1、到兩個(gè)定點(diǎn)距離積為定值的軌跡-卡西尼卵形線的幾何畫板作法常州市第二中學(xué)李傳軍1 .問題的提出一次在圓錐曲線的高三復(fù)習(xí)課上，小結(jié)了與到兩定點(diǎn)距離有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問題：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)Fi,F2距離到為定值2a ,即PFi + PF2 = 2a(2a A F1F2)的軌跡是橢圓；動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1,F2距離為的絕對值為定值2a,即|尸1限2圖& FF< )2的軌跡是雙曲線；動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)Fi,F2距離商為定值k,即空 =k(k=1)的軌跡是圓。PF2課堂上很快就有學(xué)生提出：到兩定點(diǎn)距離積為定值的點(diǎn)的軌跡是什么呢？課 前我對這個(gè)問題沒有思考過，再加上高三復(fù)習(xí)課時(shí)間緊迫，就以“這個(gè)問題在中

2、學(xué)階段不作要求”敷衍過去，哪知課后兩個(gè)學(xué)生追著我問：這個(gè)軌跡到底是什么？ 這下我只有“被迫”去研究一下了。2 .問題學(xué)習(xí)研究過程我先在網(wǎng)上查閱了相關(guān)資料，了解到到兩點(diǎn)距離積為定值的點(diǎn)的軌跡是卡西 尼卵形線，如圖，可以分成幾類圖形，其中一個(gè)特殊情形(圖3)是伯努利雙紐線(微分幾何一個(gè)重要研究圖形)，就把這些告訴學(xué)生，同樣會帶來很多的“為 什么"，那么怎樣將這些圖形動(dòng)態(tài)直觀的展示給學(xué)生呢？我想到了幾何畫板。r1Rik問題：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)又下2的距離積為定值k ,即PF1 FF2=k, F1F2=2c,試討論點(diǎn)P的軌跡。c = 1.40k = 5.19ri = 2.30 厘米 r=K=2.

3、25 厘米 ri作圖思路：首先作可變線段用來控制兩焦點(diǎn) Fi,F2的距離(如圖通過拖動(dòng)C來改變Fl,F2的距離，下同)；作可變線段用K來控制k的值作可變線段r1用，以F1為圓心r1為半徑作圓F1,計(jì)算k并記為r2 ,以52為圓心 ri2為半徑作圓F2,設(shè)圓Fi,圓F2的交點(diǎn)為P,顯然PFi PF2 = ri J2 = k選中點(diǎn)R,P構(gòu)造軌跡曲線11做出以上動(dòng)態(tài)圖形，應(yīng)該可以給學(xué)生以交待了，但上述圖中依然有“為什么”， 如上圖右圖中的兩圓是相離的沒有交點(diǎn)， 哪里來的交點(diǎn)的軌跡呢？實(shí)際上兩圓是 “虛交”的(可簡單理解為兩圓方程聯(lián)立方程組的解是虛數(shù))，而這對學(xué)生來說又是不可想象的，還應(yīng)再作進(jìn)一步的思

4、考。上述作圖過程是在無坐標(biāo)系的情況下完成，也就是作圖過程沒有考慮卡西尼 卵形線的代數(shù)形式，直覺上此問題涉及諸多的長度問題， 應(yīng)該可以在極坐標(biāo)下作 出其動(dòng)態(tài)圖形，恰如圓錐曲線在極坐標(biāo)下的統(tǒng)一方程：P=e-是如此的和1 -ecos1諧美妙，于是：先以Fi,F2所在直線為X軸，F(xiàn)1F2的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y),再以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，P(PQ),則有 x = Pcos y = P sin ,進(jìn)而 X = Jx2 + y2卡西尼卵形線的直角坐標(biāo)方程為：(x c)2 y2 (x -c)2 y2 =a2 (a2 =k)此方程的對應(yīng)曲線無法在幾何畫板中直接作出，

5、(幾何畫板只能直接作出方程形如y = f(x)或x= f (y)的曲線)，化為極坐標(biāo)方程:(x+c 2 + y2 I，(xcj + y2 = a4即：2 c2 2c?cos：i I： :2 c2 2d： cos =a4所以極坐標(biāo)方程為：P4 一2c 2 P 2co s 2 = a 4-c 4在極坐標(biāo)系下依然無法直接作對應(yīng)的曲線(幾何畫板在極坐標(biāo)系下只能直接作出方程形如P=f(或e = f(p)的曲線)，研究方程發(fā)現(xiàn)可以用p來表示日：cos21 =、444:一a cTT如果限定ee0,-則:21 -arccos 2?4 - a4 - c42c2 ：2作可變線段OC ,通過點(diǎn)C控制c值；作可變線段

6、OA,通過點(diǎn)A控制a值；1；-4 - a4 - c4 作方程a =-arccos2"；2對應(yīng)的曲線，如上圖22c2：2問題依然存在，由于限定了 8 - 0, 1,所以只能作出在直角坐標(biāo)下第一象限 的曲線，考慮到方程 J(x +c)2 + y2 J(x -c)2 + y2 = a2的用-x換x方程不變、用 -y換y方程不變的特點(diǎn)，知道曲線既關(guān)于 x軸對稱，又關(guān)于y軸對稱，因此根據(jù)對稱性即可作出該曲線在第二、三、四象限的圖形：通過改變a,c的值可以得到卡西尼卵形線的各種情形:喬凡尼卡西尼一位不愿接受哥白尼理論的著名天文學(xué)家，是他發(fā)現(xiàn)土星的 衛(wèi)星，他反對開普勒定律，認(rèn)為行星運(yùn)行的軌道不是橢圓，而是一種卵形線 -曲線上所有點(diǎn)到兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之積為常數(shù)，卡西尼卵形線因此 而得名。3.幾點(diǎn)反思幾何畫板作為一款多媒體教學(xué)輔助軟件，不僅是一種課件制作工具，更 是一種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究的平臺（葉中豪語），是教師與學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新性思維活動(dòng)的 平臺，這也是中學(xué)教師存在大量“板迷”的原因；隨著教改進(jìn)一步深入，學(xué)生的 自主學(xué)習(xí)意識逐步加強(qiáng)，具有強(qiáng)烈質(zhì)疑精神的學(xué)生開始增多，一線教師越來越發(fā) 現(xiàn)學(xué)生中越來越多的“為什么”，而且教師很難用簡單的方法加以應(yīng)付，這就要 求我們必須進(jìn)一步的學(xué)習(xí)研究，“被迫”成長，必須進(jìn)步。希