1、空間幾何體的表面積和體積公式匯總表正式版空間幾何體的表面積和體積公式匯總表1. 多面體的面積和體積公式2. 旋轉體的面積和體積公式Efe-21 rl3 r 1« GrhfJ】S瞌2ir(l+i)a ShJXJt七;dijrV和 Ji rdM rS 1t air幻工+盯"X r'衣申：2；分別袁五哥甌宵“表示斷It基直X詭尿叫底豐込1沖丹觸転云陽上、下jftBS半徑整豪杲爭徑.1、圓柱體:表面積:2 n Rr+2 n Rh體積:n R2h(R為圓柱體上下底圓半徑,h為圓柱體高)2、圓錐體:表面積:n R2+n R(h2+R2)的平方根體積:n R2h/3 (r為圓錐體

2、低圓半徑,h為其高，3、正方體a 邊長,S = 6a2 ,V = a34、長方體a長,b 寬,c 高 S = 2(ab+ac+bc) V = abc5、棱柱S底面積h 高V = Sh6、棱錐S底面積h 高V = Sh/37、棱臺S1 和 S2上、下底面積 h 高 V = hS1+S2+(S1S2)A1/2/38、擬柱體S1 上底面積,S2 下底面積,S0 中截面積h 高,V = h(S1+S2+4S0)/69、圓柱r 底半徑,h 咼,C 底面周長S底一底面積,S側一側面積,S表一表面積C = 2 n rS底=冗 r2,S 側=Ch ,S 表=Ch+2S底,V = S 底 h =n r2h10、

3、空心圓柱R外圓半徑，r 內圓半徑 h 高V =n h(RA2 -八2)11 、直圓錐r 底半徑 h 高 V =n rA2h/312、圓臺r 上底半徑，R 下底半徑，h 高V =n h(R2+ Rr +/313、球r 半徑 d 直徑 V = 4/3 n rA3 = n d八3/614、球缺h 球缺高,r 球半徑,a 球缺底半徑 V =n h(3a2+h2)/6 =n h2(3r -h)/315、球臺r1 和 r2 球臺上、下底半徑 h 高 V =n h3(r12 + r22)+h2/616、圓環體R-環體半徑D-環體直徑r -環體截面半徑d -環體截面直徑V= 2n 2Rr2 =n 2Dd2/4

4、17、桶狀體D桶腹直徑d 桶底直徑h 桶咼V=n h(2D2 + d2)/12 ,( 母線是圓弧形，圓心是桶的中心)V=n h(2D2+ Dd+ 3d2/4)/15 (母線是拋物線形)1. 直線在平面內的判定(1) 利用公理 1：一直線上不重合的兩點在平面內，則這條直線在平面內.(2) 若兩個平面互相垂直，則經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內，即若 a丄B ,A a, AB丄B，貝U ABa.(3) 過一點和一條已知直線垂直的所有直線，都在過此點而垂直于已知直線的平面內，即若Pa,A a,a _L b, Aa ,b 丄a,貝V a a.(4) 過平面外一點和該平面平行的

5、直線，都在過此點而與該平面平行的平面內，即若Pp,B/a, P a,a /a,貝V a B.(5) 如果一條直線與一個平面平行，那么過這個平面內一點與這條直線平行的直線必在這個 平面內，即若 a /a ,A a, A b,b / a,貝 U ba.2. 存在性和唯一性定理(1) 過直線外一點與這條直線平行的直線有且只有一條；(2) 過一點與已知平面垂直的直線有且只有一條；(3) 過平面外一點與這個平面平行的平面有且只有一個；(4) 與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；(5) 過一點與已知直線垂直的平面有且只有一個；(6) 過平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個；(7) 過兩條

6、異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個；(8) 過兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個.3. 射影及有關性質(1) 點在平面上的射影自一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影，點的射影 還是點 .(2) 直線在平面上的射影自直線上的兩個點向平面引垂線，過兩垂足的直線叫做直線在這平 面上的射影 .和射影面垂直的直線的射影是一個點；不與射影面垂直的直線的射影是一條直線.(3) 圖形在平面上的射影一個平面圖形上所有的點在一個平面上的射影的集合叫做這個平面 圖形在該平面上的射影 .當圖形所在平面與射影面垂直時，射影是一條線段；當圖形所在平面不與射影面垂直時，

7、射影仍是一個圖形 .(4) 射影的有關性質從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：(i) 射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；(ii) 相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；(iii) 垂線段比任何一條斜線段都短4. 空間中的各種角 等角定理及其推論 定理若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個角相等 . 推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角 ( 或直角 ) 相等 . 異面直線所成的角(1)定義：a、b是兩條異面直線，經過空間任意一點0,分別引直線a'/ a,b '/ b,則a'和b&#

8、39;所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.取值范圍：0°vBW 90°.(3) 求解方法 根據定義，通過平移，找到異面直線所成的角0; 解含有0的三角形，求出角 0的大小.5. 直線和平面所成的角(1) 定義和平面所成的角有三種：(i) 垂線 面所成的角 的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平 面所成的角 .(ii) 垂線與平面所成的角 直線垂直于平面,則它們所成的角是直角 .(iii) 一條直線和平面平行,或在平面內,則它們所成的角是 0°的角 .取值范圍0°<0< 90°(3) 求解方法 作出斜

9、線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角0. 解含 0 的三角形,求出其大小 . 最小角定理斜線和平面所成的角, 是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角,亦可說,斜線和平面所成的角不大于斜線與平面內任何直線所成的角.6. 二面角及二面角的平面角(1) 半平面 直線把平面分成兩個部分，每一部分都叫做半平面.(2) 二面角 條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角. 這條直線叫做二面角的棱，這兩個平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成 .若兩個平面相交，則以兩個平面的交線為棱形成四個二面角 .二面角的大小用它的平面角來度量，通常認為二面角的平面角0的取值范圍是0&

10、#176;<0< 180°(3) 二面角的平面角 以二面角棱上任意一點為端點，分別在兩個面內作垂直于棱的射線， 這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角 .如圖，/ PCD是二面角a -AB- 3的平面角平面角/ PCD的大小與頂點 C在棱AB上的位置無 關. 二面角的平面角具有下列性質：(i) 二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB丄平面PCD.(ii) 從二面角的平面角的一邊上任意一點 (異于角的頂點 )作另一面的垂線， 垂足必在平面角 的另一邊 ( 或其反向延長線 ) 上.(iii) 二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個面都垂直，即平面PCDLa，平面PCDL

11、3. 找(或作)二面角的平面角的主要方法(i) 定義法(ii) 垂面法(iii) 三垂線法(W)根據特殊圖形的性質(4) 求二面角大小的常見方法 先找(或作)出二面角的平面角0,再通過解三角形求得0的值 利用面積射影定理S' =S COS a其中S為二面角一個面內平面圖形的面積，S'是這個平面圖形在另一個面上的射影圖形的 面積，a為二面角的大小 利用異面直線上兩點間的距離公式求二面角的大小 .7. 空間的各種距離點到平面的距離（1）定義 面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距 離.（2）求點面距離常用的方法：1）直接利用定義求 找到 （或作出 ）

12、表示距離的線段； 抓住線段 （所求距離 ）所在三角形解之 .2）利用兩平面互相垂直的性質 . 即如果已知點在已知平面的垂面上，則已知點到兩平面交線 的距離就是所求的點面距離 .3）體積法其步驟是： 在平面內選取適當三點， 和已知點構成三棱錐； 求出此三棱錐的體 積V和所取三點構成三角形的面積 S;由V=Sh，求出h即為所求這種方法的優點是不 必作出垂線即可求點面距離 . 難點在于如何構造合適的三棱錐以便于計算 .4）轉化法將點到平面的距離轉化為（平行 ）直線與平面的距離來求 .8. 直線和平面的距離（1）定義一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平 面的距離 .

13、（2）求線面距離常用的方法 直接利用定義求證 （ 或連或作 ）某線段為距離，然后通過解三角形計算之 . 將線面距離轉化為點面距離，然后運用解三角形或體積法求解之 作輔助垂直平面，把求線面距離轉化為求點線距離9. 平行平面的距離（1） 定義 個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂線 . 公垂線夾在兩個平行 平面間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段 . 兩個平行平面的公垂線段的長度叫做這兩 個平行平面的距離 .（2） 求平行平面距離常用的方法直接利用定義求證（ 或連或作 ）某線段為距離，然后通過解三角形計算之 .把面面平行距離轉化為線面平行距離， 再轉化為線線平行距離， 最后轉化為點

14、線 （面） 距離， 通過解三角形或體積法求解之 .10. 異面直線的距離（1） 定義 條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線 . 兩條異面直線的公垂線 在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離 .任何兩條確定的異面直線都存在唯一的公垂線段 .（2） 求兩條異面直線的距離常用的方法定義法 題目所給的條件，找出 （或作出 ） 兩條異面直線的公垂線段，再根據有關定理、性 質求出公垂線段的長 .此法一般多用于兩異面直線互相垂直的情形 .轉化法 為以下兩種形式：線面距離面面距離 等體積法最值法射影法公式法公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線上的所有的點都在這

15、個平面內.公理 2：如果兩個平面有一個公共點 ,那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.公理 3： 過不在同一條直線上的三個點, 有且只有一個平面 .推論 1: 經過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面 .推論 2：經過兩條相交直線 ,有且只有一個平面 .推論 3：經過兩條平行直線 ,有且只有一個平面 .公理 4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 . 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同,那么這兩個角相等 .空間兩直線的位置關系：空間兩條直線只有三種位置關系：平行、相交、異面1、按是否共面可分為兩類：（1）共面： 平行、 相交（2）異面： 異面直線的定義：

16、不同在任何一個平面內的兩條直線或既不平行也不相交 . 異面直線判定定理：用平面內一點與平面外一點的直線,與平面內不經過該點的直線是異面直線.兩異面直線所成的角：范圍為 （0 ；90 ° esp.空間向量法兩異面直線間距離：公垂線段（有且只有一條）esp空間向量法2、若從有無公共點的角度看可分為兩類：（1）有且僅有一個公共點 相交直線；（2）沒有公共點 平行或異面 直線和平面的位置關系： 直線和平面只有三種位置關系：在平面內、與平面相交、與平面平行 直線在平面內 有無數個公共點直線和平面相交 有且只有一個公共點 直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角 .es

17、p.空間向量法（找平面的法向量）規定：a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內，所成的角為0。角 由此得直線和平面所成角的取值范圍為0°,90°最小角定理：斜線與平面所成的角是斜線與該平面內任一條直線所成角中的最小角 三垂線定理及逆定理 : 如果平面內的一條直線 ，與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直esp.直線和平面垂直直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面 內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面 互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面 叫做直線a的垂面.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交

18、直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面 .直線與平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行 .直線和平面平行 沒有公共點直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行.直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行 .直線和平面平行的性質定理： 如果一條直線和一個平面平行 ，經過這條直線的平面和這個平面相交 ，那么這條 直線和交線平行 .兩個平面的位置關系：（1）兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點（2）兩個平面的位置關系：兩個平面平行 沒有公共點； 兩個平面相交

19、有一條公共直線 .a平行 兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 .兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行 .b、相交二面角（1） 半平面：平面內的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面 .（2） 二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.二面角的取值范圍為 0。，180。（3） 二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱.（4） 二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面.（5） 二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一點為端點 ，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射 線所成

20、的角叫做二面角的平面角 .（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角.esp. 兩平面垂直兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.記為丄 兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直兩個平面垂直的性質定理： 如果兩個平面互相垂直 ，那么在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面 .Attention ：二面角求法：直接法（作出平面角） 、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求 出的角與所需要求的角之間的等補關系）2（c上底c下底）hi2（C上底 C下底）1S全 S上 Sy S下1V柱 3

21、S h空間幾何體的表面積與體積公式大全全（表）面積（含側面積）1、柱體 棱柱a S側chS全2S底S側 圓柱J2、錐體 棱錐：s棱錐側*c底h 圓錐：S圓錐側托底l3、臺體 棱口： s棱臺側 圓臺：s棱臺側4、球體 球：S球4 r2 球冠：略 球缺：略二、體積1、柱體 棱柱 卜V柱Sh 圓柱2、錐體 棱錐 圓錐3、臺體1 棱臺,V臺加（S上Js上S下 S下） 圓臺* v圓臺3 h （r上Vr上r下r下）34、球體 球：V球球冠：略說明：棱錐、棱臺計算側面積時使用側面的斜高h計算；而圓錐、圓臺的 球缺：略側面積計算時使用母線|計算 三、拓展提高1、祖暅原理：（祖暅：祖沖之的兒子）夾在兩個平行平面

22、間的兩個幾何體，如果它們在任意高度上的平行截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等。最早推導出球體體積的祖沖之父子便是運用這個原理實現的2、阿基米德原理：（圓柱容球）圓柱容球原理：在一個高和底面直徑都是2r的圓柱形容器內裝一個最大的 球體，則該球體的全面積等于圓柱的側面積，體積等于圓柱體積的-。3分析：圓柱體積：V圓柱 S h （ r2）2r 2 r3 圓柱側面積：S圓柱側ch （2 r） 2r 4 f因此：球體體積：v球2 2 r3 4 r333球體表面積：S球4 r2即底面直徑和高相等的圓柱體積等于與它等底等高的圓錐與同直徑的球體積之和3、臺體體積公式公式： V臺 2h（S上 7s上S下

23、 S下）證明：如圖過臺體的上下兩底面中心連線的縱切面為梯形ABCD延長兩側棱相交于一點P。設臺體上底面積為s上，下底面積為S下 高為h。易知： PDC s PAB，設 PE hi，則 PF hi h由相似三角形的性質得:CD PEAB PF4、即：寶（相似比等于面積比的算術平方根）JS下 hi h整理得：hiS上h<S下 VS上又因為臺體的體積二大錐體體積一小錐體體積1 1 13St（hi h）3S上hi §hi（S下 S上）<S上 hhi代入:即：V臺S下S上得：V臺上h（ S下S上）i_S上 h3Si3S下hi押下hiS ® S上)3 S下 h3 h（S上S

24、上 S下 S下）二 V臺 3h（S上S上 St St）球體體積公式推導分析：將半球平行分成相同高度的若干層（n層），越大，每一層越近似于圓柱，n 時，每一層都可以看作是每個圓柱的體積Vi S h =計半球的體積等于這些圓柱的體積之和2ri2(-r) n2(r) n2(-r) nr2ir2i2i2(0)n2(1)n2(-)n個圓柱。這些圓柱的高為-，貝心2 2rn r(口r)n半球體積為：v20 1n 1 ()()n2 2 20 1 2nr3n3nrn6(n半球3r 1(1時,n(n 1)1)n (2n 1) n(2丄)3r 1丄）（2 n6二球體積為：v球4 r3球體表面積公式推導(15、分析

25、：球體可以切割成若干（22;(r1 r22(5n(n 1)(2n 1)26nr3(1n個）2n)晉）近似棱錐，當n時，這些棱錐的高為球體半徑，底面積為球面面積的-，則每一個棱錐的體積V1 1 -s球 r，nv 3 n 7|則所有的小棱錐體積之和為球體體積。即有:6、 正六面體（正方體）與正四面體143（1）體積關系如圖：正方體切下四個三棱錐后,剩下的部分為正四面體 設正方體棱長為a ,則其體積為：v正方體a3四個角上切下的每一個三棱錐體積為:111213V三棱錐 3S h 3 (2a ) a 6a中間剩下的正四面體的體積為：1 V正三棱錐3 S h1 £( 2a)2 血602、2a3

26、21 33a這樣一個正方體可以分成四個三棱錐與中間一個正四面體即:打4打3 a36a3a a(2)外接球正方體與其體內最大的正四面體有相同的外接球。(理由：過不共面的四點確定一個球。)正方體與其體內最大的正面體有四個公共頂點。所以它們共球。回顧：兩點定線三點定面三點定圓四點定球如圖：(a) 正方體的體對角線二球直徑(b) 正四面體的外接球半徑=3高4(C)正四面體的棱長二正方體棱長(d) 正方體體積：正四面體體積=3: 1(e) 正方體外接球半徑與正四面體外接球半徑相等(3)正方體的內切球與正四面體的關系(b) 正方體內切球與正四面體的四條棱相切。(c) 與正四面體四條棱相切的球半徑 二正方體

27、棱長的一半(d) 設正四面體棱長為a，則與其棱都相切的球半徑為i a 2有：ri 22 Ta7、利用祖暅原理推導球體體積。構造一個幾何體，使其截面與半球截面處處相等，根據祖暅原理可得兩物體體積相等。證明：作如下構造：在底面半徑和高都是的圓柱內挖去一個與圓柱等底等高的圓錐。如圖：r錐ir球i在半球和挖去圓錐后的組合體的相同截面上作研究，設圓柱和半球底面半 徑均為R，截面高度均為h，倒圓錐的截面半徑為r衛，半球截面半徑為則：挖去圓錐后的組合體的截面為： s R2錐1半球截面面積為：2S2r 球 iT倒圓錐的底面半徑與高相等，由相似三角形易得：r衛h在半球內，由勾股定理易得：r球i R2 h22 2

28、 2 2- Si R h S2R h即：Si S，也就是說：半球與挖去倒圓錐后有圓柱在相同的高度上有相同的截面。由祖暅原理可得：V"! V2所以半球體積：V* Sh半球即，球體體積：V球2 2】Sh33R-Sh343233R正方體與球8正方體的棱長3136 a球體的直徑d球體的直徑d33T a(3)規律: 正方體的內切球與外接球的球心為同一點； 正方體的內切球與外接球的球心在體對角線上; 正四面體的內切球與外接球的的半徑之比為：1： . 3 正四面體內切球與外接球體積之比為：1： 3 正四面體內切球與外接球表面積之比為：1： 3 正方體外接球半徑、正方體棱長、內切球半徑比為：:2 :

29、 正四面體外接球、正四面體、內切球體積比為：3.3 :6: 正四面體外接球、正四面體、內切球表面積比為：3 :6:(1)正四面體的內切球9、正四面體與球解題關鍵：利用體積關系思考內切球的球心到各個面的距離相等，球心與各頂點的連線恰好把一個正四面體分成四個三棱錐，每個三棱錐的底面為原正四面體的底面，高為內切球的半徑r利用體積關系得： 4 (1 a'si n60 r) 1 (-si n 60 ) h 3232所以：r h，其中h為正四面體的高。由相關計算得：h2【31（2aTa612 a即：V球434633 （存） 63216 a1 1 2 . 晶 V正四面體 32a sin60 亍a：.

30、? 2 312 aV正四機體V 球18: 3(2)正四面體的外接球 外接球的半徑=3高3*&1亠 1丄AV四面廬1 3 J2a6、 23在a03£6a) T6Ta44.i63 < 2 3 3 /32V球:V正四面體a - 2 a3 3 : 2(3)規律:正四面體的內切球與外接球的球心為同一點;正四面體的內切球與外接球的球心在高線上; 正四面體的內切球與外接球的的半徑之和等于高； 正四面體的內切球與外接球的半徑之比等于 1: 3 正四面體內切球與外接球體積之比為：1: 27 正四面體內切球與外接球表面積之比為：1: 9 正四面體外接球半徑、正四面體棱長、內切球半徑比為：3

31、、. 6:12 : 正四面體外接球、正四面體、內切球體積比為：27. 3 :18: .3 正四面體外接球、正四面體、內切球表面積比為：9 :6、2:10、 圓柱與球(1)圓柱容球(阿基米德圓柱容球模型)圓柱高二底面直徑二球的直徑球體體積=2圓柱體積3球面面積二圓柱側面積球體直徑、圓柱的高、圓柱底面直徑構成直角三角形。設球體半徑為R，圓柱高為h ,底面半徑為r即：R兀空 四、方法總結 下面舉例說明立體幾何的學習方法例：已知正四面體的棱長為 a，求它的內切球和外接球的半徑思路：先分析球心的位置。因為正四面體是特殊的四面體，顯然內切球與 外接球的球心是重合的。且是正四面體的高線交點。再分析球心與一些

32、特 殊的點、線、面的位置、數量關系。在內切球這種情況下，球心垂直于每 一個面，且到每一個面的距離相等；在外接球這種情況下，球心到每個頂點的距離相等。A方法1展平分析：（最重要的方法）如圖：取立體圖形中的關鍵平面圖形進行分析!連接DO并延長交平面ABC于點G,連接Gq1在平面AED中,由相似知識可得：EOi eg iO1D GA 2二 go/ad 且GOiADi3 GOo1DOA OOi 1AO33即：AOA°134 h3 6. 6a4 34連接D°i并延長交BC于點E,則A1 ii V6<6O1OAO1ha a141 44 31243J63V外接球3DO8a43<

33、;63V內切球3OOi216a方法2:體積分析：（最靈活的方法） 如圖：設正四面體ABCD勺內切球球心為，連接AO BO CO DO則正四面體被分成四個完全一樣的三棱錐設內切球半徑為r，正四面體的棱長為則正面四體的高為:則：4個完全一樣的三棱錐體積二正四面體體積有：4 I1 （'sin60 ）32r1 1 23（?asin60）,6 a3. v'6r a12、.6216V外接球（h3r）'.63T a方法3:方程分析：（最常見的做法）如圖：顯然AO DO是外接球半徑，OQ1是內切球半徑。在Rt DCO1中，由勾股寫得可得以下方程:2DO2OOi2DO2i其中：DOiAB

34、CDdOiDO D°1 A°1代入方程解得:DO6Ta、OO1.6a14V外接球33DO4V內切球33OOi 63216 a方法4:補形分析（最巧妙的思考）V內切球把正四面體補成正方體進行分析。如圖:此時，正四面體與正方體有共同的外接球。正四面體的棱長為，則正方體棱長為：；正方體的外接球直徑為其體對角線正四面體的外接球半徑為:內切球半徑為:1 .6a3124V外接球34V內切球33_6_r 216方法5:坐標分析(最意外的解法)建立如圖所示的空間直角坐標系:則 A(0，0，対)，B(0，3，0)，C (1a，乎a，0)，D (612a，0)，設球心位置為0(,)由 |0A

35、| |0B| |0C| |0D |R 得:2OA2OB2OC2OD即：x22y (z2x (ya)(X21 a) 2=(x la2解得：X(ya)、6z a，即:6 . 6 a a12.6a4V外接球43 V63V內切球 3 r 216 a主要方法：、 統一思想1、公式的統一對于每個幾何形體的面積與體積公式，我們很想找出一個萬能公式全部適用于所有形體，但是這只是一個理想狀況，實際上不可 能，最多只可能適用于一部分而已。即使是這樣，也只減小我們對 公式的記憶難度，增強學習的靈活性。（1）梯形的面積公式：S 1（a b）h，同樣適用于三角形、平行四2邊形、長方形、正方形、扇形的面積計算。只是在使用

36、時作微 調而已。在分析三角形時，上底變為0;分析長方形、正方形、 平行四邊形時，上下底變成一樣；在分析扇形時，上底變為0, 下底變成弧長，高為半徑。（2） 臺體的側面積公式：s側1（c c）h，同樣適用于圓柱、棱柱、 圓錐、棱錐、球的側面積計算。只是在使用時作微調而已。在 分析圓柱、棱柱時，上下底周長變成一樣；在分析棱錐時，上 底周長變為0;在分析圓錐時，上底周長變為 0,斜高變成母 線；在分析球體的面積時，上下底都取最大圓的周長，高取直徑，即：S球 1（2 r 2 r）2r 4 J（3） 臺體的體積公式：V |（s± s±s下ST）h，同樣適用于圓 柱、棱柱、圓錐、棱錐、

37、球的體積計算。只是在使用時作微調 而已。在分析圓柱、棱柱時，上下底面積變成一樣；在分析棱 錐時，上底面積變為0;在分析圓錐時，上底面積變為 0;在 分析球體的體積時，上底面積取0,下底取最大圓面積的2倍, 高取直徑，即：S球1（2 r2）2r弓r3332、字母的統一在進行分析時，一般要把字母統一，這樣便于進行比較！3、關系的統一一注意相似的關系：面積比等于相似比的平方，體積比等于相似比的立方。球體、正方體、正多面體相似！二、轉換思想1、平面與立體的轉換這是立體幾何的一種重要思想，即把立體的問題交給平面來解 決。但是要在特殊的面中進行，有時還要把面與面的關系交給 線與線來分析。如二面角的大小研究

38、，通常會作垂直于兩面的 交線的直線來分析。異面直線的有關系也要平移到同一面中研 究。在立體與平面的轉換中平移是一種很實用的手段。通過平 移不在同一平面內的可轉換為同一平面內，不垂直的可轉換為垂直來分析！2、位置的轉換3、形體的轉換三、特殊思想1、 特殊點（1）中點：特殊的線的中點是解題的鑰匙！特別要關注！ （2）頂點：幾何體的頂點也是重要的點，其連線在分析時很有作用。3）垂足：高與面交點是比較特殊的點，解題時也要注意！2、特殊線3、（1）高線（2）中線（3）角平分線特殊面4、（1）平行的面（ 2）垂直的面（ 3）二面角特殊的面特殊關系四、（ 1）相似關系（ 2）比值關系標準化思想1、三視圖的規

39、則2、斜二測畫法的規則3、空間直角坐標規則空間幾何體的表面積和體積公式匯總表1.多面體的面積和體積公式側麗積佃二)全面積侶全)體租(V)棱柱直載面周長乂1S -2S 竈S韋 h二S直祓直 h直棧柱ch.S h棱錐棱維各側面積之和S -S eIs t - h3丄血?臺棱臺各側而面積之和S尹S字亠5七,-h (S 土臨+S下礦3Js代占嘗)正植臺丄(c+cf )'hf表中S護示面祝，u分別表示上、T底面周怡h表斜高，f表示斜高，】表示側棱長-2.旋轉體的面積和體積公式圓柱圓錐圓臺球Sj.2lCrLJrlH (r：+rjls會2xr(14j)iidM% tr：-hfjl+l (r;.+r)V

40、砂啄nd)1 .一 nrlh3扌 H h(十:七3裘中h h分別表示母縝高'r裘示團柱、團錐2球冠的底半徑 m童分別喪示Hl舍上、下底面半徑！ R表嚇半徑.3.( 1)圓柱的側面展開圖是一個，設底面半徑為r，母線長為，那么圓柱的底面積，側面積S側，表面積=(3)圓錐的側面展開圖是一個， 設圓錐的底面半徑為，母線長為，那么它的底面積S底，側面積S側 表面積=(4)圓臺的側面展開圖是一個，設上、下底面圓半徑分別為、，母線長為，那么上底面面積S上底 ，下底面面積s下底那么表面。4、正四面體的結論：設正四面體的棱長為，則這個正四面體的12A.B. 12C. 12D. 1423一個圓錐的展開圖如

41、圖所示，其中扇形的圓心角為1200，已知底面圓的半徑為1,求該圓錐的體積。4.已知棱長為，各面均為等邊三角形的四面體S ABC，求它的表面積。5圓柱的側面展開圖是長、寬分別為6和的矩形，求圓柱的體積。Z6Z6（4）對棱互相垂直。（5）外接球半徑:R= 4 ；（6）內切球半徑；r= 125、正方體與球的特殊位置結論；（1）全面積S全=;（2）體積3 a;（3）對棱中點連線段的長空間幾何體練習題1已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為和，則：是（）A. 1： 3B. 1: 1C. 2： 1D. 3： 12個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側面積的比是（）6若圓臺的上下底面半徑分別為1和3，它的側面積是兩底面面積和的2倍，則圓臺的母線長是（）A. 2 B. 2.5 C. 5 D. 107圓柱的側面展開圖是長為12cm，寬8cm的矩形，則這個圓柱的體積為（）人 2883 D 1923 廠 2883 十 19233A. cm B. cmC. cm 或cm D. 192 cm8個圓柱的底面面積是S，側面展開圖是正方形，那么該圓柱的側面積為（）A. 4B. 2 SC.D.考點29空間幾何體的表面積與體積鎚知識整合、柱體、錐體、臺體的表面積1 .旋轉體的表面積圓柱（底面半徑為r,母線長為1）圓錐（底面半徑為母線長為1）r,圓