1、行列式1.行列式的性質性質1行列式與它的轉置行列式相等D=DT.性質2互換行列式的兩行（列），行列式變號.推論1如果行列式有兩行（列）的對應元素完全相同，則此行列式的值為零abc如a'b'c'=0abc性質3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數k,等于用數k乘此行列式.a11知a13a11a12a13如ka21ka22ka23=ka21a22a23a31a32a33a31a32a33推論2如果行列式中有兩行（列）元素成比例，則此行列式的值為零.abc如a'b'c=0kakbkc性質4若行列式的某一行（列）的元素都是兩數之和，則這個行列式等于兩個行

2、列式之和a11呢a13a11a2a13a11a2a13如a21+a21a22+a22a23+a23=a21a22a23+Frra21a22a23a31a32a33a31a32a33a31a32a33性質5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數然后加到另一行（列）對應的兀素上去，行列式的值不變.a11知a13而a12a13如a21a22a23=a21a22a23a31a32a33a31+ka11a32+ka12a33+ka132.余子式與代數余子式在n階行列式中，把元素aj所在白第i行和第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素a。的余子式,記作Mj,A。=（1）i*Mij叫做元素a。的代數

3、余子式.a11a12aa21a22aa31a32a13,元素a23的余子式為如2333M23ana31a12a32一主一，入一.，、2-131tlia11a12兀素a23的代數余子式為A23=(T)2M23=1112a31a323 .行列式按行（列）展開法則定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即D=a“Ai+ai2A2+ainAn或D=a1jAij+a2jA?j+anjAnji=1,2,n;j=1,2na11a2a13a21a22a23=a11A11'a12A12'a13A13a31a32a33定理2行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的

4、對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,或a1jA1j+a2jA2j+anjAnj=0,i±j.i=1,2,n;j=1,2n4 .行列式的計算(1)二階行列式a11a12(2)三階行列式a11a12ai3a21a22a23a31a32a33a21a22=a11a22-a12a21=a11a22a33'a12a23a31'a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32(3)對角行列式n(mJ.)2-=(-1),1,21n三角行列式an2ai2a2,n1a1,n-4a2,n1ana2nan二科但22an

5、nn(n-1)三(-1)2ama2,n,an1(5)(6)消元法：利用行列式的性質,降階法：利用行列式的性質,將行列式化成三角行列式，從而求出行列式的值化某行（列）只有一個非零元素，再按該行（列）展開，通過降低行列式的階數求出行列式的值.（7）加邊法：行列式每行（列）所有元素的和相等，將各行（列）元素加到第一列（行）式，進而求出行列式的值.,再提出公因矩陣1.常見矩陣1）對角矩陣：主對角線以外的元素全為2）單位矩陣：主對角線上的元素全為3）上三角矩陣：對角線以下的元素全為4）下三角矩陣：對角線以上的元素全為0的方陣，稱為對角矩陣.記作A.1的對角矩陣，稱為單位矩陣.記作E,01a12an

6、9;a22a2n0的方陣.如+-ann,a11a21a220的方陣.如9+an2annJ5）對稱矩陣設A為n階方陣，若AT=A,即aij=aji,則稱A為對稱矩陣6）反對稱矩陣：設A為n階方陣，若AT=-A,即aij=-3ji,則稱A為反對稱矩陣7）正交矩陣：設A為n階方陣，如果AAT=E或ATA=E，則稱A為正交矩陣'ad2.矩陣的加法、數乘、乘法運算（1）矩陣的加法bc、aab，c，、'，a+a，b+b+efjde'fld+d'e+e注：只有同型矩陣才能進行加減運算;矩陣相加減就是對應元素相加減（2）數乘矩陣.abc''kakbkc'

7、如k=def,kdkekf,注：數乘矩陣就是數乘矩陣中的每個元素(3)矩陣的乘法：設A=(aj),B=(bij1，規定AB=C=(cj)m>n,s其中cj=ai1bljai2b2j-aisbsj='，1bkj（i=1,2；,m,j=1,2；,n.）k1注：左矩陣A的列數等于右矩陣B的行數；左矩陣A的第i行與右矩陣B的第j列對應元素乘積的和是矩陣乘積C的元素cj.左矩陣A的行數為乘積C的行數，右矩陣B的列數為乘積C的列數.如行矩陣乘列矩陣是一階方陣（即一個數），即alla12aisb2i=aiibiiai2b21''aisbs1出1)s階方陣，即01"飛1

8、1片141片2anb1a21a21b11a21b12a21b13(bnb12b1s尸aia21,包41as1b12ash列矩陣乘行矩陣是ss3.逆矩陣設n階方陣A、B,若AB=EBA=E,則A,B都可逆，且A，或(1)二階方陣求逆，設bdA1%ad-bc-c(兩調一除法)01(2)對角矩陣的逆(3)分塊對角陣的逆A1A2AA，(4)一般矩陣求逆，初等行變換的方法：(AE)一空二(EA，4 .方陣的行列式由n階方陣A的元素所構成的行列式(各元素的位置不變)叫做方陣A的行列式.記作A或det(A)5 .矩陣的初等變換下面三種變換稱為矩陣的初等行(列)變換:(1)互換兩行(列)；(2)數乘某行(列)

9、；(3)某行(列)的倍數加到另一行(列)6 .初等矩陣10,000W1單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣，稱為初等矩陣0010都是初等矩陣0b7 .矩陣的秩矩陣A的非零子式的最高階數，稱為矩陣A的秩.記作R(A)或r(A)求矩陣的秩的方法：(1)定義法：找出A中最高階的非零子式，它的階數即為A的秩.(2)初等行變換法：A更二行階梯形矩陣,R(A)=R(行階梯形矩陣)=非零行的行數.8 .重要公式及結論(1)矩陣運算的公式及結論AB=BA,(AB)C=A(BC),(AB)=AB(AB)C-A(BC),(AB)C-ACBC,(AB)(-A)B=A(B)kk2k1：ik2kk2kk?kkkkA1A2

10、=A12,(A1)2=A2,(兒A)=八A,E=E10AB)=ABAB,EA=AE=A,A=E(ATT=A,(A+B)T=AT+BT,(九Aj=，uAT,(ABT=BtATT(A)=(At),(AB)=BA,aa=aa=|aeAt|=A',RA=*un,A,AB|=AB=BA,An=|A'|A+B#|A+B矩陣乘法不滿足交換律，即一般地ABwAB;矩陣乘法不滿足消去律，即一般地若AB=AC，無B=C;只有當A可逆時，有B=C.一般地若AB=O,則無A=O或B=O._22_2AB-?A2ABB.(2)逆矩陣的公式及定理11111A4=A,A=A,4，-1/T11TAB=BA,AT

11、AA4-4AA"=AA'iA"，A*=|AA|a|1=A4AaA，_k1kA*=AA可逆a|A|w0UAE(3)矩陣秩的公式及結論(即A與單位矩陣E等價)R(O)=0,R(。n)minm,n,R(AT)=R(A),R(kA)=R(A),k=0a|#0uR(A)=n,R(A+BAR(A)+R(B)R(AB)<R(A),R(AB)<R(B).特別地，當A可逆時，R(AB)=R(B);當B可逆時，R(AB)=R(A).A三tBuAB=R(A)=R(B)即等價矩陣的秩相等或初等變換不改變矩陣的秩9.矩陣方程(1)設A為n階可逆矩陣，B為nxm矩陣，則矩陣方程AX

12、=B的解為X=A/B;解法：求出A再計算A,B;-ERTAB；-：EX.(2)設A為n階可逆矩陣，B為mxn矩陣，則矩陣方程XA=B的解為X=BA；解法：求出A，再計算BA；Fa)ecte)10.矩陣間的關系(1)等價矩陣：如果矩陣A經過有限次初等變換變成矩陣B,那么稱矩陣A與B等價.即存在可逆矩陣P,Q,使得PAQ=B.性質：等價矩陣的秩相等.(2)相似矩陣：如果存在可逆矩陣P,使得PAP=B，那么稱A與B相似.性質：相似矩陣有相同的特征多項式，相同的特征值，相同的行列式，相同的跡(3)合同矩陣：如果存在可逆矩陣P,使得PTAP=B,那么稱A與B合同.性質：合同矩陣的秩相等.向量空間1 .線

13、性組合(1)若a=k3,則稱向量a與3成比例.(2)零向量O是任一向量組的線性組合.(3)向量組中每一向量都可由該向量組線性表示.2 .線性相關與線性無關(1)單獨一個向量線性相關當且僅當它是零向量.(2)單獨一個向量線性無關當且僅當它是非零向量.(3)兩向量線性相關當且僅當兩向量對應成比例.(4)兩向量線性無關當且僅當兩向量不對應成比例(5)含有O向量的向量組一定線性相關.(6)向量組%產2,Pm線性相關的充分必要條件是 齊次線性方程組k1nl+k2n2+kmnm=0有非零解. 以向量組為列作的矩陣(q102yom)的秩<向量的個數m.(7) n個n維向量口力口？；，otn線性相關的充

14、分必要條件是以向量組為列作的行列式的值|a1,a2；-,o(n|=0.(8)向量組lGm線性無關的充分必要條件是 齊次線性方程組k10tl+k2u2+kmum=。只有零解. 以向量組為列作的矩陣(,口2，0tm)的秩=向量的個數m.(9)n個n維向量口1,0(2丁，un線性無關的充分必要條件是以向量組為列作的行列式的值1(0(1,a2；-,an|w0.(10)當m>n時，m個n維向量一定線性相關.定理1:向量組a1,a2,m(m>2)線性相關的充分必要條件是向量組中至少有一個向量可由其余m-1個向量線性表示.向量組線性無關的充分必要條件是向量組中任何一個向量都不能由其余向量線性表示

15、.定理2：如果向量組A：a1,a2,，平線性無關，而向量組a1,a2,a，”線性相關，則“可由A線性表示，且表示式唯一.定理3：設向量組A：1'J,B：-1,：2；",：r,：r1；",：-m若A線性相關，則向量組B也線性相關；反之，若向量組B線性無關，則向量組A也線性無關.(即部分相關，則整體相關；整體無關，則部分無關)定理4:無關組的截短組無關，相關組的接長組相關3. 極大無關組與向量組的秩定義1如果在向量組T中有r個向量a1.a2,，產滿足條件：向量組a1,a2,，產線性無關，VaTT,%,%.，%戶線性相關.那么稱向量a1,a2,1a是向量組T的一個極大無關

16、組.定義2向量組的極大無關組中所含向量的個數，稱為向量組的秩定義3矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩；矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩。結論1線性無關的向量組的極大無關組就是它本身。結論2如果向量組的秩是r,那么該向量組的任意r個線性無關的向量都是它的一個極大無關組。定理1設向量組A:a1,a2，,1a及向量組B:b1,b2，,如果組A能由組B線性表示，且組A線性無關，則r三s.推論1等價的向量組有相同的秩.定理2矩陣的秩=矩陣列向量組的秩=矩陣行向量組的秩4. 向量空間定義1設V為n維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對于加法及乘數兩種運算封閉，那么就稱集合V為向量空間.5. 基與向量在基下

17、的坐標定義2設V是向量空間，如果向量組a1,a2,1a滿足條件：(1)向量組a1,a2,1a線性無關；(2)v«wT,口儲匕7，P線性相關.那么稱向量組a1,a2,1a是向量空間V的一個基，基中所含向量的個數稱為向量空間V的維數,記作dimV,并稱V為r維向量空間.定義3設向量組a、，ac，a是向量空間V的一個基，則V中任一向量x可唯一地表示為基的一個1,2r線性組合，即x=1al,-2a2+一一+，ar,稱有序數組%,%.，'為向量x在基a1，a2，a下的坐標.線性方程組1.線性方程組解的判定(1)線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是它的系數矩陣A和增廣矩陣(A,b)的秩

18、相同，即R(A)=R(A,b).當R(A)=R(A,b)=r方程組AX=b有惟一解的充分必要條件是r=n;方程組AX=b有無窮多解的充分必要條件是r<n.(2)方程組AX=b無解的充分必要條件是R(A)WR(A,b).2.齊次線性方程組有非零解的判定(1)齊次方程組AX=0有非零解的充分必要條件是系數矩陣A的秩R(A)未知量的個數n.(2)含有n個方程，n個未知量的齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是方程組的系數行列式等于零.(即|A|=0)(3)齊次線性方程組AX=0中，若方程的個數m<未知量的個數n,則方程組有非零解3 .齊次線性方程組解的性質(1) 若、，芻是Ax=

19、0的解，則彳十,2也是Ax=0的解;(2) 若是Ax=0的解，則kt也是Ax=0的解.4 .齊次線性方程組的基礎解系與通解(1) 解空間齊次線性方程組Ax=0的全體解向量所組成的集合，是一個向量空間，稱為方程組Ax=0的解空間.記作V,即V=x|Ax=0,xCR.(2)基礎解系齊次方程組AX=0的解空間V的一個基，稱為齊次方程組AX=0的一個基礎解系.基礎解系中解向量的個數是n-r(A).方程組AX=0的任意n-r個線性無關的解都是AX=0的基礎解系.(3)齊次線性方程組的通解為k£+卜2：2+kn/n，其中2：,勺是Ax=0的一個基礎解系5 .非齊次線性方程組解的性質(1)若I,1

20、%是Ax=b的解，貝U%-n2是Ax=0的解；即Ax=b的任意兩個解的差必是其導出組Ax=0的解.(2)若“是Ax=b的解，是Ax=0的解，貝U是Ax=b的解.即Ax=b的任意一個解和其導出組Ax=0的任意一個解之和仍是Ax=b的解.6 .非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組AX=b的通解為匕£+卜22k+kn/n1十“*其中匕、2J,t為對應的齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系，“*為非齊次線性方程組AX=b的任意一個解，稱為特解.方陣的特征值x,y的內積為x,y】=x1y1+x2y2+xnyn.(1)向量x的長度：x=jk,xi=qx+x；+i+x；(2)非零向量的單位化：若

21、向量xW0，則Ax是單位向量x(3)當R,y1=0時,稱向量x與y正交.(4)若非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交組.(5)若正交組中每個向量都是單位向量，則稱它為標準正交組定理1正交向量組必線性無關定理2A為正交矩陣的充分必要條件是A的列(行)向量都是單位向量且兩兩正交.(6)施密特正交化過程設%,口2產3是一個線性無關的向量組,I-II-aII-a正交化令P=aP=a-1,2PP=a-L1,a3JPl2,a3B.山乂|L.Vr-11,r2d2口口1,3d3fpP1BB2，-1,11,12,2則e1,e2,e3是與%,a2,a3等價的標準正交組.2.特征值與特征向量(1)方陣A的

22、特征值K是特征方程，A九E=0的根.(2)三角矩陣和對角矩陣的全部特征值就是它的全部對角元.(3)方陣和它的轉置方陣有相同的特征值.(4)設%，%J,鼠是n階方陣A的全部特征值，則tr(A)=%+九2+4"A=%:%.即方陣A的對角線上元素之和等于A的全部特征值之和，方陣A的行列式等于A的全部特征值的乘積.(5)若人是方陣A的特征值，則f(九)是方陣f(A)的特征值.特別地，當f(A)=0時，方陣A的特征值是f(九)=0的根.說明：f(x)=amxm+am/xm中+a1x+a0,f(A)=amAm+amlAm，+a1A+a0E.例如I是方陣A的特征值，則方陣f(A)=A+2E的特征值

23、是f(九)=九十2.方陣f(A)=A23A4E的特征值是f(Zj=九23九4.例如若A2-3A-4E=0,則方陣A的特征值是九23九4=0的根，即匕=1,%=4.(6)設Pi,P2都是方陣a的屬于同一特征值的特征向量，則kF+k2P2(k1,k2不全為零)也是九°的特征向量.(7)屬于不同特征值的特征向量線性無關(8)屬于不同特征值的線性無關的特征向量的并集仍線性無關3 .方陣的對角化(1)若方陣A與對角矩陣A相似，則說A可以對角化.即存在可逆矩陣P,使得P,AP=A.(A是以A的n個特征值為對角元素的對角矩陣.)(2) n階方陣A可以對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量；屬于每一個特征值的線性無關的特征向量的個數與該特征值的重數相同.(3) n階方陣A可以對角化的充分條件是n階方陣A的n個特征值互不相等.(4)若A與B相似，則f(A)與f(B)相似.4 .實對稱矩陣的對角化(1)實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交(2)實對稱矩陣一定可以對角化.即存在正交矩陣P,使得p=ap=a.（A是以A的n個特征