1、2009高教社杯全國大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： 我們的參賽報名號為（如果賽區設置報名

2、號的話）： 所屬學校（請填寫完整的全名）： 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：2009高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：賽區評閱記錄（可供賽區評閱時使用）：評閱人評分備注全國統一編號（由賽區組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：眼科病床的合理安排摘 要病床是醫院的重要衛生資源，其使用情況是反映醫院工作效率的重要指標，合理分配床位、提高病床使用率對于充分利用醫療資源、提高醫院的兩個效益有著十

3、分重要的意義。本題針對某醫院眼科病床分配中存在的不合理現象，讓我們建立一個合理的病床安排模型，以解決病床的最優分配問題，從而提高對醫院資源的有效利用。針對問題一，本文制定的指標評價體系包括門診相關指標集（病人平均等待時間、門診等待平均隊長、病人平均滿意度）和病床相關指標集（出院者平均住院日數、病床平均工作日、病床平均周轉率、實際病床利用率）。為了能夠全面地評價出模型的優劣，本文采用目前普遍使用的密切值法、TOPSIS法和RSR法等綜合評價方法，并對應建立了三個評價模型，以得出更為科學合理的結論。針對問題二，本文建立了以病床需求數為狀態轉移變量、以各類病人的病床安排數為決策變量的動態規劃模型。模

4、型中，充分考慮了觀測期內病人平均等待時間、病床平均周轉率、病床利用率和潛在流失率等指標，且在制定尋優策略時，引入了病人滿意度量化函數和優先級函數，使得模型更加合理。通過Matlab對該模型求解，得出了次日病床安排方案（結果見表4）。綜合評價模型時，以該醫院目前的病床安排方案和我國醫院通用的病床安排方法為比較對象，借助上述三種評價方法和模型，進行了綜合評價比較，從綜合評價結果來看，本文的模型相對較優（評價結果見表9）。針對問題三，本文既充分考慮了如何縮短病人平均等待時間和提高病床利用率，又兼顧了公平原則，根據病癥的不同和就診病人到院的順序制訂了優先服務策略，給出了每個病人相應的入住時間區間（見P

5、18）。針對問題四，由于住院部周六和周日不安排手術，對某些類型病人的病床安排產生了一定的影響，因此我們對問題二中模型的優先級函數進行了相應的調整，并利用進行了求解（結果見表10）。為了判斷手術安排時間是否改變，本文根據問題一的評價方法和模型對修改后的模型進行了綜合評價，從評價結果得知，手術安排時間應該做相應的調整。針對問題五，為了使所有病人在系統內的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短，本文建立了以其為目標函數且帶約束條件的非線性規劃模型，并利用了Lingo軟件對其進行求解，得出的結論是：分配給外傷、白內障（雙眼）、白內障（單眼）、青光眼、視網膜疾病等各類型病人的床位數依次為：8、16、1

6、2、21、22，分別占總床數的比例為：10.13%、20.25%、15.19%、26.58%、27.85%。最后，本文對所建模型的優點和缺點進行了客觀的評價，認為本文研究的結果在實際醫院病床安排中有一定的參考價值。關鍵詞： 病人平均等待時間；實際病床利用率；RSR法；滿意度量化函數；動態規劃模型；非線性規劃21. 問題重述醫院就醫排隊是大家都非常熟悉的現象，它以這樣或那樣的形式出現在我們面前，例如，病人到門診就診、到收費處劃價、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊等待接受某種服務。我們考慮某醫院眼科病床的合理安排的數學建模問題。該醫院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。該醫院

7、眼科手術主要分四大類：白內障、視網膜疾病、青光眼和外傷。附錄中給出了2008年7月13日至2008年9月11日這段時間里各類病人的情況。白內障手術較簡單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內障手術，此類病人的術前準備時間只需1、2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便會安排手術。其他眼科疾病比較復雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天內就可以接受手術，主要是術后的觀察時間較長。這類疾病手術時間可根據需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數量較少，建模時這些眼科疾

8、病可不考慮急癥。該醫院眼科手術條件比較充分，在考慮病床安排時可不考慮手術條件的限制，但考慮到手術醫生的安排問題，通常情況下白內障手術與其他眼科手術（急癥除外）不安排在同一天做。當前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（First come， First serve）規則安排住院，但等待住院病人隊列卻越來越長，醫院方面希望你們能通過數學建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫院資源的有效利用。問題一：試分析確定合理的評價指標體系，用以評價該問題的病床安排模型的優劣。問題二：試就該住院部當前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據已知的第二天擬出院病人數來確定第二天應該安排哪些病人住院

9、。并對你們的模型利用問題一中的指標體系作出評價。問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時能住院。能否根據當時住院病人及等待住院病人的統計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區間。 問題四：若該住院部周六、周日不安排手術，請你們重新回答問題二，醫院的手術時間安排是否應作出相應調整?問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統內的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。2. 模型假設1) 假設醫院床位數不發生變化，在考慮期間沒有臨時床位的增加；2) 假設附錄所給數據真實可

10、靠；3) 假設不存在當天門診病人當天入院的情況；4) 假設每天就診的各類病人數是隨機的，不受特殊情況的影響；5) 假設同一病人同一天不會同時患有兩種疾病。3. 通用符號說明序號符號符號說明1第天安排給第類病人的病床數量2第天等待隊列中的第類病人數3第天新到的第類病人數4第天第類疾病第個病人的到達時間5病人期內總等待時間6期內病床平均周轉率7期內病床使用率8潛在病人流失率4. 問題一：評價指標體系的建立、評價方法和評價模型4.1問題分析 問題一要求建立合理的評價指標體系，用來評價病床安排模型的優劣。制定評價指標體系是模型評價的基礎，它由評價指標集的識別和指標體系遞階結構的建立兩部分組成。為了使模

11、型評價指標體系全面地反映出模型的性能，盡可能地做到科學合理，且符合實際情況，所以必須認真分析問題的組成和建模目標。從所給信息來看，本題既包括眼科門診病人的類型、門診時間，又包括病人入院時間、手術時間和出院時間。從目標上看，本題要求建立病床安排模型。因此制定指標評價體系時，除了采用醫療機構通用的規范性指標外，還應該充分考慮到病人門診等待時間和住院時間等，從而制定科學合理的指標評價體系。模型評價時，本文結合目前給定的病床安排數據和我國當前一般醫院的實際情況，采用常用的密切值法、TOPSIS法和RSR法（秩和比法）三種綜合評價法，同時進行綜合比較評價，從而得出更為科學準確的結論。4.2評價指標體系本

12、題評價指標體系制定的難點在于醫院安排受到許多因素的影響，這些因素又多具有交叉重復，為了使評價指標體系全面客觀、科學合理，本文借鑒專家知識經驗和醫療機構的通用指標，結合附錄中所給的數據，制定了兩類指標1-5：一類為門診相關指標，包括門診病人平均等待時間、門診等待平均隊長、病人平均滿意度；二類為病床相關指標，包括出院者平均住院日數、病床平均工作日、病床平均周轉率、實際病床利用率。指標遞階次序按上述指標排列先后次序從低到高。4.3評價方法本文的評價對象為問題二中建立的病床安排模型，評價的目的是針對上述評價指標，采用合理的綜合評價方法對該醫院眼科原有的病床安排方法和所建模型中病床的安排策略進行綜合對比

13、分析，從而評價病床安排模型的優劣，為該醫院眼科病床的安排提供決策依據。由于醫院病床的安排受到許多因素的交叉作用和影響，要全面、準確、客觀、簡便地評價一個病床安排模型的優劣，選擇合適的綜合評價方法顯得尤為重要。目前醫療機構經常采用的綜合評價方法有密切值法、TOPSIS法、RSR法（秩和比法）等。其中密切值法作為一種綜合評價方法，能夠準確合理地評價醫院工作質量，其計算方法簡便，結果直觀可靠。TOPSIS法具有計算簡便、結構合理和應用靈活的特點。RSR法也是一種綜合評價方法，它以非參數法為基礎，對指標的選擇無特殊要求，綜合能力強，可顯示微小變動，適用于各種對象，且簡單易行，使用方便。這些方法不僅可用

14、于醫院之間的比較，還可用于醫院某部門不同病床安排模型之間的比較。一般來講，用上述三種方法之一即可實現對三個對象的評價，但為了使評價的結果更加全面準確，本文利用三種方法分別進行綜合評價，從而得出更為科學的評價結論。4.4綜合評價模型4.4.1模型準備1、評價對象本文選取該醫院病床的安排方法、本文欲建立的病床安排模型、一般醫院病床安排的統計數據作為評價比較對象。為了便于敘述，對各評價對象進行編號，代號如下：該醫院原有的病床安排模型；本文欲建立的病床安排模型；一般醫院的病床安排模型。2、評價指標根據對問題一的分析，為了使評價指標體系全面客觀、科學合理，本文選取了七個綜合評價指標，并把它們分為高優指標

15、和低優指標：門診病人平均等待時間（低優）、門診等待平均隊長（低優）、病人平均滿意度（高優）、出院者平均住床日數（低優）、平均病床工作日（高優）、病床平均周轉率（高優）、實際病床利用率（高優），具體數據可表示如下：上式中，分別表示I、II、III評價對象。設由三個評價對象的各評價指標組成的原始數據矩陣如表1所示：表1 原始數據矩陣模型低優低優高優低優高優高優高優4.4.2評價模型的建立采用密切值法、Topsis法和RSR法對上述三種病床安排模型優劣進行綜合評價，由于評價對象的各指標值需在問題二中確定，因此這里僅給出各種評價方法的評價模型，綜合評價結果將在問題二的模型建立和求解之后給出。各綜合評價

16、模型建立的具體步驟如下:1、密切值法（1）建立原始數據矩陣因有3個評價對象，每個對象有7個評價指標，故得原始數據矩陣如下： （1）（2）建立標準化指標矩陣因為要使評價結果更為合理，需將矩陣中各項指標的原始數據依據下列公式進行標準化處理： （2）其中，為第個評價對象的第個指標標化值，表示各評價對象，為各評價指標的順序。設高優指標為正向指標，低優指標為負向指標，當評價指標為正向指標時取正值；當評價指標為負向指標時取負值（即），從而可將矩陣轉化為標準化指標矩陣（即正向指標矩陣）。（3）確定“最優點”和“最劣點”根據標準化指標矩陣中各列的最大值和最小值建立最優點和最劣點。 （3） （4）其中， （4）

17、計算各評價對象到“最優點”與“最劣點”的距離 （5） （6）（5）計算各模型的密切值 （7）其中，。當密切值越小時，表明該模型與“最優點”關系越密切，與“最劣點”關系越疏遠，即質量越高。時，病床利用率最高，即為“最優點”。2、Topsis法（1）建立原始數據矩陣建立一個3行7列矩陣同公式（1）。（2）原始數據同趨勢化將原始數據低優指標（、）采用倒數法轉化為高優指標。（3）數據的歸一化根據下列公式對同趨勢化后的數據進行歸一化處理，從而得到歸一化矩陣： （8）其中，是原高優指標，。 （9）其中，為原低優指標的倒數值，。（4）確定各指標最優向量與最劣向量根據矩陣Z中各列的最大值和最小值建立最優向量和

18、最劣向量矩陣。 （10） （11）（5）計算各評價對象的指標值與最優值、最劣值的距離根據下列公式進行求解： （12） （13） （6）計算各評價對象的指標值與最優值的相對接近程度根據下列公式計算值： （14）其中，值越接近于1說明評價對象越接近于最優值；值越接近于0說明評價對象越接近于最劣值。3、RSR法（1）編秩選取原始數據矩陣如表1，并分別將各項指標由優至劣編秩，指標值相同者取平均秩次,具體編秩方法如下：高優指標：病人平均滿意度（高優）、平均病床工作日（高優）、病床平均周轉率（高優）、實際病床利用率（高優），編秩方法為：最大值編以最高秩次，次大值編以，最小值編以1。低優指標：門診病人平均等

19、待時間（低優）、門診等待平均隊長（低優）、出院者平均住床日數（低優）。編秩方法為：最大值編以1，次大值編以2，最小值編以。（2）計算值該問題有7個評價指標，3個評價對象，因此的計算公式為： （15）其中，為第行第列元素的秩次，表示各評價對象，為各評價指標的順序。（3）確定分布根據問題二的求解，將三種模型的病床利用率值由小到大排列起來，計算向下累計頻率，并求其所對應的概率單位值。（4）計算回歸方程經相關回歸分析，值與高度線性相關。以為自變量，值為因變量可，計算回歸方程：。表2 RSR計算表模型IIIIII（5）分檔排序結果：根據回歸方程確定分檔界值，按最佳分檔得到分檔排序結果。借助上述三個方法的

20、評價模型，本文可以對三個評價對象進行綜合比較，從而得出相應的評價結論。4.4.3綜合評價結果以上三種科學的評價方法對資料無特殊要求，直觀、可靠、簡便易行，有較高的使用價值，可以為管理者提供科學的決策信息，亦廣泛應用于醫療評價問題。TOPSIS法對于原始資料信息利用最為充分，但不能進行分檔，而RSR法正好相反，密切法操作簡單但不夠精確，三種方法結合使用，有利于提高統計分析的效能，其結果比較如表9所示。上述評價模型建立后，可以在第二個問題中予以使用。5. 問題二：模型分析、建立、求解和評價5.1問題分析本問題要求在已知住院部當前信息的條件下建一個合理的病床安排模型。由問題一確定的評價指標體系可知，

21、一個合理的病床安排模型應該滿足病人平均等待時間最短、病床平均周轉次數最大、病床利用率最大等一系列指標。考慮到每天新增的病人數、出院人數和每類病人的平均住院時間不同，本文建立了一個基于滿意度的動態規劃模型。動態規劃（dynamic programming）是運籌學的一個分支，是求解決策過程最優化的數學方法。自問世以來，動態規劃在最優控制、經濟管理、生產調度等方面得到了廣泛的應用。本文以每天的等待隊列人數為狀態變量，將給每天各類病人安排的床位數作為決策變量。考慮到本題是要從等待隊列中挑選出入院的病人，而這一過程類似于操作系統中作業調度算法，因此在優化策略引入了“優先級”這一指標，從而按照優先級從高

22、到低的順序確定每天安排給各類病人的床位數。模型求解后，依據問題一中建立的綜合評價模型，對該醫院目前的病床安排方法（I）、本文欲建立的病床安排模型（II）和一般醫院的病床安排情況（III）做了綜合比較評價。結果表明，利用動態規劃模型求得的病床安排方案比現行的“先來先服務”規則制定的方案要優。5.2模型建立5.2.1模型準備1、滿意度定義及其量化方法滿意度用以描述病人等待時的心里承受程度，主要由病人的入院等待時間決定。病人的等待時間越短，則滿意度越高；反之，滿意度越小。本文將對病人滿意度進行量化，使滿意度值分布在01之間。當病人滿意度為1時，表示滿意度最高，值越小，滿意度越低。對此，引入偏小型柯西

23、分布函數來進行量化，其函數形式為: （16）由于所給病人類型有四種：外傷、白內障、青光眼、視網膜疾病。因為白內障（雙眼）和白內障（單眼）的手術時間不同，住院時間也不一樣，我們把它們視為兩種不同類型的疾病。故可視為該眼科有五類病人：外傷、白內障（雙眼）、白內障（單眼）、青光眼、視網膜疾病。因外傷病人門診后的第二天就會入院接受治療，故其滿意度必為一個值等于1的常數函數。此外，其他病人的滿意度值均需通過分布函數求解。由附錄所給數據通過聚類分析法可求得各類病人平均住院時間：外傷病人平均住院時間為7天，白內障(雙眼)病人平均住院時間為9天，白內障(單眼)病人平均住院時間為6天，視網膜疾病病人平均住院時間

24、為11天，青光眼病人平均住院時間為13天。下面以白內障(雙眼)病人為例給出該類病人滿意度分布函數及求解方法：由于白內障(雙眼)病人平均住院時間為9天，可以取，由三點值可求得參數為，于是得到函數表達式為： （17）同理可得白內障(單眼)病人的滿意度分布函數表達式為： （18）青光眼疾病病人的滿意度分布函數表達式為： （19）視網膜疾病病人的滿意度分布函數表達式為： （20）上述各函數的圖像如下所示6-9：圖1 病人滿意度量化函數2、空床數預測在病床安排模型中，必須要知道每天的空床數，即每天的出院人數。附錄中表2的數據是9月11日這天病床的占用情況。數據表明，79個病床均被人占用，沒用空床。為了求

25、出9月11日這天及其以后每一天的空床數，必須對現在正在住院的79位病人的出院日期給出預測。為此，對問題附錄中表1的數據進行統計處理，可求出每類病人的平均住院時間。由于數據信息量很大，本文將每類病人的平均住院時間作為每類病人的住院時間。根據所給數據，可以預測現在79位病人的出院時間，從而篩選出每天的空床數。以9月11日為例，該天的出院人數為：表3 9月11日的空床數疾病類型外傷白內障（雙眼）白內障（單眼）青光眼視網膜疾病出院人數000325.2.2動態規劃模型建立10-111、階段的劃分階段是對整個過程的自然劃分，通常根據時間順序或空間特征來劃分階段，一般按階段的次序解優化問題。根據本題的實際情

26、況，我們將每一天作為一個階段，階段變量，分別表示第天，表示考察期。如表示9月11日這天，以后以此類推。2、狀態向量的確定狀態表示每個階段開始時過程所處的自然狀況。它應能描述過程的特征并且無后效性，即當某階段的狀態變量給定時，這個階段以后過程的演變與該階段以前各階段的狀態無關。為了表示方便，本文將外傷、白內障（雙眼）、白內障（單眼）、清光眼、視網膜疾病分別定義為第類疾病。本文取狀態變量為每天某類門診病人對病床的需求數量。設表示第天第類疾病的病床需求數，則狀態為一向量，且3、決策變量決策變量即所要求解的變量，當一個階段的狀態確定后，決策變量決定它將演變到下一階段的狀態。本文以每天安排等待隊列中第類

27、病的病床數為決策變量，它們構成一個決策向量，即 （21）4、 策略的確定決策組成的序列成為策略，由初始狀態開始的全過程的策略記作，即 （22）5、 狀態轉移方程在確定性過程中，一旦某階段的狀態和決策已知，下階段的狀態便能完全確定。根據問題的實際情況，本文建立如下的狀態轉移方程： （23）其中，表示第天第類病人的新增人數。6、 指標函數和最優函數a）指標函數指標函數是衡量過程優劣的數量指標，是定義在全過程和所有后部子過程上的數量函數。通過問題一確定的評價指標體系可知，一個合理的病床安排模型應該使得病人的平均等待時間最短、病床平均周轉率最大及病床利用率最大等。經綜合考慮后，本文將病人平均等待時間、

28、病床平均周轉率、病床利用率和潛在流失率作為指標函數。具體表示如下：（1）期內病人平均等待時間一個合理的住院安排方案，自然希望目前病人等待時間最短。設表示第天第類疾病第個病人的到達時間。其中表示9月11日，以后以此類推。表示第天第種病第個病人的目前住院時間，則第天第種病第個病人的等待時間為： （24）所以病人在觀測期內總等待時間。（2）期內病床平均周轉率病床平均平均周轉率一直是衡量醫院病床綜合利用率的重要指標。病床平均平均周轉率越大，表明單位時間接受醫院服務的病人越多，病床安排模型越合理。設表示第天分配給第類病人的床位數，則在觀測期內病床平均周轉率為： （25）（3）期內病床使用率所謂期內病床使

29、用率是指在觀測期內病床實際工作日數與病床可以提供的最大工作日數的比值。其具體數學表達式為： （26）其中，為第類病人的平均到達時間。（4）期內潛在流失率考慮到實際情況，當病人等待時間過長導致滿意度降低時，該病人很可能會轉院。顯然，一個合理科學的模型應該使轉院人數最低。本文將此部分人數與總人數比值定義為潛在流失率。 （27）其中，為病人滿意度不超過30%的病人數；為病人總人數。b）最優函數結合實際情況，本文利用加權系數法將以上個指標綜合為最優函數，上述四個指標的權重非別為-0.5，0.21，0.26，0.03，則最優函數為： （28）7、優化策略使指標函數達到最優值的策略是從開始的后部子過程的最

30、優策略，通過最優策略和狀態轉移方程，便可以求出最優決策變量的值。由于本題是要從等待隊列中篩選出入院的病人，而這一過程類似于操作系統中作業調度算法。考慮到疾病的類型不同，與其對應的平均住院時間則不同。此外，不同的疾病還有治療時間限制，如白內障只有周一和周三可以接受治療。因而如果只考慮先來先服務的安排原則必然導致等待隊列越來越長，并且很可能出現非必須住院的病人占著病床資源，引起浪費。綜合以上各種因素，本文引入“優先級”這一參數，并按照優先級高者優先原則確定每天入院的病人。對于優先級的確定，本文建立了以病人滿意度及手術時間限制為自變量的優先級函數。病人滿意度即病人對等待時間的心里反映。顯然，病人等待

31、時間越短，其滿意度越高。病人等待的時間越長，病人的滿意度越低，醫院應該優先安排此類病人入院，故本文取病人滿意度的倒數作為衡量優先級的一個指標。1）病人滿意度：病人滿意度的確定在5.2.1模型準備中已給出。2）手術時間限制對于手術時間的限制，本文分別就橫向和縱向兩個方面進行考慮。所謂橫向即為同一種疾病手術時間的選擇，例如白內障（單眼）病人只有周一和周三可以進行手術治療，并且要有1至2天的術前準備時間，因而白內障病人在周一、周五、周六、周日的優先級應該比周二、周三、周四高。所謂縱向比較即為同一天不同類型病人優先級的差異。例如，同為周六，顯然白內障病人的優先級要大于青光眼和視網膜疾病病人。這里通過調

32、節優先級函數的系數進行控制。由于外傷病人屬于急癥病人，因而每天的優先級都為最高。考慮到如果某天沒有空床，則該天來的外傷病人要進入等待隊列等待，顯然該天的外傷病人要比第二天新來的病人擁有更高的優先級。則外傷病人的優先級函數為：對于白內障（雙眼）病人，由于該類病人只能在周一治療第一只眼，在周三治療第二只眼，并且術前準備為1至2天。所以為了減少該類病人的等待時間，需將該類病人在周六周日的優先級設定為僅小于外傷病人的優先級。同時為了盡量減少該類病人的非必須時間，將該類病人在其他時間的優先級設置為0。則白內障（雙眼）病人的優先級函數為： （29）對于白內障（單眼）病人，由于該類病人只能在周一和周三治療，

33、并且術前準備為1至2天。所以為了減少該類病人的等待時間，同時考慮到白內障（單眼）病人周一無法治療，還可選擇周三，而雙眼病人則必須為連續的兩天，故將該類病人在周五、周六的優先級設定為小于白內障（雙眼）病人的優先級。而在周日和周一設定其優先級高于青光眼和視網膜疾病病人。同時為了盡量減少該類病人的非必須時間，將該類病人在其他時間的優先級設置為0，則白內障（單眼）病人的優先級函數為： （30）對于青光眼和視網膜疾病病人，由于僅限制其手術時間不能為周一和周三，但考慮到該類病人的術前準備為2至3天，因而該類病人每一天均可入院，只是其優先級函數系數較低。則青光眼病人的優先級函數為： （31）視網膜疾病病人的

34、優先級函數為： （32） 通過以上優先級函數，便可以對每天排隊等待的病人分別求出其對應的優先級，而后按照優先級排序，結合每天的出院人數，便可以給出最優決策。5.2.3模型求解與結果分析在模型準備中，求解出9月11日出院人數為5人，利用模型中建立的狀態轉移方程和最優策略中優先級函數，利用編寫程序，求得安排方案見表4：表4 9月11日入住病人安排方案入院先后順序入住病人類型病人序號門診時間優先級數值1青光眼32008-8-3012.31262青光眼82008-8-3110.00123青光眼132008-8-3110.00124視網膜疾病22008-8-308.23103視網膜疾病42008-8-3

35、08.2310通過求解結果，可以看出9月11日入院的病人類型僅為青光眼和視網膜疾病兩種。而且門診時間在8月30日左右。考慮到實際情況，9月11日是周四，即使分配給白內障病人，由于其術前準備時間為1至2天，也會帶來1至3天的非必要住院時間。5.2.4模型評價在求解了本文欲建立的病床安排模型后，就可以根據問題一中建立的綜合評價模型，對該醫院目前病床安排方法（I）、本文欲建立的病床安排模型（II）和一般醫院病床安排情況（III）做綜合評價比較。由本文計算得到的模型I、II的相關數據（見附錄4），以及專家提供的III模型數據，可以列出以下原始數據矩陣：表5 原始數據矩陣模型10.6735103.909

36、10.03508.93889.51.240511.78476.980296.81820.24269.200011.01.278514.06358.457595.65460.23009.125310.41.260013.1520低優低優高優低優高優高優高優注：，分別代表指標：門診病人平均等待時間、門診等待平均隊長、病人平均滿意度、出院者平均住床日數、平均病床工作日、病床平均周轉率、實際病床利用率。根據原始數據進行逐步求解，得到以下求解結果： 1） 密切值法評價結果：表6 各模型密切值排序模型排序結果I0.1007580.0704121.2083123II0.9809030.9766370.513

37、1352III0.0024470.000330.10359312）Topsis法評價結果：表7 不同模型指標值與最優值的相對接近程度與排序結果模型排序結果I0.67710.01680.02913II0.02030.67630.97581III0.13760.59950.186723）RSR法評價結果：表8 分檔排序結果等級Y排序分檔結果上3.8790.4286II中4.0310.7619III下4.0570.8095I4）三種方法求解結果比較：表9 三種綜合分析方法結果比較比較對象排序結果密切值法TOPSIS法RSR法I333II211III122由表9可以看到，三種方法的綜合評價結果均顯示目

38、前該醫院病床安排方法（I）最差，急需改進。而相比之下，本文欲建立的病床安排模型（II）和一般醫院病床安排情況（III）差別較小，密切值法評價結果中模型III優于模型II，Topsis法與RSR法評價結果則顯示模型II優于模型III。6. 問題三：預測模型建立、入住時間區間的求解6.1問題分析問題三要求根據當時住院病人及等待住院病人的統計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區間。本文假設該醫院已經施行在病人門診時即告知其大致入住時間區間的政策，則當某天病人前來問診時，當前該醫院眼科病床安排情況分為：一為該天病床均被占用，無空床數；二為該天以后-1天內空床位均被分配給比病人先到的病人。于是，病人

39、的床位安排只能從第天及其以后的空床位開始。由于各類疾病輕重緩急、治療時間各不相同，每天的病床安排需依據各類疾病病人的優先級，為優先級較高的病人預留床位。因此，為病人安排床位時又要考慮到兩種情況：一是該天將要到達的人中沒有比的優先級高的病人，可將第天將會空閑的床位優先安排給他；二是當該天內有比病人的優先級高的病人前來接受門診，則先給優先級高的病人安排床位后，剩余床位優先安排給病人。要為優先級較高的病人預留床位就要事先知道該天將要就診的各類病人數目，本文借用季節性模型對此進行預測。6.2模型準備由于該醫院各類眼科手術在一周內有嚴格的時間安排，多數病人在決定前來問診時會進行權衡，選擇合適的時間。各類

40、病人到該醫院眼科接受門診的病人數具有很明顯的周期規律性，因此，可以運用季節性模型對9月11日以后前來接受門診的病人病情類型及數目進行預測。該醫院每天前來眼科問診的各類病人及數目，是一個由諸多因素引起周期性變化的序列，這種序列稱為季節性時間序列，與其相應的模型就叫做季節性模型。一般地，對周期S的序列，可進行差分運算：對于季節性模型，可以用一類疏系數APIMA模型描述。現在S=7為整數。時間序列，滿足以下模型： （33）則稱是周期為7的季節性時間序列。其中 （34）式（33）中，一般不必是白噪聲，而可設它是另一個序列 （35）由式（33），可得： （36） （37）令，得 （38）式（38）稱為乘

41、積型季節性模型，其階數常用表示。式中的是由原來序列 經差分 得到的，經過這樣與運算，可以消除序列 的非平穩性（趨勢性）與季節性（周期性）。式（38）是一種疏系數模型，它反映了序列相鄰時刻與相隔為周期S的時刻之間復雜變化的規律。在對該醫院每天前來眼科問診的各類病人及數目進行預測時，首先要進行時間序列模型定價，因為序列有7天的周期性，故對問題附錄中第三個表的數據做下列差分運算：對進行稠密系數APIMA模型擬合。用選取的的各種階數形式進行試算，用AIC標準尋求最優解，再利用得到的模型進行9月11日以后前來接受門診的病人病情類型及數目的預測。6.3模型建立與求解假設該醫院已經施行在病人門診時即告知其大

42、致入住時間區間的政策，這種政策秉著公平及床位利用率最高的原則。則某天到來一位病人，由于前面的病人均已被告知入院時間，那么剛到的病人就是需要根據優先級進行床位安排的第一個人，其前面的任何一個住院病人及等待住院病人的統計情況均可作為影響病人入住時間的因素。為了保證公平原則，按照先來先安排、先到先告知的床位安排策略，根據當前病床被占用、分配、預留情況和病人的優先級安排入院時間；為了保證床位利用率最高原則，當有病人等待時不允許有空床，即當一個病人出院時，立刻有病人離開等待隊列入院，體現在病床預先安排上就是不允許跳過當前第一個將要空出的床位，而進行第二個將要空出床位的安排。假設某天（）病人門診時醫院告知

43、其大致入住時間區間為，則求解這個區間需要做以下工作：對各類病情按照外傷、白內障（雙眼）、白內障（單眼）、青光眼、視網膜疾病的順序進行編號1，2，3，4，5。分別求出各類病情病人的優先級：各類病情病人優先級由病情程度與優先因子（1/滿意度）決定，各種病的優先級函數可見問題二，代入等待時間，可知第1，2，3，4，5類病情病人安排床位優先級的大小順序。預測統計該天內應到病人類型及其數目：利用第二問的預測模型，可以得到第1，2，3，4，5類病情病人該天內應到病人數目，假設按順序分別為、。確定床位空閑起始時刻及數目：根據當前住院病人及等待住院病人的統計情況，推斷出病床有空閑的起始時刻第天，以及第天將會空

44、閑的床位數。即隨著時間推移，第天的空閑床位數分別為：。預留優先級高的病人床位： 有些類型病情的病人，雖然可能不是該天第一個接受門診的，但由于某些情況的限制可能必須先安排入院（如外傷，在第一天門診后必須第二天入院），醫院就需要給該天內應到的此類病人按照緩急程度（優先級）預留床位。根據中求解得到的各0類病人優先級以及中預測得到的該天內應到各類病人數目，為優先級高的病人預留床位。判斷是否有比病人優先級高的病人：經過以上處理后，剩余床位優先安排給病人，會出現以下兩種情況：（1）當該天內沒有比病人的優先級高的病人前來接受門診時，可將第天將會空閑的床位優先安排給病人。（2）當該天內有比病人的優先級高的病人

45、前來接受門診時，先給優先級高的病人安排床位后，剩余床位優先安排給病人。入住時間區間的上下限求解：顯然，情況（1）時，病人等待時間最短，即可在第天入住，因此，入住時間區間的下限。情況（2）時，由于第天的空閑床位數分別為：， ，則病人到來時還未正式分配的床位數（包括預留床位）為 （39）記為第類病情病人，比起優先安排床位的病人有 位，則，可給安排給病人的床位數還剩： （40）根據剩余床位優先安排給病人的原則，可將上式的第一個床位安排給他。假設，即比病人的優先級高的病人占用了天積累的空閑病床數，病人入住時間可安排在第天。因此，入住時間區間的上限。入住時間區間的最終確定：綜上所述，病人門診時醫院告知其

46、大致入住時間區間為：注：表示病人門診時間；表示病床有空閑的起始時間；表示比病人的優先級高的病人占用的病床數從開始的積累天數。確定各類病人優先級排序某天（T）病人Person前來門診 預測該天各類病人數目確定床位空閑起始時間與數目對各類病情編號優先級Person的病人情況情況確定下限確定上限得到入住時間區間 其求解過程如圖2所示：圖2 入住時間區間求解過程流程圖7. 問題四：模型分析、建立、求解和評價7.1問題分析在問題四的求解中，本文首先在假定不改變當前手術安排時間的前提下，對問題中給出的周六、周日不安排手術的情況進行討論。在這兩種假設下，對于病床方案的重新分配，只需通過改變它們的優先級函數，

47、而后利用問題二的求解方法求出分配方案。為了判斷是否要改變手術安排時間，只需檢驗求解結果是否合理，就此本文分別求出了問題一給出的各指標值，并與該醫院目前病床安排方法（I）、本文欲建立的病床安排模型（II）和一般醫院病床安排情況（III）做綜合評價比較。比較結果表明，此種條件下的病床分配方案導致了病人的平均等待時間過長，平均隊長增大，病人滿意度下降。因而，為了提高病床的綜合利用率，需要調整手術安排時間。7.2優先級函數的修改如果周六、周日不安排手術，對各類病人都會有一定程度影響，影響最大的是青光眼和視網膜疾病病人，對白內障病人影響很小。由于這一措施的實施會對優先級產生一定影響，因而結合問題二，本文

48、分別對各類病人的優先級函數進行修改，找到在此條件下的最優策略，從而給出新的病床安排方案。以下分別討論在周六周日不安排手術的情況下，各類病人的優先級函數的變動。對于外傷病人，如果該類病人的門診時間為周五或者周六，那么他或者等待一兩天后到周一接受手術治療，或者選擇轉院。考慮到外傷一般是急癥，所以本文認為該類病人會選擇轉院。即在采取這種措施以后，周五周六將沒有外傷病人前來門診。 所以外傷病人的優先級函數為： （41）對于白內障病人，因為白內障病人的手術時間為周一和周三。在問題二中，考慮到白內障（雙眼）病人如果周四門診，則至少需要等待3天才可以接受治療。但白內障（雙眼）病人的術前準備為1至2天，所以如

49、果該病人周四入住，僅浪費一天的床位資源，因而可以在周四入住。現在若周六、周日不安排手術，對于青光眼和視網膜疾病的兩類病人來說，如果這兩類病人周四入院，則要在等4天后，即下周二才可以入院。而這兩類病人的術前準備時間為2至3天，因而浪費了1至2天的床位使用時間。對于周五，類似考慮。綜合考慮后，白內障（雙眼）的優先級函數為： （42）白內障（單眼）的優先級函數為： （43）青光眼的優先級函數為： （44）視網膜疾病的優先級函數為： （45）7.3模型求解與結果分析利用模型二的求解程序，對優先級函數做適當改變后，利用求解結果見下表： 表10 9月11日入院病人情況（周六和周日不安排手術）入院先后順序疾

50、病類型門診時間優先級數值1白內障（雙眼）2008-8-3019362白內障（單眼）2008-8-3019363視網膜疾病2008-8-3115304視網膜疾病2008-9-11271.25白內障（雙眼）2008-9-11271.2為了判斷是否改變手術安排時間，本文同樣利用相關數據求出問題一中給出的各種評價指標，并通過與該醫院目前病床安排方法（I）、本文欲建立的病床安排模型（II）和一般醫院病床安排情況（III）做綜合評價比較。得到原始數據見見表。表11 原始數據矩陣模型10.6735103.90910.03508.93889.51.240511.78476.980296.81820.24269.200011.01.278514.06358.457595.65460.23009.125310.41.260013.15209.468597.72730.21398.9550111.305112.4561低優低優高優低優高優高優高優注