1、第四節 輔助角公式降幕公式的熟悉應用要求：能運用和與差的三角函數公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶).一、將二倍角公式變形可得到的公式1.降冪公式：sin2 a,cos2 asin a COS a2 升幕公式：1 + COs a1 cosa:a ,3.半角公式：sin= 1 COS a21 + COS aa 丄2, co%： 土a 丄tan2= (nx+n)；(2)2sin2(十 x),3cos 2x;1 COs a 1 COs a sin a1 + COs a sin a 1 + COS a注意：等號后的正、負

2、號由a所在的象限決定.二、輔助角公式asin x + bCOs x= Ja2 + b2 sin(x + 妨，其中 sin =, ,b 丁, cos =d a ，即 tan = b9. a2+ b2，9 a2 + b2，9 a-例一利用輔助角公式將三角式化簡【例1】(1)f( a ) = 2cos2 + sin a的最大值是 . 設函數f(x) = (sin3 x + (Os 3 x)3 + 2cos2 w x( w 0)的最小正周期為，貝怯的值是.223- 思路點撥：先降幕，再引入輔助角(通常是特殊角)將表達式化為兩角和與差的三角函數.點評：(1)化簡時要有整體意識，合理變形，為公式的應用創造

3、條件，使結果的三角函數名稱、角的個數盡 可能的少.(2)對于形如asin x+ bcos x+ c或asin2x + bsin xcos x + ccos2x + d的三角函數式的化簡通常都可通過引入輔 助角配湊成兩角和(差)的三角函數，達到化簡的目的.1化簡下列各式:兀、兀、n1 2sin2(x + 8)十 2sin (x + 8)cos(x + j(3)cos 4x 4cos 2x + 3.考點二非特殊角三角函數求值【例2】不用計算器求值 sin 50 （1 +3 tan 10 ）.思路點撥：將切化為弦，再設法應用輔助角公式3-sin 70 2 cos210(A.1B.22D.考點三 逆用

4、三角公式進行化簡（升幕公式、降幕公式的應用） 【例3】 化簡下列各式：3 n _(3T， 2n)；思路點撥：（1）若注意到化簡式是開平方根和2a是a的二倍，a是扌的二倍，以及其范圍，不難找到解題的突破口； （2）由于分子是一個平方差，若注意到這一特征，不難得到解題的切入點.點評：在二倍角公式中，兩個角的倍數關系，不僅限于2 a是a的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數關系，同時還要注意 2 a，扌+ a, - a三個角的內在聯系的作用,cos 2 a=2sinCOs（； 土a）是常用的三角變換.（2）化簡題一定要找準解題的突破口或切入點，其中的降次、消元、切化弦、異名化同名、異角化同角是常用的化

5、簡技巧.（3）注意公式的變形，如COs a=sin 2 a2sin a，1 + cos 2 a2COs a：sin2a=1 cos 2 a練習3.已知-4-4n1 - 6-X，貝U sin 4x =考點四 有關sin x, cos x的齊次式問題n1【例 4】 已知一t；vxvO , sin x+ cos x =.252亠“，+ 亠sin 2x+ 2sin x砧居(1) 求sin x - cos x的值； 求 i 一 tan x的值.思路點撥：正余弦三兄妹“sin xicos x, sin x cos x”的內在聯系“知一可求二4.已知sin 2 a+ 2sin2a1 + tan an%k V

6、 aV _ （42）用k表示sin a- cos a的值等于2. (2012廣東卷)已知函數f(x)_ 2cos(3x+ 6)(其中3 0, x R)的最小正周期為10 n.(1)求3的值；16，求 COs(a + & 的值.設 a,躍0 ,扌,f(5 a+ 豐)=5 , f(5B普)1 角的變換是三角函數變換的核心，基本的技巧有：z B 2)(1)巧變角已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變 換.女口 a= ( a+ B= ( a B+ B 2 a= ( a+ B) + ( a B), 2 a= ( B+ a) ( B_ a), a+ B= 2 +

7、B, a； B(f B)等.(1) 常值變換：主要指“ 1 的變換，如:22n n1 = sin2x + cosx= tan x cot x = tan4= sin =(2) 正余弦三兄妹“ sin xkos x, sin x cos x的內在聯系知一求二.2.輔助角公式asin x + bcos x=. a2+ b2sin(x +助(其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的 值由tan = 確定)在求最值、化簡時起著重要作用.3由兩角和、差的三角函數公式及倍角公式進行適當的變形還可得到以下一些重要結論:(1)sin aztcos a= . 2sin (靖)；(sin acos a2= 1

8、sin 2 a；1 an an,、(3) = tan .土 譏；1?tan a4 丿運用兩角和與差的三角函數公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征， 如角的關系、次數關系、三角函數名等.抓住公式的結構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用, 而且抓住了公式的結構特征，有利于在解題時觀察分析題設和結論等三角函數街所具有的相似性的結構特 征，聯想到相應的公式，從而找到解題的切入點.(3)對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如：cos( a + B )cos p + sin( a + B )sin p = cos tan( a + B ) (1 tan a tan &) = tana + tantan( a + B )tan a tan B= tan( a + Ba2tan?(4)萬能公式：sin a=1 + tan萬能公式的特點和作用：可將)tanCOS asina,a,B,a tan B 等2 a1 tan 2,tan1 + tan2ja2tana=.(屬知識拓展)