1、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算，理解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義。2. 會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法和除法運(yùn)算。3. 掌握共軛復(fù)數(shù)的簡單性質(zhì)，理解z、z的含義，并能靈活運(yùn)用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算1. 復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算法那么：設(shè) zi a bi， z2 c di ( a, b, c, d R )，我們規(guī)定：zi Z2 (a bi ) (c di ) ( a c) (b d )iZ2 zi(c a) (d b)i要點(diǎn)詮釋：(1 )復(fù)數(shù)加法中的規(guī)定是實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加，減法同樣。很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和(差)仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的加(減)法可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相

2、加(減)的情形.(2)復(fù)數(shù)的加減法，可模仿多項(xiàng)式的加減法法那么計(jì)算，不必死記公式。2. 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算律:交換律：zi 2 21+z =z +z結(jié)合律:(Z1+Z2)+ Z3=Z1+(Z2+Z3)要點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的幾何意義1.復(fù)數(shù)的表示形式：代數(shù)形式：z a bi ( a, b R )幾何表示：坐標(biāo)表示：在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)Z (a, b)表示復(fù)數(shù)z a bi ( a,b R )；表示復(fù)數(shù) z a bi .向量表示：以原點(diǎn)0為起點(diǎn)，點(diǎn) Z (a,b)為終點(diǎn)的向量 0Z要點(diǎn)詮釋：復(fù)數(shù)z a bi對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z (a, b)對(duì)應(yīng)平面向量0Z2 .復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義:uuur如果復(fù)數(shù)z1、z

3、分別對(duì)應(yīng)于向量20P1uuuruuur，那么以0巨OP、1OP為兩邊作平行四邊形2uuuurOS表示的向量 OS就是Z1Z2的和所對(duì)應(yīng)的向量OPSP，對(duì)角線12.對(duì)角線P2 P1表示的向量P2 P1就是兩個(gè)復(fù)數(shù)的差Z1Z2所對(duì)應(yīng)的向量設(shè)復(fù)數(shù)Z1=a+bi , Z2=c+di，在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量為OZ1、OZ 2，即OZ1、OZ2的坐標(biāo)形式為 OZ1 =(a, b), OZ 2 =(c, d)'以O(shè)Z1、OZ2為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，那么對(duì)角線oz對(duì)應(yīng)的向量是0Z ,由于 0Z= OZ1 + OZ2 =( a , b)+(c , d)=(a+c , b+d)，所以 0Z1 和

4、 OZ 2的和就是與復(fù)數(shù)(a+c)+( b+d)i對(duì)應(yīng)的向量類似復(fù)數(shù)加法的幾何意義，uuuurhr-=*由于 z1 - Z2=( a - c)+( b - d)i，而向量 Z 2 Zl = OZl OZ 2 =(a, b)-(c, d)=(a-c,b-d)，所以O(shè)Zl和OZ 2的差就是與復(fù)數(shù)(a c)+( b d)i對(duì)應(yīng)的向量要點(diǎn)詮釋：要會(huì)運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義去解題，它包含兩個(gè)方面：(1) 利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理(2) 反過來，對(duì)于一些復(fù)數(shù)運(yùn)算式也可以給以幾何解釋，使復(fù)數(shù)做為工具運(yùn)用于幾何之中。要點(diǎn)三、復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算1.共軛復(fù)數(shù):當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相

5、反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。通常記復(fù)數(shù) Z的共軛復(fù)數(shù)為 Z。2 .乘法運(yùn)算法那么：設(shè)Z1a bi,Z2c di(a, b, c, dR )，我們規(guī)定:Z1 Z2(abi )(cdi )(acbd )(bcad )iZ1 abi(abi )(cdi )acbdbcadZ2cdi(c di )(c di )c 2d 2c 2id2要點(diǎn)詮釋:1.兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把 兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)i 2換成-1，并且把實(shí)部與虛局部別合并2.在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，通常先把除式寫成分式的形式，母實(shí)數(shù)化)，化簡后寫成代數(shù)形式。再把

6、分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)3 .乘法運(yùn)算律:(1)交換律：Z1(Z2Z3)=(Z 1Z2)Z3(3)分配律:Z1(Z2+Z3)=Z 1 Z2+Z 1Z3 z (z +z )=z z +z z1231213要點(diǎn)四、復(fù)數(shù)運(yùn)算的一些技巧:1. i的周期性：如果n N，那么有：i 4n 1i 4n 1 jj 4n 2, ,11 , i 4 n 3 i ( n N *)2. (1 i )22iz、z的積是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)等于每一個(gè)復(fù)數(shù)的模的平方,3.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)即 Z ZX2y2，其中 z=x+yi ( x, y R).【典型例題】 類型一、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算例 1.計(jì)算：(1) (5

7、-6i)+(-2-i)-(3+4i)(2) (1 -2i) -(2 -3i)+(3 4i) -(4 飛i)+? +(1999 2000i) (2000 2001i)【解析】(1) (5-6i)+(-2-i)-(3+4i)= (5-2-3)+(-6-1-4) i= - 11.i(2)解法一：原式=(1 ?+3 4+? +1999 2000)+( 2+3 4+5+ ? 2000+2001)i= 1000+1000i。解法二：(1 -2i) -(2 3i)= 1+i,(3 4i) -(4 "i)= 1+i,?(1999 2000i) (2000 !001i)= +i。 將上列1000個(gè)式子

8、累加，得原式=1000( +i)= 1000+1000i。【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)的加減法，相當(dāng)于多項(xiàng)式加減法中的合并同類項(xiàng)的過程。如果根據(jù)給出復(fù)數(shù)求和的特征從局部入手，抓住式子中相鄰兩項(xiàng)之差是一個(gè)常量這一特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行組合，那么可簡化運(yùn)算。舉一反三：【變式】 設(shè)z1=3+4i , z2=2 i，求Z1Z2 ,(2) z =(3x+y)+(y4x)i , z =(4y 2x) (5x+3y)i ( x , y R)，求 z z,1 2 1 2【答案】(1) z 1+Z2=(3+4i)+(2 1)i=(3-2)+(4-1)i=1+3i(2) z 1 Z1=(3x+y)+(y 4x)i =+i =(5x

9、 3y)+(x+4y)i ,類型二、復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算例 2.計(jì)算：(1) (1 i) 2;(2) (1 2i)(3 + 4i)(1 + 2i).【思路點(diǎn)撥】第(1)題可以用復(fù)數(shù)的乘法法那么計(jì)算，也可以用實(shí)數(shù)系中的乘法公式計(jì)算；第(2)題可以按從左到右的運(yùn)算順序計(jì)算，也可以結(jié)合運(yùn)算律來計(jì)算.(1) 解法一：(1 i) 2 = (1 i)(1 i) = 1 i i + i 2 = 2i ；2 2解法二：(1 i) 2= 1 2i + i2 = 2i.2(2) 解法一：(1 2i)(3 + 4i)(1 + 2i) = (3 + 4i 6i 8i 2)(1 + 2i)=(11 2i)(1 + 2i) =

10、 (11 + 4) + (22 2)i = 15 + 20i ;解法二：(1 2i)(3 + 4i)(1+ 2i) = (3 + 4i) = 5(3 + 4i) = 15 + 20i.【總結(jié)升華】此題主要是穩(wěn)固復(fù)數(shù)乘法法那么及運(yùn)算律，以及乘法公式的推廣應(yīng)用.特別要提醒其中(2i) 4i，而不是8.舉一反三：【變式1】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i(1+2i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】B vz=i(1+2i)=i+2i2_2+i,二復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(一2, 1),應(yīng)選B .【高清課堂： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運(yùn)算401753 例題1】【變式2】計(jì)算：(1)

11、 in ( nN );()23100 ；( )231002i ii L i3 i i i L in 4k 3【答案】(1) in1n4k2其中k*N ;in4k11n4k(2) i4k i 4k 1i 4k 2i 4 k3i 4k (1 i 2i i )0100(100 1)(3) i i2 i3 L i100i2.5050i1【高清課堂：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運(yùn)算401753例題2】【變式3】計(jì)算:(1)8(2)(13i)3(1i_)3 .(1i )(1 i) 2(1 i )2【答案】(1) (1 i )8(1i )2 4 (2i )424 i 4 16(2) (1¥2i(1 i )

12、2i (1 i )1(1i) 2(1i )22i2i1例3. (2021 新課標(biāo)I )設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足 _z i，那么I z |1 z(A) 1( B) 2(C) 3(D) 2【答案】A【思路點(diǎn)撥】在復(fù)數(shù)的乘除法中，要時(shí)時(shí)注意i 21 ,不能出錯(cuò)。【解析】1 Z i1 Z二 1+z=i zi (1+i)z=i 1i 1 (i 1)(1 i ) 2iz 一 i1 i22 |z|=1應(yīng)選A【總結(jié)升華】1先寫成分式形式2然后分母實(shí)數(shù)化即可運(yùn)算.(一般分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù))3化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果舉一反三：【變式1】復(fù)數(shù) J等于(1 iA.1+2i B. 1 2i【解析】3 i (3i)(1).

13、C. 2+i D .i) 3 2i i 24 2i2 i，應(yīng)選C.1 i (1i)(1 i)1 i2【變式2 計(jì)算：(1) (i1)3 ( 2) 1 3ii3 - i【答案(1) (i-1)3 (i-l)3)38i 3 8i .ii3 - i -i (1 3i ) -i類型三.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運(yùn)算例4.計(jì)算以下各式：(1(1)=4i)(1 i) 2 4i ；( 2) (i 2)(i 1)3 4i(1 i)(i 1) i【解析門)(14i)(1i) 2 4i(14) ( 41)i2 4i7 i(7 i)(34i)34i3 4i34i(3 4i)(34i)(214)(328)i2525i252

14、51 i。(i(2)2)(i1)(21)(12)i1 3i(13i)(2 i)(1 i)(i1) i(11)(11)i i2 i(2i)(2 i)(23)(6 1)i5 5i .1 i。55【總結(jié)升華題中既有加、減、乘、除運(yùn)算，又有括號(hào)，同實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一致，先算括號(hào)，再算乘除，最后算加減.舉一反三:【變式1 計(jì)算:(1) (1 2i )(3 4i )(2 i )(2) i i 2 i 3 l i 100(3) (1 i )3(1 i )3；(1 i )2(1 i) 2【答案(1) (1 2i )(34i)(2 i )(11 2i)(2 i) 24 7i(2) i i 2 i3 L i 100

15、 i1 2 l 10O i 5050 (i 4 )1262 i 2 i 21(1 i )3(1 i) 3(1 i ) 2 (1 i) (1 i )2 (1 i ) 2i (1 i ) 2i (1 i) 2i 23丿 1 (1 i )2(1 i) 22i ( 2i )4i4i【答案方法一:原式(1)_223 i)(3)22i 3i5方法二(技巧解法)原式(1 i) 22(一 2.3考點(diǎn)4共軛復(fù)數(shù)的有關(guān)計(jì)算【高清課堂:數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念401749 例題 2 例 5. X, yR，復(fù)數(shù)(3x 2 y) 5xi與復(fù)數(shù)(y 2)i18的共軛復(fù)數(shù)相等，求x, y.【思路點(diǎn)撥先將 (y 2) i 18

16、的共軛復(fù)數(shù)要正確寫出，再由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得方程組，解之 即可求結(jié)果，【解析(y 2)i1818(2 y)i3x 2 y 18 x-218 - ( y - 2)i(3x 2 y) 5xi/2 - y 5xy12【總結(jié)升華以z、z的概念與性質(zhì)為根底，結(jié)合復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運(yùn)算，解決有關(guān)應(yīng)用問題.舉一反三：【變式1 (2021 上海)假設(shè)復(fù)數(shù) z=1+2 i，其中i是虛數(shù)單位，那么(z 1 ) z=z【答案6復(fù)數(shù)z = 1 + 2i，其中i是虛數(shù)單位，那么 z 1 z 1 2i -1 2iz1 2i=(1 + 2i)(1 - 2i) + 1=1 - 4i2 + 1=2 + 4=6.故答案為：

17、6z【變式2設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是z , z z 4, z z 8，那么一=z【答案設(shè)za bi ( a, bR )，那么za bi ,；z z 2a4 ,且 z za2b28,當(dāng)a 2 , b 2時(shí)，2 2i i ； z 2 2iz當(dāng) a 2 , b 2 時(shí)，2 i i .z 2 2i類型四.復(fù)數(shù)的幾何意義例6.如下圖，復(fù)平面內(nèi)的正方形ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn) A (1 , 2) , B ( 2, 1),C ( 1, 2)，求D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)。【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)D的位置，利用解析幾何的方法確定D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。【解析】解法一：設(shè)D ( x, y)，那么ADuuur uuurODuuurOA (x

18、, y)(1,2)1, y 2) oxuuur uuur uuurBC OC OB (1,2)(2,1)(1, 3) ouuur uuur 因?yàn)锳D BC ,( x 1, y 2) = ( 1, 3), D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 2 i o 解法二：T A, C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，二O為正方形ABCD的中心。設(shè)D (x, y)，貝U B , D關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，即0，得0二D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2 i。【總結(jié)升華】在平面幾何圖形中，結(jié)合向量的運(yùn)算法那么的幾何意義，以復(fù)數(shù)加減法的幾何意義為媒介， 現(xiàn)量之間的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求相關(guān)問題.舉一反三:【變式1】假設(shè)在復(fù)平面上的Y ABCDuuur中，AC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為6+8i,uuurBD對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)