1、圓錐曲線與方程知識點匯總2.1 2.1 橢圓橢圓1、橢圓的定義、橢圓的定義：1F2FM 平面內到平面內到兩兩個定點個定點F1、F2的距離之的距離之和和等于等于常數常數（大于（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做）的點的軌跡叫做橢圓橢圓。 這兩個定點叫做橢圓的這兩個定點叫做橢圓的焦點焦點，兩焦點間的距離，兩焦點間的距離叫做橢圓的叫做橢圓的焦距焦距。cFF221為橢圓時,022 ca2 2a aMMF FMMF F2 21 1橢圓形成演示橢圓形成演示橢圓定義橢圓定義.gsp滿足幾個條件的動點的軌跡叫做橢圓？滿足幾個條件的動點的軌跡叫做橢圓？v(1)平面上平面上-這是大前提這是大前提v(2)動點動點 M

2、 到兩個定點到兩個定點 F1、F2 的距離之和的距離之和是常數是常數 2a v(3)常數常數 2a 要大于焦距要大于焦距 2c1222MFMFac42222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點就在哪個軸上分母哪個大，焦點就在哪個軸上平面內到兩個定點平面內到兩個定點F1，F2的距離的和等的距離的和等于常數（大于于常數（大于F1F2）的點的軌跡）的點的軌跡12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc標準方程標準方程相相 同同 點點焦點位置的判斷焦點位置的判斷不不 同同 點點圖圖 形形焦點坐標焦點坐標定定 義義a、b、c 的關系的關系xyF1 1F2

3、2POxyF1 1F2 2POa2-c2=b2求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程（1）首先要）首先要判斷判斷類型，類型，（2）用）用待定系數法待定系數法求求ba,a2=b2+c2典例分析典例分析例例1橢圓的兩個焦點的坐標分別是（橢圓的兩個焦點的坐標分別是（4，0）（4，0），橢圓上一點），橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于到兩焦點距離之和等于10，求橢圓的標準方程。求橢圓的標準方程。 12yoFFMx.解：解： 橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸上軸上設它的標準方程為設它的標準方程為: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求橢圓的標準方程為所求橢圓的標準方程為 ) 0

4、( 12222babyax192522yx例例2 2. .已已知知橢橢圓圓的的兩兩個個焦焦點點坐坐標標分分別別為為（- - 2 2，0 0），5 53 3（2 2，0 0）并并且且經經過過點點（， - -），求求它它的的標標準準方方程程. .2 22 22 22 22 22 2解解 : :因因為為橢橢圓圓的的焦焦點點在在x x軸軸上上，所所以以設設它它的的標標準準方方程程為為x xy y+ += =1 1( (a a b b 0 0) ). .a ab b2 22 22 22 22 22 22 2由由 橢橢 圓圓 的的 定定 義義 知知5 53 35 53 32 2 a a = =+ + 2

5、2+ +- -+ +- - 2 2+ +- -= = 2 21 1 0 02 22 22 22 2所所 以以 a a = =1 1 0 0 . .又又 因因 為為 c c = = 2 2 , ,所所 以以 b b= = a a- - c c= = 1 1 0 0 - - 4 4 = = 6 6 . .22222222因因此此，所所求求橢橢圓圓的的標標準準方方程程為為xyxy+=1.+=1.1061061 1 1 11 1變變式式引引申申：求求焦焦點點在在y y軸軸上上，且且經經過過點點A A( (, ,) )、B B( (0 0, ,- -) )的的3 3 3 32 2橢橢圓圓的的標標準準方方

6、程程. . 2 22 22 22 22 22 2y yx x解解 ： 設設 所所 求求 橢橢 圓圓 的的 方方 程程 為為+ += = 1 1 , ,a ab b1 11 11 1將將 A A ( (, ,) ), , B B ( (0 0 , , - -) )代代 入入 得得 ：3 33 32 22 22 21 11 13 33 3+ += = 1 12 22 2a ab b, ,2 21 1- -2 2= = 1 12 2a a1 12 2a a= =, ,4 4解解 得得 ：1 12 2b b= =. .5 5y yx x故故 所所 求求 橢橢 圓圓 的的 標標 準準 方方 程程 為為+

7、 += = 1 1 . .1 11 14 45 5？思考一個問題思考一個問題:把把“焦點在焦點在y軸上軸上”這句話去掉，怎么辦？這句話去掉，怎么辦？ 定義法定義法：如果所給幾何條件正好符合某一特定的曲線（圓，橢圓等）的定義，則可直接利用定義寫出動點的軌跡方程. 待定系數法待定系數法：所求曲線方程的類型已知，則可以設出所求曲線的方程，然后根據條件求出系數.用待定系數法求橢圓方程時，要“先定型，再定量”. 求曲線方程的方法：求曲線方程的方法：標準方程標準方程圖象圖象范圍范圍對稱性對稱性頂點坐標頂點坐標焦點坐標焦點坐標半軸長半軸長離心率離心率 a a、b b、c c的關的關系系22221(0)xya

8、babceac2=a2-b222221(0)xyabba-axa, -byb-bxb, -aya對稱軸為對稱軸為x軸、軸、y軸；對稱中心為原點軸；對稱中心為原點(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(c,0)、(-c,0)(0 , c)、(0, -c) 長軸長為長軸長為2a,短軸長為短軸長為2b. 焦距為焦距為2c(0e1)2、橢圓的簡單幾何性質、橢圓的簡單幾何性質：xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO 橢圓離心率的取值范圍？離心率變橢圓離心率的取值范圍？離心率變 化對橢圓的扁平程度有什么影響？化對橢圓的扁平程度有什么影

9、響？ e(0(0，1).1). e越接近于越接近于0，橢圓越圓；，橢圓越圓； e越接越接近于近于1 1，橢圓越扁，橢圓越扁. . 2.2 2.2 雙曲線雙曲線 兩個定點兩個定點F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點焦點; |F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0 ；思考：思考：（1）若）若2a=2c,則軌跡是什么？則軌跡是什么？（2）若）若2a2c,則軌跡是什么？則軌跡是什么？說明說明（3）若）若2a=0,則軌跡是什么？則軌跡是什么？ | |MF1| - |MF2| | = 2a( (1) )兩條射線兩條射線( (2) )不表示任何軌跡不表示任何軌跡1、雙曲線的定義、雙曲線的定義：看看 前的系數，哪

10、一個為正，則在哪一個軸上前的系數，哪一個為正，則在哪一個軸上平面內平面內與兩個定點與兩個定點F1，F2的距離的差的距離的差的絕對值的絕對值等于常數等于常數（小于（小于F1F2)的點的軌跡叫做的點的軌跡叫做雙曲線雙曲線.12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc標準方程標準方程相相 同同 點點焦點位置的判斷焦點位置的判斷不不 同同 點點圖圖 形形焦點坐標焦點坐標定定 義義a、b、c 的關系的關系22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxababc2=a2+b222, yxF2F1MxOyOMF2F1xy17xyoax或ax ay ay或)0 ,( a), 0(axab

11、y xbay ace)(222bac其中關于關于坐標坐標軸和軸和原點原點都對都對稱稱性性質質雙曲線雙曲線) 0, 0(12222babyax) 0, 0(12222babxay范圍范圍對稱對稱 性性 頂點頂點 漸近漸近 線線離心離心 率率圖象圖象2、雙曲線的簡單幾何性質、雙曲線的簡單幾何性質：18例例1 求雙曲線求雙曲線 9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程焦點坐標、離心率、漸近線方程.可得實半軸長可得實半軸長a=4，虛半軸長，虛半軸長b=3焦點坐標為（焦點坐標為（0，-5）、（）、（0，5）45 ace離離心心率率xy34 線線方方

12、程程為為漸漸近解：把方程化為標準方程解：把方程化為標準方程221169yx19例2.4516線和焦點坐標線和焦點坐標程，并且求出它的漸近程，并且求出它的漸近出雙曲線的方出雙曲線的方軸上，中心在原點，寫軸上，中心在原點，寫焦點在焦點在，離心率離心率離是離是已知雙曲線頂點間的距已知雙曲線頂點間的距xe 思考思考:一個雙曲線的漸近線的方程為一個雙曲線的漸近線的方程為: ,它的它的離心率為離心率為 .xy43 5543或xy43漸近線方程為)0 ,10(),0 ,10(21FF 焦點1366422 yx解：解：定定 義義 方方 程程 焦焦 點點a.b.c的關的關系系F（c，0）F（c，0）a0，b0，

13、但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 橢橢 圓圓雙曲線雙曲線F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxababab0，c2=a2-b221漸近線漸近線離心率離心率頂點頂點對稱性對稱性范圍范圍 準線準線|x| a,|y|b|x| a，y R對稱軸：對稱軸：x軸，軸，y軸軸 對稱中心：原點對稱中心：原點對稱軸：對稱軸：x軸，軸，y軸軸 對稱中心：原點對稱中心：原點（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b)長軸：長軸：2a 短軸：短軸

14、：2b(-a,0) (a,0)實軸：實軸：2a虛軸：虛軸：2be =ac( 0e 1 )ace=(e1)無無 y = abxcax22.3 2.3 拋物線拋物線CMFle=1H 在平面內在平面內,與一個定點與一個定點F和一條定直線和一條定直線l(l不經過點不經過點F)的的距離相等距離相等的點的軌跡叫的點的軌跡叫拋拋物線物線.點點F叫拋物線的叫拋物線的焦點焦點,直線直線l 叫拋物線的叫拋物線的準線準線d 為為 M 到到 l 的距離的距離準線準線焦焦點點d1、拋物線的定義、拋物線的定義：0p 是焦準距22ypx拋物線標準方程拋物線標準方程準線方程準線方程焦點坐標焦點坐標標準方程標準方程圖圖 形形x

15、 xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px )2p0( ，2py)2p0(，2py P的意義的意義:拋物拋物線的焦點到準線的焦點到準線的距離線的距離方程的特點方程的特點:(1)左邊左邊是二次是二次式式,(2)右邊右邊是一次是一次式式;決定了決定了焦點焦點的位置的位置.（1）已知拋物線的標準方程是）已知拋物線的標準方程是 y 2 = 6 x ，求它，求它的焦點坐標及準線方程的焦點坐標及準線方程（2）已知拋物線的焦點坐標是）已知拋物線的焦點坐標是 F（0，2），求），求拋物線的標準方程拋物線的標準方程（3）已知拋物線的

16、準線方程為）已知拋物線的準線方程為 x = 1 ，求拋物，求拋物線的標準方程線的標準方程（4）求過點）求過點A（3，2）的拋物線的標準方程）的拋物線的標準方程焦點焦點F ( , 0 )32準線：準線：x =32x 2 =8 yy 2 =4 xy 2 = x 或或 x 2 = y4392看圖看圖看圖方程圖形范圍對稱性頂點離心率y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO關于x軸對稱關于x軸對稱 關于y軸對稱 關于y軸對稱（0,0）e=12、拋物線的簡單幾何性質、

17、拋物線的簡單幾何性質：補充補充（1）通徑：）通徑：通過焦點且垂直對稱軸的直線，通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的兩點的線段叫做拋物線的通徑通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度通徑的長度：2PP越大越大,開口越開闊開口越開闊（2）焦半徑：）焦半徑： 連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的拋物線的焦半徑焦半徑。焦半徑公式：焦半徑公式：),(00yx（標準方程中（標準方程中2p的幾何意義）的幾何意義）利用拋物線的利用拋物線的頂點頂點、通徑的兩個、通徑的兩個端點端點可較準確畫出可較準確

18、畫出反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。XY拋物線的基本元素 y2=2px特點特點1.拋物線只位于半個坐標平面內拋物線只位于半個坐標平面內,雖然它可以無雖然它可以無限延伸限延伸,但它沒有漸近線但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心沒有對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的,為為1;5.拋物線標準方程中的拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響對拋物線開口的影響.P越大越大,開口越開闊開口越開闊圖圖 形形方程方程焦點焦點準線準線 范圍范圍 頂點頂點 對稱軸對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸軸y軸軸1變式變式: 頂點在坐標原點頂點在坐標原點,對稱軸是坐標軸對稱軸是坐標軸,并且過點并且過點M(2, )的拋物線有幾條的拋物線有幾條,求它的標準方程求它的標準方程.2 2典型例題：典型例題：例例1.已知拋物線關于已知拋物線關于x軸對稱，軸對稱，頂點在坐標頂點在坐標