1、習題三X012310得1113C3配MX-=一32228-2111C3彎父一父一=3/82220318001111-X-X-=22281.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現正面的次數，以Y表示三次中出現正面次數與出現反面次數之差的絕對值.試寫出X和Y的聯合分布律.【解】X和Y的聯合分布律如表:X0123000ChC2_3C4一35V_2c43510c；，,2_6c4-35C3C式12C；35二c4-352P(0黑,2紅,2白尸c2§C2/c4=35C；©6_6c435一2一2在侖二c43502.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的

2、只數，以Y表示取到紅球的只數.求X和Y的聯合分布律.【解】X和Y的聯合分布律如表:3.設二維隨機變量（X,Y）的聯合分布函數為Ln.nF（x,y）qsinxsiny,l。，求二維隨機變量（X,Y）在長方形域0<xE【解】如圖P0<X<,<Y<公式（3.2）463F（-,-F（-,4-F（043460WxW,0WyW22其他.,<yW2內的概率.463：工)+F(0,-)36冗冗冗冗冗冗=sinsin-sin一sin-sin0sin一sin0sin一4346364題3圖說明：也可先求出密度函數，再求概率。x0,y0,其他.4 .設隨機變量（X,Y）的分布密度A

3、e,3x44y),f(x,y)=J0,求：(1)常數A;(2)隨機變量(X,Y)的分布函數；(3) P0H1,0<Y<2.-.(3x-4y)A【解】(1)由fff(x,y)dxdy=fAedxdy=10-012得A=12(2)由定義，有yxF(x,y)!,：f(u,v)dudvy0,x0,其他Uy(y12e43u44v)dudv=；(1-e"x)(1-e'y)0,、0,P0三X<1,0<Y:二2=P0X<1,0二Y三212,八，、-=oo12e®4y)dxdy=(1-e")(1-e)：0.9499.5 .設隨機變量(X,Y)的

4、概率密度為f(x,y)(6-x-y),=J、Q0：x:2,2y:4,其他.(1)確定常數k;(2)求PXv1,Y<3;(3)求PX<1.5;(4)求PX+YW4.【解】(1)由性質有24f(x,y)dxdyk(6-x一y)dydx=8k=1,一1故R=-813(2) PX：1,Y：3=j-j-f(x,y)dydx131、一3=02-k(6-x-y)dydx88(3) PX<1.5=Uf(x,y)dxdy如圖aff(x,y)dxdyD1x.1.51.54127=dx(6-x-y)dy=02832(4) PX+YM4=JJf(x,y)dxdy如圖b口f(x,y)dxdyXY<

5、;4D2題5圖6.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0,0.2）上服從均勻分布,y,Y的密度函數為fY(y)y0,其他.求：（1）X與Y的聯合分布密度；（2）PY小.0:x:0.2,其他.題6圖【解】（1）因X在（0,0.2）上服從均勻分布，所以X的密度函數為工fX(x)=0.2,0,所以5efY(y)=0,ay,y0,其他.f(x,yXY獨立fxx(fy()5e3y=0.20,25e$y0,0二x:二0.2>y0,其他.(2)P(Y<X)=口f(x,y)dxdy如圖Jf25eydxdy0.2x0.2=odxo25eydy=°(-5e5)dx=e-1：0.3679.

6、7.設二維隨機變量(X,Y)的聯合分布函數為F(x,y)=<(1-e工x)(1y),x>0,y>0,0,其他.求(X,Y)的聯合分布密度.-2【解】f(x,y)=51二x.y，8e"4xH2y),x>0,y>0,0,其他.8.設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=4.8y(2-x),0<x<1,0<y<x,00,其他.求邊緣概率密度.【解】fX(x)=J-f(x,y)dy-QU人f9_44.8y(2-x)dy_j2.4x2(2-x),0MxM1,=1°=0,其他.0,fY(y)=J-f(x,y)dx4.8y(

7、2-x)dx2.4y(3-4yy2),0My<1,=i°y/其他.題9圖題8圖Y)的概率密度為9.設二維隨機變量(X,f(x,e，0；x：y,v)=0,其他.求邊緣概率密度.【解】fx(x)=jf(x,y)dy_e'dy；-x=0,。,-bex0,其他.fY(y)=J-f(x,y)dx.v=0edx_ye0,0,:y0,其他.題10圖10.設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為2cxy,f(x,y)=0,x2-y-1,其他.(1)試確定常數c;(2)求邊緣概率密度."bo-bo【解】(1)L3016f(x,y)dxdy如圖口f(x,y)dxdyD1124=dx2

8、cxydy=c=1.-1xfx(x)-i-f(x,y)dy2121c.(2)412122124xydyx(1-x),-1<x<1,=x4=80,0,其他.-bofy(y)-i-f(x,y)dx00y21c75y21275=LyZxydx=12y2,0中5,0,0,其他.11.設隨機變量（X,Y）的概率密度為f(x,v)=0,y二x,0：二x：1,其他.求條件概率密度fYX(yIx),fxY(xIV)題11圖【解】fx(x)=J-f(x,y)dy0=：x：1,其他.00x1dy=2x,_x0,111dx=1+y,-1<y<0,二二1fY(y)=f(x,y)dx=J1dx=

9、1y,0<y<1,_oQy0,其他.所以|y卜:x：1,其他.fxY(x|y)=f(x,y)fY(y)0,-y<x：1,其他.12.袋中有五個號碼1,2,3,4,5,從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X,最大的號碼為Y.(1)求X與Y的聯合概率分布；(2)X與Y是否相互獨立？【解】(1)X與Y的聯合分布律如下表345PX=x1113c510223c510333"二C3106102011""T=C51022=C51031030011_2_C510110PY=y110310610(2)因PX=1Y=3=X=PX=1,Y=3,101010010故

10、X與丫不獨立13.設二維隨機變量(X,Y)的聯合分布律為A2580.40.150.300.350.80.050.120.03(1)求關于X和關于Y的邊緣分布;(2)X與Y是否相互獨立？【解】(1)X和Y的邊緣分布如下表258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.2PX=X0.20.420.38(2)因PX=2RY=0.4=0.2m0.8=0.16¥0.15=P(X=2,Y=0.4),故X與丫不獨立.14.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在(0,1)上服從均勻分布，Y的概率密度為AfY(y)=20,_y/2y0,其他.(D求X和Y的聯合概率

11、密度；(2)設含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求a有實根的概率.1,0：x：1,皿因fX(x)=10,其他；efY(y)=20,其他.故f(x,y)X,Y獨立fx(x)Y(yi,e)=20，-y/20：x：1,y0,其他.題14圖2(2)萬程a+2Xa+Y=0有實根的條件是一2一=(2X)-4Y-0故從而方程有實根的概率為:x2w,PX2-Y=f(x,y)dxdyx2_y1 xW|03106=(d-2-3-y/2=dx-edy0-02=1-三中(1)-中(0)=0.1445.15.設X和Y分別表示兩個不同電子器件的壽命(以小時計)，并設X和Y相互獨立，且服從同一分布，其概率密度為f甯

12、，x1。，10,其他.求Z=X/Y的概率密度X【解】如圖,Z的分布函數FZ(z)=PZ<z=PX<zY當zwo時，Fz(z)=0(2)當0<z<1時，(這時當x=1000時,y=)(如圖a)z106二yz106Fz(z)=dxdy=103dy103dxxXy10xyzy2dxdy=1°3dyd106dx106Fz(z)=xxyy，xy3zy1二1一一2zfz(z)=11,z-1,2zz20,0:z：1,其他.12z*21fz(z)=j,20,z-1,0二z：二1,其他.16.設某種型號的電子管的壽命(以小時計)近似地服從N(160,202)分布.隨機地選取4只

13、,求其中沒有一只壽命小于180h的概率.【解】設這四只壽命為Xi(i=l,2,3,4),則XiN(160,202),從而Pmin(X1,X2,X3,X4)-180Xj之間獨立PX1>180gPX2之180PX3_180-PX4-180二1-P依：二180仰X:180PX二二18P)4X118044180-160=1-PX1：1804=1-：_2044=1-：'(1)=(0.158)=0.00063.17 .設X,Y是相互獨立的隨機變量，其分布律分別為PX=k=p(k),k=0,1,2,，PY=r=q(r),r=0,1,2,.證明隨機變量Z=X+Y的分布律為PZ=i=Zp(k)q(

14、ik),i=0,1,2,.k=0【證明】因X和Y所有可能值都是非負整數，所以Z=i=XY=i=X=0,Y=iX=1,Y=i-1X=i,Y=0于是PZ=i=£PX=k,Y=ikX,Y相互獨立工PX=k中Y=ikk=0k=0Cp(k)q(i-k)k018 .設X,Y是相互獨立的隨機變量，它們都服從參數為n,p的二項分布.證明Z=X+Y服從參數為2n,p的二項分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為0,1,2,，2n.kPXY=k="PX=i,Y=k-ii=0k八P(X=i)_PY=k-ii-0k=zi0piqk=zi=0k2n-kpq【解】（1）PX=2|Y=2PX=2,Y22P

15、Y=2PX=2,Y=2-5'PX=i,Y=2i=00.050.25PY=3|X=0=PY=3,X=0PX=02rT1k/方法一：設內，隆，他；卬用，a均服從兩點分布（參數為p）,則X=國+的，Y=崗也'+曲，X+Y=崗+.+pi+口'也，+而'，所以，X+Y服從參數為（2n,p）的二項分布.19.設隨機變量（X,Y）的分布律為>012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05(1)求PX=2|Y=2,

16、PY=3|X=0;(2)求V=max(X,Y)的分布律；(3)求U=min(X,Y)的分布律；(4)求W=X+Y的分布律.0.010.03PX=0,Y=33'PX=0,Y=jj=0(2) PV=i=Pmax(X,Y)=iPX=i,Y二iPX<i,Y=ii4i=、PX=i,Y=k'PX=k,Y=i,i=0,1,2,3,4,k=0k=0所以V的分布律為V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3) PU=i=Pmin(X,Y)=i二PX=i,Y_iPXi,Y=i35i=0,1,2,3=，PX=i,Y=k%PX=k,Y=ik4k41于是U=m

17、in(X,Y)0123P0.280.300.250.17（4）類似上述過程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷達的圓形屏幕半徑為R設目標出現點（X,Y）在屏幕上服從均勻分布(1)求PY>0|Y>X;(2)設M=maxX,Y,求PM>0.R題20圖【解】因（X,Y）的聯合概率密度為1f(x,y)=tR2,0,x2y2<R2,其他.(1)PY0|YX=PY0,YXPYX.f(x,y)d。y0yxf(x,y)d。yxTtR1d2rdr、/4巾D2tR557rR4d2rdr冗/402tR3/831/2-4(

18、2)PM0=Pmax(X,Y)0=1-Pmax(X,Y)<0，、1=1PX<0,Y三0二1一f(x,y)dc=1x：w4y£021.設平面區域D由曲線y=1/x及直線y=0,x=1,x=e2所圍成，二維隨機變量（X,Y）在區域D上服從均勻分布，求（X,Y）關于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？題21圖e21【解】區域D的面積為4=1dx=ln1x1f(x,y)=2,0,（X,Y）關于X的邊緣密度函數為.1所以fX(2)=1.4e2e=2.（X,Y）的聯合密度函數為其他.1/x11fX(x)=02dy=20,1MxMe2,其他.y1y2y3PX=Xi=PiX1X21/8

19、1/8PY=yj=pj1/6122.設隨機變量X和Y相互獨立，下表列出了二維隨機變量（X,Y）聯合分布律及關于X和Y的邊緣分布律中的部分數值.試將其余數值填入表中的空白處.2【解】因PY=yj=耳='、PX=xi,Y=y.,i1故PY=y=PX=Xi,Y=yjPX=x?,Y=yj,.111從而PX=x1,Y=y16824而X與丫獨立，故PX=xi田Y=yJ=PX=xi,Y=yi,1一一1從而PX=Xi=PX=Xi,Y=yi=.624rr111即：PX=x1/.2464又PX=x=PX=X，Y=y。PX=x，Y=y2PX=%,丫=丫3,rr111即:二右:PX=xY=yJ4248、1從而

20、PX=xY=y323同理PY=y2,PX=x2,Y=y2=283又'P丫=yj=1,故PY=y3=1一一二，j4j6233同理PX=x2=.4從而，、，、，、111P(X=x2,Y=y。=PY=yj-PX=xhY=73.3124故y1y2y3PX=x=R1111X2481241313x2,i-8844PY=yj=pj161213123.設某班車起點立上客人數X服從參數為NQ0）的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0<p<1）,且中途下車與否相互獨立，以Y表示在中途下車的人數，求：（1）在發車時有n個乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機變量（X,Y）的概率

21、分布.【解】PY=m|X=n=C：pm(1-p)n引,0三m±n,n=0,1,2.(2)PX=n,Y=m=PX=nFY=m|X=nmmn_men=Cnp(1-p),n<m<n,n=0,1,2,.一、一一12)24.設隨機變量X和Y獨立，其中X的概率分布為X，而Y的概率留度為f(y),030.7,求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).【解】設F(y)是Y的分布函數，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數為G(u)=PXY<u=0.3PXY<u|X=10.7PXY<u|X=2=0.3PY<u-1|X=10.7PYMu-2|X=2由于X和丫獨立，可見G

22、(u)=0.3PY<u-10.7PY<u-2-0.3F(u-1)0.7F(u-2).由此，得U的概率密度為g(u)=G(u)=0.3F(u-1)0.7F(u-2)=0.3f(u-1)0.7f(u-2).25.1.解:因為隨即變量服從0,3上的均勻分布，于是有因為X,1f(x)=3,0，0<x<3,x:0,x3;10_y_3,f(y)=3，y，0,y0,y3.丫相互獨立，所以設隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區間0,3上的均勻分布，求PmaxX,Yw1,0<x<3,0<y<3,f(x,y)=90,x:0,y:0,x3,y3.推得、1PmaxX,Y&

23、lt;1.26.9T01Ta00.200.1b0.2100.1c設二維隨機變量(X,Y)的概率分布為其中a,b,c為常數，且X的數學期望E(X)=-0.2,PY<(X<0=0.5j,記Z=X+Y.求:(1) a,b,c的值；(2) Z的概率分布；(3) PX=Z.解(1)由概率分布的性質知，即a+b+c=0.4.a+b+c+0.6=1由E(X)=-0.2,可得-ac-0.1.再由PY<0XE0=PX£0,Y三0PX<0ab0.1V=0.5,ab0.5ab=0.3.解以上關于a,b,c的三個方程得a=0.2,b=0.1,c=0.1.(2) Z的可能取值為-2,1

24、,0,1,2,PZ-2=PX-1,Y-1-0.2,PZ=7=PX-1,Y=0PX=0,Y-1=0.1,PZ=0=PX-1,Y=1PX=0,Y=0PX=1,Y-1=0.3,PZ=1=PX=1,Y=0PX=0,Y=1=0.3,PZ=2=PX=1,Y=1=0.1,即Z的概率分布為Z-21012P0.20.10.30.30.1(3) PX=Z=PY=0=0.1b0.2=0.10.10.2=0.4.27.設隨機變量X,Y獨立同分布，且X的分布函數為F(x),求Z=maxX,Y的分布函數.解：因為X,Y獨立同分布，所以Fx(z)=Fy(z),則Fz(z)=PZ<z=PX<z,Y<z=Px<zPY<z=F(z)2.28.設隨機變量X與Y相互獨立,X的概率分布為，、1PX=i,i=7,0,1,31,0三y：二1,Y的概率密度為fy(y)=甘心記Z=X+Y.0,其他.1一(1)求PZE|X=0；2(2)求Z的概率密度fZ(z)分析解題(1)可用條件概率的公式求解.題(2)可先求Z的分布函數，再求導得密度函數,11 PX=0,ZPZ|X=0=22 PX-0,1PX=0,Y<-PX=01二P"'(2) FZ(z)=PZ<z=PX+Y<z=PXY<zX=1R