1、8.3 二元一次方程組的數學傳統文化貴州省貞豐縣第二中學吳秀洪一、教學內容和內容解析1內容義務教育教科書2013 年版七年級下冊數學第八章第3 節第 2 課時實際問題與二元一次方程組 數學傳統文化2內容解析實際生活中常會遇到解決兩個未知量的問題，這兩個未知量之間存在數量關系， 運用二元一次方程組可以解決這類問題分析問題中的數量關系發現等量關系列出二元一次方程組一解一元次方程組得到實際問題的答案， 這一典型的數學建模過程，是數學應用的具體體現，它對于運用其他數學模型（如不等式、函數等）解決實際問題具有很強的示范作用。本節課的研究的是“雞兔同籠”問題，生活是數學的源泉，引導學生把學到的知識應用到生

2、活中去，用數學的眼光去觀察、思考、解決周圍的問題。借助我國古代趣題“雞兔同籠”問題，使學生展開討論，從多角度思考，掌握解決問題的方法 ，同時在教學中滲透中華優秀傳統文化。大約在 1500 年前，在孫子算經記載的還了解了古代對這種題的解法叫做“砍足法”解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨角雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”。這一思路新穎而奇特，也令古今中外數學家贊嘆不已，這種思維方法叫化歸法。化歸法就是在解決問題時，先不對問題采取直接的分析，而是將題中的條件或問題進行變形，使之轉化，直到最終把它歸成某個已經解決的問題，由此可見這個問題的探究不但可以使學生了解到數學中

3、的一些重要的數學思想，而且還了解到我國古代很早的數學論著中就已經涉及到先進的數學思想和方法，無不令他們嘆服。二、目標和目標解析1. 目標（ 1）會根據題意列出二元一次方程組解簡單的實際問題。2）了解“雞兔同籠”問題，感受古代數學問題的趣味性。2. 目標解析達成目標（1）的標志 : 學生能夠準確分析數量關系，發現等量關系，依據實際問題列出程組，在此基礎上，用方程組的解來解釋實際問題體會數學建模思想。達成目標（2）的標志: 通過“雞兔同籠”的問題，解決實際生活中的問題，把 中華優秀傳統文化通過化歸思想演變成數學問題，實際上就是把數學史與數學基礎知識聯系起來，以培養學生數學的思考問題，學習前人類解決

4、問題的方法，同時 優秀的傳統文化得到傳播。三、教學問題診斷分析“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數學趣題，一方面培養學生邏輯推理能力。另一方面使學生體會代數方法的一般性。本節課借助孫子算經中記載的“雞兔同籠”原題進行介紹，由于“雞兔同籠”原題的數據較大，不便于學生進行探究，所以教材以化繁為簡的思想為指導。學生可以根據自己的經驗，逐步探索不同的方法，找到解決問題的策略，通過合作交流學習，積累解決問題的經驗，掌握解決問題的方法。在這節課之前的學習中，學生已經掌握了用方程組表示問題中的條件及解方程組的相關知識，而且探究了用方程組解決具有現實意義的實際問題，并運用所學知識解決實際問題的欲望。對來源于

5、身邊的數學問題雖然表現出濃厚的興趣，解決起來存在一定的問題，所以找準有效的連接點，是開啟學生自主學習的關鍵。四、教學重、難點重點：將實際情景中的數量關系抽取出來，并用二元一次方程組表示。難點：在解決問題的過程中培養學生的邏輯推理能力。五、教學準備：多媒體課件、導學案、直尺六、教學過程1. 創設情景復習引入問題：師： 同學們， 我們國家有著幾千年的悠久文化，在我國古代更是產生了許多位數學家和許多部數學著作，孫子算經就是其中一部，大約產生于一千五百年前，書中記載著這樣一道有名的數學趣題（課件出示孫子算經中的原題）： 今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？師： 同學們知道這道題的意

6、思嗎？請試著說一說。（同學小組交流然后回答）師生： 這道題的意思正如同學們所想的一樣，也就是說：（課件出示）籠子里有若干只雞和兔，從上面數有35個頭， 從下面數有94只腳， 問雞和兔各有多少只？師： 這就是著名的“雞兔同籠”問題，也正是這節課要研究的問題。設計意圖 ： 從古書中的原題引入，激發學生的興趣，使學生感受古代數學文化， 增強民族自豪感。激發了學生的求知欲和探究欲望，為下面的學習做好了鋪墊。2實例分析問題 1 ： 善于總結的小明是這樣思考的，上面的問題可以改寫成：從上面數有 7 個頭，從下面數有22 只腳，問雞和兔各有多少只？設計意圖：讓學生從簡單入手，層層遞進，由易到難，提高學生探究

7、問題的興趣師： 猜一猜雞和兔可能有多少只？（生猜，這樣可以集中學生注意力，增加師： “有了大膽的猜想才會有偉大的發明和發現”。 （要敢想，要敢猜）師： 剛才，我們是在隨意猜，其實還可以有順序的來猜。（課件出示表格）雞76543210兔01234567腳1416182022242628師： 如果先猜有7 只雞和 0 只兔， 就有幾只腳；和題目中22 只腳相不相同？這說明了什么？怎么辦？如果再猜有6 只雞和 1 只兔， 就有幾只腳，腳的只數怎樣？（還少）；如果把兔的只數再增加1 只，雞變為多少只，腳有幾條？發現了什么了？（看來大家都有一雙善于發現的眼睛，聰明的你應該有所發現規律了吧。 ）師生： （

8、大家一起完成）在雞和兔的總只數不變的情況下，每增加1 只兔、減少 1 只雞，腳的總只數增加2 只；反之，每減少1 只兔，增加1 只雞，腳的總只數減少2 只。這個2 是怎么來的呢？生： 這個問題得出結論是：雞有3 只，兔有4 只。師： 按照這樣的方法試下去，能不能得到雞和兔的只數呢？你們感覺這種方法怎樣？生甲： 當頭和腳的只數較多時，用一一列舉不容易找出答案，我們要研究新方法很有必要。師： 這位同學幫老師提出了一個很好的問題（謝謝） ， 如果有很多雞和兔呢？我們又該們么辦呢？（引出新的問題）設計意圖：通過列表法，讓學生尋找這道雞免同籠的答案，增強學生的自信心，激勵他們自主探究數學問題的動力。問題

9、2： 從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，問雞和兔各有多少只？師： 題目中哪些是已知量，哪些是未知量？有幾個等量關系？師生： 學生充分讀題，可以適當討論教師引導學生關注有兩個未知數，兩個等量關系。設計意圖：引導學生發現未知數和等量關系，運用二元一次方程組解決師： 如何解決這個問題呢？生： 學生依據發現的等量關系，建立方程組：設雞有x 只，兔有y 只。 （設未知數帶單位）根據題意，x y 35得：2x 4y 94x 23解之得：x 23y 12答：雞有23 只，兔有12 只。師： 列一元一次方程能解決這個問題嗎？師生： 學生體會列方程組比列一元一次方程簡單設計意圖：讓學生經歷分析數量關系，得

10、到等量關系，列方程組的過程。一般情況下，學生會自覺列方程組解決。（老師引導學生體會有兩個未知量時，列方程組更為簡單）師：請你解這個方程組，并交流一下你是如何解這個方程組的生：學生獨立解方程組，并交流發言可能有的學生直接用代入消元法解方程組，有的學生用加減消元法解方程組。（老師點評，引導學生對比發現方法的簡捷性）設計意圖：讓學生認識到，由實際問題列出的方程組，再解決方程組問題。師生共同回顧解決的過程，教師提問：（ 1）在列方程組之前我們先做了哪些工作？（ 2）列方程組解決實際問題的一般步驟是什么？師生： 教師引導學生回顧如何分析數量關系，發現等量關系，選擇適當的未知數和列出方程組，并用下面的框圖

11、說明列方程組解決實際問題的一般步驟：設計意圖：引導學生總結運用方程組建立數學模型，解決實際問題的過程3目標檢測現在我把班上的同學一共分成兩個小組，就按照現在座的位子，分別是甲組，乙組， 請同學們紛紛把導學案上的檢測1、 檢測 2分別完成了，甲組完成檢測1.乙組完成探檢測2，同學們可以先小組討論，然后選派一個代表到黑板上書寫。（老師在同學中間走動觀察書寫情況）檢測 1九章算術中有一道題，原文是: “今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之”意思是：同樣時間段內，走路快的人能走100 步，走路慢的人只能走60 步 . 走路慢的人先走100 步，走路快的人

12、走多少步才能追上走路慢的人?師： 拓展學生思維，使學生對知識能夠靈活應用，激發學生探索精神，啟迪發散學生思維，高效利用拓展資源，進一步鞏固了所學知識，拓寬了視野。生： 各抒己見，合作交流，及時地檢測了學生的掌握情況，極大地擴充了課堂的容量，提高了課堂效率。（學生小組交流完成）（如何讀懂題）生乙： 黑板上完成書寫，學生評判，老師點評。分析 : 設走路快的人走x 步才能追上走路慢的人，此時走路慢的人走了y 步，則：x y 100依題意得：100x60 y解之得：x 250 y 150答：走路快的人走250 步才能追上走路慢的人，此時走路慢的人走了100 步 .檢測 2孫子算經中有一道題，原文是:

13、“今有木，不知長短。引繩度之，余繩四尺五寸：屈繩量之，不足一尺。木長幾何？”意思是 : 用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5 尺。將繩子對折再量長木，長木還剩余1 尺，問木長多少尺生丙：黑板上完成書寫，老師點評。分析 : 設木長 x 尺、繩子長y 尺，則y x 4.5依題意得：1y x12解之得：x 6.5y 11答：設木長6.5 尺、繩子長11 尺 .師： 這兩道題的難點在于怎么把它讀懂（怎樣翻譯）是關鍵，另外，嚴格強 調書寫的格式，按照步驟完成。設計意圖：出示古典名題, 一方面及時鞏固用方程組解決實際問題的過程另一方面讓學生感受數學文化在數學領域中的應用，讓學生了解到數學無處不在的思想4. 課堂總結師： 通過本節課的學習，你對用方程解決實際問題又有何新的認識？（讓學生