1、2016年北京市高考數學試卷（文科）2016年北京市高考數學試卷（文科）參考答案與試題解析一.選擇題（共8小題）1.（2016?北京）已知集合A=x|2vx<4,B=x|xV3或x>5,則AAB=（）A.x|2<x<5B.x|xv4或x>5C.x|2<x<3D.x|xv2或x>5【考點】交集及其運算.【專題】計算題；轉化思想；綜合法；集合.【分析】由已知條件利用交集的定義能求出AnB.【解答】解：.集合A=x2vx<4,B=x|x<3或x>5）.AAB=x|2<x<3.故選：C.【點評】本題考查交集的求法，是基礎題，

2、解題時要認真審題，注意交集的定義的合理運用.2. （2016?北京）復數器=（）A.iB.1+iC.-iD.1-i【考點】復數代數形式的乘除運算.【專題】計算題；轉化思想；數系的擴充和復數.【分析】將分子分線同乘2+i,整理可得答案.【解答】解:=i2-i(2- O (2H)5故選：A【點評】本題考查的知識點是復數代數形式的加減運算，共樂復數的定義，難度不大，屬于基礎題.3. （2016?北京）執行如圖所示的程序框圖，輸出s的值為（）*k=O3s=O/輸出3 /A8B9C.27D.36【考點】程序框圖.【專題】計算題；操作型；算法和程序框圖.【分析】根據已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循

3、環結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，可得答案.【解答】解：當k=0時，滿足進行循環的條件，故S=0,k=1,當k=1時，滿足進行循環的條件，故S=1,k=2,當k=2時，滿足進行循環的條件，故S=9,k=3,當k=3時，不滿足進行循環的條件，故輸出的S值為9,故選：B【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環次數不多，或有規律可循時，可采用模擬程序法進行解答.4. （2016?北京）下列函數中，在區間（-1,1）上為減函數的是（）A. y=±B.y=cosxC.y=ln（x+1）D.y=2x【考點】函數單調性的判斷與證明.【專題】函數思想；綜合法；函數的性質及應用.【分析

4、】根據函數單調性的定義，余弦函數單調性，以及指數函數的單調性便可判斷每個選項函數在（-1,1）上的單調性，從而找出正確選項.【解答】解：A.x增大時，-x減小，1-x減小，增大；1-K函數尸亡在（-1,1）上為增函數，即該選項錯誤；B. y=cosx在（-1,1）上沒有單調性，該選項錯誤；C. x增大時，x+1增大，ln（x+1）增大，y=ln（x+1）在（-1,1）上為增函數，即該選項錯誤；D.p?x=X;根據指數函數單調性知，該函數在（-1,1）上為減函數，該選項正確.故選D.【點評】考查根據單調性定義判斷函數在一區間上的單調性的方法，以及余弦函數和指數函數的單調性，指數式的運算.5. （

5、2016?北京）圓（x+1）2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為（）A.1B.2C.舊D.2E【考點】圓的標準方程；點到直線的距離公式.【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓.【分析】先求出圓（x+1）2+y2=2的圓心，再利用點到到直線y=x+3的距離公式求解.【解答】解：二.圓（x+1）2+y2=2的圓心為（-1,0）,圓（x+1）2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離d=一.=:.a/2故選：C.【點評】本題考查圓心到直線的距離的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式和圓的性質的合理運用.6. （2016?北京）從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，則甲被選中的

6、概率為（A.1B.能.1D.H【考點】古典概型及其概率計算公式.【專題】概率與統計.【分析】從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，先求出基本事件總數，再求出甲被選中包含的基本事件的個數，同此能求出甲被選中的概率.【解答】解：從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，基本事件總數n=(7=10,甲被選中包含的基本事件的個數m=c；c：=4,二甲被選中的概率p=-=-=.n105故選：B.【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用.7. (2016?北京)已知A(2,5),B(4,1).若點P(x,v)在線段AB上，則2x-y的最大值為()A.-1B.3C.7

7、D.8【考點】簡單線性規劃.【專題】計算題；規律型；數形結合；轉化思想；不等式.【分析】平行直線z=2x-y,判斷取得最值的位置，求解即可.【解答】解：如圖A(2,5),B(4,1).若點P(x,v)在線段AB上，令z=2x-y,則平行y=2x-z當直線經過B時截距最小，Z取得最大值，可得2x-y的最大值為：2X4-1=7.判斷【點評】本題考查線性規劃的簡單應用,標函數經過的點，是解題的關鍵.8. (2016?北京)某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段，表中為10名學生的預賽成績，其中有三個數據模糊.學生12345678910序號跳遠1.961.821.801.

8、781.761.741.721.681.60（單位：米）30秒63a7560637270a-b65跳繩1（單位：次）在這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則（）A2號學生進入30秒跳繩決賽B5號學生進入30秒跳繩決賽C8號學生進入30秒跳繩決賽D9號學生進入30秒跳繩決賽【考點】命題的真假判斷與應用【專題】探究型；簡易邏輯；推理和證明【分析】根據已知中這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，逐一分析四個答案的正誤，可得結論.【解答】解：.這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有8人，故編號為1,2,

9、3,4,5,6,7,8的學生進入立定跳遠決賽，又由同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則3,6,7號同學必進入30秒跳繩決賽，剩下1,2,4,5,8號同學的成績分別為：63,a,60,63,a-1有且只有3人進入30秒跳繩決賽，故成績為63的同學必進入30秒跳繩決賽，故選：B【點評】本題考查的知識點是推理與證明，正確利用已知條件得到合理的邏輯推理過程，是解答的關鍵.:.填空題（共6小題）9. （2016?北京）已知向量裝（1,直），t=（1）,則進乖夾角的大小為【考點】數量積表示兩個向量的夾角.【專題】計算題；定義法；平面向量及應用.【分析】根據已知中向量的坐標，代入向量夾角公式，可

10、得答案.【解答】解：.響量左（1,5）,b=（51）,禁在夾角0滿足：cos。=,/",.la lb|二二匚2X22又.eq。，兀,故答案為：舟【點評】本題考查的知識點是平面向量的夾角公式，熟練掌握平面向量的夾角公式，是解答的關鍵.10. （2016?北京）函數f（x）T（x>2）的最大值為2.【考點】利用導數求閉區間上函數的最值.【專題】計算題；函數思想；綜合法；函數的性質及應用.【分析】分離常數便可得到f9E+T，根據反比X-1例函數的單調性便可判斷該函數在2,+OO）上為減函數，從而x=2時f(x)取最大值，并可求出該最大值.，f(x)在2,+oo)上單調遞減；，x=2時

11、，f(x)取最大值2.故答案為：2.【點評】考查函數最大值的概念及求法，分離常數法的運用，以及反比例函數的單調性，根據函數單調性求最值的方法.11. (2016?北京)某四棱柱的三視圖如圖所示,則該四棱柱的體積為【考點】由三視圖求面積、體積.【專題】計算題；空間位置關系與距離；立體幾何.【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個以俯視圖為底面四棱柱，進而可得答案.【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個以俯視圖為底面四棱柱，棱柱的底面面積S=X（1+2）X1=,棱柱的高為1,故棱柱的體積V=，故答案為：悔【點評】本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據已知的三視圖，判

12、斷幾何體的形狀是解答的關鍵.2212. （2016?北京）已知雙曲線*-=1（a>0,b>0）的一條漸近線為2x+y=0,一個焦點為（回0）,貝Ua=1,b=_2一.【考點】雙曲線的標準方程.【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程.【分析】由雙曲的一條漸近線為2x+y=0,一個焦點為（右，0）,列出方程組，由此能出a,b.?2【解答】解：.雙曲線8七=1（a>0,b>0）ab的一條漸近線為2x+y=0,一個焦點為（詆，0）,N丁+b2=VF解得a=1）b=2.故答案為：1,2.【點評】本題考查雙曲線中實數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意雙

13、曲線的性質的合理運用.13. （2016?北京）在4ABC中，/A=,a=c）則31.“【考點】正弦定理的應用.【專題】計算題；規律型；轉化思想；解三角形.【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B,然后判斷三角形的形狀，求解比值即可.【解答】解：在4ABC中，ZA=,a=/3c,由正弦定理可得：法壺,3二'sinC='，C=由，貝"B=n-爸一三角形是等腰三角形，B=C,則b=c,則卜=1.C故答案為：1.【點評】本題考查正弦定理的應用，三角形的判斷，考查計算能力.14. （2016?北京）某網店統計了連續三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出1

14、3種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，則該網店第一天售出但第二天未售出的商品有16種；這三天售出的商品最少有29種.【考點】容斥原理；集合的包含關系判斷及應用.【專題】計算題；轉化思想；綜合法；集合.【分析】由題意畫出圖形得答案；求出前兩天所受商品的種數，由特殊情況得到三天售出的商品最少種數.【解答】解：設第一天售出商品的種類集為A,第二天售出商品的種類集為B,第三天售出商品的種類集為C,如圖，則第一天售出但第二天未售出的商品有16種;由知，前兩天售出的商品種類為19+13-3=29種，當第三天售出的18種商品都是第一天或第二天售出的商品時，這三天

15、售出的商品種類最少為29種故答案為:16;29.【點評】本題考查集合的包含關系及其應用，考查了集合中元素的個數判斷，考查學生的邏輯思維能力，是中檔題三解答題（共6小題）15. （2016?北京）已知an是等差數列，bn是等比數列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4（1）求an的通項公式；（2）設cn=an+bn，求數列cn的前n項和【考點】等差數列與等比數列的綜合【專題】方程思想；分析法；等差數列與等比數列【分析】（1）設an是公差為d的等差數列，bn是公比為q的等比數列，運用通項公式可得q=3，d=2,進而得到所求通項公式；(2)求得cn=an+bn=2n-1+3n1,再由數列的

16、求和方法：分組求和，運用等差數列和等比數列的求和公式，計算即可得到所求和.【解答】解：(1)設an是公差為d的等差數列,bn是公比為q的等比數列，由b2=3,b3=9,可得q=3,bn=b2qn2=3?3n2=3n1;即有ai=bi=1)ai4=b4=27)貝Ud=2,13)貝Uan=ai+(n1)d=1+2(n1)=2n1;(2)cn=an+bn=2n1+3n1)則數列cn的前n項和為(1+3+(2n-1)+(1+3+9+3n1)4n?2n+2FT=n2+V-【點評】本題考查等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，同時考查數列的求和方法：分組求和，考查運算能力，屬于基礎題.16. (2

17、016?北京)已知函數f(x)=2sin3xcoswx+cos2wx(3>0)的最小正周期為it.(1)求3的值；(2)求f(x)的單調遞增區間.【考點】復合三角函數的單調性；三角函數的周期性及其求法.【專題】計算題；函數思想；數學模型法；三角函數的圖像與性質.【分析】(1)利用倍角公式結合兩角和的正弦化積，再由周期公式列式求得3的值；(2)直接由相位在正弦函數的增區間內求解x的取值范圍得f(x)的單調遞增區間.【解答】解：(1)f(x)=2sinwxcostox+cos2wx=sin2wx+cos2wx=V2(冬丘皿+隼。我工)=如sin(23).由丁二瑞二兀，得3二1；(2)由(1)

18、得，f(x)二病n.再由一親四兀42/<親2k兀,得-*'k兀爭'k兀，k£Z.f(x)的單調遞增區間為草小9tn(ka).<S3【點評】本題考查y=Asin(3x+j)型函數的圖象和性質，考查了兩角和的正弦，屬中檔題.17. (2016?北京)某市居民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數據，整理得到如圖頻率分布直方圖：(1)如果w為整數，那么根據此次調查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米,w至少定為多少？

19、(2)假設同組中的每個數據用該組區間的右端點值代替，當w=3時，估計該市居民該月的人均水費.【考點】頻率分布直方圖；隨機抽樣和樣本估計總體的實際應用.【專題】計算題；轉化思想；綜合法；概率與統計.【分析】（1）由頻率分布直方圖得：用水量在0.5，1）的頻率為0.1，用水量在1，1.5）的頻率為0.15，用水量在1.5，2）的頻率為0.2，用水量在2，2.5）的頻率為0.25，用水量在2.5，3）的頻率為0.15，用水量在3，3.5）的頻率為0.05，用水量在3.5，4）的頻率為0.05，用水量在4，4.5）的頻率為0.05，由此能求出為使80%以上居民在該用的用水價為4元/立方米，w至少定為3

20、立方米（2）當w=3時，利用頻率分布直方圖能求出該市居民的人均水費【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得：用水量在0.5，1）的頻率為0.1，用水量在1，1.5）的頻率為0.15，用水量在1.5，2）的頻率為0.2，用水量在2，2.5）的頻率為0.25，用水量在2.5，3）的頻率為0.15，用水量在3，3.5）的頻率為0.05，用水量在3.5，4）的頻率為0.05，用水量在4，4.5）的頻率為0.05，.用水量小于等于3立方米的頻率為85%,為使80%以上居民在該用的用水價為4元/立方米，w至少定為3立方米.（2）當w=3時，該市居民的人均水費為：（0.1X1+0.15X1.5+0.2X2+0.

21、25X2.5+0.15X3）X4+0.05X3X4+0.05X0.5X10+0.05X3X4+0.05X1X10+0.05X3x4+0.05X1.5X10=10.5,當w=3時，估計該市居民該月的人均水費為10.5元【點評】本題考查頻率分布直方圖的應用，考查當w=3時，該市居民該月的人均水費的估計的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的合理運用18.（2016?北京）如圖，在四棱錐PABCD中，PJ平面ABCD,AB/DC,DCXAC.（1）求證：DCL平面PAC;（2）求證：平面PABL平面PAC;（3）設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F,使得PA/平面CEF?說明理

22、由.【考點】空間中直線與平面之間的位置關系；平面與平面之間的位置關系.【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；立體幾何.【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證明DC±平面PAC;(2)利用線面垂直的判定定理證明AB，平面PAC,即可證明平面PABL平面PAC;(3)在棱PB上存在中點F,使得PA/平面CEF.利用線面平行的判定定理證明.【解答】(1)證明：:PCL平面ABCD,DC?平面ABCD,.,.PCXDC,VDC±AC,PCAAC=C,.DCL平面PAC;(2)證明：vABIIDC?DCLAC,/.AB±AC,.PCL平面ABCD,AB?平面ABCD,/.PC&

23、#177;AB, .pcnAc=c, AB，平面PAC,.AB?平面PAB,平面PAB，平面PAC;(3)解：在棱PB上存在中點F,使得PA/平面CEF. 點E為AB的中點，EFIIPA,.PA?平面CEF,EF?平面CEF, .PA/平面CEF.【點評】本題考查線面平行與垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題. 9.(2016?北京)已知橢圓C：FW=1過點A(2,0),B(0,1)兩點.(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設P為第三象限內一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證：四邊形ABNM的面積為定值.【考點】橢圓的標

24、準方程；直線與橢圓的位置關系.【專題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程.【分析】(1)由題意可得a=2,b=1,則H落法kWL則橢圓C的方程可求，離心率為e卷;設P(X。，y。)，求出PA、PB所在直線方程，得到M,N的坐標，求得|AN|,|BM|.由Sabo4'IanI-|bm|,結合P在橢圓上求得四邊形ABNM的面積為定值2.【解答】(1)解：:.橢圓C:京加過點A(2,0),B(0,1)兩點，二a=2,b=1,貝U國屋-人二也-1二一:橢圓C的方程為+小,離心率為e等；(2)證明：如圖，設P(X。，y。)，則小=鼻，PA所在直線方程為工口£取x=0,

25、得釬一言;口1 所 Yr.7 0,PB所在直線方程為不 Ly=-工+.|AN|=2 -=7 _ 10 / 一樂 一 M 廠L.ipi/ll.d_1±2vq_Ko+yo-Mo町+2先-2|BM|=11 一尸口x0 * 2,_i2-2%-在IanITbmI=3'iw1(zo+2o-2)-10+2y0''"(配42*口)+4小丫口十2一打一2兀=-X4=2.【點評】本題考查橢圓的標準方程，考查了橢圓的簡單性質，考查計算能力與推理論證能力，是中檔題.20（2016?北京）設函數f（x）=x3+ax2+bx+c（1）求曲線y=f（x）在點（0,f（0）處的切線方程；（2）設a=b=4，若函數f（x）有三個不同零點，求c的取值范圍；（3）求證：a2-3b>0是f（x）有三個不同零點的必要而不充分條件【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；函數零點的判定定理【專題】方程思想；分析法；函數的性質及應用；導數的概念及應用【分析】（1）求出f（x）的導數，求得切線的斜率和切點，進而得到所求切線的方程；由f（x）=0,可得-c=x3+4x2+4x,由g（x）=x3+4x2+4x,求得導數，單調區間和極值，由-c介于極值之間，解不等式即可得到所求范圍；（3）先證若f（x）有三個不同零點，令f（x）=0，可得單調區間