1、算法的概念的教學設計杭二中分校陳海玲一內容和內容解析算法是規那么系統一種循序漸進解決問題的過程，尤指一種為在有限步驟內解決問題而建立的可 重復應用的計算過程。概念的內涵廣義在數學中，算法通常是指按照一定規那么解決某一類問題的明確和有限的步驟?，F在，算法通常 可以編成電腦程序，讓電腦執行并解決問題。概念的內涵狹義算法概念這一節，立足于用自然語言描述解決問題過程中的明確順序，是實現用程序框圖、程 序語言的表示方式的根底。內容及在本章的地位算法的思想方法幾乎貫穿整個高中數學課程的所有章節，如解三角形、數學歸納法、數學建模 等本節的內容能為以后學習本章程序框圖、根本算法語句以及選修1-2第四章“框圖內

2、容奠定根底.由于程序框圖表達的是算法的思想，故其思想方法可運用到數學的各個領域之中.在學科中地位算法也是數學及其應用的重要組成局部，算法是連接人和電腦的紐帶。是電腦科學的根底，利用電腦解決問題需要算法。首先研究解決問題的算法的自然語言表達，再把算法轉化為程序，所以 本節課學習用自然語言進行算法設計是使用電腦解決具體問題的一個極為重要的環節。表達其應用性 二目標和目標解析本節課通過對解決具體問題的過程與步驟的分析，讓學生體會算法的思想，了解算法的含義。 具體目標為：1 要求學生了解算法的含義，體會算法的思想。2 在分析實例的根底上了解算法的根本特征。3 能夠用自然語言描述一些具體問題的算法。本節

3、課教學重點通過實例讓學生體會算法思想，會用自然語言表達一些具體問題的算法 三.教學問題診斷本節算法對學生來說并不陌生。生活中很多問題是按照指定的要求一步步解決的；小學的四那么 混合運算所遵循的先乘除、后加減的規那么，括號的處理規那么等，都是學生最初接觸到的算法實例。 初中學習的方程組的解法等，也是算法的典型表達。高中學習的必修1中求函數零點的二分法的解題步驟、必修5中線性規劃的解題規律等更成了算法的經典問題。還有數列的求和、質數的判定、 最大公約數和最小公倍數的求法等，都涉及到算法。同時，在其他學科、甚至生活中也離不開算法。算法的實質是將人的思維過程處理成電腦能夠一步一步執行的步驟，進而轉化為

4、一步一步執行 的程序。這種處理問題的方式，學生以往有一些經驗，如教師對某些題型總結的較為固定的解題步 驟。不過這種經驗并沒有得到應有的升華。只有在完整地學習了算法后，學生才能把這些知識提升 到新的高度來認識。算法是對解題方案的準確而完整的構造性的描述。算法并不是容易理解和掌握 的內容。教學難點是對算法概念的理解和對算法的描述，尤其是對循環問題的遞歸語言表達，由于 學生初次接觸，更加難以掌握。教師可以首先通過實際生活中的生動有趣的例子幫助學生了解算法的含義，明白算法是規那么系統一種循序漸進解決問題的過程。在此根底上通過引導學生在具體情境之下回憶特殊的二元一次方程組的求解，自然展示求解的“步驟，從

5、而幫助學生進一步明白算法是 在有限步驟內解決問題而建 立的可重復應用的計算過程，并能夠編成電腦可以執行的程序讓電腦執行并解決問題的。在建立了算法的概念以后，教師可以通過進一步介紹學生熟悉的例子，并嘗試著讓學生自己舉 算法的例子，幫助學生進一步領會算法的思想。接著通過例1和例2設計算法，幫助學生學會用自然語言描述算法，質數的判斷是學生小學就接觸過的，用二分法求近似解在必修1 中學生也已經學習過，因此這兩個問題學生都是熟悉的。這里重點是通過設計理解算法概念，而不在于算法所涉及問題本身。教學時可以先讓學生回參謀題的 解題過程，再讓他們整理出步驟，并有條理的用自然語言表達出來。通過這樣的教學使學生體會

6、算 法設計的根本思路。在例題之后，借助課本中的思考，得出算法的特征，并通過練習促進對算法概念的理解與掌握。 通過案例的運用，引導學生體會算法的核心是一般意義上的解決問題策略的具體化。本節課教學，要圍繞算法概念，立足于用自然語言描述解決問題過程中的明確順序。根據這節 課的教學內容、 教學目標， 結合以上分析， 本節課建議采用以教師引導分析講授為主， 著重一個 “導 字，并通過適量的練習加以穩固。四教學支持條件分析 為了有效實現教學目標，條件許可，可以借助電腦或者計算器來參與運算或表達算法。通過電 腦演示幫助學生體會算法研究的價值。五教學過程設計 一結合章頭圖對學生進行數學史教育，同時讓學生認識算

7、法研究的價值。1看章頭圖， 介紹圖中在春秋時期盛行的算籌； 明朝時期已廣泛使用直至今日仍在發揮作用的算盤； 當今時代已進入各個領域的電腦。2提出問題：是什么把這三這聯系在一起？引出算法。 3從古到今算法始終扮演著重要的時代角色。我國古代數學在世界數學史中曾一度占領先地位。通 過介紹我國古代局部數學成就，加強對學生進行愛國主義教育，同時體會算法的研究價值。4從為了了解電腦的工作原理，引出課題算法的概念。 二問題情境，引出算法概念：問題情境 ：一個農夫帶著一條狼、 一頭山羊和一籃蔬菜要過河 , 但只有一條小船 . 乘船時 , 農夫只 能帶一樣東西 . 當農夫在場的時候 , 這三樣東西相安無事 .

8、一旦農夫不在 , 狼會吃羊 , 羊會吃菜 . 請設計 一個方案 , 使農夫能平安地將這三樣東西帶過河 .設計意圖： 通過這個學生容易感興趣的問題，讓學生有一個對算法的初步認識。師生活動 ：教師可以在學生看后引導學生整理出按步驟解決問題的方案，并告訴學生這就是一 個解決該問題的算法。第一步，農夫帶羊過河 .第二步 , 農夫單獨回來 .第三步，農夫帶狼過河 .第四步，農夫帶羊回來 . 第五步，農夫帶蔬菜過河 .第六步，農夫單獨回來 .第七步，農夫帶羊過河 .當然 , 也有可能學生提出第二套過河方案 .第一步，農夫帶羊過河 .第二步 , 農夫單獨回來 . 第三步，農夫帶蔬菜過河 .第四步，農夫帶羊回

9、來 .第五步，農夫帶狼過河 .第六步，農夫單獨回來 .第七步，農夫帶羊過河 .在這里目的不是為了解決這個問題本身,而是為了從這里讓學生初步了解算法 , 所以不需要兩種方案都講 . 只要在學生答復的根底是整理出一個解決問題的步驟即可 .三解決問題，建立算法概念“雞兔同籠 是我國隋朝時期的數學著作?孫子算經?中的一個有趣而具有深遠影響的問題，從 學生熟悉的雞兔同籠問題解決引出數學中的算法問題：問題1: 一個籠子里有一些雞和兔，現在知道里面一共有3 5個頭 ,9 4只腳，問雞和兔各有多少只？設計意圖：通過學生熟悉的問題的解決，幫助學生形成按步驟表達解決問題的想法。為下面學習復雜問題中用自然語言描述算

10、法打好根底。師生活動 ：這個問題學生容易解決，可以由學生獨立思考，之后匯報其解決方案。1 小學里解決方法：兔的只數， (942 35)21235 1223可以得到雞的只數。在此根底上歸納出一般結論。2中學解決方法：設立未知數，建立方程，解方程。解：設有 x 只雞，y 只兔，那么x y 35(1) 2x 4y 94(2)(1) 2 (2) 得： 2y 24(3) ，解 3得 y 12將 y 12 代人 1求得 x 23。答：籠子里有雞 23只，兔 12只。3從上述解決問題的過程看，解決以上問題可以分假設干步完成：第一步，設有x只雞，y只兔，第二步，列方程：x y 35(1) 2x 4y 94(2

11、)第三步，解方程求得： x 23 ， y 12 第四步，答：籠子里有雞 23 只，兔 12只。教師在學生答復的根底上指出上述四個步驟構成解決 “雞兔同籠 問題的一個算法。同時指出：第一步， 設. 第二步， 列. 第三步， 解. 第四步， 答.這四個步驟構成了一般的列方程解應用題的算法。問題 2：你能寫出求解二元一次方程組：x y 352x 4y 94(1)的步驟嗎？(2)設計意圖 ：在上述 “雞兔同籠 問題中涉及解具體二元一次方程組的問題，通過復習所學過的解 二元一次方程組的根本步驟自然過渡得到解一般的二元一次方程組的步驟，為建立算法概念打下 根底。師生活動 ：教師先提出問題，讓學生對求解過程

12、一步步表達出來。 解二元一次方程組的主要思想是消元的思想，有代入消元和加減消元兩種消元的方法，教師引 導學生用加減消元法寫出它的求解過程，然后讓學生嘗試用代入消元法表達出解決問題的步驟。解：第一步： (1) 2 (2) 得： 2y 24(3)第二步：解 3得 y 12第三步：將y 12代人1求得x 23。無任學生用代入消元法還是加減消元法，在這里目的不是為了解方程的方法，而是為了從這里讓學生初步了解算法，所以不需要兩種方法都講教師只要和學生共同整理出一個解方程的步驟即可 教師在學生答復的根底上指出：1. 以上求解的步驟就是解二元一次方程組的算法2. 此題的算法也適合一般的二元一次方程組的解法3

13、 在解決某些問題時，需要設計出一系列可操作或可計算的步驟，通過實施這些步驟來解決問題, 通常把這些步驟稱為解決這些問題的算法.問題2:寫出求方程組ax by g a2x 鳥 y c2(1)a1b2 a2b|0的解的步驟設計意圖：在復習解具體二元一次方程組根本步驟的根底上進一步分析解一般的二元一次方 程組的步驟，并指出上述步驟構成了解二元一次方程組的一個算法，從而加深學生對算法的了解。 通過教師事先編好的程序的演示，讓學生感受算法研究的價值。師生活動：教師在提出問題后， 可以讓學生來說出其解題步驟，教師用投影給出求解過程步驟。解：第一步：2x a1 -1x a2，得:aAa2bi ya1c2a2

14、c13第二步:解3得C2ya2Cl;a1b2a2bi第三步:將 ya1 C2aL代入1，得xb1c2a1b2a2b1a1b2a2b1在完成求解一般的二元一次方程組步驟的根底上教師指出：1 此題的步驟就是求一般的二元一次方程組的解法的算法2 在寫出此步驟根底上， 我們將上述步驟進一步用電腦能夠識別的語言表達出來并輸入電腦就可以 解決用電腦求二元一次方程組的解了。這里老師事先按照上述步驟編寫了程序，同學們可以跟老師起來看看。3 讓學生輸入數據，電腦直接給出方程組的解。四分析歸納，得到算法概念問題3:到底什么是算法？如何表達算法的含義？設計意圖：在提出算法這一概念后， 學生自然想進一步了解到底什么是

15、算法。教師在此處設問， 目的不是要求學生直接作答，而是為了自然過渡到對算法的更進一步研究上。用上面幾個學生熟悉的問題來幫助學生建立算法的概念，降低難度，有利于學生正確理解算法 的概念。培養學生體會發現、抽象、總結的能力。師生活動：教師在提出問題后，可以先讓學生用自己的語言表達對算法思想的理解，在學生答 復的根底上教師進行歸納幫助學生建立算法的概念。教師指出：算法通常是指按照一定規那么解決某一類問題的明確和有限的步驟?，F在，算法通常可以編成電腦程序，讓電腦執行并解決問題。教師可以通過進一步從算法的角度介紹學生熟悉的例子，并嘗試著讓學生自己舉算法的例子， 幫助學生進一步領會算法的思想。例1.寫出交

16、換兩個大小相同的杯子中的液體A水、B酒的一個算法.例 2寫出求一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 根的算法 .(五) 算法的應用：問題 1 設計一個算法，判斷 7 是否為質數。設計意圖 ：在給出算法的概念后，教師在此處安排這樣一個問題，目的強化化學生對算法思想 的領會，使學生體會到算法并不抽象，實際上是我們從前解題步驟的總結。然后通過一連串問題的 追問，由淺入深，由特殊到一般，培養學生體會發現、抽象、總結的能力。通過電腦演示，讓學生 感受算法研究的價值。師生活動 ：教師引導學生回憶質數的概念，提出如下一系列問題幫助學生形成解決問題的根本 步驟，也就自然完成了一個算法的設計。1. 什么

17、是質數？2. 如何判斷一個數是不是質數？3. 你在答復這個數是不是質數前，你在頭腦中經歷了怎樣的思考、操作過程？ 在學生答復這個問題的根底上，教師接著提出問題：4. 電腦如何判斷整除呢 ?從而引導學生用標準的語言來表達算法.5. 能否設計一個算法，判斷 35 是不是質數？6判斷 7是否是質數的算法和判斷 35 是否是質數的算法有什么不同？6. 任意給定一個大于1的整數n,能否設計一個算法對n是否為質數做出判斷？這時候學生知道要判斷一個大于 2 的整數 n 是否為質數，只要根據質數的定義，用比這個整數 小的數去除n，如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整數整除，那么這個數便是質數。有了前面的根

18、底，這里學生多數可能答復用2n-1丨去除n,于是將判斷的過程表達出來就形成了解決問題的這樣一個算法： 第一步，給定大于 2 的整數 n.第二步，用2去除n,得到余數t假設t=0 ,貝U 2能夠整除n, n不是質數，算法結束；否那么，進入第 三步 .第三步，用3去除n,得到余數t假設t=0 ,貝U 3能夠整除n, n不是質數，算法結束；否那么，進入第 四步 .第n-1丨步，用n-1丨去除n,得到余數t假設t=0，那么n-1丨能夠整除n，n不是質數，算法結 束；否那么 ， n 是質數 .教師首先應該肯定學生的做法 ， 但在學生答復的根底上向學生提出這里從2 n-1 都在重復同一件事 ，象這種情況在

19、設計算法時經常遇到 ，然后教會學生用遞歸語言進行 表達 .在完成上述算法表達的根底上教師指出：1用自然語言描述一個算法 ， 最便捷的方式就是按解決問題的步驟進行描述 ， 每一步做一件事情 . 這 樣描述的算法表達按部就班程序性的特點 . 對于在解決問題過程中反復進行的步驟 ， 同學們要學習用 遞歸語言進行描述 . 用遞歸語言進行描述時 ，通常分三個步驟 :首先要給一個初始值 ，接著表達重復 做的事情 ， 最后要進行終止判斷 .2教師用事先按照上述步驟編寫的程序演示,判斷學生說出的數是否為質數。問題 2. 用二分法設計一個求方程 x220的近似根的算法 .設計意圖 ：二分法是算法中的經典問題,具

20、有明顯的順序和可操作的特點。因此在這里安排這 樣一個例題既可以穩固前面已形成的用自然語言描述的算法,也可以提高用自然語言描述的算法的 表達水平。師生活動：教師引導學生回憶二分法求方程近似根的方法，回憶二分法的根本思想。教師提出 精確度要求，然后引導學生說出解決該問題的每一個步驟，形本錢例算法。教師可以通過以下一連串問題的設問，引導學生完成二分法求方程近似解的算法設計。1二分法求方程近似解是通過求對應函數的近似零點得到的，所以首先要建立函數，而且要有 具體精確度要求，因此第一步應該怎么做？2 二分法分的是什么？3 如何確定新區間的端點？4 如何表達出反復二分區間的過程？引導學生學習用遞歸語言表達

21、解：設所求近似根與精確解的差的絕對值不超過0.005，算法：2x x 2.給定精確度d .第二步，給定區間a,b ,滿足f(a)f(b) 0.第三步，取中間點m第四步,假設f(a)f(m) 0那么含零點的區間為a,m ；否那么含零點的區間為m,b 將新得到的含零點的仍然記為 a, b .第五步，判斷a,b的長度是否小于d或者f (m)是否等于o .假設是，那么m是方程的近似解；否那么, 返回第三步.在得到算法后教師可以帶著學生看書，閱讀課本第4頁上有關內容，并說明按以上步驟，我們將依次得到課本第4頁的表1-1和圖1.1-1.于是，開區間1.4140625 ,1.41796875丨中的實數都滿足

22、假設條件的原方程是近似根五小結：將本節的主要內容以問題的形式呈現，讓學生通過思考和答復以下問題，到達回憶和總結的目 的.問題1:你能舉出更多算法的例子嗎？設計意圖：為了學生掌握算法的思想，所以這里讓學生充分結合具體問題，以舉例的形式來表 達算法，以此評價他們對算法特征的理解情況，并讓他們聯系已經學習過的內容學會用算法的思想 方法去解決問題.師生活動：教師應盡可能讓更多的學生舉出不同的實例，并引導他們認識到算法的幾個特征.問題2:與一般解決問題的過程相比，你認為算法最重要的特征是什么？設計意圖：通過讓學生思考答復來評價他們對算法的特征中順序、確定、有限的步驟的領會情 況同時提高學生的總結、歸納、表達能力。師生活動：如果學生不能答復提出的問題，可讓他們在本節課已有問題的根底上進行思考并 進行歸納總結算法可以理解為有根本運算及規定的運算順序所構成的完整的解題步驟。或者看成按照要求設 計好的有限確實切的計算序列，并且這樣的步驟和序列可以解決一類問題。在數學上，現代意義上的“算法通常是指可以用電腦來解決的某一類問題是程序或步驟，這 些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成與一般解決問題的步驟相比，算法具有程序性、有限性、構造性、精確性等特點。六.目標檢測設計1 課堂檢測 課本第6頁練習1 2課后檢