1、3.2 函數(shù)模型及其應(yīng)用 幾類不同增長的函數(shù)模型【選題明細表】知識點、方法題號指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型的比較1,2,5圖象信息遷移問題3,8應(yīng)用函數(shù)模型解決問題4,6,71.當(dāng)x越來越大時,下列函數(shù)中,增長速度最快的應(yīng)該是(D)(A)y=100x(B)y=log100x(C)y=x100 (D)y=100x解析:幾種函數(shù)模型中,指數(shù)函數(shù)增長速度最快,故選D.2.在某實驗中,測得變量x和變量y之間對應(yīng)數(shù)據(jù),如表.x0.500.992.013.98y-1.010.010.982.00則x,y最合適的函數(shù)是(D)(A)y=2x (B)y=x2-1(C)y=2x-2(D)y=log2x解析:根據(jù)

2、x=0.50,y=-1.01,代入計算,可以排除A;根據(jù)x=2.01,y =0.98,代入計算,可以排除B,C;將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2x,可知滿足題意.故選D.3.某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是:前三年年產(chǎn)量的增長速度越來越快,后三年年產(chǎn)量的增長速度保持不變,則可以用來描述該廠前t年這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量c與時間t的函數(shù)關(guān)系的是()解析:注意以下幾種情形:圖表示不再增長,圖表示增速恒定不變,圖表示增長速度越來越快,圖表示增長速度逐漸變慢.故選A.4.某廠原來月產(chǎn)量為a,一月份增產(chǎn)10%,二月份比一月份減產(chǎn)10%,設(shè)二月份產(chǎn)量為b,則(A)(A)a>b(B)a<b(C)a=b(D)

3、無法判斷解析:因為b=a(1+10%)(1-10%)=a(1-).所以b=a×,所以a>b.【教師備用】 在固定電壓差(電壓為常數(shù))的前提下,當(dāng)電流通過圓柱形的電線時,其電流強度I與電線半徑r的三次方成正比,若已知電流通過半徑為4毫米的電線時,電流強度為320安,則電流通過半徑為3毫米的電線時,電流強度為(D)(A)60安 (B)240安 (C)75安 (D)135安解析:由已知,設(shè)比例常數(shù)為k,則I=k·r3.由題意,當(dāng)r=4時,I=320,故有320=k×43,解得k=5,所以I=5r3.故當(dāng)r=3時,I=5×33=135(安),故選D.【教師

4、備用】 在某種金屬材料的耐高溫實驗中,溫度y()隨著時間t(min)變化的情況由計算機記錄后顯示的圖象如圖所示:現(xiàn)給出下列說法:前5 min溫度增加越來越快;前5 min溫度增加越來越慢;5 min后溫度保持勻速增加;5 min后溫度保持不變.其中說法正確的是(C)(A)(B)(C)(D)解析:前5 min溫度y隨x增加而增加,增長速度越來越慢;5 min后,溫度y隨x的變化曲線是直線,即溫度勻速增加.故正確.故選C.5.以下是三個變量y1,y2,y3隨變量x變化的函數(shù)值表:x12345678y1248163264128256y21491625364964y3011.58522.3222.58

5、52.8073其中,關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的函數(shù)是 . 解析:從表格可以看出三個變量y1,y2,y3都隨x的增大而變大,但增長速度不同,其中y1的增長速度最快,畫出它的散點圖(圖略)知變量y1關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化.答案:y1【教師備用】 如圖表示一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80 km的甲,乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時間之間的函數(shù)關(guān)系,有人根據(jù)函數(shù)圖象,提出了關(guān)于這兩個旅行者的如下信息:(1)騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3 h,晚到1 h;(2)騎自行車者是變速運動,騎摩托車者是勻速運動;(3)騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后追上了騎自行車者;(4)騎摩托車者在出發(fā)1.5

6、 h后與騎自行車者速度一樣.其中正確信息的序號是 . 解析:看時間軸易知(1)正確;騎摩托車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是直線,所以是勻速運動,而騎自行車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是折線,所以是變速運動,因此(2)正確;兩條曲線的交點的橫坐標對應(yīng)著4.5,故(3)正確,(4)錯誤.答案:(1)(2)(3)【教師備用】 畫出函數(shù)f(x)=與函數(shù)g(x)=x2-2的圖象,并比較兩者在0,+)上的大小關(guān)系.解:函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如下.根據(jù)圖象易得:當(dāng)0x<4時,f(x)>g(x);當(dāng)x=4時,f(x)=g(x);當(dāng)x>4時,f(x)<g(x).6.某工廠

7、生產(chǎn)A,B兩種成本不同的產(chǎn)品,由于市場發(fā)生變化,A產(chǎn)品連續(xù)兩次提價20%,B產(chǎn)品連續(xù)兩次降價20%,結(jié)果都以23.04元出售.若此時廠家同時出售A,B產(chǎn)品各一件,則相對于沒有調(diào)價時的盈虧情況是(D)(A)不虧不賺 (B)賺5.92元(C)賺28.96元 (D)虧5.92元解析:設(shè)A,B兩產(chǎn)品的原價分別為a元,b元,則a=16,b= 36,16+36-23.04×2=5.92,所以比原價虧5.92元,故選D.【教師備用】 某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,需經(jīng)過y年,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是(D)解析:設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a,由題意可得a

8、x=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x1).函數(shù)為對數(shù)函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)的圖象大致為D中圖象.故選D.【教師備用】 某地發(fā)生地震后,地震專家對該地區(qū)發(fā)生的余震進行了監(jiān)測,記錄的部分數(shù)據(jù)如下表:強度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級(里氏)5.05.25.35.4注:地震強度是指地震時釋放的能量.地震強度(x)和震級(y)的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y=alg x+b(其中a,b為常數(shù)).利用散點圖可知a的值等于 . (取lg 2=0.3進行計算)解析:由模擬函數(shù)及散點圖得兩式相減得a(

9、lg 3.2-lg 1.6)=0.2,alg 2=0.2,a=.答案:7.某汽車制造商在2019年初公告:公司計劃2019年生產(chǎn)目標定為43萬輛.已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量如表所示:年份201920192019產(chǎn)量8(萬)18(萬)30(萬)如果我們分別將2019,2019,2019,2019定義為第一、二、三、四年.現(xiàn)在你有兩個函數(shù)模型:二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a0),指數(shù)函數(shù)模型g(x)=a·bx+c(a0,b>0,b1),哪個模型能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系?解:建立年產(chǎn)量y與年份x的函數(shù),可知函數(shù)圖象必過點(1,8),(2,18),(3,3

10、0).構(gòu)造二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a0),將點坐標代入,可得解得a=1,b=7,c=0,則f(x)=x2+7x,故f(4)=44,與計劃誤差為1.構(gòu)造指數(shù)函數(shù)模型g(x)=a·bx+c(a0,b>0,b1),將點坐標代入,可得解得a=,b=,c=-42,則g(x)=·()x-42,故g(4)=·()4-42=44.4,與計劃誤差為1.4.由可得,二次函數(shù)模型f(x)=x2+7x能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系.8.據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測:發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動,其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示,過線

11、段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l交梯形OABC于另一點D,梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).(1)當(dāng)t=4時,求s的值;(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城,如果會,在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城?如果不會,請說明理由.解:(1)由圖象知,點A的坐標為(10,30),故直線OA的解析式為v=3t,當(dāng)t=4時,D點坐標為(4,12),所以O(shè)T=4,TD=12,所以s=×4×12=24(km).(2)當(dāng)0t10時,此時OT=t,T

12、D=3t,所以s=t×3t=t2,當(dāng)10<t20時,此時OT=t,AD=t-10,TD=30,所以s=×10×30+30(t-10)=30t-150;當(dāng)20<t35時,因為B,C的坐標分別為(20,30),(35,0),所以直線BC的解析式為v=-2t+70,此時D點坐標為(t,-2t+70),所以TC=35-t,TD=-2t+70,所以s=(10+35)×30-(35-t)(-2t+70)=-(35-t)2+675,所以s=(3)法一由(2)知,當(dāng)10<t20時,30t-15030×20-150=450.當(dāng)20<t35時,令-(35-t)2+675=650得t=40(舍去)或t=30.故當(dāng)沙塵暴