1、第十章重積分教學(xué)目的：1. 理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中 值定理。2. 掌握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計算方法。3. 掌握計算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計算方法。8、會用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等）。教學(xué)重點：1、 二重積分的計算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；2、三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計算。3、二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。教學(xué)難點：1、利用極坐標(biāo)計算二重積分；2、利用球坐標(biāo)計算三重積分；3、物理應(yīng)用中的引力問題。§ ,1二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念1曲頂柱

2、體的體積設(shè)有一立體 它的底是xOy面上的閉區(qū)域D它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于 z軸的柱面 它的頂是曲面z=f（xy）這里f（xy）_0且在D上連續(xù)這種立體叫做曲頂柱體 現(xiàn)在我 們來討論如何計算曲頂柱體的體積資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途首先用一組曲線網(wǎng)把 D分成n個小區(qū)域丄、i. * ； 2 ；：n .分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線 作母線平行于z軸的柱面 這些柱面把原來的曲頂柱 體分為n個細(xì)曲頂柱體 在每個丄:'i中任取一點（i . i）以f（ . i）為資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途 高而底為厶口的平頂柱體的體積為f （U® Aq （日.2 嚴(yán)n 八這個

3、平頂柱體體積之和nV 八 f（ i,i =1可以認(rèn)為是整個曲頂柱體體積的近似值為求得曲頂柱體體積的精確值將分割加密只需取極限即nV =lim ' f （ i, i）*i其中，是個小區(qū)域的直徑中的最大值.2平面薄片的質(zhì)量，設(shè)有一平面薄片占有 xOy面上的閉區(qū)域 D它在點（x y）處的面密度為：?（x y）這里：?（x y） 0且在D上連續(xù) 現(xiàn)在要計算該薄片的質(zhì)量M資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途用一組曲線網(wǎng)把D分成n個小區(qū)域. '：c 1 . 士 2 ./'： ；/n ,把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量：( i . ip：o .各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值

4、：nM ；： X(，i)*ii =1將分割加細(xì)取極限得到平面薄片的質(zhì)量nM =lim、珥 i,其中，是個小區(qū)域的直徑中的最大值.定義設(shè)f(xy)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù) 將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域-u i . y 2. : :n ,其中丄:表示第i個小區(qū)域 也表示它的面積 在每個A門上任取一點(i. i)作和nV f( i, i)壯ii 1如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值，趨于零時這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)!f(x,y)d 二在閉區(qū)域D上的二重積分 記作D即資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途n11 f (x,y)d；- lim '二 f ( i, i)Dr0i Tf(

5、xy)被積函數(shù)f(xy)d；域積表達(dá)式d；面積元素xy積分變量D積分區(qū)域 積分和 直角坐標(biāo)系中的面積元素 ：如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分D那么除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域設(shè)矩形閉區(qū)域厶口的邊長為 細(xì)和細(xì) 則丄;n=.-：xr"：yi因此在直角坐標(biāo)系中 有時也把面積元素 d；：記作dxdy而把二重積分記作 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用 途f (x, y)dxdyD其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素.二重積分的存在性 當(dāng)f(xy)在閉區(qū)域D上連續(xù)時 積分和的極限是存在的 也就是說函數(shù)f(xy) 在D上的二重積分必定存在 我們總假定函數(shù)

6、f(x y)在閉區(qū)域D上連續(xù) 所以f(x y)在D上的二 重積分都是存在的 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途二重積分的幾何意義 如果f(xy)_O被積函數(shù)f(x y)可解釋為曲頂柱體的在點 (x y)處的豎坐標(biāo). 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積如果f(xy)是負(fù)的 柱體就在xOy面的下方 二重積分的絕對值仍等于柱體的體積 但二重積分的值是負(fù)的 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途二重積分的性質(zhì) 性質(zhì)1設(shè)Cl、C2為常數(shù)則. .Cif(x,y) C2g(x, y)d；丁 二q . f(x, y)d二 C2 . .g(x,y)d二DDD_性質(zhì)2如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域則在D上的二

7、重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和例如D分為兩個閉區(qū)域 d1與d2貝y資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途f (x,y)d： if (x,y)d，.亠 11 f (x, y)dcDD1D2ill d；d二-；性質(zhì)3 DD(匚為D的面積).性質(zhì)4如果在D上f(x yHg(x y)則有不等式f (x,y)d；一 g(x,y)d 二DD特殊地有|f(x,y)d；任 | f(x, y)d-DD性質(zhì)5設(shè)M、m分別是f(x y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值匚為D的面積則有m- . 11 f(x,y)d；_M；D性質(zhì)6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x y)在閉區(qū)域D上連續(xù)匚為D的面積則在D上至少存 在一點

8、C .)使得資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途f (x,y)d；：.，f ( , )cD§9,2二重積分的計算法一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分X-型區(qū)域D gx)弓2(x) an處.Y型區(qū)域：D H(x)_y _ 2(x) c_y，混合型區(qū)域：設(shè) f(x y) _0 D =( x y)| 1(x)2(x) a 空b.” f(x, y)d此時二重積分d在幾何上表示以曲面 z=f(xy)為頂以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積.對于ab曲頂柱體在x次o的截面面積為以區(qū)間3(x0).2(X0)為底、以曲線 z=f(xoy)為曲 邊的曲邊梯形所以這截面的面積為資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途心)=：x； f

9、(x0,y)dy根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法得曲頂柱體體積為bb q(x)V = “(x)dx = (Upi(x) f(x, y)dydxb I af(x, y)dydx”f(x,即V = D可記為b qa（x）f（x,y）d；= adx ；（x）f（x,y）dyD1類似地如果區(qū)域D為Y型區(qū)域D ： -1（x）y J 2（x） c：7<d .則有d 巴（y）f （x,y）d；：.，c dy =（y）f （x, y）dxD1例1計算ffxDD是由直線y=1、x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域解畫出區(qū)域D方法一可把D看成是X型區(qū)域：1空殳.1勻空于是2 x口 xydb = 1 1 xyd

10、ydxD二：x手忸二11（x<x）dx 4242 x2 xJJxydb = 1 dx 1 xydy=xdx （ ydy 注積分還可以寫成 D解法2也可把D看成是Y_型區(qū)域：1旬殳y強殳 于是2 2斗抽知dy,2y 二y2-=_9_8! ! *、1 x2 _y2d二例2計算D其中D是由直線y=1、x1及y=x所圍成的閉區(qū)域解畫出區(qū)域D可把D看成是X-型區(qū)域：-1空乞1x勻叩 于是y、.1 x2-y2dD1 3 1一x2-y2）21xdx“3y（|x|3-1）dx一2 0（x -1）d2也可D看成是Y-型區(qū)域：-1 _y_1 ,.：-1 _x<y于是-1y.y.1 X2 -y2d &q

11、uot;dyX2 -y2dxD_.xyd -例3計算D其中D是由直線yn_2及拋物線y2=x所圍成的閉區(qū)域解積分區(qū)域可以表示為 D刃1 +。2 .其中 D1: 0 _x _1, -x _ y 一 i x D2 : 1 _x 一4, 2 一 y 一、x 于是1<x4<x11 xyd dx xydy 亠 i dx xydy0- - x1x -2D積分區(qū)域也可以表示為D :-1勻空y2_x_y于是2y42xyd 二二 /丫2 xydx D.f(x,y)d匚D資料個人D分為n個小閉2其中：i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值222cu=丿知弘知諾y(y 2)2y5dy6-5i討論積分次序的選擇

12、例4求兩個底圓半徑都等于二的直交圓柱面所圍成的立體的體積 解設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為X24y2=P2 及 X2+z2=P2.利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱性只要算出它在第一卦限部分的體積Vi然后再乘以8就行了第一卦限部分是以 D=(xy)| 0乞r2-x2 ,:為底以zR2 -X2頂?shù)那斨w于是心嚴(yán)汕。=8 fdx 02 JR訂屁丫 =8譏応？ yoEdx =8R(R2-x2)d16R3二利用極坐標(biāo)計算二重積分有些二重積分積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來表示比較方便且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量人7表達(dá)比較簡單這時我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來計算二重積分 收集整理，勿做商業(yè)用途njjf (x,y)d仃

13、=im遲 用丿旳按二重積分的定義 D'.下面我們來研究這個和的極限在極坐標(biāo)系中的形式以從極點0出發(fā)的一族射線及以極點為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域 區(qū)域 小閉區(qū)域的面積為資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途*弓(心2-1平心兮(2一 -?iPv-i4 在厶；:-i內(nèi)取點(：i，千)設(shè)其直角坐標(biāo)為(i. “ .則有 i =，i cosi i 二片 sin 耳nnlim ' f ( i, )=lim ' f (一 cosS,斤 sin") 用 口于是'Um11 f(x, y)d；：= f ('cost, 'sin 二) 即DD若積分區(qū)域D可表示

14、為W 1(6)蘭佞9 2(8) a如邙.fLcosrsi nr)d、d宀f (cosv,sin v)d則D討論如何確定積分限？I if(cost,sin v)ddvDfdTf®f(PcosT,Ps in G)PdPf( rcosisinREdrD2 二drE f c、cosn ?sinRTdr例5計算0蘭P魚.0蘭蟲2兀，11 e dxdy 二 e"v于是dd=譏計Pd日=家-討0Od日其中D是由中心在原點、半徑為 a的圓周所圍成的閉區(qū)域解在極坐標(biāo)系中 閉區(qū)域D可表示為冷（1心2）："二（1心2）注此處積分e fj D2 2I ie_y dxdy也常寫成X2于_a

15、22 2 2口e* t dxdy =兀(1e)鈕利用X2 y2左2計算廣義積分0 dx :QQQ設(shè) Dg(xy)|x y :-R x_0y_0.2 2 2 D2-(xy)|x y _2R x_0y_0.S=(xy)|0致樂.0馬歩.2 2顯然Di S D2由于 e T 0從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式為 因又應(yīng)用上面已得的結(jié)果有e$T2dxdy(1-e")丁4D2dxdy = 4(1_/R2)2 R 2"2于是上面的不等式可寫成(V ) :(0e dx)2 <-(VR )ef令R,上式兩端趨于同一極限4從而 0例6求球體x2 y2 z4a2被圓柱面x2 y2

16、ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解由對稱性立體體積為第一卦限部分的四倍，V2 x2 _y2dxdyD*其中d為半圓周y=2ax-x2及x軸所圍成的閉區(qū)域 在極坐標(biāo)系中d可表示為0<6 < 0_：_2a cos2 ,2acos-i于是V =4JJj4a2_P2 RR8 =4 02d8 £j4a2_P2PdPD= 32a2 2(i_sin) -32a2(-)3032 3.§9 3三重積分一、三重積分的概念定義設(shè)f(xyz)是空間有界閉區(qū)域 門上的有界函數(shù) 將門任意分成n個小閉區(qū)域LVi i.V2二 Vn其中.Wi表示第i個

17、小閉區(qū)域也表示它的體積在每個.:Vi上任取一點()作乘積n' f ( i , i, i'：Vif( i . i . ipvi(i =1 . 2 .n)并作和i詔如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值，趨于零時這和的極限總存在 則稱此極限為函數(shù)f(xyz)在閉區(qū)域門上的三重積分記作. . .f (x, y, z)dvQ即資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途n三重積分中的有關(guān)術(shù)語in f(x,y,z)dv = lim v f ( i, i, J." .' 0 i d積分號f(x y z)被積函數(shù)f(xyz)dv被積表達(dá)式dv體 積元素xy z積分變量.'.積分區(qū)域 資

18、料個人收集整理，勿做商業(yè)用途在直角坐標(biāo)系中 如果用平行于坐標(biāo)面的平面來劃分則厶xiyAzi因此也把體積元素記為dvdxdydz三重積分記作 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途 f (x, y, z)dw i n f(x, y,z)dxdydz QQnimfGi,7)Avi當(dāng)函數(shù)f (xyz)在閉區(qū)域上連續(xù)時 極限是存在的因此f(xyz)在門上的三重積分是存在的以后也總假定f(xy z)在閉區(qū)域門上是連續(xù)的.三重積分的性質(zhì)與二重積分類似，比如!cif(x,y,z)C2g(x, y,z)dv =0 ! f(x, y,z)dvC2 !g(x, y,z)dv QQQ. f(x,y,z)dv = . f(x

19、,y,z)dv . f(x, y,z)dv' 1-' 2T門h i dv =VQ其中V為區(qū)域0的體積,二、三重積分的計算1利用直角坐標(biāo)計算三重積分三重積分的計算三重積分也可化為三次積分來計算 設(shè)空間閉區(qū)域丨可表為zi(x y) <<Z2(x y) yi(x)乞y_y2(x) a _x Jbin f(x, y,z)dv 二QDZ2(x,y) z (x, y)f (x, y,z)dzdcby2(x) Z2(x,y)= JdxJ f(x,y,z)dzdyayi(x)z(x,y)by2(x)Z2(x,y)dx dy f (x, y,z)dzayi (x) ，z(x,y)by

20、2(x)z，(x, y)即打侮,八曲宀%(腫律紳)f(x,y,z)dz其中D : yi(x)馬蘭y2(x) a致切它是閉區(qū)域0在xOy面上的投影區(qū)域，提示：設(shè)空間閉區(qū)域I】可表為zi(x y) _z_z2(x y) yi(x) _y_y2(x) a _x_b!f(x,y,z)dv計算八.基本思想：對于平面區(qū)域D :yi(x)馬蘭y2(x) a致如內(nèi)任意一點(x y)將f(x y z)只看作z的函數(shù) 在區(qū)間zi(x.y).Z2(x y)上對z積分 得到一個二元函數(shù)F(x y)資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途Z2(x,y)F(x,y)f(x,y,z)dzzi(x,y)然后計算F(xy)在閉區(qū)域D上的

21、二重積分 這就完成了 f(x yz)在空間閉區(qū)域 門上的三重積分，z2(x,y)F(x,y)Z(x,y)DD(x,y,z)dzd 二b y2(x) Z2(x,y) adXyaxy)f(x,y,z)dzdyz2(x,y)MfgzgW)QDf (x,y,z)dzd 二b y2(x) Z2(x,y)= adxy1(x)z(x,y)f(x, y,z)dzdy,Z2(x,y) dyz(x,y)f (x, y, z)dz十Py2(x)Z2(x,y). f(x,y,z)d，adxyi (x)dyzi (x,y) f(X,y,z)dz 即門 其中D : yi(x)含蘭y2(x) a致蟲它是閉區(qū)域0在xOy面上

22、的投影區(qū)域i n xdxdydz例1計算三重積分。其中0為三個坐標(biāo)面及平面 xPy+z=1所圍成的閉區(qū)域10蘭 y 詁(1x)0空蘭 1=_2y.2. 0強M ,111_x_2yin xdxdydz = °dx°2 dy °xdz于是Q解作圖區(qū)域可表示為：11 了 (1x2y)dy°xdx1 1 2 3 1 = 4°(x-2x2 x3)dx 詁討論其它類型區(qū)域呢？有時我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分、再計算一個定積分設(shè)空間閉區(qū)域i.J(xy z)|(xy). DzC1殳_C2其中Dz是豎坐標(biāo)為z的平面截空間閉區(qū)域I】所得到的一個

23、 平面閉區(qū)域 貝U有資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途C2UJ f(x, y,z)dv=C dz"f (x, y,z)dxdyQ1Dz. Z2dxdydz丘工.云詁例2計算三重積分 0其中。是由橢球面a2 b2 c2所圍成的空間閉區(qū)域解空間區(qū)域門可表為：于是川 z2dxdydz = f z2dzjjdxdyQyDzz2dabc3151練習(xí)I 二 f (x,y,z)dxdydz1將三重積分 門化為三次積分其中(1) 1】是由曲面z=1-x2-y2z=0所圍成的閉區(qū)域.(2) 1】是雙曲拋物面xy=z及平面xy-1=Oz=0所圍成的閉區(qū)域，其中門是由曲面z=x22y2及z=2x2所圍成的閉區(qū)

24、域，I = . f(x, y,z)dxdydz2將三重積分 |化為先進行二重積分再進行定積分的形式其中'-1由曲面Z=1x2_y2z=0所圍成的閉區(qū)域 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途2利用柱面坐標(biāo)計算三重積分設(shè)M(xyz)為空間內(nèi)一點 并設(shè)點M在xOy面上的投影P的極坐標(biāo)為)則這樣的三個數(shù):、二、z就叫做點M的柱面坐標(biāo)這里規(guī)定幾=z的變化范圍為資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途0茁v ：. 0 2%：w<z< ：,坐標(biāo)面 0二-0點M的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系：x cos y = Qsin jXriCosTy-fSin Oz=z f -z柱面坐標(biāo)系中的體積元素dv=：ddpz簡

25、單來說 dxdy = ：d ：d v dxdydzxdy dz=Jdd Pz柱面坐標(biāo)系中的三重積分：I II f (x, y, z)dxdydz 二 f( "co's in yz)dd)dz QQi n zdxdydz例3利用柱面坐標(biāo)計算三重積分閉區(qū)域解閉區(qū)域門可表示為：斤立空.04立.0蘭日空工Q其中0是由曲面z/+y2與平面z=4所圍成的i n zdxdydz 二z?d?d 対z于是；'；1412兀 24d.zdzl o&o 珥16-W弓2二8詔-1先643利用球面坐標(biāo)計算三重積分設(shè)M(xyz)為空間內(nèi)一點 則點M也可用這樣三個有次序的數(shù)r、二來確定其中T

26、r為原點O與點M間的距離.:為OM與z軸正向所夾的角為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段 OP的角這里P為點M在xOy面上的投影 這樣的三個數(shù)r、叫做點 M的球面坐標(biāo) 這里r、：、潮變化范圍為 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途0芻鈕.0曲 兀.0蘭日空兀，坐標(biāo)面r=r° 1的意義：點M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系：”x = rsi n cosTy = rsin®sin 日x=rsin cosvy=rsin sin vz=rcosz _ r cos球面坐標(biāo)系中的體積元素dv=r2sin drd d.球面坐標(biāo)系中的三重積分：.1.1.1 f(x, y, z)dv 二 f (

27、r sin cosprsin sin -, r cos ：)r2sin drdQQ例4求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積解該立體所占區(qū)域 門可表示為：0臺仝acos申.0生®勿.0呦殳兀.于是所求立體的體積為V = dxdydz =r2sin drddrQot=2二 sin d :2' 2acos2=L d叫 d® 0r2sin®dr2acos :r2dr=16；a fcos3半 sin=43(1-cos4a)提示 球面的方程為x2y2(z_a)2=a2即x2 y2 z2 =2az在球面坐標(biāo)下 此球面的方程為2r -2arcos 即卩r

28、 2acos資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途§9,4重積分的應(yīng)用元素法的推廣：有許多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理這種元素法也可推廣到二重積分的應(yīng)用中如果所要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(就是說 當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時所求量U相應(yīng)地分成許多部分量且U等于部分量之和)并且在閉區(qū)域 D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域d；:時相應(yīng)的部分量可近似地表示為f(xy)d；二的形式 其中(x y)在d匚內(nèi)則稱f(xy)d；為所求量U的元素 記為dU以它為被積表達(dá)式 在閉區(qū)域D上積分 資料個人收集整理，勿 做商業(yè)用途U =f(x,y)d 匚D這就是所求量的積分表達(dá)式.一、曲面的面積設(shè)曲

29、面S由方程Z=f(xy)給出D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域 函數(shù)f(xy)在D上具有連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)fx(xy)和fy(x y)現(xiàn)求曲面的面積 A資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途在區(qū)域D內(nèi)任取一點P(x y)并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點P(xy)的小閉區(qū)域d二其面積也記為de . 在曲面S上點M(xyf(xy)處做曲面S的切平面T再做以小區(qū)域d二的邊界曲線為準(zhǔn)線、母線 平行于z軸的柱面 將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近 似值記為dA又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為貝U資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途dA二去J仔化y)對(兀y)d二這就是曲面S的面積元素.于是曲面S的面積為

30、A：上1 f?(x,y) f：(x,y)d 匚DA二.1 (:z)2 (:z)2dxdy或 D ；X 門設(shè)dA為曲面S上點M處的面積元素dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域 d- M在xOy面上的 投影為點P(xy)因為曲面上點 M處的法向量為 n=(fx.-fy. 1)所以資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途 dA=|n|d,1 f?(x,y) fy2(x,y)d-提示 dA 與 xOy 面的夾角為(n A k) dAcos(n A k)=d；.-4nk=|n|cos(n Ak)= . cos(n Ak)=|n| “討論 若曲面方程為x和(yz)或y=h(zx)則曲面的面積如何求？其中Dyz是曲面在y

31、Oz面上的投影區(qū)域 Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域 例1求半徑為R的球的表面積，解上半球面方程為z =、R2 -x2 -y2 x2 "乞r2 ,因為z對x和對y的偏導(dǎo)數(shù)在D x2 yR2上無界所以上半球面面積不能直接求出因此先求2 2 2在區(qū)域Di x y <a （a :R）上的部分球面面積然后取極限資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途x2 ya2R-RxCy2dxdyrdr、R2-r2=2二R（R-、R2-a2）lim 2nR（RJr2a2）=2?iR2于是上半球面面積為 a >R整個球面面積為 A=2AiPR2,提示：z Lxz Ly1 ,（二z）2 ,（： z）2 R

32、汶、R2-x2-y2'y 、. R2-x2-y2:x :y . R2_x2_y2 解球面的面積A為上半球面面積的兩倍 ，上半球面的方程為zR2-x2-y2而:z -x ；：z n汶、R2 -x2 -y2:y . R2 -x2 -y2所以A1（了倚2=2x2 y2 歩2R、R2d-y22兀Rdxdy=2R dd -:R2772 R= YtrJr2-P2 o =4兀R2例2設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星距地面的高度為h-36000km運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值（地球半徑R=6400km）資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解取地心為坐標(biāo)原點地心到

33、通訊衛(wèi)星中心的連線為z軸建立坐標(biāo)系，通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面匕是上半球面被半頂角為：的圓錐面所截得的部分三的方程為zR2 -x2 'V2 2 2.2 2z VR x v X 勺蟲 si nd.于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為Dxy 1其中Dxy=(xy)| x2 y%R2sin2是曲面在xOy面上的投影區(qū)域利用極坐標(biāo)得2 - Rsin -_R_、R2 - 詔Rsin。p2 d- =2：Rd 匸=2二R2(1_cos：)Jr2 - p2cosx由于R h代入上式得A=2：R2(1巳)=2：R2R十hR+h ,由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為A _ h 4R2 2(R h)36 1062(

34、36 6.4) 106:42.5%JI由以上結(jié)果可知衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積故使用三顆相隔 3角度的通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途、質(zhì)心設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域 D在點P(x y)處的面密度為：?(x y)假定叫x y)在D上連續(xù) 現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標(biāo)資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途在閉區(qū)域D上任取一點P(x y)及包含點P(x y)的一直徑很小的閉區(qū)域d；(其面積也記為d；).則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途dMx=y.(x y)d；dMy=x.'(x y)d 二平面薄片對x軸

35、和對y軸的力矩分別為Mx ：!y"(x, y)d 二 My： iix(x,y)d 二DD、 設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為 (又y)平面薄片的質(zhì)量為M則有x M =My y M =Mx于是“X巴人 y)db”y»(x,y)d<!M ii "(x,y)d二 M jj l(x,y)d DD> 在閉區(qū)域D上任取包含點 P(xy)小的閉區(qū)域d；(其面積也記為d；)則 平面薄片對x軸和對y軸的力矩元素分別為dMx=y)(xy)d；dMy=x*x y)d-.平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為Mx= y(x, y)d二 M y=x"(x,y)d二DD, 設(shè)平面薄片

36、的質(zhì)心坐標(biāo)為 (x, y)平面薄片的質(zhì)量為M則有x M 二My y M =Mx 于是口x%x,y)db”y4(x,y)dbx旦y = M± = DMJJA(x,y)dbMkL(x,y)d<rDD> 提示將P(xy)點處的面積元素d；r看成是包含點P的直徑得小的閉區(qū)域 D上任取一點P(xy). 及包含的一直徑很小的閉區(qū)域 de(其面積也記為dj則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考 慮大小)元素分別為資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途討論如果平面薄片是均勻的即面密度是常數(shù)則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)如何求？ 求平面圖形的形心公式為Il xd 二x二一ndaDyd-y二D毗D例3求

37、位于兩圓1-2si和Msin ：之間的均勻薄片的質(zhì)心解因為閉區(qū)域D對稱于y軸所以質(zhì)心C(x, y)必位于y軸上于是x =0 .iiyd；-2sin 対8v因為DDH4sin 日osin 陽 .2小'=7：0-2sin：ii22 -二 12 =3二Dyd-升Z/ 叱"3C(0,7)所以 D所求形心是 3 .類似地 占有空間閉區(qū)域 門、在點(xyz)處的密度為：(xyz)(假寬(xyz)在I】上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標(biāo)是資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途. x(x,y,z)dv y 二 Q. . . k(x,y,z)dv z 二訃. . .z(x,y,z)dv Q. M QM 二，(x

38、,y,z)dv其中 '1例4求均勻半球體的質(zhì)心解取半球體的對稱軸為z軸原點取在球心上 又設(shè)球半徑為a則半球體所占空間閉區(qū)可表示為2 2 2 2-=(xyz)| x y za z_0顯然質(zhì)心在z軸上故=0 .!：!：!：z'dvIiizdv- QQz -'! dv !dv _3a故質(zhì)心為(0,0,肓)0<<p <-提示: 0乞a.2 .0"：丁：2二，二 2_aN dv = fd® 0' d日0 r2si n®drQ 0002 - a*sin®d半 0 d日 0 r2dr2二 a32 二 a2Hzdvu 0

39、2 d® 0 d日 0rcos®r2sin®dr三、轉(zhuǎn)動慣量設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域 D在點P(x y)處的面密度為(x y)假定：-(x y)在D上連續(xù) 現(xiàn)在要求該薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途在閉區(qū)域D上任取一點P(x y)及包含點P(x y)的一直徑很小的閉區(qū)域d；(其面積也記為d；).則平面薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量的元素分別為資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途2 2dlxy(xy)d；dlyk J(xy)dc,整片平面薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為lx 二 y2(x,y)d；ly= x2(x,y)d二DD> "例5求半徑為a的均勻半圓薄片(面密度為常量 卩)對于其直徑邊的轉(zhuǎn)動慣量 解取坐標(biāo)系如圖 則薄片所占閉區(qū)域D可表示為2 2 2D =(xy)| x y <a y _0而所求轉(zhuǎn)動慣量即半圓薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量lx.Ix 二"y2d'=;?2