1、word1引言支點在下，重心在上，包不穩定的系統或裝置的叫倒立擺。倒立擺控制系統是一個復雜的、不穩定的、非線性系統，是進展控制理論教學與開展各種控制實驗的理想實驗平臺。1.1 問題的提出倒立擺系統按擺桿數量的不同，可分為一級，二級，三級倒立擺等，多級擺的擺桿之間屬于自有連接即無電動機或其他驅動設備。對倒立擺系統的研究能有效的反映控制中的許多典型問題：如非線性問題、魯棒性問題、鎮定問題、隨動問題以與跟蹤問題等。通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩定性問題的能力。倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快地達到一個平衡位置，并且使之沒有大的振蕩和過大的角度和速度。當擺桿到達期望

2、的位置后，系統能克制隨機擾動而保持穩定的位置。1.2 倒立擺的控制方法倒立擺系統的輸入來自傳感器的小車與擺桿的實際位置信號，與期望值進展比擬后，通過控制算法得到控制量，再經數模轉換驅動直流電機實現倒立擺的實時控制。直流電機通過皮帶帶動小車在固定的軌道上運動，擺桿的一端安裝在小車上，能以此點為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由地擺動。作用力u平行于鐵軌的方向作用于小車，使桿繞小車上的軸在豎直平面旋轉，小車沿著水平鐵軌運動。當沒有作用力時，擺桿處于垂直的穩定的平衡位置豎直向下。為了使桿子擺動或者達到豎直向上的穩定，需要給小車一個控制力，使其在軌道上被往前或朝后拉動。本次設計中我們采用其中的牛頓-歐拉方

3、法建立直線型一級倒立擺系統的數學模型，然后通過開環響應分析對該模型進展分析，并利用學習的古典控制理論和Matlab/Simulink仿真軟件對系統進展控制器的設計，主要采用根軌跡法,頻域法以與PID比例-積分-微分控制器進展模擬控制矯正。2直線倒立擺數學模型的建立直線一級倒立擺由直線運動模塊和一級擺體組件組成，是最常見的倒立擺之一,直線倒立擺是在直線運動模塊上裝有擺體組件，直線運動模塊有一個自由度，小車可以沿導軌水平運動，在小車上裝載不同的擺體組件。系統建模可以分為兩種：機理建模和實驗建模。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的

4、輸出，應用數學手段建立起系統的輸入-輸出關系。這里面包括輸入信號的設計選取，輸出信號的準確檢測，數學算法的研究等等容。鑒于小車倒立擺系統是不穩定系統，實驗建模存在一定的困難。因此，本文通過機理建模方法建立小車倒立擺的實際數學模型，可根據微分方程求解傳遞函數。2.1微分方程的推導牛頓力學方法微分方程的推導在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成的系統，如圖1所示。做以下假設：m、車質量m罷桿質量b小車摩擦系數I擺桿慣量F加在小車上的力x小車位置擺桿與垂直向上方向的夾角圖2-1直線一級倒立擺模型系統中小車和擺桿的受力分析圖是圖2。其中，NO吶小車與擺桿相互作用力

5、的水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統中檢測和執行裝置的正負方向已經完全確定，因而矢量方向定義如圖2所示，圖示方向為矢量正方向。圖2-2小車與擺桿受力分析分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：?MxFbxN(2-1)由擺桿水平方向的受力進展分析可以得到下面等式：d2Nm2(xlsin)dt(2-2)即：?2Nmxmlcosmlsin(2-3)把這個等式代入式(1)中，就得到小車運動方程第一個運動方程：?2(Mm)xbxmlcosmlsinF(2-4)為了推出擺桿的運動方程第二個運動方程，對擺桿垂直方向上的合力進展分析,25 / 30可以得到下面方程:mgmd2(lcosdt2(

6、2-5)mg?ml sinml?2cos(2-6)力矩平衡方程如下:汪忠:Pl sin Nl cos?I(2-7)方程中力矩的方向，由于cos cossin sin(6)和3代入(7),約去評口N,得到擺桿運動方程第二個運動方程：?2(Iml)mglsinmlxcos(2-8)設是擺桿與垂直向上方向之間的夾角，假設與1單位是弧度相比很小，即1,如此可以進展線性化近似處理：cos1,sin,(d)20dt用U來代表被控對象的輸入力F,線性化后兩個運動方程如下:?2、(Iml)mglmlx?(Mm)xbxmlu進展拉氏變換，得：222(Iml)(s)smgl(s)mlX(s)s2-9(Mm)X(s

7、)s2bX(s)sml(s)s2U(s)由于輸出為角度，求解方程組的第一個方程，可以得到：22X(s)2-10魚皿3(s)，即：3?一mlsX(s)(Iml)smgl10式稱為擺桿角度與小車位移的傳遞函數?如令vx,如此有：(s)ml.,22V(s)(Iml)smgl2-1111式稱為擺桿角度與小車加速度間的傳遞函數,由于伺服電機的速度控制易于實現在實驗中常采用此式把10式代入9式的第二個方程中，得到:22(I ml ) g/ x 2 , (I ml g(M m) -(s)s b 名ml smls2(s)s ml (s)s2 U(s)mls( 2q2-12U(s)3 b(I ml ) 2 (M

8、 m)mgl bmgls s s qqq其中，q (M m)(I ml2) (ml)212式稱為擺桿角度與外加作用力間的傳遞函數2.2實際系統的模型參數小車質量擺桿質量b:小車摩擦系數擺桿轉動軸心到桿質心的長度擺桿慣量實際數學模型把上述參數代入，可以得到系統的實際模型1）擺桿角度和小車位移的傳遞函數:(s)0.02725s22(2-13)X(s)0.0102125s20.267052）擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數為:(s)0.02725V(s) 0.0102125s2 0.26705(2-14)3）擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數:(s)2.35655 s32 ZZ rU (s)

9、s0.0883167s27.9169s 2.30942(2-15)4）小車位置和加速度的傳遞函數X(s) 12V(s)s2(2-16)3開環系統的時域分析3.1擺桿角度為輸出響應的時域分析本系統采用以小車的加速度作為系統的輸入，擺桿角度為輸出響應，此時的傳 遞函數為(s)ml0.027252 2ZZ 2 ZV(s) (I ml )s mgl 0.0102125s0.26705 (3-1)二二一m口 >0.R0圖3.1擺桿角度的單位脈沖響應曲線圖圖3.2擺桿角度的單位階躍響應曲線圖3.2小車位置為輸出響應的時域分析采用以小車的加速度作為系統的輸入，小車位置為響應，如此此時的傳遞函數為X(s

10、)12V(s)s(3-2)圖3.3小車位置的單位脈沖響應曲線圖ut 國 nl 5 2slm u D- D D- D圖3.4小車位置的單位階躍響應曲線圖由于以上時域分析中所有的傳遞函數的響應圖都是發散的，所以系統不穩定，需要校正。4根軌跡法設計4.1原系統的根軌跡分析本系統采用以小車的加速度作為系統的輸入，擺桿角度為輸出響應，此前已經得出的傳遞函數為(s)ml0.02725V(s)(Iml2)s2mgl0.0102125s20.26705(4-1)運行結果：閉環零點z=Emptymatrix:0-by-1e-0Ftox LQCUS0-240圖4.1原系統根軌跡曲線圖可以看出，系統無零點，有兩個極

11、點，并且有一個極點為正。畫出系統閉環傳遞函數的根軌跡如圖2-6,可以看出閉環傳遞函數的一個極點位于右半平面，并且有一條根軌跡起始于該極點，并沿著實軸向左跑到位于原點的零點處，這意味著無論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即系統總是不穩定的。4.2串聯超前校正裝置設計對此系統設計控制器，使得校正后系統的要求如下:調整時間：ts0.5s(2%).最大超調量：%10%p2、由最大超調量pe(/1)10%(4.2)4.2閉環主導極點所在的極坐標圖在此我們對超調量留有一定余量，令0%5%p可以得到：0.687710由cos可以得到：0.812466（弧度）其中為位于第二象限的極點和OK的連線與實

12、軸負方向的夾角。-44又由：ts0.5sn對調節時間留有一定余量，令ts0.5s（±2%勺誤差帶）n取其為0.2s,可以得到：n29.067500,于是可以得到期望的閉環主導極點為：n（cosjsin）代入數據后，可得期望的閉環主導極點為：§,219.990010j21.1025844.2.2 超前校正傳遞函數設計未校正系統的根軌跡在實軸和虛軸上，不通過閉環期望極點，因此需要對系統進展超前校正，設控制器為：K(s)T-1-皂三(1)(4-3)Ts1spc4.2.3 校正參數計算計算超前校正裝置應提供的相角，期望的閉環主導極點和系統原來的極點的相角和為：2G(sd)S1P4.

13、624226i1(4-4)因此校正裝置提供的相角為：3.14(4.624226)1.482633(4-5)又0.812466對于最大的a值的丫角度可由下式計算得到：1=-()0.423246(4-6)2Zc由于角度都已求出，線段SO勺長度即為自然頻率的大小，故可用正弦定理計算,求出超前校正裝置的零點和極點正弦定理分別為:Zp=-66.835473zc=-12.6417834.2.4超前校正控制器校正后系統的開環傳遞函數為:G(s)0.02725K(s12.641783)0.0102125s20.26705s66.835473(4-7)由幅值條件G(Sd)H®)1,并設反應為單位反應，

14、所以有K=729.65對相應參數保存五位有效值，于是我們得到了系統的控制器：Gc(s)729.65(s12.642)s66.835(4.8)4.2.5matlab環境下串聯超前校正后的根軌跡圖在MATLAB中編寫如下的m文件，對系統進展仿真，運行即可以得到以上的計算結果，校正后系統的跟軌跡如如下圖所示：從圖4.4中可以看出，系統的三條根軌跡都有位于左半平面的局部，選取適當的K就可以穩定系統。4.2.6simulink環境下對串聯超前校正的仿真圖4.5串聯超前校正simulink流程圖圖4.6串聯超前校正后的階躍響應曲線4.3串聯滯后-超前校正裝置設計4.3.1控制器的設計可以看出，系統在0.5

15、s的時間可以穩定，響應比擬迅速，超調比擬小。為使系統滿足相應的要求，減少穩態誤差，在超前校正的根底上可以引入滯后校正裝置。滯后校正的傳遞函數采用Gc2(s)-s-s0.1(4-9)如此此時總的超前-滯后校正傳遞函數為GC(S)GC2(S)729.65(2642)s0.1s66.835(4-10)4.3.2simulink環境下對串聯超前校正的仿真圖4.7串聯滯后-超前校正simulink流程圖圖4.8串聯超前校正后的階躍響應曲線由上圖可以看出，參加滯后環節中超調量增加不是很大，但是穩態誤差已經明顯減少了，所以說串聯滯后-超前裝置對于改善系統性能來說作用比擬理想5頻域法設計系統頻域響應分析系統對

16、正弦輸入信號的響應，稱為頻率響應。在頻率響應方法中，在一定圍改變輸入信號的頻率，研究其產生的響應。頻率響應可以采用以下兩種方法進展分析：一種為伯德圖，采用兩幅別離圖，一幅表示幅頻特性，一幅表示相頻特性；另一種是奈奎斯特圖，表示的是當從0變化到無窮大時，向量G(j)的矢端軌跡。奈奎斯穩定判據使我們有可能根據系統的開環頻率響應特性信息，研究線性閉環系統的絕對穩定性和相對穩定性。根據式2-17我們已經得到了直線一級倒立擺的數學模型，實際系統的開環傳遞函數為：s0.02725_2Vs0.0102125s0.26705其中輸入為小車的加速度V(S),輸出為擺桿的角速度(S)。利用Matlab繪制系統的B

17、ode圖圖5.1和Nyquist圖圖5.2如下圖5.1直線一級倒立擺系統的Bode圖5.2直線一級倒立擺系統的Nyquist圖由4.1節中的計算可知：系統不存在零點，但存在兩個極點，其中一個極點位于S平面的右半局部。根據奈奎斯特穩定判據，閉環系統穩定的充分必要條件是：當由變化時，GjaHja曲線逆時針包圍GH平面上-1,j0點的次數R等于開環傳遞函數右極點個數P。對于直線一級倒立擺，由圖5-1和圖5-2我們可以看出，開環傳遞函數在S右半平面有一個極點。因此，GjaHja曲線逆時針包圍-1,j0點的次數R=1。而本系統的奈奎斯特圖并沒有逆時針包圍-1,j0點一圈即R1。因此系統不穩定，需要設計控

18、制器來穩定系統頻域法控制器設計直線一級倒立擺的頻率響應設計可以表示為如下問題:考慮一個單位負反應系統，具開環傳遞函數為：s0.02725ZZ2Vs0.0102125s0.26705設計控制器GcS,使得系統的靜態位置誤差常數為10,相位裕量為50、增益裕量等于或大于10dB5.2.1 控制器的選擇根據圖5-1和圖5-2可以初步觀察出,給系統增加一個超前校正就可以滿足設計要求，設超前校正裝置為：Gc s Kc如此已校正系統具有開環傳遞函數Ts 1Ts 11 s kT s 一 T5-1G1 sKG sGC s G s 設c，0.02725 K0.0102125s2 -0.267055-2其中KKc

19、5.2.2 系統開環增益的計算根據穩態誤差要求計算增益Kp則0 GcsGslim Kc s 0 cs1T_1T0.02725.2 10 (50.010215s2-0.267053)可以得到:5-4KKc98c于是有:G(s)0.02725 980.0102125s2 0.267055-55.2.3 校正裝置的頻率分析利用MATLAB出G1s的Bodeffl和Nyquist圖，如圖5.3、圖5.4所示。20me a者)雷迪比Bode C.agramF r&quency (;adfee!C；j圖5.3校正裝置的Bode圖Bade Diagram10010H HFrequency £

20、;百山白6口)1山S書衛一£cl至ams-LISSLILLo o o O 右 © 0 24&-&。2 - 4 J T 1 中- -圖5.4校正裝置的Nyquist圖可以看出，系統的相位裕量為0。根據設計要求，系統的相位裕量為50,因此需要增加的相位裕量為50，增加超前校正裝置會改變Bode圖的幅值曲線，這時增益交界頻率會向右移動，必須對增益交界頻率增加所造成的Gjoo的相位滯后增量進展補償。因此，假設需要的最大相位超前量為55o。由1-«sin(p=0,81921+a5-6計算可以得到a值：口=0,0，為45.2.4 控制器轉折頻域和截止頻域的求解

21、11確定了我減系統，就可以確定超前校正裝置的轉角頻率,和'，可TT以看出，最大相位超前角m發生在兩個轉角頻率的幾何中心上，即1/C,在1/G點上，由于包含(Ts+1)/(Ts+1)項，所以幅值的變化為：又因為201g Gi(j )1 201g.1+j 3T1+j 3T1+j % a10.5700 分貝，并且 201g Gi j貝對應于4 = 28.3417g為因此我們選擇此頻率作為新的截止頻率率相應于c 1/3二丁），即 c 1/«廠T）于是求得1 5-7, oc10.5700 分c ,這一頻5-85.2.5 校正裝置確實定由式5-8可以確定校正裝置為:Ts+ 1 s + 8

22、,9355G (s) = K a= K3' c als + 1 cs + 89,8944%，= 985.915-9利用Matlab繪制校正后系統的Bode圖和Nyquist圖，如如下圖所示。卜一” ：F 二 Ri圖5.5校正后系統的Bode圖T'Jycurf!t Diagram4呼“E-EU 片c圖5.6校正后系統的Nyquist圖從圖5-5中可以看出，系統具有要求的相角裕量和幅值裕量；從圖5-6中可以看出，曲線繞1,j0點逆時針一圈R=1,與校正后系統開環傳遞函數右極點個數P=1相等，即R=P。因此，校正后的系統穩定，校正后系統的單位階躍響應如圖5.7,單位脈沖響應如圖5.8

23、。StepResporse'iiiIri2jSyslemsyscTims(s«c>Q.106-Amplftudc：1.26SyslemTims 0.106：Amplitude- 1 263 5<>,Q.1-圖5.7校正后系統的單位階躍響應圖5.8校正后系統的單位脈沖響應從圖5-7和圖5-8可以看出，系統在遇到干擾后，在1秒可以達到新的平衡，但是超調量比擬大。換而言之，系統存在一定的穩態誤差，為使系統獲得快速響應特性，又可以得到良好的靜態精度，可以采用滯后-超前校正通過應用滯后-超前校正，低頻增益增大，穩態精度提高，又可以增加系統的帶寬和穩定性裕量。控制器改良

24、從上圖可知，超前校正后系統仍然存在一定的穩態誤差，可以考慮采用滯后-超前校正，設滯后-超前控制器為：115-10(sT)(sT)Gc(s)Kc1(s)(s-)T1T根據71后-超前控制器思想，利用MATLA褊程源程序見附錄二求得結果如下：最優校正方案的串聯滯后-超前校正環節的極點為：z=2;最優校正方案的串聯滯后-超前校正環節的零點為：p=0.1988。最優校正方案的滯后-超前校正后的開環傳遞函數為：T1A+tJ$+8.9355s+2”曰=%；pTTj"y=""'91xS+89.8944Xs+0.1988卜+亦+尉5-11由于-2零點和一0.1988極點比

25、擬接近，所以該零點對相角裕度影響等不是很大,滯后-超前校正后的系統Bode圖和Nyquist圖分別如圖5.9、圖5.10所示:lig-9HJUude Dia yr a Ini i i i i hii圖5.9最優校正后系統的Bode圖LLLLLii i- r- 二；卜 !切、.£KVE-ff匚acaE-uist CiagraiTi-60Real Akis圖5.10最優校正后系統的Nyquist圖滯后-超前單位脈沖響應曲線和單位階躍響應曲線如圖5.11、圖5.12所示:圖5.11最優校正后系統的單位階躍響應wordSystem: sysc Time (mc): 0.0906 Amplit

26、ude: 1.31.b.64 o.0.0. opn七五專00,511.522.533.544.55Timegu)圖5.12最優校正后系統的單位脈沖響應可見，系統性能有了一定提高，根本滿足設計要求。6PID控制設計6.1 PID簡介PID控制器又稱PID調節器，是工業過程控制系統中常用的有源校正裝置，目前應用比擬廣泛的主要有電子式PID控制器和氣動式PID控制器。在自控原理中，經典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統，控制器設計時一般需要有關被控對象的較準確模型。但是很多場合下，不能也沒有必要對控制系統建立準確的數學模型，這種情況下PID控制器的優勢得以顯現：結構簡單，容易調節，且不需要對

27、系統建立準確的模型，在控制上應用較廣。6.2 PID控制設計分析我們注意到，PID控制器設計之初并不需要對被控系統進展準確的分析。為了突出PID控制的這一優勢，我們采用實驗的方法對系統進展控制器參數的設置,即在Matlab中利用Simulink仿真測試來確定PID控制器的參數。其系統結構框圖如下所示r(s) 0f(s)v33 / 30圖6.1PID控制結構圖f(s)圖6.2 PID控制等效結構圖由于r(s) 0,為了方便查看我們將上圖進展轉換，轉換結果如下。該圖更加方便我們理解PID控制器的作用，系統的輸出為y rGiUF numF(s)denF(s)numSenPQ)(numPID)(num

28、)(denPID)(den)(numPID)(num)(denPID)(den)其中各個參數的含義如下:num:被控對象傳遞函數分子項numPID:PID控制器傳遞函數分子項den:被控對象傳遞函數分母項denPID:PID控制器傳遞函數分母項通過分析上式便可以評價PID控制器控制的效果，進而得出系統性能的相關指標。主要依據圖像所反映出系統性能的欠缺進展有針對性的調節，其中P反映誤差信號的瞬時值大小，改變快速性；I反映誤差信號的累計值，改變準確性；D反映誤差信號的變化趨勢，改變平穩性。6.3 PID控制器的參數測定通過剛剛的分析，我們已經得出了PID控制系統的傳遞函數如式6-16-1-K2Gc(s)KiK3ss在Simulink環境中建立PID控制模型，之后可以根據6.2中提到的控制規律進展參數選取，進而求得適宜的參數。圖6.3PID控制系統仿真雙擊PID控制器，選擇參數進展仿真。經過屢次參數選取，得到了比擬適宜的參數，如圖6.4圖6.4PID參數選擇仿真結果如圖6.5,圖6.6所示。圖6.5小車位移圖6.6擺桿角度控制效果比擬理想，PID控制器的傳遞函數為6-2450Gc(s)41040ss止匕外，還可以通過在根軌跡中增加零極點，借助SISO工具進展PID控制器的參數的選擇。由于此前已經表示過該過程，在此不做贅述。7