1、5. 待待 定定 型型Hunan City University例如：例如：0limxxxeex0()0() 這兩種類型的極限稱為這兩種類型的極限稱為 與與 待定型待定型. 其它待定型其它待定型還有還有 等五種，它們都可化為等五種，它們都可化為 或或 待定型來計算待定型來計算.00000, 0 , 1 , 000ln sinlimln sinxmxnx求待定型的極限的方法常用求待定型的極限的方法常用 洛必達洛必達 ( ( L Hospital L Hospital ) ) 法則法則. .5. 待待 定定 型型Hunan City University一、一、 及及 待定型待定型00Th. 1(

2、00)0 xa型 , 內有定義，且在與)0)(,()()(aaxgxf若若 , 0)(lim0 xfax;0)(lim0 xgax0( )lim),(xafxAgx00()()limlim.()()xaxafxfxAg xgx則).(的情形包括A，且內存在，在與0)(),()()(xgaaxgxf5. 待待 定定 型型Hunan City University注：注：Th.1的結果適用于的結果適用于 情形情形.0,xaxax, 證明：證明：作輔助函數( ),( ,)( ),( ,)( )( ),0 ,0,f xxa ag xxa aF xG xxaxa,( )( ) ,)( ,)( )0.(

3、,) , F xG xa aa aG xxa aa xCauchy 則與在連續，在可微，且對，在上利用定理，得：),()()()()()()()()(xaGFaGxGaFxFxGxF，i.e.( )( )00( )( )f xfxaag xg,令,有得證.5. 待待 定定 型型Hunan City University例例1.0limxxxeex例例2.0lim0,1xxxaba bx（）例例3.arctan2lim1xxx 例例4.xxxxxxsincoslim0)00(01cossinlim1cosxxxxx)00(02sincoslimsinxxxxx0lim2.1xxxee0lnlnl

4、imln.1xxxaabbab222211limlim1.11xxxxxx03cossinlim3.cosxxxxx5. 待待 定定 型型Hunan City University 若若 ()0 xa型 , 有定義，且在與)0)(,()()(aaxgxf00lim( )lim( );xaxaf xg x ,，且都可導，在與0)(),()()(xgaaxgxf0.( )lim( )xaAfxAgx （包括的情況）則則.)()(lim)()(lim00Axgxfxgxfaxax注：注：Th. 2 的結果適用于的結果適用于 情形情形.0,xaxa x 5. 待待 定定 型型Hunan City Un

5、iversity例例5.0lnsinlimlnsinxmxnx例例6.lnlim(0) ()xxx0sincoslim1.sincosxnxmxmxnxmxnx0cossinlimcossinxmmxnxnnxmx111limlim0.xxxxx5. 待待 定定 型型Hunan City University次后，得是整數，則求導若(1)(1)lim0;(ln)xxaa 例例7.lim(0,1)xxxaa 1limlnxxxaa (1)(1)lim.(ln)kxkxkxaa 5. 待待 定定 型型Hunan City University.0)(ln)1()1(limkxkxaaxk0,lim

6、0,().1xxxaa對總有 故. .0k stkk 若 不是整數，則必，于是求導 次后，得lim0, (0).xxxe特別, 5. 待待 定定 型型Hunan City University 二、其它待定型二、其它待定型1.00001100型型, 型或型例例8.)0()0()ln(limaaxaxxxln()0lim()10 xxaxax 2222222()limlim2 .1xxxaaaxxaxaaxax5. 待待 定定 型型Hunan City University2.111101110 型型例例9.)()11ln1(lim1xxx11ln0lim( )(1)ln0 xxxxx 110l

7、im( )ln10 xxxxx111lim1lnxxxxx111lim.ln112xx5. 待待 定定 型型Hunan City University00 ln 003.0ee型型例例10.sin00lim (tan)(0 )xxx00ln tanlim sinln tanlim()1sinxxxxxx而220021sintancoslimlim0.coscossinxxxxxxxxsin00lim (tan )1.xxxe故 0lim sin lntansin lntan0limxxxxxxee5. 待待 定定 型型Hunan City Universityln104.1ee 型型)., 2

8、 , 10()1()(lim1210nianaaaixxnxxx ，例例11.121200ln()1limln()limxxxnxxxnxxaaaaaanxnx其中 xnxxnxnxxxaaaaaaaaa2122110lnlnlnlim121ln()0lim,xxxnaaaxnxe5. 待待 定定 型型Hunan City University10lim()xxx00 ln05.ee型型1lnlimxxxe1ln1limlnlim()lim0.xxxxxxxx其中.lnlnlnln2121nnnaaanaaa1 21ln12120lim().nnxxxa aanxnnxaaaea aan故 例

9、例12.01.e5. 待待 定定 型型Hunan City University使用使用洛必達法則洛必達法則求待定型的極限求待定型的極限, 須須注意的幾點注意的幾點:1.1.洛必達法則只能對洛必達法則只能對 或或 型才可直接使用型才可直接使用, 其它待定型必須先化為這兩種類型之一其它待定型必須先化為這兩種類型之一, 然后再然后再 應用洛必達法則應用洛必達法則.00( )( ),)0( )(0fxfxg xg x如果仍屬或型, 且滿足定理的條件,可繼續使用洛必達法則,即2.2.( )( )( )limlimlim.( )( )( )f xfxfxg xg xgx5. 待待 定定 型型Hunan

10、City University3.3.洛必達法則只說明當洛必達法則只說明當 時時, 那么那么 也存在且等于也存在且等于A（有限或無限）（有限或無限）. ( )lim( )fxAgx( )lim( )f xg x例例13.解解:coslim.xxxx求 1 sinlim1xx原式lim(1 sin ).xx極限不存在極限不存在洛必達法則失效洛必達法則失效. 若若 不存在不存在, 則不能斷定則不能斷定 也不存在也不存在, 此時不能應用洛必達法則此時不能應用洛必達法則, 須用其它方法討論須用其它方法討論.( )lim( )fxgx( )lim( )f xg x5. 待待 定定 型型Hunan City University1lim(1cos )1.xxx原式例例14.201sinlim.sinxxxx求 解解:0112 sincoslim,cosxxxxx原式01coslim.cosxxx但不存在01limsin0.sinxxxxx原式5. 待待 定定 型型Hunan City University例例15.30tanlim.sinxxxx求 解解:30tanlimxxxx原式2201 seclim3xxx4.4.洛必達法則是求待定型極限的有效工具洛必達法則是求待定型極限的有效工具, 但若僅用但若僅用 洛必達法則往往會十分繁瑣