1、 交通信號燈中黃燈閃亮時間分析摘要： 本問題要求通過分析黃燈應該閃爍的時間與車長，車速，地面的動摩擦系數等因素之間的關系，建立適當的模型解決實際問題。通過分析，在合理的假設情況下第一問通過建立微分方程模型，并且對建立的微分方程進行求解，從而得到了黃燈應亮的時間隨機動車速度之間的非線性函數關系。第二問進行應用matlab將得到的非線性函數最出了圖像，通過對圖像的分析，得到了黃燈應當亮的時間。第三問，第四位同樣運用第一問建立的模型對給定的數據進行分析，計算，得到了不同的速度在不同的摩擦系數下黃燈應當亮的時間，并且得到了相同速度下黃燈應當亮的時間和摩擦系數的關系。在第五問中通過查閱文獻得到了一般路面

2、的摩擦系數，假設出一般機動車的車長和十字路口的長度，帶入模型得到了新的非線性函數，根據題意得到在道路上的行駛的平均速度，從而得到一個黃燈應當亮的恰當時間。并且通過和現在黃燈亮的時間進行對比，從而驗證模型可行性。關鍵詞：黃燈閃亮時間 微分方程 matlab1問題重述 讓我們來考慮這樣一個問題：紅綠燈在亮紅燈之前黃燈應該亮多長時間？在交通管理中，定期地亮一段時間的黃燈是為了讓那些正行駛在交叉路口上或距交叉路口太近以致無法停下的車輛通過路口。這樣，紅綠燈應保持足夠長時間的黃燈，便于使那些無法停止的車輛有機會在黃燈期間通過路口。對于一位駛近交叉路口的駕駛員來說，萬萬不可處于這樣的進退兩難的境地：要安全

3、停車，離路口太近，而要在紅燈亮之前通過路口又顯得太遠。因此，當車輛駛近交叉路口時，駕駛員看到黃燈亮后，要做出決定：是停車還是通過路口。如果決定停車，他必須有足夠的停車距離；如果決定通過路口，他必須有足夠的時間使他能夠安全通過路口，這包括做出停車決定的時間（反應時間）。那么，為了保證交通安全，黃燈應亮多長時間呢？黃燈亮的時間或許與下列因素有關車輛的行駛速度、交通路口的寬度、車輛自身的長度、汽車的重量、駕駛員的反映時間和剎車距離。剎車是一個復雜的過程，為簡化計算，可將剎車過程看成抵抗摩擦力（摩擦力等于摩擦系數乘上汽車的重量），將剎車效果用模型來反映。1.建立一個黃燈亮的時間與上述因素（或部分因素）

4、有關的數學模型，將亮黃燈的時間長度表示成上述因素（或部分因素）的函數。2.如果反應時間是1s，車輛的平均長度是4.5m，路口的寬度是15m，摩擦系數為0.2，試分析車輛的行駛速度與亮黃燈時間長度之間的關系。3.如果車輛的行駛速度分別為20km/h、30km/h、40km/h和50km/h，黃燈分別應亮多長時間？4.如果輪胎和制動器比較好，可以看成摩擦系數增加，如果摩擦系數從0.2增加到0.4時，請給出問題3中亮黃燈的時間長度。5.考慮交通狀況的不同、駕駛員習慣的不同，假設通過路口的車速在2050km/h之間，且服從均勻分布，請計算亮黃燈的平均時間長度。2 問題分析停車線 在十字路口行駛的車輛中

5、，我們主要考慮機動車輛。當車輛駛進十字路口時，如果此時黃色信號燈閃亮，駕駛員要作出決定：是停車還是駛過十字路口。如果他按法定速度（或低于法定速度）行駛，當決定停車時，他必須有足夠的停車距離，少于此距離是不能停車，大于此距離時必須停車，等于此距離時可以停車，也可以通過路口；當決定通過路口時，他必須有足夠的時間能完全通過路口，這包括：作出決定的時間，車通過十字路口的時間，停車距離的駕駛時間（從剎車到車完全停止的時間）。 所以，黃燈閃亮的持續時間應包括駕駛員的決定時間（反應時間），他通過十字路口的時間和停車距離的駕駛時間。3 模型的建立與求解3.1量的分析和定義 T黃燈應亮的時間 駕駛員的反應時間

6、汽車通過十字路口的時間 停車距離的駕駛時間 法定行駛速度 十字路口長度 典型車身長度 車身質量 車輛與地面的摩擦系數 開始剎車到車輛停止所經過的路程 3.2模型假設 通過前面的分析和對問題所涉及的主要量的確定，給出黃燈時間求解模型假設：（1） 車輛的法定最高行駛速度、十字路口附近的行駛速度、通過十字路口的速度均為.（2） 每個駕駛員從看到黃燈到作出是否停車的決定所需的反應時間一致。.（3） 所有行人和駕駛員均能遵守交通規則。（4） 交叉路口沒有交通管制和堵車狀況。（5） 汽車能正常通過交叉路口。3.3 模型的建立 黃燈應亮的時間為， （1）其中是常數，而經過十字路口的路程為 。 （2）需要進一

7、步求解，由于汽車質量為，車輛與路面的摩擦系數為，則車輛與路面的摩擦力為 （g為重力加速度)根據牛頓第二定律，車輛在剎車過程中應滿足如下微分方程 （3）3.4 模型求解首先進行第一次積分得在x=0處在進行一次積分得注意式（3）中在剎車的最后，v=0所經過的時間可由下式求得：有：代入式（3），得： (4)將式（2）和式（4）代入式（1），得黃燈亮的時間： ，則 （5）同時利用初等數學的公式，對于任意非負實數a和b，均有：可求得當時問題2根據題設，如果反應的時間是1秒，車輛的平均長度是4.5米，路口的寬度是15米，摩擦系數為0.2，并將上述數據代入（5）式，則車輛的行駛速度與亮黃燈時間長度之間的關系

8、為： （6）根據式子可畫（0,30】區間內T-v圖像： 通過圖像明顯的可以看出黃燈應該亮的時間隨速度呈現減小后增加的趨勢，易知時間存在一個最小值，我們可以將黃燈的時間取作最小的時間，從而得到司機是否前行。(圖像的matlab程序在附錄中給出)問題3車輛的行駛速度分別為20km/h，30km/h，40km/h，50km/h，求其對應的黃燈應亮時間。則將不同的分別代入式（6）：車輛的行駛速度km/h對應的黃燈應亮的時間s205.90305.42405.53505.88（計算結果使用matlab計算，過程在附錄中給出)問題4 輪胎和制動器比較好，可以看成摩擦系數增加，摩擦系數從0.2增加到0.4時：

9、車輛的行駛速度km/h對應的黃燈應亮的時間s205.204304.382404.144504.140（計算結果使用matlab，過程在附錄中給出）問題5 考慮交通狀況的不同，駕駛員習慣的不同，假設通過路口的車速在2050km/h之間，且服從均勻分布，根據均勻分布的概念，在所給區間上，所給數據的平均值為（a，b分別為區間的左右端點）。所以在2050km/h之間，最佳估計值為35km/h，代入式（5）中可得： 4 模型的評價 在模型假設的前提下，代入數據可以解決題設問題，但是在實際生活中需要考慮的因素還有許多。 第一，駕駛員的反應時間根據人的差異肯定是有所區別的，與駕駛員的身體健康狀況，精神狀態密

10、切相關。對于年老的，狀態欠佳的反應時間會相應延長。所以在遇到實際不同狀況是，應代入不同值進行計算。 第二，不同的道路狀況，摩擦系數自然也是不同的，對于路面平坦的，自然摩擦系數就小，對于汽車輪胎的新舊也會影響摩擦系數的大小，所以用剎車距離近似停車線的距離是不可靠的。 第三，十字交叉路口的交通狀況也會影響到剎車或前進時間。 第四， 不同的天氣情況下摩擦系數也不相同，因此有必要在在交通燈上安裝一個濕度感應裝置，考慮到摩擦系數不能隨空氣濕度的增加而無限增加下去，因此摩擦系數與空氣濕度應該為對數關系，最后因知識水平有限以及時間限制沒有得出該函數的具體參數，但該模型的提出對整個模型有重要的意義，使模型解更

11、加真實更有說服力。 綜上，在應用模型時，應根據實際情況帶入實際參數來計算。5 結論 根據題設，建立模型如下： ，一般情況下，駕駛員反應時間為1.0s，當輪胎為新時，查閱資料，帶入數據得黃燈應亮時間為3.80s，當輪胎磨損時，代入數據得黃燈應亮時間為4.03s。所以，在設置交通信號燈黃燈所亮時間為3.804.03s。6 參考文獻1王正東 .數學軟件與數學實驗（第二版）.北京.科學出版社.2010年.1525.2郭學軍 .高等數學（上冊） .北京 .科學出版社.2012年.180195.附錄 問題2畫出不同速度對應的黃燈應該亮的時間v1=1:30; s=ones(1,30);生成一維單位矩陣v2=

12、s./v1; T=v1/4+v2.*19.5+1; plot(v1,T，r)%紅線畫圖 hold ongrid on xlabel(速度（v）); ylabel(黃燈的時間(t)問題3function T1=f11(v)%定于一個時間隨速度變化的函數f11L=15;%道路的寬度I=4.5;%一般汽車的長度f1=0.2;%路面的動摩擦因數g=10;%引力常量的近似值t1=1;%人的反應時間T1=(v/(2*f1*g)+(L+I)/v)+t1問題4function T2=f12(v)%定于一個時間隨速度變化的函數f12L=15;%道路的寬度I=4.5;%一般汽車的長度f2=0.4;%路面的動摩擦因數g=10;%引力常量的近似值t1=1;%人的反應時間T2=(v/(2*f2*g)+(L+I)/v)+t1將所給數據進行單位換算并計算摩擦因數為0.2和0.4時對應的時間v1=20 30 40 50;%給定的初始速度x=ones(1,4);%生成一維單位矩陣y=x.*3.6;%換算單位