1、把指數的取值把指數的取值范圍從整數推廣到范圍從整數推廣到有理數，我們學習有理數，我們學習了分數指數冪。了分數指數冪。如果指數是無如果指數是無理數時，會有什么理數時，會有什么結論呢結論呢25 5的近似值的近似值的過剩近似值的過剩近似值21.51.51.421.421.4151.4151.41431.41431.414221.414221.4142141.4142141.41421361.41421361.414213571.414213571.4142135631.41421356311.18033989 11.18033989 9.829635328 9.829635328 9.7508518

2、08 9.750851808 9.73987262 9.73987262 9.738618643 9.738618643 9.738524602 9.738524602 9.738518332 9.738518332 9.738517862 9.738517862 9.738517752 9.738517752 1.414213562 1.414213562 25 5的近似值的近似值的不足近似值的不足近似值29.518269694 9.518269694 9.672669973 9.672669973 9.735171039 9.735171039 9.735305174 9.73530517

3、4 9.738461907 9.738461907 9.738508928 9.738508928 9.738516765 9.738516765 9.738517705 9.738517705 9.738517736 9.738517736 1.4 1.4 1.41 1.41 1.414 1.414 1.4142 1.4142 1.41421 1.41421 1.414213 1.414213 1.4142135 1.4142135 1.41421356 1.41421356 觀察下面的表，你能發現觀察下面的表，你能發現 的大小是如何確定的嗎？的大小是如何確定的嗎？25 5當當 的過剩近似值

4、從大于的過剩近似值從大于的方向逼近的方向逼近 時，時， 的近似值從的近似值從大于大于 的方向逼近的方向逼近 。2225 525 525 52觀察下面的表，你能發現觀察下面的表，你能發現 的大小是如何確定的嗎？的大小是如何確定的嗎？25 525 5的近似值的近似值的過剩近似值的過剩近似值21.51.51.421.421.4151.4151.41431.41431.414221.414221.4142141.4142141.41421361.41421361.414213571.414213571.4142135631.41421356311.18033989 11.18033989 9.8296

5、35328 9.829635328 9.750851808 9.750851808 9.73987262 9.73987262 9.738618643 9.738618643 9.738524602 9.738524602 9.738518332 9.738518332 9.738517862 9.738517862 9.738517752 9.738517752 當當 的過剩近似值從大于的過剩近似值從大于的方向逼近的方向逼近 時，時， 的近似值從的近似值從小小于于 的方向逼近的方向逼近 。2225 525 525 52觀察下面的表，你能發現觀察下面的表，你能發現 的大小是如何確定的嗎？的大小

6、是如何確定的嗎？25 51.414213562 1.414213562 25 5的近似值的近似值的不足近似值的不足近似值29.518269694 9.518269694 9.672669973 9.672669973 9.735171039 9.735171039 9.735305174 9.735305174 9.738461907 9.738461907 9.738508928 9.738508928 9.738516765 9.738516765 9.738517705 9.738517705 9.738517736 9.738517736 1.4 1.4 1.41 1.41 1.414

7、 1.414 1.4142 1.4142 1.41421 1.41421 1.414213 1.414213 1.4142135 1.4142135 1.41421356 1.41421356 就是一串有理數指數冪和另一串有理就是一串有理數指數冪和另一串有理數指數冪按照規律變化的結果。這個過程可以數指數冪按照規律變化的結果。這個過程可以表示如下：表示如下：25 5.思考：參照上面的過程，說明無理數指數思考：參照上面的過程，說明無理數指數冪的意義。冪的意義。所以，表示一個確定的實數所以，表示一個確定的實數 25 5. . . . . .1.41.45 51.411.415 51.4141.414

8、5 51.41421.41425 51.41431.41435 51.4151.4155 51.421.425 51.51.525 5對于任意的無理數對于任意的無理數r r，s s一般地，無理數指數冪一般地，無理數指數冪a (a0, a (a0, 是無理是無理數數) )是一個確定的實數。是一個確定的實數。 有理數指數冪的運算有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪。性質同樣適用于無理數指數冪。 a ar+sr+s(a0)(a0)a arsrs(a0)(a0)a ar ra as s= =(a(ar r) )s s= =(ab)(ab)r r= =a ar rb br r(a0)(a0)(4

9、)a (4)a （a0, a0, 是無理數）表示一個確定的實數。是無理數）表示一個確定的實數。 - -下面的說法對嗎？為什么？下面的說法對嗎？為什么？(1) (1) 沒有意義。沒有意義。(2) (2) 是一個不確定的數。是一個不確定的數。(3)a(3)ar ra as s=a=ar+sr+s中的中的a a可以為正數，負數，也可以可以為正數，負數，也可以為零。為零。4 45 5 3 36 6 計算下列各式的值計算下列各式的值:3 38 83 32 2. .3 32 25 53 31212- -3 32 23 3-2-2(1)(1)(2)(2)(3)(3)3 38 83 32 2. .(1)(1)

10、解：解：3 3(2(23 3) )= =3 32 2. .2 23 +3 += =3 33 32 24 4 3 3= =3 32 25 5(2)(2)= = 2 2. .3 35 55 5解：解：3 312 12 - -3 32 23 3-2-2 (3)(3)=1 =1 3 32 23 3-2-2 -( )-( )3 3-2-2 = = =3 32 20 0計算下列各式的值計算下列各式的值:3 38 83 32 2. .3 32 25 53 31212- -3 32 23 3-2-2(1)(1)(2)(2)(3)(3)“無理數無理數”的由來的由來公元前公元前500500年，古希臘畢達哥拉斯年，

11、古希臘畢達哥拉斯(Pythag- (Pythag- oras)oras)學派的弟子希勃索斯學派的弟子希勃索斯(Hippasus)(Hippasus)發現了一發現了一個驚人的事實：一個正方形的對角線與其一邊的個驚人的事實：一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形邊長是長度是不可公度的（若正方形邊長是1 1，則對角，則對角線的長不是一個有理數）這一不可公度性與畢氏線的長不是一個有理數）這一不可公度性與畢氏學派學派“萬物皆為數萬物皆為數”( (指有理數指有理數) )的哲理大相徑庭。的哲理大相徑庭。這一發現使該學派領導人惶恐、惱怒，認為這將這一發現使該學派領導人惶恐、惱怒，認為這將動搖他

12、們在學術界的統治地位。希勃索斯因此被動搖他們在學術界的統治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后競遭到沉舟身亡的懲囚禁，受到百般折磨，最后競遭到沉舟身亡的懲處。畢氏弟子的發現，第一次向人們揭示了有理處。畢氏弟子的發現，第一次向人們揭示了有理“無理數無理數”的由來的由來數系的缺陷，證明它不能同連續的無限直線同數系的缺陷，證明它不能同連續的無限直線同等看待，有理數并沒有布滿數軸上的點，在數等看待，有理數并沒有布滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的軸上存在著不能用有理數表示的“孔隙孔隙”。而這。而這種種“孔隙孔隙”經后人證明簡直多得經后人證明簡直多得“不可勝數不可勝數”。于。于是，古希臘人把有理數視為連續銜接的那種算是，古希臘人把有理數視為連續銜接的