1、空間解析幾何與向量代數一、向量代數(i) 有關空間直角坐標系下點坐標的問題。1. ( 4)在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪個卦限？(A)(2,- 3,4)(B)(2,3,- 4)(C)(2,- 3, - 4)(D) (一 2, - 3,4)解：(A )W(B )V( C )W( D )m32. (6 )若 A(11, 3), B(1,3, 0)，則 AB 中點坐標為(1,1, ) , | AB |= 5.2 3. (7 )求(a,b,c)點關于(1)各坐標面(2)各坐標軸(3)坐標原點的對稱點坐標。解：(1) xoy-(a,b,-c), yoz(-a, b,c), xoz-(a,b,c)(

2、2) x /a, -b, -c), y (a,b, c), z ( a, -b, c) (3) o(0,0,0) -(-a,-b,-c)4. (4)若點M的坐標為(x, y,z)，則向徑OM用坐標可表示為(x, y, z)或lx, y, z?.5. ( 8)一邊長為a的立方體放置在xoy面上，其下底面的中心在坐標原點，底面的頂點在 x軸和y軸上，求它各頂點的坐標。解: ( a,0,0), (0, a,0), (- a,0, a), (0, a, a)2 2 2 26. ( 7)已知 A(-1,2,-4) , B(6,-2, t)，且 | AB 卜 9，求(1) t; (2)線段 AB 的中點坐

3、 標。55解: (10或-8,(2)( ,0,-2)或(，0,-6)22(ii) 有關向量概念及向量線性運算的坐標表示。7. ( 8)設已知兩點MM4八2,1)和M2(3, 0,2)，計算M1M2的模、方向余弦、方向角及 單位向量。1 212 兀解: (1 )模 2, ( 2) (，-Q,：2 223& (6 )若：,:,為向量 a 的方向角，貝V cos2 ?cos2 :cos2 二 _2 2 2sin “：亠 sin , ； sin 2 9. (6 )設 m (3,5, 8) , n (2,_4,_7)和 p =(5,1,_4)，求向量 a =4m - 3n p 在 x 軸 上的投

4、影及在y軸上的分向量。彳 - - -解：(1) 13,( 2) 7j ( a =4m 3n 一 p 二4(3,5,8) 3(2,一4,一7) 一(5,1,-4)= (13,7,15)10. (6 )已知點P的向徑0P為單位向量，且與z軸的夾角為，另外兩個方向角相等，6求點P的坐標。解:11.(6 )已知向量a與各坐標軸成相等的銳角,| a |=2.3，求a的坐標。解:因為 3cos2 ：=1= cos 3，所以3ax=a cos二=2 33 = 23同理ay =az=2，故 a =(2,2,2)(iii) 向量的數量積與向量積及其坐標運算。12. (4 )下列關系式錯誤的是 (D )>K

5、.MMM_|K*M2 2(A) a b = b a (B) a b - -b a (C) a =| a |(D) a a = 013. (7 )設 a (3,-1,2), b =(1,2,-1)，求 a b 與 a b.解: a b = -1, a b -3,5,7：14. (7 )設 a =(2,-3, 2), b = (-1,1, 2), c =(1,0,3)，求(a b) c.2-3 2解: (<b) c = -112 = 111 03(iv) 用向量的坐標來判斷向量間的特殊位置關系，會求一向量在另一向量上的投影。4 b4, a15確定下列各組向量間的位置關系：(1) (4 ) a

6、 =(1,12)與 b = (-2,-2,4)(2) (4 ) a = (2, -3,1)與 b = (4,2,-2)a_b16. (7 )求向量a =(4,-3,4)在向量b =(2,2,1)上的投影。解: prjba =cos(a, b) = aa b=?PHb|(v)用向量積來計算有關平行四邊形和三角形的面積問題。17. (7 )已知：OA=i 3k , OB = j 3k，求 OAB 的面積。解:s也=OA漢OB =心218. (7) lABC三頂點在平面直角坐標系中的坐標分別為A(X1, yj, B(X2, y2),C(X3, y3),. ABC的面積?12X1y11解：S也BC X

7、2y21X3y31則如何用向量積的方法來求出19. ( 7 )試找出一個與=(1,2,1),b =(0,1,1)同時垂直的向量。(1,-1,1)川、綜合應用題型：(i) 涉及到代數向量(即用坐標表達式表示的具體向量)的綜合計算問題。20.( 10 )已知三點 M1(2,2,1),M 2(1,1,1),M3(2,1,2)，( 1 )求.M1M2M3 ；(2)求與MjMzMqMb同時垂直的單位向量。解：(1)M2M1 =(1,1,0) M2M3 =(1,0,1), cos(M2M1,M2M312故 M1M2M3 3(2)(M1M2 m 2m3)m1m2 m2m321. (8 )已知 A(1,0,0

8、), B(0,2,1),試在z軸上求一點C ,使厶ABC的面積最小。1解：設 C(0,0,z), A2(5z2 -2z 5) = z4二、平面方程(i) 三點式平面方程的求法，根據一般式方程指出平面的特殊位置。26. (7 )求過三點 M1 (2, T,4), M 2( T,3,-2), M 3(0,2,3)的平面方程。若A(xi, %,乙)，B(X2, y2乙),C(X3, y, Z3)不共線，你能給出過此三點的平面方程嗎?解：因為平面的法向量為-3-2k一 6 =(14,9,一1)-1故 14(x -0)9( y-2) -z(z-3) = 0.14x 9y -z -15 = 0x -x1y

9、 y1-z1x2 -禺 y2 - y1 z2 7 = 0 X3 花 y3% Z3乙27. 指出下列平面方程的位置特點，并作示意圖：(3) (5 ) x2y 3z8 二 0.(1) (5 ) y -3 =0 ；(2) (5) 3y 2z = 0 ； 解：(1)過點(0,3,0)且平行于坐標面 xoz的平面。(2) 過x軸且垂直于坐標面 yoz的平面。(3) 截距分別為8,-4,8的平面。3(ii) 二平面垂直與平行的判定。28. 判定下列兩平面之間的位置關系：(1) (4 ) x 2y4z=0 與 2x 4y8z=1.(2) (4 ) 2xy 3z =1 與 3x2z = 4.解 (1)平行；(

10、2)垂直(iii) 二平面夾角的計算(夾角規定為 0,)。229. (4 )求兩平面 x-y，2z-6=0 和 2x，y，z-5 = 0 的夾角。解:cos1 2 (-1)1 2 1<6 <61 . :2，故匕(iv)點到平面距離的計算。30. (4 )點(1,2,3)到平面 3x 412z 10 的距離 d3 + 8-36+12,3242122存131. (7 )求 Ax By Cz Di =0與 Ax By Cz D2 = 0之間的距離。解:在Ax By Cz D 0上取一點D1(0,0,- C)，D1D2 - Dj.A2 B2 C20 + 0 - C + D2由點到平面的距離

11、公式得CA2 B2 C2(v) 用點法式方程建立與已知平面有關的未知平面方程.32.求滿足下列條件的平面方程：(1) (7)平行 y 軸，且過點 p(1,-5,1)和 Q(3,2,-1).解：設所求平面為 Ax Cz D = 0，將P,Q代入得A = _D ,C = - D2 2故所求平面為 x z - 2 = 0(2) (7)過點(1,2,3)且平行于平面2x y 2z 0.解： 2(x -1) (y -2)2(z-3) = 0 ,即 2x y 2z -10 = 0(3) (7)過點 M ,1,1,1)和 M2(0,1,-1)且垂直于平面 x y 0.解：所求平面為 Ax By Cz0，于是

12、有A B 0A B C D=0 , B-C D=0解得 D =0 B = C A = -2B , - 2Bx By Bz = 0即 2x -y -z = 0三、直線方程(i)兩點式直線方程的計算。33. (4)過點皿1(為，,乙)，皿2區2,乙2)的直線方程為X - Xr y - 力 z - 乙X2 - X1y2 - y1Z2 - 乙(ii) 一般式方程轉化為對稱式方程。34. ( 7 )用對稱式方程及參數式方程表示直線x + y + z + 1 = 0,、2x _ y + 3z + 4 = 0.1 j解：s = 112 -1k51 =(4,一1,一3)，取 x=0,y=1 得 z = 43故

13、直線的對稱式方程為z + _X y T _4413直線參數式方程為x =4ty - -t15z = -3t4（iii）兩直平行或垂直的判定。35.判別下列各直線之間的位置關系:(1) (4 ) L1 : -x 1 -2x =12t,與 L2 > y =2 +t, z = 3.解：=(-1,2,3),S2二(2,1,0),S)s2 = 0所以 J _ L2(2) (4) L1 : X 二'2x + y _1 =0, 3x + z2 =0.解: s =(-1,2,3) , S2 二=(1,-2,-3) 一(-1,2,3)所以L,II L2（iv）點到直線距離的計算.x 136- (7

14、)求原點到T=y-2口的距離。2X 1解：方法（1 ）化鼻=y 一2 =2 2x = 2t 1z - 3為參數方程y = t 2z = 2t 3點（0, 0, 0）到直線上任意點的距離為（參數為t的點）d(t)二(2t 1)2 (t 2)2(2t3)2二 9t220t 149(t214-10014-10°=(t993方法（2）過點（0, 0, 0）與且直線垂直的平面方程為2(x -0) (y -0)2(z -0) =0109x = 2t 1將直線L化為參數式方程為y = t九2代入直線L的垂面方程，得z = 2t 311 8 7所以(0, 0, 0)在直線L上的垂足為(，一)9 9

15、9所求距離為91)2(9)2(9)21；四、平面與直線綜合題(i)直線與平面的交點計算。z 4.38. (5 )求直線x - 2二y - 3與平面2x y z - 6 = 0的交點。2z 4 解：(1 )令 x -2 二 y -3t2代入平面得 2(t2) (t 3)(2t4) - 6 = 0 , t = -1所求交點為(1,2,2)(ii)已知點在已知平面的投影計算。39. (7 )求點M (5,0,-3)在平面二：x y - 2z T = 0上的投影。解：過M (5,0, -3)且與二:x y - 2z T = 0垂直的直線方程為x -5 y z 3t1 1 -2代入得 t 5 t - 2

16、( -2t - 3)1 = 0= t = -2 x =3,y = -2,z =1 ,故在平面二：x y -2z 1 = 0上的投影為(3,-2,1)(iii) 直線與平面特殊位置關系的判定。X 1 V 十1z+1l l40. (4 )設 L :與二：2x 2y i"2z = 2，則(C )-421-1(A) L_二 (B) L 二，L 二一 (C) L 二二L( D) L 與二夾角為一4(i)涉及線面關系的綜合計算。2x 2y +4z 7 = 0,41. (7 )求過點(2,0,-3)且與直線丿垂直的平面萬程。_3x +5y -2z +1 = 0.i j k解：？ = 224 =_1

17、6(1,_1,_1)3 52所求平面方程為(x _2) _(y 一0) _(z 3) = 0即 x-y-z-5 = 042.(7 )求過點(0,2,4)且與兩平面x 21和y -3z =2平行的直線方程。解:直線的方向向量為 s = (-2,3,1)43.解:故所直線方程為_23(7 )求過點M (3,1,-2)且通過在直線口心z -4口二口二的平面方程。1z 上取一點 P(4,-3,0)2 1MP=(1,4,2), n =(1-4,2) (5,2,1) =j-4= (-8,9,22)所求平面方程為 -8(x -3) 9(1)22(z20即 8x -9y -22z -59 =044.(7 )已

18、知直線y 2 z 3L1 : x -1，直線 L2 : 2y 一1-1，求過L1且平1行L2的平面方程。解：n =皐1,-3,心在L1上任取一點(1,2,3),故所求平面方程為(x -1) 3(y -2) (z 3) = 0 即 x _3y z 2 = 0(i)已知點在已知直線上的投影問題。X 1 y z + 145. (7 )求點M(4,1,-6)關于直線L :的對稱點。2 3-1x = 2t +1X _1yZ + 1解：直線L:的參數方程為y = 3t .(*)2 3-1|z = -t -1過點M(4,1,-6)與且直線L :垂直的平面方程為2(x - 4) 3( y -1) 一 (z 6

19、) = 0.(*)將(*)代入(*)2(2t1 -4)3(3t -1) -(-t -1 6) =0= t = 1 + 42由山2即得垂足為M0（3,3-2）,=3| x = 2 =3 得 y = 5I z = 2-2（ii）已知直線在已知平面上投影直線方程的計算。x+v_z_1=046. （7 ）求直線丿'在平面x + y+z = 0上的投影直線方程、x_ y +z +1 =0.x + y _z_1 =0,解：過直線.X y + z1-。.的平面束方程為x y -z -1 丁 畝x - y z 1） = 0即（1 "） x （1 -，） y （， -1） z ， -1=0由（

20、1'） 1（1 一，） 1 （ 一1） 1=0得y _ z_ 1 = 0,x y z 二 0.'x + y - z T = 0,故直線.x-y+z+1=0.在平面x+y + z = 0上的投影直線方程為第七章測試題、選擇題1點(a, b, c)關于 y軸的對稱點坐標為 (A) (-a, -b, -c)(B)(-a,b, -c)(C) (a,b,c)(D) (a,b,c)2.下列哪組角可以作為某個空間向量的方向角(A)30,45 ,60(B)45 , 60 , 90(C) 60 , 90 ,120( D)45 , 90 , 1353.平面 *26y 3z - 3 = 0與xoy面

21、夾角為 ( C )(A)-(B)(C)-(D)-6432x 2y 2z3-(D )4.直線L :與平面n:x y z-3的位置關系為31-4(A)平行(B)垂直(C)斜交(D) L在平面一一上二、填空題TtJIJIJTTtJIJIJT1. 過點M (1, 2, 3)且與yoz坐標面平行的平面方程為x = 12. 若 a =4，b =2，a 'b =42，貝y a 匯耳=4J23. 點(1, 2, 1)到平面x 2y 2z-10 =0的距離為1三、計算題1. 設 a =2, -'3,1, b = 1, -'1,3, c = 1, -'2, 0,求(a b) c.2

22、-31rfc-r解：(a 匯b) c = 1-13=21 -2 03.求點(-1, 2, 0)在平面x 2y - z 1二0上的投影。解：過點(-1,2, 0)且與平面x 2y - z T = 0垂直的直線方程為:x - -1 t代入平面方程x 2y - z T = 0得其參數方程為* y = 2 + 2tz = t5 2 2 故投影為（-,23 3 34.求k的值，使直線 丄3 - 二乞蟲與直線= y 5 Z一2相互垂直。 2k k+153k2解：® =2k,k 1,5S2 =3,1,k-2令 Si- Si=0 得abc式0），并求x y 7四、（9分）求平面1被三個坐標平面所截得

23、的三角形面積（a b c該平面與三個坐標平面所圍的立體體積。解：點（0,0,0）到平面- =1的距離為a b c心6吟=新心A冷荷八氏2五、求過點（2,0,1）且與直線/x-3y + z-6 = 0平行的直線方程。4x 2y +3z + 9 =02x 3v + z 6 = 0解：對于直線丿y令其方向向量、4x _ 2 y + 3z + 9 = 0s 二2,-3,1 4,-2,3 =-7,-2,8故所求直線方程為x -2yz-1-7- 28"5x 3y + 2z _5 = 0 入亠六、求證：直線丿包含在平面4x-3y+7z-7=0之內。、2x _y_z_1 = 0'5x 3y

24、+2z 5 = 0解：直線丿 y的方向向量為、2x _y _z_1 = 0s 二5,-3,2 2,-1,-1 =5,9,1直線 25x_3y+2z_5_0平行于平面 4x_3y + 7z_7=0、2x _y _z_1 = 0可求得點（0，-5'5x _3y +2z _5 = 0)在直線丿上，且在平面2x y z 1 = 04x3y 7z- 7 =0 內,5x 3y +2z 5 = 04x-3y 7z-7=0 之內。故直線丿y包含在平面2x _ y _ z _ 1 = 0七、求點（2, 3, 1）關于直線x - 7 =-_ = - 2的對稱點坐標。23解：過點（2,3,1）且與直線x/y

25、2=3垂直的平面萬程為：x-22(y-3)3(z-1) =0()| x = -7 +1而直線x +7=的參數方程為y=-1+2t代入平面方程（* ）得:23z = -2 + 3t故平面x - 22（3）3（z -1） = 0與直線x 7二-=-2的交點為23132639（一7,-1,-2）777y +1 z + 2一由中點坐標公式得：點（2, 3, 1）關于直線x 7的對稱點坐標為23(-135 17 43JJ7 77重積分(i) 涉及重積分性質的客觀題。1.( 5)利用二重積分的估值定理估計I = . . (2x y 1)d二，其中DD 二(x,y)|O 一 x _1,1 一 y 一 3.解

26、：因為 f(X, y) =2x y 一1 在 D 內 Zmax =6，Zm -2故 4 . I i(2x y -1)d；- 12D2.( 5 )設D是以點(O,O), (1,-1)及(1,1)為頂點的三角形區域，試比較(x2 -y2)d二與Dli.、x2 - y2d二的大小。D解：易知，當(x, y) D 時，0 乞 X2 - y2 乞 1,故 x2 - y2 < . x2 - y2所以 I i(x2 - y2)d；一 、x2 - y2d二DD3 記憶以下二重積分奇偶對稱性性質：(1) 當積分域D對稱于x軸時，令D 是D關于x軸某一側的部分，f (x, y)為D上的連 續函數，則有2 I

27、 f (x, y)d；,若f (x,y)二 f (x, y)關于 y為偶JJf(x, y)dtD'D0,若f (x,-y) = - f (x, y)關于 y為奇(2) 當積分域D對稱于y軸時，令D 是D關于y軸某一側部分，則有2 I f (x, y)d；二,若f (-x, y) = f (x, y)關于 x為偶JJf(x, y)db=<D'd0,若f (x, y) = - f (x, y)關于 x為奇(3) 當積分域關于原點對稱時，若f (-X,-y) = - f (x, y)，則有ii f(x,y)d；=0.D4 利用二重積分奇偶對稱性性質解下列各題：(1) (4 )設

28、 D 二(x, y)|0 Ex 乞2,| y|I , D = ( x, y) |0 乞 x 乞 2, 0 乞 y 乞 1，則下列各式成立的是 (A,D )(A) 11 si n(x2y)d；：= 0( b ) 11 si n( x2y)d；：= 2iisi n( x2y)d-DDD '(C) 11sin2(xy)d；=0(d) 11sin2(xy)d；=2 .|.心n2(xy)d；.DDD32(4)設 D 二(x,y) |x| m , 貝U sinx cosydxdy= 0D(ii) 涉及二重積分交換次序的客觀題。5 .改變下列積分的積分次序：(每題6分)y(1) 0dyy2f(x,y

29、)dxe In x(7 ) x、yd二，其中D是由兩條拋物線 y=：Ex,y=x2所圍成的閉區域。)ddx0 f (x, y)dy12y _y2(3) 0dyyf(x,y)dx12 22(4) j1 dy j1 f (x, y)dx + 1 dy ( f (x, y)dx2 y2 2y4x解：(1) 0dy.y2f(x,y)dx0dx.r f(x,y)dye In x1 e(2) 1 dx 0 f(x, y)dy = 0dyey f(x,y)dx12y-y21 x(3) 0dy y f (x, y)dx = 0dx -心2 f (x, y)dy1 2222 x(4) 1 dy 1 f(x, y

30、)dx 1 dy f(x, y)dx 二 1 dx 1 f(x, y)dy2 y2(iii) 直角坐標下簡單的二重積分計算。&計算下列二重積分：(1) (7) I ixcos(x y)d二,其中D是頂點分別為(0,0),(二，二)和(二，0)的三角形閉區域。D解:(2)JJxcos(x + y)db = ( xdx cos(x + y)dy3=TL2解:X , ydc1 x =dx xjydyxfy2x2dx55D(3)解:2xx21dw其中D是由直線x = 2, y二x及曲線xy二1所圍成的閉區域。-.X門只9一 dx = y 14_xD解：因為x 二2二 yx1=9x2=4j二 J

31、x -y -6=0y=3y=2所以3yH6125yddyf, ydx=DLy122(4) (7 )yd二，其中D是由x二y2及x - y - 6 = 0所圍成的閉區域。川、綜合應用題型：(i)換次序后的二重積分計算。9.求下列二重積分：11 V2(1 (7) dx© dy11 21 y 2解：0dxe dy = dy 0 e dx(2)1(7)0dy1 e寸一- e2=1 (1 - e °)2y sin x ,解:1 y0dyfyy 2y X _x衛叫 dx= fdxj：x x0 x xpSin xdx 二- cosx 0二 1 - C0S1(ii)極坐標下簡單的二重積分計

32、算。10.計算下列二重積分(用極坐標)：(1) (7)ex "d二，其中D是由圓周x2 y2 =4所圍成的閉區域。D2亠22兀22解：I iex y dd o rer drD(3) (7 )x2y2d匚，其中D是位于第一象限由圓周D所圍成的扇形閉區域。:-b 2-解：3 X2 y2d匚=°3dr a r3 rdr : D'0a8X2y2 =1， y = 3x與 x 車由測試題、選擇題1.令 D = Qx, y) x2 + y2 蘭 R2 則 口 Jr2 x2 y2d = ( B )D1323343(A) R(B) R(C)二 R(D) R3 332. I, = ”l

33、 n( x + y)3dj D : 2 蘭 x W 4,1 蘭 y W 2，則 (C )D3.設 D =(x, y) p2 2x y_ b22 2x 乂 b2蘭1>, D1 =(x, 丫)訶+土蘭 1,xZ0, yAO，則有(A)(x2 y2)d 、!(x2 - y2)d匚DD1(B) !(x2 y2)d；2 !j (x2y2)d二DD1(C) ii(x2 y2)d；=4ii(x2y2)d；D1(D)(x2 y2)d二=8 (x2 y2)d二DD14.設D由x軸，直線x =e及曲線y = ln x圍成，則! f (x, y)d匚=De Inx(A)0dx0 f(x,y)dy1 x(B)

34、(dyfnx f(x, y)dxe In x(C) 1 dx0 f(x, y)dye e(D) 0 dx ey f (x,y)dx(A) I, : I 2( B)丨1=丨2(C) Il I2(D) I1J2 大小無法比較5以二重積分! f c, x2 y2) 為極坐標下的二次積分，D由y = X2及y=x圍成，正D確的是衛 tan日(A)/小二。f (r)rdrtan、-seed(B)04d0f(r)dr(C)tan / sec -io4 d r o ' f (r)rdr(D)tan、：sec 寸o d “ o2f(r )dr二、填空題1若D =*x, y)0蘭x蘭3, 0蘭y蘭我I

35、= ”(x + y) 二.3 13d 2 d二 2二 In0 2 ； 22db，則用估值定理，可估計出I的D取值范圍為0,482、2x _x2111_y22.改換| dx 2f(x,y)dy次序的正確形式為dy f(x,y)dx二、計算題2_1.求 11 xyd 二，D 由 y=x 及 x，2y-3=0 與 x 軸所圍。D解:2y = xx 2y _3 = 092 (舍去)"9J =113 _2y. .xyd；=0dy y xydx =°(9y-13y4y3)dyTx2y2 _ 9.2.求"一 db，其中 D = Qx, y)D x +y二二 sin3.改變 pd

36、y. y二2xdx的積分次序并求值。Jt r 解：0dy y2sin x dxx?dx x2 2xsin x2dx =1sin x dyx無窮級數、常數項級數(i)無窮級數基本性質的客觀題。1 是非題：(每題4分)(1)QOJ收斂，則nimUn。反之亦然。()nn_；：-:(2)oO7 Un收斂,n 4QOQOVn發散，則v (Un Vn)必發散。(V )ngn 4(ii)涉及等比級數和p級數斂散性的客觀題。2.( 4 )下列級數收斂的是 (B)(C：于nJ 23. ( 4 )下列級數收斂的是QO(A )7 3nn z4(B)(C) J fnm n +1(D、壬 Fn* n3 +1(iii)運

37、用比較審斂法及其極限形式判定簡單正項級數的斂散性。4.判別下列級數的斂散性：(每題6分)oO' sinn dji2naO(3) ' In(1n 4oO' (n 二解：(1)解:nlim-門21n_.1發散n 二 noOzn Tnn21發散。(2)解:oOzn =11nsinlim -n ，12nQO二 sinn =1(3)解：limln(1 1)n=1(4)解:n(2n 112n匚n（2n1）n 收斂（iv）運用比值審斂法判別正項級數斂散性的題型。5判別下列級數的斂散性：（每題6分）(1)J： 2n _1nj(、2)n(3)(4)oO2' (n 1) sinn

38、z1(5)O0n =42nn!n，你能求n2nn! lim - n_)二嗎？ n n(1)解:2=<2:2n "收斂on 呂(.2)n(2)解:lim 也=3 1:-n、發散on呂n(3)解:n送5 收斂。i 匚nn 2 65解:lim山丄：1Un 2歹收斂。QO'、(n 1)2sinn =1(5)解:lim Un-L =j： Un2n 1 (n 1)!(n 1)n 1n2 n!nnlim( 11)nn<1:2n n!2nn!二 X 收斂二 lim 斗=0n nnn-' nn(v)運用萊布尼茲定理判別交錯級數斂散性的題型。7 分)6.判別下列級數的斂散性。

39、若收斂，請指明是絕對收斂還是條件收斂？(每題0(1 )、(_1)2n z1(n!)2(2n)!oC(2)、(-1)QO(3) 7 (_1)2n z41ln(n 1)(n 1)!2解: (1) lim 2(n 21)! y (n!)2 (2n)!側絕對收斂(2n)!e1(2)7 (-1)nI條件收斂。心Jn * 1(3廠(-1嚴n壬1ln(n 1)條件收斂。(v二、幕級數(i)幕級數收斂半徑、收斂區間、收斂域的求法。QO13. (4 )設幕級數V an(x-1)n在x=0處收斂，在x=2處發散，則該幕級數的收斂域為nT0,2)(每題7 分)2n(2) a 2 XnnW n +1«)2

40、214.求下列幕級數收斂半徑、收斂區間及收斂域:nX(1 )、(-1)n 2-1,1n三nqQ A(3) ”(4x)n(士)(4)-1,1)15.求下列幕級數收斂半徑、收斂區間及收斂域:（每題7 分)(1)v n -4nl x2nn 43n 1 xoO心(2n 1)2n-3 2,3 2)(3): 22n -1、 (x 1)n n 4 n、n(x-1)n (p 0):0,2, P>110,2), 0£ p 蘭1的麥克勞林展開式將一些簡單的函數用初等方法禾U用 e=ln 2 ln(1 -x) ln(1)2,sin x, cosx, ln(1 x)展開成幕級數。16.填空題：2ex的

41、麥克勞林展開式為2n(2) ln(2 x)2(4) In(x -3x 2)1x2 -5x 62 - x1 12彳x3彳x1 12 3n xn=12n2丄3 n =0:- nx3noO AA1_1n=(°n 十qn+ )x n=023cos2x的麥克勞林展開式為'匚（_1）n 1心（2n）!17將下列函數展開為 x的幕級數，并指出展開式成立的區間：（每題7分）(1) x2 -5x 6(3) sin2 x:-nxx(2) ln(2 x) = ln2 ln(1 ) = ln2 ' (-1)心n, x (2, 22 心n 2心 2x 1 - COS2X 11n (2x)2nn

42、 1 4n 2n(3) sin x =(1)(1)x222山(2n)! n#(2n)!2(4) ln(x -3x 2) = ln(1-x)ln(2-x)QO=ln 2、(一1)n £n n 1' (-1)n AoO11=ln 2 、(一1)心_(1_ )xnnjn 218.將下列函數在指定點Xo處展開成(X-Xo)的幕級數，并指出展開式成立的區間:12x 3x 2, x“(2)( 7) SR，21 131 x 431 _ 1 1x2 3x 22 彳 x 421 1=匚(77nr)(x 4)n,x (-6,-2)nm 23xX 1(2)In =ln1 (x1) In 21 n(

43、1)x +12°°2n 1 In 2' (-1)n"x-1)n, x (0,2nmn 2川、綜合題型：并由(i)求幕級數的收斂域，并利用逐項求導，逐項積分或初等方法求幕級數的和函數,此確定某些常數項級數的和。J(1)nn=0 n 100 xn19. ( 7 )求幕級數.的收斂域，并求其和函數，并計算n=0 n +100 Xn解：幕級數Xn =0的收斂域為-1,1):_ n 1 X 當 x = 0 時，xs(x)：n=0 n +1 n=000 x=_ I xndx =x 000 (' xn)dxn=0故s( x)=x 1dx 二-In(1 - x) )1 一 x1- In (1-x),xf-1,02(0,1) .x2n +1 c2n +120. ( 7 )求幕級數v的收斂域，并求其和函數，并計算 、半nW 3nT 3解:幕級數J2n 1n z03nX2n的收斂域為（- .3, . 3 ）2n-=2(n 1)-1n =03n2nX""X2=2、(n1)()nn=0:x2八(Rnn衛 3121亠3227221 3_X2 2(j29 3x(3-x2)221.解:"n 1n=03n=s(1) = 3.(7 )求幕級數心 n!n的收斂域,并求