1、知識點 19二次函數幾何方面的應用 2019第一批一、選擇題1. （2019·樂山）如圖，拋物線 y = 1 x2 - 4 與 x 軸交于 A 、 B 兩點， P 是以點C （0,3）為圓心，24為半徑的圓上的動點， Q 是線段 PA的中點，連結OQ .則線段OQ 的最大值是（）417C2D 4A 3B2【】C【】連接 PB，令 y = 1 x2 - 4 =0，得 x= ±4 ，故 A（-4，），（4，0），O4是 AB 的中點，又Q 是線段 PA的中點，OQ= 1 PB，點 B 是圓 C 外一點，2當 PB 過圓心 C 時，PB 最大，OQ 也最大，此時 OC=3，OB=

2、4，由勾股定OQ=PB= 7 ，故選 C.1理可得 BC=5， PB=BC+PC=5+2=7，22二、填空題1. （2019·無錫）如圖，在DABC 中，AB=AC=5，BC= 4 5 ， D 為邊 AB 上一動點( B 點除外)，以CD為一邊作正方形 CDEF ，連接 BE ，則 DBDE 面積的最大值為.【】81【】過 D 作 DGBC 于 G，過 A 作 ANBC 于 N，過 E 作 EHHG 于 H，延長 ED 交 BC 于 M.易證EHDDGC，可設 DG=HE=x，AB=AC=5，BC= 4 5 ，ANBC，BN= 1 BC=25 ，AN=2BGBNAB2 - BN 2

3、= 5 ，GBC，ANBC，DGAN，= 2 ，BG=2x，CG=HD=45 - 2x；DGANx2x = 4 5 - 2xHEGMHD1，即 MG =，易證HEDGMD，于是，所以 SBDE =BMGDGMx4 5 - 2x25 ö25 æx21544 55×HD=×（2x -2）×（4 5 - 2x）= -x2 + 4 5x = - ç x -+ 8 ，當 x=時，SBDE÷4 5 - 2x22 è5ø的最大值為 8.2. (2019· 臺州)如圖,直線 l1l2l3,A,B,C 分別為直線

4、 l1,l2,l3 上的動點,連接 AB,BC,AC,線段 AC 交直線l2 于點 D.設直線 l1,l2 之間的距離為 m,直線 l2,l3 之間的距離為n,若ABC90°,BD4,且 m = 2 ,則m+nn3的最大值為.】 253【】過點 B 作 BEl1 于點 E,作 BFl3 于點 F,過點 A 作 ANl2 于點 N,過點 C 作 CMl2 于點 M,設AEx,CFy,則BNx,BMy,BD4,DMy4,DN4x,ABC90°,且AEBBFC90°,CMDAND90°,易得AEBBFC,CMDAND, AE =BExm,即 =,mnxy,BF

5、CFny= DN ,即 m = 4 - x = 2 ,y10 3 x , m = 2 ,n 3 m,m+n 5 m,mnxyx(10 3 x ) ANCMDMny - 432n322223310503503103525 2 x2+10x 2 m2,當x時,mn 取得最大值為, 2 m2,m 最大,m+n 2 m.33313. （2019·涼山）如圖，正方形 ABCD 中，AB=12, AE = AB，點 P 在 BC 上運動 （不與 B、C 重合），4過點 P 作 PQEP，交 CD 于點 Q，則 CQ 的最大值為.【】41【】在正方形 ABCD 中，AB=12, AE = AB=3

6、，BC=AB=12，BE=9，設 BP=x，則 CP=12-x.4PQEP，EPQ=B=C=90°，BEP+BPE=CPQ+BPE=90°，BEP=CPQ，CQPCCQ12 - x12EBPPCQ，=，=，整理得 CQ= -(x - 6) + 4 ，當 x=6 時，CQ 取BPBE為 4.x99得最大值為 4.故三、解答題25（2019 山東煙臺，25，13 分）如圖，頂點為 M 的拋物線 y = ax2 + bx + 3 與 x 軸交于 A(-1, 0) ， B 兩點，與 y 軸交于點 C，過點C 作CD y 軸交拋物線與另一個點 D，作 DE x 軸，垂足為點 E雙曲線

7、 y = 6 (x > 0) 經過點xD，連接 MD，BD3(1)求拋物線的式(2)點 N，F 分別是 x 軸，y 軸上的兩點，當 M，D，N，F 為頂點的四邊形周長最小時，求出點 N，F 的坐標；(3)動點 P 從點 O 出發，以每秒 1 個長度的速度沿 OC 方向運動，運動時間為 t 秒，當 t 為何值時， ÐBPD 的度數最大？（請直接寫出結果）【解題過程】（1）當 x = 0 時 y = a ´ 02 + b ´ 0 + 3 = 3所以OC = 3 ， C(0,3) ，因為CD y 軸， DE x 軸， CO EO ，所以四邊形 OEDC 為矩形，6

8、又因為雙曲線 y =(x > 0) 經過點 D，x= 6,所以 S矩形OEDC所以CD = S矩形OEDC= 2 ,OC所以 D(2, 3)將點 A(-1, 0) 、 D(2, 3) 代入拋物線 y = ax2 + bx + 3 得4ìa - b + 3 = 0ìa = -1í4a + 2b + 3 = 3í解得b = 2îî所以拋物線的表達式為 y = -x2 + 2x + 3 （2）解：作點 D 關于 x 軸的對稱點 H ，作點 M 關于 y 軸的對稱點 I ，如圖（1）第 25 題答圖（1）由圖形軸對稱的性質可知 FM =

9、 FI ， ND = NH ，所以四邊形 MDNF 的周長= MD + DN + FN + FM = MD + NH + FN + FI ， 因為 MD 是定值，所以當 NH + FN + FI 最小時，四邊形 MDNF 的周長最小，因為兩點之間線段最短，所以當 I、F、N、H 在同一條直線上時 NH + FN + FI 最小所以當 I、F、N、H 在同一條直線上時，四邊形 MDNF 的周長最小，連接 HI ，交 x 軸于點 N，交 y 軸于點 F，因為拋物線的表達式為 y = -x2 + 2x + 3 ，所以點 M 的坐標為(1, 4) ，由軸對稱的性質可得， I (-1, 4) ， H (

10、2, -3) ，設直線 HI 的表達式為 y = mx + n ，ì-m + n = 4í所以，2m + n = -3î5ìm =- 7ï3解得í，53ïn =ïî75所以直線 HI 的表達式為 y = -x +，33當 x = 0 時， y = 5 ，3當 y = 0 時， 0 = - 7 x + 5 ，所以 x = 5 ，33755所以 F (0, ) ， N ( , 0) ，3755所以當 M，D，N，F 為頂點的四邊形周長最小時， F (0, ) ， N ( , 0) 37（3）解：本題的為9 -

11、 2 15 解題分析：如圖（2），當兩點 A、B 距離是定值，直線 CD 是一條固定的直線，點 P 在直線 CD 上移動，由下圖可以看出只有當過 A、B 的圓與直線 CD 相切時ÐAPB 最大第 25 題答圖（2）第 25 題答圖（3）所以可作 T 過點 B、D，且與直線 OC 相切，切點為 P，此時ÐBPD 的度數最大，由已知，可得OP = t ， P(0, t)因為直線 OC 與 T 相切，所以TP OC ，6所以直線 PT 的式為 y = t因為拋物線的表達式為 y = -x2 + 2x + 3 ，所以點 B 的坐標為(3, 0) ，因為點 B (3, 0) 、點 D

12、(2, 3)12可以求得直線 BD 的垂直平分線的式為 y =x +33聯立 y = t 與 y = 1 x + 2 ，得 x = 3t - 2 ， y = t33直線 PT 與直線 BD 的交點即為點 M，所以 M (3t - 2, t)因為 MB = MC ,可得3t - 2 =(3t - 2 - 3)2 + (t - 0)2解得t = 9 - 2 15 或t = 9 + 2 15 （舍去）所以當t = 9 - 2 15 時， ÐBPD 的度數最大，二次函數 y = k(x -1)2 + 2 的圖象與一次函數 y = kx - k + 2 的27（2019 江蘇鹽城卷，27，14

13、）圖象交于 A , B 兩點，點 B 在點 A 的右側，直線 AB 分別于 x 軸、 y 軸交于C 、 D 兩點，且 k < 0 .（1）求 A , B 兩點橫坐標；（2） 若OAB 是以OA 為腰的等腰三角形，求 k 的值；（3） 二次函數圖象的對稱軸與 x 軸交于點 E ,是否存在實數 k ，使得ÐODC = 2ÐBEC ，若存在，求出 k的值；若不存在，說明理由.yDABCOx【解題過程】（1）A、B 是 y = k(x -1)2 + 2 與 y = kx - k + 2 的交點7ì y = k (x - 1)2 + 2 k(x -1)(x - 2)

14、= 0 í k(x -1)2+ 2=k(x -1) + 2î y = kx - k + 2 ìx1 =1 ， ìx2 =2 x = 1 ， x = 2í yí y12= 2= 2+kî 1î 2A(1, 2) ， B(2, 2+k) B 點在 A 點的右側A 點橫坐標是1 ， B 點橫坐標 2 .（2）由（1）可知 A(1, 2) 和 B(2, 2+k) O(0,0)5,OB = 4 + (k + 2)2 , AB =k 2 + 1由兩點間距離公式可得： OA=OAB 是以OA 為腰的等腰三角形分為兩種情況： OA

15、=AB 或OA=OB5= k2 +1 k2 = 4 k = ±2當OA=AB 時即 k < 0 k = -25 = 4 + (k + 2)2 (k + 2)2 = 1 k = -1 或 k = -3當OA=OB 時即綜上所述， k = -1 或 k = -2 或 k = -3 .3 或 k = -4 - 7（3）存在， k =- 3【提示】由（1）可知 A(1, 2) 和 B(2, 2+k) .根據題意分為兩種情況：點 B 在點C 左側，點 B 在點C 右側.當點 B 在點C 左側時 2+k>00>k>-2如圖 1，過點 B 作 BH x 軸于點 H ，作 B

16、E 的垂直平分線交 x 軸于點 F ，連接 BF ÐBFH = 2ÐBEC BF =EF，由（1）可知 A(1, 2) 和 B(2, 2+k) .E(1, 0)H (2,0) EH = 1設 BF =EF =m FH =1- m在 RtBFH 中，由 BH 2 + FH 2 =BF 2 得(k + 2)2 + (1- m)2 = m28k 2 + 4k + 5-k 2 -4 + 2kBH m = FH =1 - m = tan ÐBFH =FH= -k 2 - 4k - 32 ÐODC = 2ÐBEC ÐODC=ÐBFH t

17、anÐODC = tanÐBFH C(1,1 - 2 ) OC =1 - 2 ， OD=2 - kkkyD1 - 24 + 2k tan ÐODC = OC = - 1- 1 =k k = OD2 - kkk-k 2 - 4k - 3A k < 0 k = O當點 B 在點C 右側時 2+k<0k<-2如圖，過點 B 作 BM x 軸于點 M ，作 BE 的垂直平分線交 x 軸于點 N ，連接 BN BN=EN ÐBNM = 2ÐBEC由（1）可知 A(1, 2) 和 B(2, 2+k) .E(1, 0) M (2,0) EM

18、 = 1設 BN=EN=n MN =1- n在 RtBMN 中，由 BN2 = MN2 + BM 2 得 n2 = (k + 2)2 + (1- n)2k 2 + 4k + 5-k 2 - 4k - 3 n = MN=1 - n =22= BM4 + 2kBM = - (k + 2) tan ÐBNM=MNk 2 +4k +3 ÐODC = 2ÐBEC ÐODC=ÐBNM tanÐODC = tanÐBNM C(1,1 - 2 ) OC =1 - 2 ， OD=2 - kykkD1 - 24 + 2k tan ÐO

19、DC = OC = - 1- 1 =k3k2 + 8k + 3 = 0OD2 - kkkk 2 +4k +3A k = -4 ± 7 k = -4 -7 k < -233CNxOEMB圖2或 k = -4 - 7綜上所述， k =- 3.3923（2019 江西省，23，12 分）特例感知(1)如圖 1，對于拋物線 y = -x2 - x +1 ， y = -x2 - 2x +1， y = -x2 - 3x +1下列結論正確的序號123是；拋物線 y1 ， y2 ， y3 都經過點 C(0，1)；1拋物線 y2 ， y3 的對稱軸由拋物線 y1 的對稱軸依次向左平移 2 個得到

20、；拋物線 y1 ， y2 ， y3 與直線 y=1 的交點中，相鄰兩點之間的距離相等.形成概念(2)把滿足 yn = -x - nx +1（n 為正整數）的拋物線稱為“系列平移拋物線”.2知識應用在(2)中，如圖 2.“系列平移拋物線”的頂點依次為 P1 ， P2 ， P3 ， Pn ，用含 n 的代數式表示頂點 Pn 的坐標，并寫出該頂點縱坐標 y 與橫坐標 x 之間的關系式；“系列平移拋物線”存在“系列整數點(橫、縱坐標均為整數的點)”： C1 ， C2 ， C3 ， Cn ，其橫坐標分別為-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k 為正整數)，直接寫出相鄰兩點之間的距離；若不相等，說明理

21、由；相鄰兩點之間的距離是否都相等，若相等，在中，直線 y=1 分別交“系列平移拋物線”于點 A1 ， A2 ， A3 ， An ，連接Cn An ，Cn-1 An-1 ，Cn An ， Cn-1 An-1 是否平行？并說明理由.1【解題過程】解：（1）對于拋物線 y = -x2 - x +1 ， y = -x2 - 2x +1， y = -x2 - 3x +1來說，123拋物線 y1 ， y2 ， y3 都經過點 C(0，1)，正確；-1- 21拋物線 y1 ， y2 ， y3 的對稱軸分別為： x1 = - 2´(-1) = - 2 ， x2 = - 2´(-1) = -

22、1 ，- 33x3 = - 2´(-1) = - 2 的1拋物線 y2 ， y3 的對稱軸由拋物線 y1 的對稱軸依次向左平移 2 個得到，正確；拋物線 y1 ， y2 ， y3 與直線 y=1 的另一個交點的橫坐標分別為：-1、-2、-3，拋物線 y1 ， y2 ， y3 與直線 y=1 的交點中，相鄰兩點之間的距離相等.正確.：nn2 + 4（2）由 yn = -x - nx +1可知，頂點坐標為 Pn （ - 2 ，2），4n2 + 4(-2x)2 + 4該頂點縱坐標 y 與橫坐標 x 之間的關系式為 y = x +1；244當橫坐標分別為-k-1，-k-2，-k-3，-k-n

23、(k 為正整數)，對應的縱坐標為：- k 2 - k +1，- k 2 - 2k +1 ，- k 2 - 3k +1 ， - k 2 - nk +1， C C = (-k -1) - (-k - 2)2 + (-k 2 - k +1) - (-k 2 - 2k +1)212=(-k -1+ k + 2)2 + (-k 2 - k +1+ k 2 + 2k -1)2= 1+ k 2 ，C2 C3 = (-k - 2) - (-k - 3) + (-k - 2k +1) - (-k - 3k +1)2222=(-k - 2 + k + 3)2 + (-k 2 - 2k +1+ k 2 + 3k -

24、1)2= 1+ k 2 ，1，Cn-1 Cn =-k - (n -1) - (-k - n)2 +-k 2 - (n -1)k +1 - (-k 2 - nk +1)2=(-k - n +1+ k + n)2 +-k 2 - (n -1)k +1+ k 2 + nk -12= 1+ k 2 ，相鄰兩點的距離相等，且距離為： 1+ k 2 .將 y=1 代入 yn = -x - nx +1可得- x - nx +1 = 1，x=-n（0 舍去），22點 A1 （-1，1）， A2 （-2，1）， A3 （-3，1）， An （-n，1）.當橫坐標分別為-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k

25、為正整數)，對應的縱坐標為：- k 2 - k +1，- k 2 - 2k +1 ，- k 2 - 3k +1 ， - k 2 - nk +1，點C （-k-1，- k 2 - k +1），C （-k-2，- k 2 - 2k +1 ），C （-k-3，- k 2 - 3k +1 ），C （-k-n，123n- k 2 - nk +1）.設Cn An ， Cn-1 An-1 的式分別為：y=px+q，y=mx+n，ì- np + q = 1î(-k - n) p + q = -kì- (n -1)m + n = 1則 í， í，2- nk +1

26、î-k - (n -1)m + n = -k - (n -1)k +12解得 p=k+n，m=k+n-1，pm Cn An ， Cn-1 An-1 不平行.23（2019·山西）綜合與探究如圖,拋物線 yax2+bx+6 經過點 A（2,0）,B(4,0)兩點,與 y 軸交于點 C.點 D 是拋物線上一個動點,設點 D 的橫坐標為 m(1<m<4).連接 AC,BC,DB,DC.(1)求拋物線的函數表達式;(2)當BCD 的面積等于AOC 的面積的 3 時,求 m 的值;4(3)在(2)的條件下,若點 M 是 x 軸上一動點,點 N 是拋物線上一動點,試是否存在

27、這樣的點 M,使得以1點 B,D,M,N 為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在,請直接寫出點 M 的坐標;若不存在,請說明理由.第 23 題圖ìa =- 3ì4a - 2b + 6 = 0,解之,得: ï4 ,2【解題過程】(1)拋物線 yax +bx+6 經過點 A（2,0）,B(4,0)兩點,ííî16a + 4b + 6 = 0ïb = 3ïî2拋物線的函數表達式為: y = - 3 x2 + 3 x + 6 ;42(2)作直線 DEx 軸于點 E,交 BC 于點 G,作 CFDE,垂足為點 F,點

28、A 的坐標為(2,0),OA2,由 x0,得y6,點 C 的坐標為(0,6),OC6,S 1 OA·OC6,SAOCBCD2 3 S 9 .設直線 BC 的函數表達式為 ykx+n,由 B,C 兩點的坐標得:2AOC4ìk =- 3ì4k + n = 0,解之,得: ï322 ,直線BC 的函數表達式為:yx+6.點 Gííïîn = 6în = 6的坐標為(m, 3 m+6),DG - 3 m2 + 3 m + 6 ( 3 m+6) - 3 m2 + 3m .24224點 B 的坐標為(4,0),OB4

29、,SS+S - 3 m2 + 6m . - 3 m2 + 6m 9 ,解之,得 m BCDCDGBDG14423,m21,m 的值為 3.(3)存在點 M,其坐標為:M1(8,0),M2(0,0),M3( 14 ,0),M4( 14 ,0).25（2019·常德）如圖11，已知二次函數圖象的頂點坐標為A（1，4），與坐標軸交于B、C、D三點，且B點的坐標為（1，0）（1）求二次函數的式；（2）在二次函數圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N，且點N在點M的左側，過M、N作x軸的垂線交x軸于點G、H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；（3）當矩形 MNHG 的周長最大時

30、，能否在二次函數圖象上找到一點 P，使PNC 的面積是矩形 MNHG9面積的，若存在，求出該點的橫坐標，若不存在，請說明理由161AAyyDDNMCBGCH OBxOx圖11備用圖式為 y a ( x -1)2 + 4 ，把 B（1，0）代入【解題過程】（1）設拋物線的式得：4a40，解a1，y ( x -1)2 + 4 x2 + 2x + 3 ；（得2）四邊形 MNHG 為矩形，MNx 軸，設MGNHn，把 yn 代入 y x2 + 2x + 3 ，即 n x2 + 2x + 3 ， x2 - 2x + n - 30，由根與系數關系得 xM + xN 2， xM · xN n3，

31、( xM - xN ) ( xM +xN ) 4 xM · xN ， ( xM - xN ) 4222( xM - xN )22 4 - n ，設矩形 MNHG 周長為 C，則 C2（MN4（n3）164n，MNMG）2（2 4 - n n）4 4 - n 2n，令 4 - n t，則 n4 t 2 ，C2 t 2 4t82 (t -1)2 +10 ，20，t1 時，周長有最大值，最大值為 10；（3）在（2）的條件下，當矩形周長最大時 t1， 4 - n 1，n3，MN24 - n 2，D（0，3），9 27 ，8此時 N 與 D 重合， S2×36， SS16MNHGP

32、NCMNHGAy又當 y0 時 0 x2 + 2x + 3 ，解得 x 1，x 3，C（3，P12(N)DM0），D（0，3），直線 CD 的式為 yx+3，過 P 做 y 軸的平行線，交直線 CD 于點 Q，設 P 橫坐標為 m，則 P（m， m2 + 2m + 3 ），Q（m， m + 3 ），PQ（ m2 + 2m + 3 ）（ m + 3 ），QP127當 P 在 Q 的上方時，PQ m + 3m ， S PNC 2 ·PQ·OC，2GCBO (H)x8 m2 + 3m 9 ，解得 m 3 ；當 P 在 Q 的下方時，PQ m2 - 3m ，42= 3 - 3備用圖

33、即 m2 - 3m 9 ，解得 m2 ，m= 3+32 （舍去）；P 橫坐12422標為 3 或 3 - 3 22225（2019·衡陽）如圖，二次函數 yx2bxc 的圖象與 x 軸交于點 A（1，0）和點 B（3，0），與 y 軸交于點 N，以 AB 為邊在 x 軸上方作正方形 ABCD，點 P 是 x 軸上一動點，連接 CP，過點 P 作1CP 的垂線與 y 軸交于點 E.（1）求該拋物線的函數關系表達式；（2）當點 P最大值；段 OB（點 P 不與 O、B 重合）上運動至何處時，線段 OE 的長有最大值？并求出這個（3）在第四象限的拋物線上任取一點 M，連接 MN、MB，請問

34、：MBN 的面積是否存在最大值？若存在，求出此時點 M 的坐標；若不存在，請說明理由.yDCExAOBPNM解：（1）把 A（1，0），B（3，0）代入 yx2bxc，得ì0 = 1 - b + c,ìb = -2,解得í0 = 9 + 3b + c,íc = -3.îî該拋物線的函數表達式為 yx22 x3；（2）CPEB，OPEBCP90°，OPEOEP90°，OEPBPC，tanOEPtanBPC OP BC 設 OEy，OPx， x 4整理，得 y 1 x2x （1x 3 ）y3 - xOEPB442916

35、當 OP 3 時，OE 有最大值，最大值為，此時點 P 在（ 3 ，0）處.922162yDC（3）過點 M 作 MFx 軸交 BN 于點 F，EN（0，3），B（3，0），直線的式為 y3 m.A O設 M（m, m22 m3）,則 MFm23m，MBN 的面積 1 OBM· F 3 ( m23m) 3 ( m 3 ) 2 27 .82222點 M 的坐標為（ 3 ， 27 ）時，MBN 的面積存在最大值.2824（2019·，24，12 分）已知拋物線 C1：y（x1）24 和 C2：yx2（1） 如何將拋物線 C1 平移得到拋物線 C2？（2） 如圖 1，拋物線 C1

36、 與 x 軸正半軸交于點 A，直線 y = - 4 x + b 經過點 A，交拋物線 C1 于另一點 B請3你段 AB 上取點 P，過點 P 作直線 PQy 軸交拋物線 C1 于點 Q，連接 AQ1 若 APAQ，求點 P 的橫坐標 若 PAPQ，直接寫出點 P 的橫坐標（3） 如圖 2，MNE 的頂點 M、N 在拋物線 C2 上，點 M 在點 N 右邊，兩條直線 ME、NE 與拋物線 C2 均有唯一公共點，ME、NE 均與 y 軸不平行若MNE 的面積為 2，設 M、N 兩點的橫坐標分別為 m、n，求m 與 n 的數量關系【解題過程】（1）先向左平移1個，在向上平移4個（2）kAB - 4

37、和A（3，0）易求AB：y - 4 x + 43APAQ，PQAOPAOQAOAQ：y 4 x - 433ì y = 4 x - 4聯立ï13得3x2 -10x+3=0 x =3íQïî y = x2 - 3x - 3設P（t， - 4 x+4 ）則Q（t， t2 -2t+3 ）易求：PQ -t2 + 2 t+7 ，PA 5 (3 - t )333PAPQ x =- 2 3t2 - 7t - 6 = 0Q3( x - m) + m2（3）設 ME： y = k1( x - m) + m2ìï y = k1則 x2 - k x

38、 + k m - m2 = 0聯立í11ïî y = x2 D = k2 - 4k m + 4m2111(k - 2m)2 = 0即k = 2m11 ME：y = 2mx - m2同理： NE：y = 2nx - n2 E æ m + n , mn öç÷è2øæ m + n+ öæn ö1() ()1()1()m éùn - mn + m - mn´(m - n) -n - mn ´222- n -m - mnm -2= 2

39、ç÷ç÷2 ëû2è2ø2è2ø(m - n)3化簡得： (m - n) -= 432(m - n)3 = 8即m - n = 225（2019·黃岡）如圖在平面直角坐標系 xOy 中，已知 A(2，2)，B(2，0)，C(0，2)，D(2，0)四點，動點 M 以每秒 2 個t(秒).長度的速度沿 BCD 運動(M 不與點 B、點 D 重合)，設運動時間為(1)求經過 A、C、D 三點的拋物線的式；(2)點 P 在(1)中的拋物線上，當 M 為 BC 的中點時，若PAMPBM，求點 P

40、 的坐標；(3)當 M 在 CD 上運動時，如圖.過點 M 作 MFx 軸，垂足為 F，MEAB，垂足為 E.設矩形 MEBF與BCD 重疊部分的面積為 S，求 S 與 t 的函數關系式，并求出 S 的最大值；(4)點 Q 為 x 軸上一點，直線 AQ 與直線 BC 交于點 H，與 y 軸交于點 K.是否存在點 Q，使得HOK 為等腰三角形?若存在，直接寫出符合條件的所有 Q 點的坐標；若不存在，請說明理由.【解題過程】128（2019·隴南）如圖，拋物線 yax2+bx+4 交 x 軸于 A（3，0），B（4，0）兩點，與 y 軸交于點 C，連接 AC，BC點 P 是第一象限內拋物

41、線上的一個動點，點 P 的橫坐標為 m（1）求此拋物線的表達式；（2）過點 P 作 PMx 軸，垂足為點 M，PM 交 BC 于點 Q試探究點 P 在運動過程中，是否存在這樣的點 Q，使得以 A，C，Q 為頂點的三角形是等腰三角形若存在，請求出此時點 Q 的坐標，若不存在，請說明理由；（3）過點 P 作 PNBC，垂足為點 N請用含 m 的代數式表示線段 PN 的長，并求出當 m 為何值時PN 有最大值，最大值是多少？1解：（1）由二次函數交點式表達式得：ya（x+3）（x4）a（x2x12）= ax2ax12a，拋物線 yax2+bx+4，12a4，解得：a，拋物線的表達式為 yx2+x+4

42、；（2）存在，理由：點 A、B、C 的坐標分別為（3，0）、（4，0）、（0，4），則 AC5，AB7，BC4，OABOBA45°，將點 B、C 的坐標代入一次函數表達式：ykx+b 并解得：yx+4，同理可得直線 AC 的表達式為：yx+4，設直線 AC 的中點為 P（，4），過點 P 與 CA 垂直直線的表達式中的 k 值為，同理可得過點 P 與直線 AC 垂直直線的表達式為：yx+，當 ACAQ 時，如圖 1，1則 ACAQ5，設：QMMBn，則 AM7n，由勾股定理得：（7n）2+n225，解得：n3 或 4（舍去 4），故點 Q（1，3）；當 ACCQ 時，如圖 1，CQ5

43、，則 BQBCCQ45，則 QMMB，故點 Q（，）；當 CQAQ 時，聯立并解得：x（舍去）；故點 Q 的坐標為：Q（1，3）或（，）；（3）設點 P（m，m2+m+4），則點 Q（m，m+4），OBOC，ABCOCB45°PQN，（m2+m2+PNPQsinPQNm+4+m4）m，0，PN 有最大值，當 m時，PN 的最大值為：1.（2019·湖州）如圖 1，在平面直角坐標系 xOy 中，四邊形 OABC 是矩形，點 A，C 分別在 x 軸和 y3軸的正半軸上，連結 AC，OA3，tanOAC，D 是 BC 的中點3（1）求 OC 的長及點 D 的坐標；2（2）如圖 2

44、，M 是線段 OC 上的點，OM OC，點 P 是線段 OM 上的一個動點，經過 P，D，3B 三點的拋物線交 x 軸的正半軸于點 E，連結 DE 交 AB 于點 F將DBF 沿 DE 所在的直線翻折，若點 B 恰好落在 AC 上，求此時 BF 的長和點 E 的坐標；以線段 DF 為邊，在 DF 所在的直線的右上方作等邊DFG，當動點 P 從點 O 運動到點 M時，點 G 也隨之運動，請直接寫出點 G 的運動路徑的長2【思路分析】（1）RtAOC 中，由正切三角函數，可求 OC 的長；再由矩形的性質及線段中點的定義鎖定點 D 的坐標（2）由翻折可知 DB DB¢ DC，從而DCA D

45、B¢C 30°通過解直角三角3形得到 FAFB，在 RtAEF 中，AEAFtanAFE23×23 3 ，從而求得點 E 的坐標2按一找點 G 的運動起點與終點，從而找到點 G 的路徑，二求該路徑的長即可鎖定如答圖 2 和答圖 3，表示動點 P 從點 O 運動到點 M 時，點 G 也隨之運動時的起點、與終點的位置，G 點的路徑是一條線段3OC33【解題過程】（1）在 RtAOC 中，由 tanOAC，OA3，得 OCOAtanOAC3×3OA 3 四邊形 OABC 是矩形，點 D 為 BC 的中點，3D(， 3 )2（2）如答圖 1，易知OACACB30

46、°而由折疊可知 DB DB¢ DC，從而DCA DB¢C 30°BDF B¢DF 30°DFBAFE60°3RtDBF 中，易求 BF23AFABBFRtAEF 中，AEAFtanAFE23×23 3 299OE ，E(，0)222329綜上，BF 的長為，點 E 的坐標為 E(，0)236第 24 題答圖 1第 24 題答圖 2第 24 題答圖 3【知識點】矩形性質；解直角三角形；翻折（軸對稱）；等腰三角形；等邊三角形；二次函數；動態問題；數形結合思想；探究性問題；壓軸題；題2. （2019·）在平面直

47、角坐標系中，O 為原點，點 A(6，0),點 B 在y 軸的正半軸上，ABO=30°，矩形 CODE 的頂點 D,E,C 分別在 OA,AB,OB 上，OD=2.（1）如圖，求點 E 的坐標；（2）將矩形CODE 沿 x 軸向右平移，得到矩形CODE,點 C,O,D,E 的對應點分別為 C,O,D,E,設 OO=t,矩形 CODE與ABO 重疊部分的面積為 S如圖，當矩形 CODE與ABO 重疊部分為五邊形時，CE,ED分別與 AB 相交于點 M,F，試用含有 t 的式子表示 S，并直接寫出 t 的取值范圍；當3S53 時，求 t 的取值范圍（直接寫出結果即可）2【思路分析】(1)由

48、題意知 OA=6，OD=2，AD=4，由矩形 CODE 得 DEBO，AED=ABO=30°，DE=tan60°AD= 4 3 ，所以點 E 的坐標為（2， 4 3 ）（2）由平移得， OC=DE= 4 3 ,OD=CE=2 ， ME=OO=t ，根據 EDBO，得EFM=OBA=30°,RtMEF 中，EF= 3t ，11S=ME ' FE ' =t3 t 2 ；S23t = C 'O ' O ' D ' = 4 3 ´ 2 = 8 3 ;MEF矩形 CODE22-S= -3 t2 +83 ，因為重疊部分

49、是五邊形，所以 t 的取值范圍是 0<t<2；S=S矩形 CODE MEF23 t2 +82當 S= 3 時， -3 ，此時 t= 14 > 2 ，所以重疊部分不是五邊形；當 S= 5 3 時，3 =-3 t2 +823 = 5 3 ，此時 t= 6 > 2 ，所以重疊部分不是五邊形；當 2<t<4 時，重疊部分是四邊形如圖所示，當 4<t<6 時，重疊部分是三角形.當 2<t<4 時, S = 1 (MO '+ FD ') O ' D ' = 1 (3(6 - t) + 3(4 - t) 2 =3(1

50、0 - 2t)22當 4<t<6 時, S = 1 O ' A O ' M2= 1 (6 - t)3(6 - t) =3 (6 - t)222所以，當 S= 3 時， S =3(10 - 2t)= 3 ，此時 t=4.5,不在 2<t<4 范圍內；當 S= 5 3 時 S =3(10 - 2t)=5 3 ，此時 t=2.5；當 S= 3 時， S =3 (6 - t)2 = 3 ，此時 t= 6- 2 ，22綜上所述，t 的取值范圍是 2.5t 6- 2 ；【解題過程】(1)A（6,0），OA=6，OD=2,AD=4，由矩形 CODE 得 DEBO，AED=ABO=30°，DE=tan60°AD= 4 3 ，所以點 E 的坐標為（2， 43 ）(2)由平移得，OC=DE= 4 3 ,OD=CE=2，ME=OO=t，根據 EDBO，得EFM=OBA=30°,Rt1 ME '