1、數值計算方法練習題習題一5. 序列滿足遞推關系式1. 下列各數都是經過四舍五入得到的近似數，試指出它們有幾位有效數字以及它們的絕 對誤差限、相對誤差限。1）；1）4）；7）；7）2） ；5）；3） ；6）；2. 為使下列各數的近似值的相對誤差限不超過， 問各近似值分別應取幾位有效數字？3. 設均為第 1 題所給數據，估計下列各近似數的誤差限。（ 1） ；（2 ）；（ 3）4. 計算，取，利用下列等價表達式計算，哪一個的結果最好？為什么？（ 1） ；（ 2）；（ 3）（ 4）若（三位有效數字），計算時誤差有多大？這個計算過程穩定嗎？6. 求方程的兩個根，使其至少具有四位有效數字（要求利用。7.

2、利用等式變換使下列表達式的計算結果比較精確。1）；8. 設，求證：（ 1）2）利用（1 ）中的公式正向遞推計算時誤差增大；反向遞推時誤差函數減小。9. 設 x>0,x* 的相對誤差為 ，求 f（x）=ln x 的誤差限。10. 下列各數都是經過四舍五入得到的近似值，試指出它們有幾位有效數字，并給出其誤差限與相對誤差限。11. 下列公式如何才比較準確？1）2）13. 計算取，利用式計算誤差最小。12. 近似數 x*=0.0310, 是位有數數字。習題二1. 已知，求的二次值多項式。2. 令求的一次插值多項式，并估計插值誤差。3. 給出函數的數表，分別用線性插值與二次插值求的近似值，并估計截

3、斷誤差。0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.717364. 設，試利用拉格朗日余項定理寫出以為節點的三次插值多項式。5. 已知，求及的值。6. 根據如下函數值表求四次牛頓插值多項式，并用其計算和的近似值。X1.6151.6341.7021.8281.921F (x)2.414502.464592.652713.030353.340667. 已知函數的如下函數值表，解答下列問題（ 1）試列出相應的差分表；（ 2）分別寫出牛頓向前插值公式和牛頓向后插值公式。X0.00.10.20.30.40.5f (x)1.001.321.682.082.52

4、3.008. 下表為概率積分1）時，積分2） 為何值時，積分？0.460.470.480.49P0.4846550.49374520.50274980.51166839. 利用在各點的數據（取五位有效數字），求方程在 0.3 和 0.4之間的根的近似值。10. 依據表 10 中數據，求三次埃爾米特插值多項式。表 1012. 在上給出的等距節點函數表，用分段線性插值求的近似值，要使截斷誤差不超過，問函數表的步長h 應怎樣選取？13. 將區間分成 n 等分，求在 上的分段三次埃爾米特插值多項式，并估計截斷誤差。14、給定的數值表用線性插值與二次插值計算ln0.54 的近似值并估計誤差限15、在-4

5、 x4 上給出的等距節點函數表，若用二次插值法求的近似值，要使誤差不超過，函數表的步長h 應取多少?16、若，求和17、若互異，求的值，這里p n+1.18、求證19、已知的函數表求出三次Newton 均差插值多項式，計算f(0.23)的近似值并用均差的余項表達式估計誤差20、給定f(x)=cosx 的函數表用 Newton 等距插值公式計算cos 0.048 及 cos 0.566 的近似值并估計誤差.21. 求一個次數不高于四次的多項式p(x), 使它滿足22. 令稱為第二類Chebyshev多項式，試求 的表達式，并證明 是 -1,1 上帶權的正交多項式序列.23、 用最小二乘法求一個形

6、如使它擬合下列數據，并計算均方誤差24、填空題(1) 滿足條件的插值多項式p(x)=().(2) ,則f1,2,3,4 =()， f1,2,3,4,5 =().(3) 設為互異節點，為對應的四次插值基函數，則 ()， ().(4) 設是區間0,1上權函數為 (x)=x的最高項系數為1 的正交多項式序列，其中，則 ()， ()習題三1. 給出數據如下表所示，試用最小二乘法求一次和二次擬合多項式。x 1.00 0.75 0.50 0.2500.250.500.751.00y 0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.28362. 用最小二乘

7、法求下列不相容方程組的近似解。1)2)3. 用最小二乘法求一個形如的經驗公式，使它與下表中的數據相擬合，并計X1925313844Y19.032.349.073.397.8算均方誤差。4. 在某次實驗中，需要觀察水份的滲透速度，測得時間t 與水的重量W 的數據見下表。t（秒）1248163264W（ 克 ）4.224.023.854.593.443.022.59a、 s。設已知 t 與 W 之間的關系為，試用最小二乘法確定參數5. 試 構 造 點 集。并利用所求的離散正交多項式系，對第二題中的數據求二次擬合多項上的離散正交多項式系6. 現測量長度和米、米，為了提高測量的可靠性，又測量到米。試合

8、理地決定長度和 的值。習題四1. 確定下列求積公式中的特定參數，使其代數精度盡量高，并指明所構造出的求積公式具有的代數精度。（ 1） ；（ 1） ；（ 2） ；（ 2） ；（ 3） ；（ 4） ；2. 用辛甫生公式求積分的值，并估計誤差。3. 分別用復化梯形法和復化辛甫生法計算下列積分：（ 1） ， 8等分積分區間；（ 2）， 4 等分積分區間；， 8 等分積分區間；4）， 6 等分積分區間。4. 用復化梯形公式求積分，問將積分區間 a, b 分成多少等分，才能保證誤差不超過e（不計舍入誤差）？5. 導出下列三種矩形公式的項（ 1）；（ 2）；（ 3）提示：利用泰勒公式。6. 用龍貝格公式計算

9、下列積分，要求相鄰兩次龍貝格值的差不超過。1）7. 根據等式當 n=3,6,12 時的三個值，利用外推算法求的近似值。8. 分 別 用 下 列 方 法 計 算 積 分， 并 比 較 結 果 精 度 ( 積 分 準 確 值。1)復化梯形法，n = 16；2) 復化辛甫生法，n = 8；3)龍貝格算法，求至R2；4) 三點高斯勒讓德公式；五點高斯勒讓德公式。5)9. 試確定下面求積分式的待定參數，使其代數精度盡可能高。10. 已知 f ( x )的值見表6-13。 用三點公式求函數在 x = 1.0,1.1,1.2 處的一階導數值，并估計誤差。11. 用二階三點公式求函數在 x = 1.2處的二階

10、導數值(利用數表6-13)。x1.01.11.2f ( x )0.250000.226760.2066112. 用中點公式的外推算法求在 x = 2 處的一階導數值，取h = 0.8 開始，加速二次。13. 分別用復合梯形公式及復合Simpson 公式計算下列積分.，并估計誤差14、用Simpson 公式求積分15、 確定下列求積公式中的待定參數，使其代數精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數精確度.(1)(2)(2)(3)， 問區間應分為多少等分?16、 計算積分， 若用復合Simpson 公式要使誤差不超過要分為多少等分?若改用復合梯形公式達到同樣精確度，區間17、用Romberg求積算

11、法求積分，取18、用三點Gauss-Legendre 求積公式計算積分19、用三點Gauss-Chebyshev 求積公式計算積分習題五1. 用列主元素法解下列方程組(1) ；(2)；(3)對 (1) (2)兩題觀察每步消元結果的系數矩陣有何特點，右下方矩陣是否對稱，列主元在何處，消元過程是否符合上題結論。2. 用追趕法解下列方程組1)3. 求第 1 題及第 2 題中系數矩陣A 的 LU 分解，并用此分解法解對應的線性方程組。4. 給定及。5、用Gauss消去法求解下列方程組.6、 用列主元消去法求解方程組并求出系數矩陣A的行列式 detA 的值 .7、用Doolittle 分解法求習題5(1

12、) 方程組的解.8、下述矩陣能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一9、用追趕法解三對角方程組Ax=b，其中10、用平方根法解方程組11、設，證明12、設計算 A的行范數，列范數及F-范數和 2 范數 .13 、設 為 上任一種范數，是非奇異的，定義，證明14、求下面兩個方程組的解，并利用矩陣的條件數估計，即15、 是 非 題 （ 若 " 是 " 在 末 尾 （） 填 +," 不 是 " 填 - ） ： 題 目 中1） 若 A對稱正定, 則是 上的一種向量范數（）2）定義是一種范數矩陣（）4）只要，則A總可分解為A=LU,其中L 為單位下三

13、角陣，U為非奇（）5）只要，則總可用列主元消去法求得方程組的解 （）6）若A對稱正定, 則 A可分解為，其中 L 為對角元素為正的下三角陣）7）對任何都有（）8）若A為正交矩陣，則（）習題六1. 對下列方程組考察用雅可比迭代法與高斯塞德爾迭代法是否收斂？若收斂，寫出其迭代格式；若下收斂，能否將方程變形，使之用雅可比迭代法或高斯塞德爾迭代法時收斂？3)( 2)；4)；5 次求線性方程組的解(取初值2. 試分析用雅可比迭代法和塞德爾迭代法連續迭代)3. 用雅可比迭代法解下列方程組。取，并判別此迭代是否收斂？4. 用塞德爾迭代法解方程組。取，并判別此迭代是否收斂？5. 證明對于任意的矩陣A，序列收

14、斂于零矩陣.6. 方程組(1) 考查用 Jacobi 法和GS法解此方程組的收斂性.(2) 寫出用 J 法及 GS 法解此方程組的迭代公式并以計算到為止 .7. 設方程組證明 : 解此方程的Jacobi 迭代法與Gauss-Seidel 迭代法同時收斂或發散.8. 下列兩個方程組Ax=b，若分別用J 法及GS法求解，是否收斂?9. 設， detA 0，用,b 表示解方程組Ax=f 的 J 法及GS法收斂的充分必要條件.10. 用 SOR方法解方程組（分別取 =1.03, =1, =1.1）精確解，要求當時迭代終止，并對每一個 值確定迭代次數.11. 對上題求出SOR迭代法的最優松弛因子及漸近收

15、斂速度，并求 J 法與 GS法的漸近收斂速度. 若要使那么 J 法 GS法和SOR法各需迭代多少次?12. 填空題（1）要使應滿足（）（2） 已知方程組，則解此方程組的Jacobi 迭代法是否收斂（）. 它的漸近收斂速度R（B）=（）（3） 設方程組Ax=b,其中其 J 法的迭代矩陣是（）.GS 法的迭代矩陣是（）.（4） 用 GS法解方程組，其中 a 為實數，方法收斂的充要條件是 a 滿足（）.（5） 給定方程組,a 為實數. 當 a 滿足（） ，且 0< < 2SOR迭代法收斂.習題七1. 判斷下列方程有幾個實根，并求出其隔根區間。（ 1） ；（ 2）（ 3） ；（ 4）2.

16、方程在區間（3， 4）中有一實根，若用二分法求此根，使其誤差不超過，問應將區間對分幾次？并請用二分法求此根。3. 下列方程各有一實根，判別能否直接將其寫成迭代格式而后求解？如不能，將方程變形，給出一個收斂的迭代格式。（ 1） ；（ 2）4. 求方程的隔根區間，對方程的下列四種等價變形，判斷各迭代格式的收斂性，選一種收斂最快的迭代格式，求出具有四位有效數字的近似根。（ 1） （ 2）（3）（ 4）5. 考察方程有幾個根，選擇合適的迭代格式求這些根，允許誤差6. 用牛頓法求出的方程根的迭代結果見表2-6，試估計所求根的重數。表 2-6kXkxkxk 100.7510.7527010.0027020

17、.7547950.0020830.7563680.0015740.7575520.0011850.75844410.0008897. 用二分法求方程的正根，使誤差小于0.05.8. 求方程在 =1.5 附近的一個根，將方程改寫成下列等價形式，并建立相應迭代公式.(1) ，迭代公式.(2) , 迭代公式.(3) ， 迭代公式.試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種收斂最快的方法求具有4 位有效數字的近似根.9. 設方程的迭代法(1) 證明對, 均有, 其中 為方程的根.(2) 取 =4, 求此迭代法的近似根，使誤差不超過, 并列出各次迭代值.(3) 此迭代法收斂階是多少?證明你的結論.10 給定

18、函數， 設對一切x, 存在， 而且. 證明對, 迭代法均收斂于方程的根 .11 用 Steffensen 方法計算第12題中 (2) 、 (3) 的近似根，精確到12用 Newton法求下列方程的根，計算準確到4位有效數字.(1) 在 =2 附近的根.(2) 在 =1 附近的根.13. 應用 Newton法于方程, 求立方根的迭代公式，并討論其收斂性.32A12 3101.已知矩陣試用格希哥林圓盤確定10 , A2A 的特征值的界。141142.設 x (x1, x2,., x3)T 是矩陣 A 屬于特征值的特征向量，若xxi ，naiiaijj1 試證明特征值的估計式j i .3.用冪法求矩

19、陣232A 10 3 436 1 的強特征值和特征向量，迭代初值取y(0)(1,1,1)T。4 .用反冪法求矩陣y(0)(1,1,1)T。21311 1 最接近 6 的特征值和特征向量，迭代初值取335 .設 A Rn n 非奇異，A 的正交分解為A=QR，作逆序相乘A 1=RQ，試證明1) 若 A 對稱則 A1 也對稱；2) 若 A 是上 Hessenberg陣，則 A 1 也是上Hessenberg陣。6.設矩陣121 )任取一非零向量作初始向量用冪法作迭代，求A 的強特征值和特征向量；2)用QR 算法作一次迭代，求A 的特征值；3)用代數方法求出A 的特征值和特征向量，將結果與(1)和(

20、2)的結果比較。201A0217. 設矩陣1111 )用 Householder 變換化 A 為對稱三對角陣A1。2)用平面旋轉陣對A1 進行一步QR 迭代計算出A1T2 為例，已知14, x(1)(2,1)T ，用以上方法構造H 陣，并求出A。8. 用帶位移的QR 方法計算下列矩陣的全部特征值。421310(1)A0 1 0 ,(2)A1 2 10230119. 設 A Rn n ，且已知其強特征值1 和對應的特征向量x(1)，1 )證明：若構造Householder 陣 H 使 Hx (1)ke1(常數k 0,e1(1,0,.,0)TRn ) ，1xHAH 10A1(n 1) (n 1)1

21、 (n 1)A1R, x R ，且 A 的其余 n-1 個特征值就是A1 的特征值。10. 對以下的實對稱陣用QR 方法求其全部特征值。310411(1)A1 4 2 ,(2)A132021123習題九1. 取步長 h = 0.1 ，分別用歐拉法與改進的歐拉法解下列初值問題（ 1） ；（ 2）準確解：（1 ）；（2）；2. 用四階標準龍格庫塔法解第1 題中的初值問題，比較各法解的精度。3. 用歐拉法計算下列積分在點處的近似值。4. 求下列差分格式局部截斷誤差的首項，并指出其階數。1）2）4)5. 用 Euler 法解初值問題取步長 h=0.1，計算到x=0.3(保留到小數點后4位 ).6. 用

22、改進 Euler 法和梯形法解初值問題取步長 h=0.1,計算到 x=0.5， 并與準確解相比較 .7.證明中點公式(7.3.9)是二階的，并求其局部截斷誤差主項.8. 用四階 R-K 方法求解初值問題取步長 h=0.2.9. 對于初值問題10. (1) 用 Euler 法求解，步長h 應取在什么范圍內計算才穩定?11. (2) 若用梯形法求解，對步長h 有無限制?12. (3) 若用四階R-K 方法求解，步長h 如何選取?13.用四步四階的Adams 顯式方法求解初值問題取 h=0.1.14.用形如的線性二步法解( 2) 2，4) 5，6) 2，；15. 試確定參數，使方法具有盡可能高的階數

23、，并求出局部截斷誤差主項習題一1. ( 1) 5，( 3) 4，；( 5) 1，；7) 6，2.3.1)；2)；(3)4.第(3)個結果最好5.不穩定。從計算到時，誤差約為6.7.1)；2)；3)4)9. 求 lnx 的誤差極限就是求f(x)=lnx已知 x*的相對誤差滿足故而，10. 直接根據定義得有 5 位有效數字，其誤差限有 2 位有效數字，相對誤差限有 5 位有效數字， 11. 要使計算較準確，主要是避免兩相近數相減，故應變換所給公式。13.習題二1.2. ；， 介于 x 和 0， 1 決定的區間內；，當時。3. 0.54667 ， 0.000470； 0.54714， 0.00002

24、94.5. 1 ， 06. ，7. 向前插值公式8. （ 1）；2）9. 0.337648910.11.12.13.14、解 仍可使用n=1 及 n=2的 Lagrange插值或Newton插值, 并應用誤差估計。線性插值時，用0.5 及 0.6 兩點，用Newton插值誤差限，因，故二次插值時，用0.5， 0.6， 0.7 三點，作二次Newton插值誤差限 故15、解： 用誤差估計式，令因得16、解： 由均差與導數關系17、解：，由均差對稱性于是可知當有而當P n 1 時18、解： 只要按差分定義直接展開得解： 根據給定函數表構造均差表n=3時得Newton均差插值多項式19、N3(x)=

25、1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余項表達式可得由于20、 計算， 用 n=4得 Newton前插公式誤差估計其中計算時用 Newton后插公式（5.18）誤差估計得這里 仍未 0.56521、 解： 這種題目可以有很多方法去做，但應以簡單為宜。此處可先造使它滿足，顯然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由 p(2)=1 求出A，于是22、解： 因23、解： 本題給出擬合曲線，即，故法方程系數法方程為解得最小二乘擬合曲線為 均方程為24、 解答：( 1)2)4)習題

26、三2），其中 c 為任意常數3.4. ，5. ，6. ，習題四1.，代數，代數精度為，代（1） ，精度為3；（2），3；（3） ，或，數精度 2；4)，代數精度為3。2.3.( 1)，2)3) ，4)4.5.1)；(2)；(3)6.1)，7. 3.1415800728. （ 1） 1.099768；1.09862；3)（ 2）1.098612；5） 1.098604） 1.098039；9，9.11. 0.260012. 0.35355413、 解 本題只要根據復合梯形公式及復合Simpson公式（ 6.13） 直接計算即可。對， 取 n=8, 在分點處計算f（x） 的值構造函數表。按復合梯形

27、公式求出，按復合Simpson公式求得，積分14、 解： 直接用 Simpson 公式得估計誤差，因，故15、 解： 本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式的參數。1）令代入公式兩端并使其相等，得解此方程組得，于是有再令，得故求積公式具有3 次代數精確度。2）令代入公式兩端使其相等，得解出得不準確成立，故求積公式具有3 次代數精確度。3）令代入公式精確成立，得解得，得求積公式對故求積公式具有2 次代數精確度。16、 解： 由 Simpson公式余項及得即，取n=6，即區間分為 12 等分可使誤差不超過對梯形公式同樣，由余項公式得取 n=255才更使復合梯形公式誤差不超過17、 解：

28、本題只要對積分 果如下表所示。使用Romberg算法（6.20），計算到K 3，結于是積分，積分準確值為0.71327218、 解： 本題直接應用三點Gauss公式計算即可。，所以先做變換于是本題精確值19、 解： 本題直接用Gauss-Chebyshev求積公式計算即于是，因n=2, 即為三點公式，于是，即故1.習題五3)2. ( 1) (1.2,1.4,1.6,0.8)2) ( 1.5,2,1,1) T3. 對第 1 題中的系數矩陣1)對第 2 題中的系數矩陣1)2)9. 解：用解對三角方程組的追趕法公式計算得4. 8 ， 5； 6， 85. 解 本題是Gauss消去法解具體方程組，只要直

29、接用消元公式及回代公式直接計算即可。故6. 解： 先選列主元， 2 行與 1 行交換得3 行與 2 行交換 回代得解行列式得7. 解： 由矩陣乘法得再由求得由 解得A能 分步分解后，8. 解 ： A 中， 相互矛盾，故 A不能分解，但，若 A中 1 行與 2 行交換，則可分解為LU分解不唯一，為一任意常數，且U 奇異。 C可分解，且唯一。對 B，顯然，但它仍可分解為10. 解： 用分解直接算得及求得11. 解：即，另一方面故12. 解：故13. 證明： 根據矩陣算子定義和定義，得令 ，因 P 非奇異，故x 與 y 為一對一，于是14. 解： 記則的解，而的解 故由（ 3.12）的誤差估計得表明

30、估計略大，是符合實際的。15、 答案： （ 1） （）（ 2） （）（ 3） （）（ 4） （）（ 5） （）（ 6） （）（ 7）（）（ 8） （）習題六1.（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）雅可比迭代法收斂發散收斂發散高斯一賽德爾法收斂發散收斂發散塞德爾迭代法：2. 雅可比迭代法：3. （ 1）范數，故雅可比迭代法收斂（ 2）范數，由可判定雅可比法收斂。4. 方程組系數矩陣對角占優，因此塞德爾迭代法收斂與 3 題（1）迭代結果相比較，這里收斂速度快。5. 解：由于而6. 解：因為具有嚴格對角占優，故J 法與GS法均收斂。（ 2） J 法得迭代公式是取，迭代到18 次有GS迭代法計算公式為取7

31、. 解： Jacobi 其迭代矩陣迭代為， 譜半徑為， 而 Gauss-Seide 迭代法為其迭代矩陣， 其譜半徑為，故Jacobi 迭代法與Gauss-Seidel 法同時收斂或同時發散。8. 解： Jacobi 法的迭代矩陣是即，故GS法的迭代矩陣為， J 法收斂、故，解此方程組的GS法不收斂。9. 解 J 法迭代矩陣為， 故 J 法收斂的充要條件是。 GS法迭代矩陣為得 GS法收斂得充要條件是10. 解： 用 SOR方法解此方程組的迭代公式為取， 當時 ， 迭 代 5次 達 到 要 求若取，迭代 6 次得11. 解 ： J 法的迭代矩陣為，故J 法收斂速度由于，故若要求對于 J 法， 因

32、 A為對稱正定三對角陣，最優松弛因子，于是迭代次數，取K 15對于GS法對于SOR法12、 解答 :(1)，取K 8，取K 5(2)J 法是收斂的，(3)J 法迭代矩陣是GS法迭代矩陣(4) 滿足(5) 滿足習題七1. （ 1）2)；2. 63.1)能；4. ( 發散；5.6.7.( 3)，；為根。1.4,1.5 ）；4)發散；1)收斂；1.989761 ； 0.37581222)不能，2)收斂；1.465573解 使用二分法先要確定有根區間 。4)3)本 題 f（x）=x2-x-1=0, 因f（1）=-1,f（2）=1, 故區間 1,2 為有根區間。另一根在-1,0 內，故正根在1,2內。用

33、二分法計算各次迭代值如表。其誤差8 解： （ 1） 取區間且， 在 且，在中故迭代收斂。，則 L<1，滿足收斂定理條件，2），在中，且，在，故迭代收斂。中有（ 3） ，在附近，故迭代法發散。在迭代（ 1）及（2）中，因為（2）的迭代因子L 較小，故它比（1）收斂快。用（ 2）迭代，取，則9 解： （ 1）迭代函數，對 有（ 2）取，則有各次迭代值取，其誤差不超過3）故此迭代為線性收斂。10解：由于， 為單調增函數，故方程的根是唯一的（假定方程有根） 。迭代函數，。令，則，由遞推有11 解 : 在 (2) 中,令,令, 則有令,得, 與第 2 題中 (2) 的結果一致, 可取, 則滿足精度

34、要求.對 (3) 有,原迭代不收斂. 現令令12解： ( 1) Newton 迭代法取 ，則，取2)令 ，則，13解： 方程的根為，用Newton迭代法，故迭代法2 階收斂。還可證明迭此公式迭代函代法整體收斂性。設，對一般的，當時有這是因為當 時成立 從而，即，表明序列單調遞減 故對，迭代序列收斂于1.解： (1)3 3,(2)4 2,解： Ax x , Ax x x i A x由 xxi 得ai1x1aiixiain xn xin( aii )xiaij xji1ijaii xiaijxji1ijnaij xji1ijaiji1ijn xja iiaiji 1 xi ij3.解： y=1,1

35、,1'z=y;d=0;A=2,3,2;10,3,4;3,6,1;for k=1:100y=A*z;c,i=max(abs(y);if y(i)<0,c=-c;endz=y/cif abs(c-d)<0.0001,break; end d=cend(1) z(0.41181.00000.5882) T,c1 =17(2) z(0.52801.0000T 0.8261) T,c2 =9.4706z(3)( 0.49281.00000.7260)T,c3= 11.5839z(4)(0.50201.00000.7574) T,c4 =10.8316(5) z(0.49951.000

36、00.7478) T,c5 =11.04981z(6)(0.50011.00000.7506)T,c6 =10.9859(7) z(0.50001.00000.7498) T,c7 =11.0040(8) z(0.50001.0000T 0.7500) T,c8 =10.9989z(9)(0.50001.00000.7500) T,c9 =11.0003z (10)(0.50001.00000.7500) T,c10= 10.9999z (11)(0.50001.00000.7500) T,c11= 11.0000(0.5000 1.0000 0.7500)T。強特征值為11，特征向量為4.解

37、：y=1,1,1'z=y;d=0;A=6,2,1;2,3,1;1,1,1;for k=1:100AA=A-6*eye(3);y=AAz;c,i=max(abs(y);if y(i)<0,c=-c;endz=y/c;if abs(c-d)<0.0001,break; end d=cendd=6+1/cz(1)(1.00000.40000.1000)T,z(2)(1.00000.57140.2857)T,z(3)( 1.00000.50660.2303)T,z(4)(1.00000.52860.2457)T,z(5)(1.00000.52100.2411)T,z(6)(1.00

38、000.52360.2425)T,(7) z(1.00000.52270.2421)T,z(8)(1.00000.52300.2422)T,z(9)(1.00000.52290.2422)T,最接近 6 的特征值為c1 = 1.1111c2 = 0.7000c3 = 0.8042c4 = 0.7675c5 = 0.7794c6 = 0.7754c7 = 0.7767c8 = 0.7763c9 = 0.77646+1/c=7.2880，特征向量為(1.0000 0.5229 0.2422)T。5.1T證明：1 ) A QR, A1RQ Q AQ Q AQ ，A1T QTATQ QTAQ A1,

39、A1 對稱2 2) A 是上 Hessenberg陣，用 Givens 變換對 A 作正交分解，即R(n 1,n) R(2,3)R(1,2)A R,QTR(n 1,n) R(2,3)R(1,2)A1 QTAQ R(n 1, n) R(2,3)R(1,2)ART (1,2) RT (n 1,n)顯然A1 也是上Hessenberg陣。6.解： （ 1 ）z(1)( 0.66671.0000)T,c1=3z(2)( 0.62501.0000)T,c2= 2.6667z(3) ( 0.6190 1.0000)T, c3 = 2.6250z(4) ( 0.6182 1.0000)T, c4 = 2.6

40、190z(5) ( 0.6181 1.0000)T, c5 = 2.6182z(6) ( 0.6180 1.0000)T, c6 = 2.6181A 的強特征值為2.6181，特征向量為(0.6180 1.0000)T2) for i=1:10Q,R=qr(A);A=R*Qend2.6180 - 0.0112- 0.0112 0.38202.5000 - 0.50002.6154 0.0769A1- 0.5000 0.5000 ,A20.0769 0.3846 ,- 0.0002 A 2.61800.3820 , A6 0.00000.00000.3820A 2.6180 0.0016 A 2

41、.6180A40.0016 0.3820 , A5- 0.0002A 的特征值為2.6180， 0.3820A- I3）231，特征值1,21.5 0.5 57.特征向量 ( 0.5 0.5 5 ,1)T解： （ 1 ）x(1)1, Hx y (1,0)T ,u x y ( 1,1)T ,H2T 2uu 2T uu10,100121 0HAH 1 1 - 10-1 2(2)2.6000 0.4899 - 0.00000.4899 2.4000 - 0.0000 , 0 - 0.0000 - 0.00008.解： ( 1 ) for k=1:20p=A(3,3);AA=A-p*eye(3);Q,

42、R=qr(AA);A=R*Q+p*eye(3) end4.0000 - 0.7071 2.1213A10 1.0000 2.0000 ,003.0000全部特征值為4 , 1 , 3(2)3.6000 0.4899 0.00000.4899 1.7333 0.74540 0.7454 0.66673.7317 0.0249 0.0000A50.0249 2.0004 - 0.0000 ,0 0.0000 0.26793.7263 0.0993 0.0000 A30.0993 2.0057 0.0072 ,0 0.0072 0.26803.7320 0.0062 0.0000A70.0062 2

43、.0000 - 0.0000 ,0 0.0000 0.26793.73200.001600.00162.000000.0000- 0.0000 ,A110.26793.7321 0.0004 0.00000.0004 2.0000 - 0.0000 ,000.26793.7321 0.0001A130.0001 2.000000全部特征值為3.7321, 2.0,0.0000- 0.0000 , A14 0.26793.7321 - 0.0000 - 0.0000- 0.0000 2.0000 - 0.0000000.26790.26799. 1) (1)(1)( 1 ) Ax 1 x , 構造Householder 陣 H 使 Hxke1HAx (1)1Hx(1)1ke1 ,HAH (Hx(1) HAH (ke1)1ke1,HAHe 11e1,101HAH 1,即 HAH 的第一列為0 ,0 A1 2) 2)x(1)5,Hx y ( 5,0)T ,u x y