1、等差等比數列的常見題型分析考點透視：高考對本講知識的考查主要是以下兩種形式：1.以選擇題、填空題的形式考查，主要利用等差、等比數列的通項公式、前 n項和公式及其性質解決與項、 和有關的計算問題， 屬于基礎 題；2.以解答題的形式考查，主要是等差、等比數列的定義、通項公式、前n項和公式及其性質等知識交匯綜合命題，考查用數列知識分析問題、解決問題的能力，屬低、中檔題.題型一：等差、等比數列的基本概念與運算等差、等比數列是一個重要的數列類型，高考命題主要考查等差、等比數列的概念、基本量的運算及由概念推導出的一些重要性質，靈活運用這些性質解題，可達到避繁就簡的目的解決等差、等比數列的問題時，通常考慮兩

2、類方法：基本量法，即運用條件轉化成關 于ai和d的方程(組)：巧妙運用等差、等比數列的性質.例1： (2011 江西)設an為等差數列，公差 d = - 2, S為其前n項和.若So= Si，貝U ai=().A. 18 B . 20 C . 22 D . 24解析 由 So= S1，得 an= S1 So= 0, a1 = an + (1 11)d= 0+ ( 10) x( 2) = 20.故選 B. 題后反思：本小題主要考查等差數列的通項、性質、前n項和以及數列的通項和前 n項和的關系，解題的突破口是由 S0= S1得出an = 0.變式練習：1. (2011 天津)已知an為等差數列，其

3、公差為一2,且a7是a3與a9的等比中項，S為an的前n項和，n N*,則S10的值為().A. 110 B . 90 C . 90 D . 110解析 因為a7是a3與a9的等比中項，所以 a7= asa9,又因為公差為一2,所以(a1 12)2= (a1 4)( a1 16),解得 a = 20,通項公式為 an= 20+ ( n 1)( 2) = 22 2n.10 ai + a10所以 S0=2= 5 x (20 + 2) = 110，故選 D.*S2. 設數列an滿足：2& = an+1(anM0)( n N)，且前n項和為S,則一的值為()a21515A. B. 4 C .

4、4 D. 2a11-24S1 215解析：由題意知，數列an是以2為公比的等比數列，故 一 =T.答案：Aa2a1 x 223. 已知兩個等比數列an,bn，滿足a1a (a 0) , d a11 ,b2a22 ,bsa33.(1)若a1，求數列an的通項公式；(2)若數列an唯一，求a的值.思路點撥：(1)根據條件表示出d,b2,b3，結合an是等比數列，求 出其公比，進而得通 項公式(2)根據數列 an的唯一性，知q的一個值為0,得a的值審題視點 利用b、b、b3等比求解；(2)利用 問的解題思路，結合方程的相關知識 可求解.2 2解 設an的公比為 q,貝U bi= 1 + a= 2,2

5、+ aq = 2+ q, b3= 3 + aq = 3 + q .由 bi, b2, b3成等比數列得(2 + q)2= 2(3 + q2),即 q2-4q+ 2= 0,解得 qi= 2+ 2, q2= 2 2,所以 an的通項公式為an= (2 + 2) n 值的順序排列上述數值，可求a n中連續的四項，求得q.5. 在數1和2之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，將這n+2個數的乘積或&n= (2 一叮2) " I222(2) 設an的公比為 q,則由(2 + aq) = (1 + a)(3 + aq)，得 aq 4aq+ 3a 1 = 0.(*) 由a&

6、gt;0得，A = 4a2+ 4a>0 ,故方程(*)有兩個不同的實根，1由an唯一，知方程(*)必有一根為0，代入(*)得a=-.3方法錦囊：關于等差(等比)數列的基本運算，一般通過其通項公式和前 n項和公式構造關于 a和d(或q)的方程或方程組解決， 如果在求解過程中能夠靈活運用等差 (等比)數列的性質,不僅可以快速獲解，而且有助于加深對等差(等比)數列問題的認識.4.設an是公比為q的等比數列，令bn an 1, n N*，若數列bn的連續四項在集合53, 23,19,37,82中，貝U q 等于（）A.433、23、4B.c.或-D.或322343【知識點】遞推公式的應用；等比數

7、列的性質.解：bn有連續 四項在-53 , -23 , 19 , 37, 82中且 bn=an+1 a n=bn-1則a n有連續四項在-54 , -24 , 18 , 36 , 81中 / an是等比數列，等比數列中有負數項則q v 0,且負數項為相隔兩項等比數列各項的絕對值遞增或遞減，按絕對值的順序排列上述數值18, -24 ,36 , -54 , 81相鄰兩項相除24436354183 24236-24 , 36, -54 , 81是a n中連續的四項，此時q=3 , -81-則可得，2 5423,同理可求q=22亍.故選B-q=2或q=記為 An,令 an log2 An, nN(1)

8、求數列an的通項公式；(2)記cn4an8n 1-數列Cn【思路點撥】根 據bn=an+1可知an=bn-1 ,依據bn有連續四項在-53 , -23 , 19, 37 , 82中，則可推知則an有連續四項在-54 , -24 , 18, 36 , 81中，按絕對的前n項和Tn，證明:【知識點】等比數列，裂項求和，放縮法解：設該遞增的等比數列公比為q，由題意qn 12而A 12q qqn 2所以ann 2log 2 2 2n 22(2)Cn114an 9n 1n 2n n 1nn 22 q 22 qn1 22 27 1n 3 n 2 n 3TnC1C2(n14 分【思路點撥】本題是一個求an的

9、典型例子，后面求 Tn的時候符合裂項求和的架構，最后放縮，很自然。題型二：等差、等比數列的基本性質的考查 考點總結：從近幾年的考題看，數列性質必考，以選擇填空為主，中低檔，難度較大時一般 出現在解答題中，但是注意做題時要活。例：2014 石家莊質檢一已知各項均為正數的等比數列劉中，a4與314的等比中項為2；2,則 2ay+ a11 的最小值為( )A. 16 B . 8 C . 2 .：2 D . 4解析：由題意知 a4> 0,弘0, a4 -a14= 8, a >0, an> 0,則 2a? + an > 2 :'2a? an= 22a4 a14一a? an

10、 = 8,=2 16 = 8，當且僅當即a?= 2, an = 4時取等號，故2a? + an的最小值為8,2a?= an,故選B.變式練習：1、等差數列an中，& + a6= 4，則 log 2(2 a1 2a2 2aw)=()A. 10 B . 20 C . 40 D . 2+ log 25解析：依題意得，a1 + a2 + a3 + a。= 5( a5 + a6) = 20 ,因此有log 2(2 a1 2a2 2a10)= a1 + a2 + a3+ ao=20.221m2、已知方程(x m灶2)( x - nx+ 2) = 0的四個根組成以；為首項的等比數列，貝卜=()2n3

11、 322A. 2 B. 2或3 C. 3 D .以上都不對 解析：設a, b, c, d是方程(x2 mx 2)( x2 nx+ 2) = 0的四個根，不妨設 a<c<d<b,1則a b=c d= 2,a=-，故b= 4，根據等比數列的性質，得到c = 1,d=2，貝Um=a+ b9亠92 n= c+ d= 3,或 m= c+d= 3, n = a+ b= ,m 3亠m 2 "宀則n=-或n= 3.答案：BS12 S8= 12,則 Ss=3、已知等比數列an的前n項和為S,若S= 3,解析：由 S, S8 S, S2 S8 成等比數列，得（S8 S4） 2= S4（

12、 S2 S8）,解得 Ss= 9 或 Ss= 3,又由等比數列的前 n項和公式知 S與S4同號，故S8= 9.答案：94、設等差數列an , bn的前n項和分別為Sn, Tn,若對任意自然數則bs+ b?+ b8+ b4的值為解析：Tan , bn為等差數列，a3a9a3a9+ a3a6=+a9b5 + b?b8 + b4 2be ' 2b62b6be'Sn a1 + an 2a6 2 x 11 3 19= b1 + bn = 2b6 = 4x 11 3 = 41 ,a619 *b6= 41答案:19415.在等差數列an中，ai= 2 013其前n項和為Sn,若詈一S = 2

13、，則 S 013的值等于( )A. 2 011 B . 2 012 C .2 010D. 2 013解析 根據等差數列的性質，得數列 也是等差數列,根據已知可得這個數列的首項耳=a1 = 2 013 ,$ 013公差 d= 1,故 2"01y = 2 013 + (2 013 1) x 1 = 1，所以 s 013 = 2 013.6. 在等差數列an中，滿足3as= 5as, S是數列an的前n項和.（1）若ai>0,當Sn取得最大值時，求n的值；S1 ana1 = 46,記bn = n，求bn的最小值.解（1）設an的公差為d,則由 3a5= 5a8,得 3®+

14、4d) = 5何+ 7d),2d= 23a1.S= na1+ x a1>0,.當 n= 12 時,S取得最大值.2(2)由(1)及 a1 = 46，得 d = 23x ( 46) = 4, an = 46 + (n 1) x4= 4n 50,23S = 46 n+n n 122Sn an 2n 52n+ 502 x 4= 2n 48n.=2n+ 區52> 2/2nx色52= 32,n n當且僅當2n=，即n= 5時，等號成立.n故bn的最小值為32.點評：在等差數列問題中其最基本的量是首項和公差，只要根據已知條件求出這兩個量，其他問題就可隨之而解，這就是解決等差數列問題的基本方法，

15、 其中蘊含著方程思想的運用. 等差數列的性質* 若 m n, p, q N,且 nu n = p+ q,貝 U am+ an= ap+ aq ； S, Sam Sn, S3rn 82m,，仍成等差數列；a m* am an= (m- n)d?d=(m n N)；m- nan 2n -1 -=:一(Aan 1, Ban 1 分別為an , bn的前 2n 1 項的和).bn B2n 1(3) 數列an是等差數列的充要條件是其前n項和公式f(n)是n的二次函數或一次函數且不含常數項，即 S = An2 + Bn(A2+扌工0).1 1 *7. 若數列an滿足一 =d (n n , d為常數)，則稱

16、數列an為"調和數列”.已an+1 an知正項數列 1bn為"調和數列”，且bi b2 L 鳥90 ,則b4?b6的最大值是()A . 10【知識點】等差數列的概念、等差數列的性質與基本不等式求最值.100.200.400解：因為正項數列1為"調和數列”，則 bn 1 bn d , bn即數列為等差數列，由等差數列的性質b1b2b3 Kb99b5 90 , b5 10 則 b4b62b520，所以2bbb4Bb4b62100，當且僅當b4b6即該數列為常數列時等號成立,所以選 B.【思路點撥】根據所給的新定義可得到數列bn為等差數列，從所給的項的項數特征可發現等差

17、數列的性質特征，利用等差數列的性質即可得到則b4 b6 2b5 20 ,再由和為定值求積的最大值利用基本不等式解答即可.題型三：數列an與8n的關系的考查考點總結：已知an與8n的關系，有目標把該關系統一到同想和和上，求8n或a.，這是常見的遞推關系。例：已知數列an的前n項和為$且滿足an+ 2S S1= 0( n2), a = *.(1)求證：1是等差數列；(2)求an的表達式.Si審題視點(1)化簡所給式子，然后利用定義證明.根據S與an之間關系求an.(1)證明 T an= S1 S1 -i(n2)，又 an= 2S St,1 1S-1 S = 2Si Si-1, Si 豐 0 ,二6

18、一 = 2(n2).Si Si 111 1由等差數列的定義知 1是以$=2為首項，以2為公差的等差數列.OnS a11 1 解 由(1)知S = S + (n 1)d= 2+ (n 1) x 2= 2n,1 1Sn .當 n2 時，有 an= 2SxSi1= ,2n2n n 11又 a1= 2,不適合上式,12，n = 1,an =12nn 1,n2.方法總結：等差數列主要的判定方法是定義法和等差中項法，而對于通項公式法和前 n項和公式法主要適合在選擇題中簡單判斷.變式練習：1.已知an是一個公差大于0的等差數列，且滿足a3a655,a2a?16.(1)求數列an的通項公式；(2 )若數列an

19、和數列bn滿足等式：an b 烏烏 冬5 N* )，求數列bn的前n項和Sn .2 22 232n點撥：(1)等差數列中，已知兩條件可以算出兩個基本量a1,d ,再進一步求通項及前 n項和,當然若能利用等差數列的性質來計算，問題就簡單多了.( 2)分組求和、倒序相加、錯位相減、裂項相消等是常用的求和方法，這里利用(1)的結論以及an,bn的關系求bn的通項公式，根據通項公式求前 n項和.解: (1)解法1：設等差數列 an的公差為d,則依題設d>0,由 a2 a716.得 2印 7d 16由 a3 a655,得(a1 2d)(a-i5d)55 由得 2a116 7d 將其代入得(163d

20、)(163d)220.即 2569d2220 ,2d 4,d0 d 2 ,代入得 a11, an 1 (n 1)2 2n 1解法2 :等差數列an中，a3 a6 55,a2 a7 16 a3 a6 ,公差d 0 ,a3 5,a611 d2 , ai63b(2)設 Cn，則有 an Ci C22兩式相減得an 1 an Cn 1，由(1 )得即當n2 時，bn2n 1，又當n1時,bn2, (n 1)于是Sn b1b22n1,(n2)1,an1(n1)22n 1Cn,an 1C1C2Cn 1 ,a11,an1a n2Cn 1,Cn2(n 2),b12a12 ,3Kbn2 2324K2n12n2n

21、 1=2222324K2n14=22 耳 4 2n 26,即 Sn2 1易錯點：（1 ）由an,bn的關系及（1）的結論找不到bn的通項公式，使解題受阻;(2)在（3）忽略當n 1時,求bn的通項公式時，由Cn 1 2得Cn 2 ,把n 2這個條件遺漏;b1 2a12 ， 直接寫bn2n 1 ；（ 4 ）計算數列bn的前n項和Sn b1 b2 bsK g 2 23 24 K 2n 1 時隨意添加 22項.提煉方法：（1）等差數列與等比數列只有一字之差，部分同學經常出現審題不仔細的現象；（2）等差中項與等比中項的性質混淆，概念模糊不清；（3 ）對等差數列與等比數列的性質及公式的變式不熟悉，往往要

22、先計算a1,d,q等量，一旦計算量大一點，解題受阻2.已知數列 an滿足遞推關系式an 1 2an 2nn N)，且an_2n為等差數列,則的值是【知識點】等差數列的應用；數列遞推式.解：若an_2n為等差數列，an 12* 1an2nn 丄2an 212門1an an2“2n12* 12nan2n12*1 2* ，為常數，即12n 12n0，則-1-2=0,解得=-1 ,【思路點撥】根據數列的遞推關系式，結合等差數列的定義即可得到結論.題型四：等差等比的綜合應用考點總結：數列時一種特殊的函數，把數列與函數、不等式、解析幾何等知識有機結合，是 數列的一個發展方向，考查轉化與化歸的數學思想。例：

23、（2008山東卷）將數列 an中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表:aia2 a3a4 a5 a 6a7 a 8 a 9 aio記表中的第一列數 ai, a2, a4, a?,構成的數列為 bn ,bi=ai=1. S為數列 bn的前n項和,且滿足2bn 2 =1 （ n2） .（ I ）證明數列丄成等差數列，并求數列 bn的通項bnSNS2nSn公式；（n）上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且4公比為同一個正數.當a8i時，求上表中第 k（k>3）行所有項和的和.91解析：(i)由已知得，當n2時2bn 2 =ibnSNS nb2b3又 S

24、n bi2(Sn Sni)bn，所以(Sn Sni)SnSn iSni所以丄SnSn ii2，又 Sib，ani，所以數列是以1i為首項，一為公差的等差數列。2i所以丄Sni尹i)Sn2時,bn Snn(n i)又Sibian i因此bni,n i2n(n i)，n因為12 312 78,所以表中第行至第12行共含函數列中的前78項，故表中第13第3列中的數為a812又513記表中第k（k > 3）行所有項和的和為因此b13 q2491，所以q 214S,則kkbk(1 q )212S kg1 q k(k 1) 1 2侖(1 2k)(k 3)拓展提高：此題主要考察遞推公式，構造新數列，以

25、及求行列式的通項。 變式練習：1、已知“三角數陣”每一列成等差數列,從第三行起每一行成等比數列，且公比為q,公比相等記第i行第j列個數為aj (ij,ij N*)1412341438316（1）求 q,（2）求aij的表達式,(3)記第n行和為An，求An的前項和Bn,解析:（1）設公比為q,則a211a11 q 2q, a24a 222(a22 a21),又a22a32q14q4q24q 30,（2 ）第一行的公差為-(舍),2152則a22a1j1)aijj / 1 i 11 i2(2) j (2)(3)Anan1 11(2)2 G)32 2 2（2）n（擴n(in12Bn 1(112設T

26、n則iTn則由以上兩式得m)24142Tn38281 1 2花4n2n3161 12 4n2* 1丄12nn2* 112nn2* 1n 22* 1所以Bnn(n 1) n 2142n 1拓展提高：數陣題是一種新型題型，解題關鍵是抓住所給的各行格列所構成的數列的類型 再由特殊項推各行各列的前幾項，進而求通項2、等比數列 an的前n項和為Sn，已知對任意的nN ，點（n ,Sn），均在函數Xy b r（b 0且b 1,b, r均為常數）的圖像上.（1）求r的值；（11）當b=2時，記n 1bn（nN ）求數列bn的前n項和Tn4an解：因為對任意的nbnNr5，點（n ,Sn），均在函數y bxr

27、(b 0 且 b1,b,r均為常數）的圖像上.所以得Sn當n1 時,a1Sbr ,當n2 時,anSnSn1bnr(bn1r) bn bn1 (b 1)bn1 15又因為 an為等比數列，所以r1,公比為b,所以an(b 1)bn1.、.n 1n 1n 1n 1n 1（2）當b=2時，an(b1)b2 ,bnn 1n 14an4 22n 1234n 1則TnLn22 23242* 11234,nn1尹232425L-2n1 2*2 1相減,得丄Tn22歹1 12 21 ,1 n 11 5n 1n 22 2 2122 (1 2nJ1 1n 13 1n 1n 1n 24 22231n 13 n 3

28、所以Tn-22n2“ 12 2n 1拓展提高：本題主要考查了等比數列的定義，通項公式，以及已知sn求an的基本題型，并運用錯位相減法求出一等比數列與一等差數列對應項乘積所得新數列的前n項和Tn.3、已知直線l n : y x 2n與圓Cn : x2 y2 2a“ n 2（n N ）交于不同點An、b,其1 2中數列an滿足：a1 1,an1 - AnBn .（ 1）求數列an的通項公式；4、卄n（2）設bn（an 2）,求數列bn的前n項和Sn3解析：(i)圓心到直線的距離d .n,an 1(jlA.Bn)22an 2,則 an 122(an 2)易得an32n12bn3(an2)n 2n 1

29、,(2)Sn1 20 2213 22n 2n 12S；n1212223 23n 2n相減得Sn (n 1)2n1n4 (2012 高考四川卷)設函數f(x) = 2x cos x, an是公差為二的等差數列，82f(ai) + f(a2)+ f(a5)= 5n,貝U f(a3) aia5=()121213 2A. 0B n C. n D. n16 8 16(1) 給出以等差數列前 5項為自變量的函數值之和.(2) 由等差數列性質和三角函數性質把f (a1) + f (a2) + f(a3) + f(aj + f (aj的結構用a表達. 構造函數，通過函數的單調性確定a3的值.(4) 將求解結果

30、用a3表示、化簡.抓信息尋思路【解析】f(a" + fg) + f(a3)+ f(a" + f®)=2( a1 + a2 + a3 + a4 + a5) (cos a+ cos a2+ cos a3 + cos a4 + cos a5)=10a3 cos( a3 -) + cos( a3 -) + cos a3 + cos( a3+ -) + cos( a3+ -)nn=10a3 (2cos + 2cos + 1)cos a3.nn構造函數 g(x) = 10x (2cos + 2cos + 1)cos x 5 n,48,nng (x) = 10+ (2cos +

31、 2cos+ 1)si n x>0,4 8n 函數g(x)在(一3,+ )內單調遞增，由 g(2)= 0,nnnn所以方程 10x (2cos+ 2cos + 1)cos x 5 n = 0 有唯一解 x=，所以 a3=.48222 222nn22 n2 n 2 n所以f(a3) a1a5=f(a3)(a3 )(a3 +) =f(a»a3 +=n ($)+=441621613n 216 .145.已知正項等比數列an滿足a7 = a6 + 2a5，若存在兩項am,an使得-aman=4a1，貝U+的最m n359十*亠小值為()A. 2B.3C.-D.不存在2342解：因 a7

32、= a6 + 2a5，所以 q q 2 = 0,解得 q= 2 或 q= 1(舍去). 又寸aman=. a1qmn 2 = 4a1，所以 m+ n= 6.則+4=6'+ n (m+ n)=11+m+4m+ 4 > |. mn6mn6 mn 2當且僅當ST 4m，即n =亦時，等號成立此時停2, n= 4.題型五：與其它知識點交匯考點總結：創新題是以基本概念，基本性質為主，考查學生閱讀材料，提取信息，建立數學 模型，考查應用所學的知識分析解決問題的能力。例：根據如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為Xl,X2,Xn, X2008,y1, y2,yn ,y2008 - (

33、 1 )求數列Xn的通項公式Xn ；（2）寫出y1, y2, y3, yn，由此猜想出數列yn ；的一個通項公式yn，并證明你的結論；(3)求 ZnXiyi X22. Xnyn(x N*, n 2008).點撥：（1 ）程序框圖與數列的聯系是新課標背景下的新鮮事物，因為程 序框圖中循環，與數列的各項一一對應，所以，這方面的內容是命題的 新方向，應引起重視；（2 ）由循環體寫出數列的遞推公式，再由遞推公 式求出數列的通項公式是解決問題的關健；（3）掌握錯位相減法求數列的前n項和及數列求和的一般方法 .解：（1 ）由框圖，知數列xn中X11, Xn 1Xn2Xn12(n 1)2n 1(nN*, n2008)2 ) y1=2 ,Y2=8 ,y3=2