（個） 110從小到大寫出5 個質數，使后面的數都比前面的數大12。解題過程： 5，17， 29，41，5311有 15 位同學，每位同學都有編號，它們是1 號到 15 號。 1 號同學寫了一個自然數， 2 號說：“這個數能被 2 整除”， 3 號說“這個數能被3 整除”，依次下去，每位同學都說，這個數能被他的編號數整除，1 號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學說得不對，其余同學都對，問：（1）說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續自然數？（2）如果告訴你， 1 號寫的數是五位數，請求出這個數。 （寫出解題過程）解題過程： (1) 如果 15 號說的不對，那么這個數不能被15 整除，則它不能被 3 或者 5 之一整除，即 3 號或