1、二項(xiàng)式定理主要題型總結(jié)專題一題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；例：C： C： 6 C； 62 HI - Cn =.解：(1 +6)n =丄 +C1 6 +C： 62 +C； 63 +| +C；，6n與已知的有一些差距，1二 cn +c2 6+C； 62+|H+C； 6n-* = (C： 6+C： 62+HI + C； 6n)6111 (Cn c, 6 C： 62 川 C： 6n -1)二(1 6)1H-(71)66 6練：c1 - 3C2 - 9C； 川-3nJC： =.解：設(shè) Sn =C： +3C： +9C： +HI +3：七，貝y3Sn -C：3C232 C；33訓(xùn)I -Cn3C- C：3C232

2、C；33Cn3：一 1 = (1 3)：-1Sn(1 3)n -1 _ 4n -13_ 3題型二：利用通項(xiàng)公式求 xn的系數(shù);例：在二項(xiàng)式（丄+暢）的展開(kāi)式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45，求含有x3的項(xiàng)的系數(shù)？解：由條件知 Cn 45，即 Cn 45 , n2-n-90=0，解得 n =9（舍去）或n =10, 由1 2 102一 10 -p- r10 r 2Tr 1 二C；0（x 4）10（x3）r =C；x 4 3，由題意-3,解得 r=6 ,433633貝y含有x的項(xiàng)是第7項(xiàng)T6.1二C10X =210x ,系數(shù)為210。練：求（x2 一丄）9展開(kāi)式中x9的系數(shù)？2x解: Tn =c9（x2）

3、9r-丄）r 二二c9（）rx18r，令 18-39,則2x22r = 39 3 1 3 21故x的系數(shù)為C9（）：2 2題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng);例:求二項(xiàng)式（x2 10的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)?解:5Tr 1 二 C；o（X2）10）r =C；0（1）rx2T，令 20予“，得 r=8，所以練:解:T9 二 C1）8 呂2256求二項(xiàng)式（2%-丄）6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)？2xTr 1 =c6（2x）6（-1）r（丄）r =（-1）rC；26（丄）上6 ，令 6-2r =0，得 r =3，所以2x233T4 =( -1) C6 = -20練:1若（x2）n的二項(xiàng)展開(kāi)式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n二x解

4、:T5 二C4(x2)2(丄)4 二C4x2n2，令 2n-12 = 0,得 n =6.x題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng);例：求二項(xiàng)式（.,x_3.x）9展開(kāi)式中的有理項(xiàng)?1127 _T解: Tr1 =c9(x2)9(-X3)r =(-1)rc9x，令Z,( 0 汀乞9)得 r = 3或 r=9，6所以當(dāng) r =3時(shí)，=4，T4 =(-1)3C；x4 - -84x4，6當(dāng) r =9 時(shí)，27 r =3，T10 =(-1)3C；x3 =-x3。6題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;例：若（后-諾號(hào)）n展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為 -256，求n.解：設(shè)（仮2-詁虧）n展開(kāi)式

5、中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為 a。, ,令x - -1,則有a0 aan二0,，令x二1,則有ao -ai - a2 -a3 ( -1)na2n,將-得：2(a1 a3 a ) -2n, a1 a3 a 二-2nJ有題意得，-2n* - -256 - -28， n =9。練：若（32 +5!）n的展開(kāi)式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024，求它的中間項(xiàng)。解：；C： C： C：C：r1E-2nJ，2nj =1024，解得 n =11所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為 n=6,n=7，T5 C5（3 1）6（5 J2 ）462 x，61T6 4. =462 x韋題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；1例：已知（2x）n，若展開(kāi)式中第5

6、項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展2開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：C： C； =2C；,. n2-21 n，98=0,解出 n = 7或n =14，當(dāng) n = 7時(shí)，展開(kāi)式中二1 35項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5. T4的系數(shù)=C；（丄）423=，2 21T5的系數(shù)=靂（一）324 =70,當(dāng)n =14時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T*，21.T8的系數(shù) 二 C；4（）727 =3432 。2練：在（a - b）2n的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的幕指數(shù)是偶數(shù)2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2nTn1，也就是第hn 1項(xiàng)。在（23：）的展開(kāi)式中，

7、只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是多少?解：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則 - 5，即卩n=8,所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于26 1 2C8（） =72練：寫出在（a -b）7的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的幕指數(shù) 7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)（第4,5項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等， 且同時(shí)取得最大值，從而有T4二-C；a4b3的系數(shù)最小，T5二C；a3b4系數(shù)最大。1練：若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求（2x）n的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)?2解:由 C：+C,+C： =79,解出 n= 12,假設(shè) T甲項(xiàng)最大，;g+2x)12 = (g)12(1 + 4x)12rrAr

8、ArZ C1r24r _C12d4r 1，化簡(jiǎn)得到 9.處 心10.4,又0 汀叮2，.r =10，展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 Tn,有Tn= (1)12C11410x10 J6896X10練:在(1 - 2x)10的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?解:假設(shè)Tr 1項(xiàng)最大,:Tr 1 =C：0 2rxr解得2(11r)-r，化簡(jiǎn)得到lr +1 工 2(10 -r).r=7，展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為A - 一宀C；2r _G02C12 _C；012r 1A, _A2 = J6.3zk 乞7.3，又:0 r 10，T8 -Cw27x7 -15360x7.題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng) ；2 c例：求當(dāng)(x 3x 2

9、)的展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)？解法：(x2 3x - 2)5 =(x2 2) 3x5，Tr =C；(x2 2)5(3x)r，當(dāng)且僅當(dāng) r =1 時(shí), Tr +的展開(kāi)式中才有 x的一次項(xiàng)，此時(shí)T=T2 = c5(x2+2)43x，所以x得一次 項(xiàng)為 C；C：243x它的系數(shù)為 C5C：243 =240。解法：(x2 +3x +2)5 =(x+1)5(x +2)5 Cfx5 +C5x4 + + C?)(c53x5+C5x42+ + C25)故展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為C；xC525 C；x24 = 240x，故展開(kāi)式中x的系數(shù)為240.練：求式子(x +占-2)3的常數(shù)項(xiàng)? lxl6解:(x+卜2)3訕訪

10、，設(shè)第r 1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則TrZTfpTC6，得 6H33T3 1 =(T) C6二-20.題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；例：求(1 2x)3(1-x)4展開(kāi)式中x2的系數(shù).解：；(1 2x)3的展開(kāi)式的通項(xiàng)是 CT (2x)m =4 2m xm,(1-x)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)是 C4 (-x)n=：c4 -1n xn,其中 m =0,123, n =0,123, 4,令 m n =2,則 m =0且門=2,m =1 且 n =1,m =2 且 n =0,因此(1 2x)3(1x)4的展開(kāi)式中 X2的系數(shù)等于 C? 2 C2 (1)2+c3 -21 c4 (M+C； 22 C0 (1) = 6練：求(1

11、3 x)6(V 41 )10展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).nmn4m_3 n解:(V 3 X)6(14_)10展開(kāi)式的通項(xiàng)為 c6x3 G0x 4 cm G0 X 12其中 m =0,1,2, ,6 ,n= 0,1,2, ,10,當(dāng)且僅當(dāng) 4m =3n,即 = 0,或! 3,或! m=6,n = 0,n = 4,n = 8,時(shí)得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C； Cw - C3 C；0 - C6 Cw = 4246 .練：1 *已知(1+x+x2)(x+3)n的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，n N且2蘭n蘭8,則n =.X解：(X q)n展開(kāi)式的通項(xiàng)為Cn xn x；r乂如,通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得Xcn *也心丁心f*2

12、；展開(kāi)式中不含常數(shù)項(xiàng)，2乞n乞8n = 4r且n = 4r 1且n 4r 2,即 n = 4,8且n =3,7且n = 2,6, n = 5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和 ；例：在(x - 72)2006的二項(xiàng)展開(kāi)式中，含x的奇次幕的項(xiàng)之和為s,當(dāng)x = J2時(shí),s =2006 1 2=a-qxa2X -a3X解： 設(shè)(x _2) 2006 =a)x1a2X2asX3T)| 82006x20063 IILa2006X2006-得2(盼 a3x3asX5azoosX2005) =(x 一 . 2) 2006 (x 、2嚴(yán)6.(X- . 2) 2006展開(kāi)式的奇次幕項(xiàng)之和為 S(x) =

13、(x -二)2006 -(x -、2) 2006當(dāng)2時(shí),心）中，2）20062嚴(yán)3 20062題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式（3： x - -）n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為 s ,若xp - s =272 ,則n等于多少?_. 1解：若(33 x )n = a0 a/ a2x2 亠 亠 anxn，有 P = ao ai 宀宀an，x=2n令 x 二1 得 P =4n，又 p s=272 ,即 4n - 2n =272二(2n 17)(2160解得2n -16或2n17（舍去），n -4.練：若、3長(zhǎng)- “的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為多少？IUx丿（ 1

14、 丫解：令XT，貝y 3仮孑J的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 2n=64，所以n = 6,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C；(3 . x)3 (=)3 540.練：若(1 -2x)2009= a-ax1a2x2asX3川-a2oo9X2009(xR),則號(hào)的值為解：1a1a2 亠亠 a2009a1. a2亠亠 a2009令x -2,可得a02?尹-0,.1 22_ -sc在令x -0可得a。-1,因而 2 . 22 .,2；0091.練：若(x 2)5 =a5X5 +a4X4 +a3X3 +a2X2 taM1 +a,貝Va1 + a： +氏 +a4 +a5 =解：令x =0得 a -32,令x =1得 a0 a

15、1 a2 a3 a4 a -1,a a2 a3 a4 a 31.題型十一：整除性;例：證明：32n 2 -8n-9(nN*)能被64整除證：32n 2 8n 9 =9n 8n 9 = (8 1)n 1 8n 9=C0屛+ +C：羊8n + +C；才82 +C：申818 n 9= C0+8n#+C：羊8n + -+Cnn；82 +8 (n +1) + 18 n 9= Cn8+cn 申8n+ +C需82由于各項(xiàng)均能被64整除.322-8 n-9(nN*)能被64整除1、(x 1)11展開(kāi)式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是 1、設(shè) f(x)=(x-1)11,偶次項(xiàng)系數(shù)之和是 f(1) f(12)11/1024

16、22、 cn -3C1 -32C- 3nCn2、2、4n13、 (V + )20的展開(kāi)式中的有理項(xiàng)是展開(kāi)式的第 項(xiàng)*V53、3,9,15,214、(2x-1) 5展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和是4、 (2x-1) 5展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對(duì)值之和實(shí)為(2x+1) 5展開(kāi)式系數(shù)之和，故令x=1，則所 求和為35.5、求(1+x+x 2)(1-x) 10展開(kāi)式中x4的系數(shù)+2103945、 (1 x x )(1 -X) = (1 -x )(1 -X),要得到含x的項(xiàng)，必須第一個(gè)因式中的 1與(1-x) 展開(kāi)式中的項(xiàng)C：(-x)4作積，第一個(gè)因式中的一x3與(1-x) 9展開(kāi)式中的項(xiàng) C；(-x) 作積

17、，故 x4的系數(shù)是C9 C4 =135，21036、求(1+x)+(1+x)+(1+x) 展開(kāi)式中x的系數(shù)+6、(1 x) (1 x)2(1 - x)1010 11(1x)1 -(1 X) (X 1)(X 1)1-(1+x) =X，原式中實(shí)為這分子中的x4，則所求系數(shù)為c71 +7、若f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m .nw N )展開(kāi)式中，x的系數(shù)為21，問(wèn)m n為何值時(shí)，x2的系數(shù)最小？222222221 23997、 由條件得 m+n=21, x 的項(xiàng)為 CmX +CnX，則 Cm +Cn = (n)+.因 n N,2故當(dāng)n=10或11時(shí)上式有最小值，也就是m=11和n=10,或m=10和n=11時(shí)，x的系數(shù)最小*8、自然數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，求證：1 2C1 c2 2c3 Cn- 2C：Cn -3 -2nJ8、 原式=(cn cc2 cncn)cn ccnJ2n -2nj =3.2nj119、求80被9除的余數(shù)9、 8011 =(81 1)11 -Cj011 _屏8110 + +C；81 _1 =81k _1