1、一、八年級數(shù)學(xué)全等三角形解做題壓軸題(難)1.在平面直角坐標(biāo)系中,直線48分別交x軸,v軸于A(a,0),B(0,b),且滿足a2+b2+4a-8b+20=0.B(1)求5b的值；(2)點P在直線八8的右f那么：且N4P8=45.,假設(shè)點P在x軸上(圖1),那么點P的坐標(biāo)為:假設(shè)ABP為直角三角形,求P點的坐標(biāo).【答案】(1).=-2,b=4：(2)(4,0)：P點坐標(biāo)為(4,2),(2,-2).【解析】【分析】(1)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題.分兩種情形：如圖2中,假設(shè)NABP=90.,過點P作PCJ_OB,垂足為C.如圖3中,假設(shè)NBAP=90

2、.,過點P作PD1.OA,垂足為D.分別利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.【詳解】(1)Vo2+4a+4+b2-86+16=0/.(q+2)2+(b-4)2=0,q=-2,b=4.2如圖1中,/AP8=45.,ZPOB=90°,OP=O8=4,：.P(4,0).故答案為(4.0).-2,b=4,O4=2O8=4又.48P為直角三角形,NAP8=45.,只有兩種情況,NA8P=90°或N84P=90.如圖2中,假設(shè)乙48P=90.,過點P作PC_LO8,垂足為C.圖2：.ZPCB=ZBOA=90Q.又:N4P8=45°,/8AP=N4P8=45.,：.BA=BP.又

3、/ZABOZOBP=NO8P+N8PC=90°,/.ZABO=ZBPC,：.AABOABPC(A4S),PC=0B=4,8c=04=2,OC=O8-8C=4-2=2,：.P(4,2).如圖3中,假設(shè)N84P=90.,過點P作PD_L04垂足為D.圖3,NPD4=NAO8=90°,又:N4P8=45°,/ZABP=ZAPB=5q9：.ap=ab,又N8AD+NOAP=90Q,NO%+N0AP=9O0,：.ZBAD=ZDPA.：.ABA0/APP(AAS),PD=0A=2,40=08=4,0D=A.-04=4-2=2,：.P(2,-2).綜上述,P點坐標(biāo)為(4,2),

4、(2,-2).【點睛】此題屬于三角形綜合題,考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題,學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題.2.如圖1,等腰八8c中,47=8C=4jI,N4C8=45°,AO是8c邊上的高,.為線段八.上一動點,以C.為一邊在8下方作等腰Z1CDE,使CD=CE且NDCE=45°,連結(jié)8E.(1)求證："CD4ABCE；如圖2,在圖1的根底上,延長8E至Q,P為8.上一點,連結(jié)CP、C&假設(shè)CP=CQ=5,求PQ的長.連接.£,直接寫出線段0E的最小值.【答案

5、】(1)證實見解析；(2)PQ=6；(3)OE=4-2>/2【解析】試題分析：(1)根據(jù)5人5即可證得2488.氏(2)首先過點.作C"_L8Q于,由等腰三角形的性質(zhì),即可求得NQAC=45.,那么根據(jù)等腰三角形與直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的長.(3)OE_L8Q時,0E取得最小值.試題解析：(1)證實：八8c與aOCE是等腰三角形,：.AC=BCtDC=EC,ZACB=ZDCE=45',/.ZACD+4DCB=ZECB+ZDCB=45.,ZACD=ZBCE；在aACD和中,AC=BC ZACD=ZBCEDC=EC,/.ACDaBCE(SAS)；(2)首先過點.

6、作CH,8.于,過點C作CH_L8Q于 二A8c是等腰三角形,NAC8=45°,AO是8c邊上的高, .ZDAC=45J,ACQ%8CE,NPBC=NDAC=45., 在RUBHC中,CH=BCx立=4四x=4,22.PC=CQ=5,CH=4,PH=QH=3,PQ=6.(3)0七_(dá)L3Q時,0E取得最小值.最小值為：OE=4-2y/2.3.如圖,ZBAD=ZCAE=90%AB=AD,AE=AC,AFJLCB,垂足為F.(1)求證:AABC合ADE：(2)求2FAE的度數(shù)：(3)求證：CD=2BF+DE.【答案】(1)證實見解析：(2)ZFAE=135°：(3)證實見解析.【

7、解析】【分析】(1)根據(jù)條件易證NBAC=ZDAE,再由AB=AD,AE=AC,根據(jù)SAS即可證得 ABC合ADE；(2)NCAE=90°,AC=AE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得NE=45°,由(1)知BA8DAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NBCA=ZE=45°,再求得ZCAF=45.,由NFAE=ZFAC+ZCAE即可得NFAE的度數(shù)：(3)延長BF到G,使得FG=FB,易證AFB合AFG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB=AG,ZABF=ZG,再由BACWDAE,可得AB=AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED,所以AG=AD,ZABF=ZCDA,

8、即可得NG=ZCDAz利用AAS證得CGACDA,由全等三角形的性質(zhì)可得CG=CD,所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF.【詳解】(1).ZBAD=ZCAE=90°rJZBAC+ZCAD=90°,ZCAD+ZDAE=90°r/.ZBAC=ZDAE,在小BAC私DAE中,AB=ADZBAC=ZDAE,AC=AE .BAC2DAE(SAS)；(2)/ZCAE=90°rAC=AE, ZE=45°f由(1)知aBAC合2DAE, ZBCA=ZE=45°fAF±BC, ,ZCFA=90°,ZCAF=45&#

9、176;f .ZFAE=ZFAC+ZCAE=45o+90°=135°；(3)延長BF到G,使得FG=FB,AFJLBG, ZAFG=ZAFB=90°r在AFB和AFG中,BF=GF<ZAFB=ZAFG,AF=AF.:,&AFB合AFG(SAS),AB=AG,ZABF=ZG,:BACDAEz,AB=AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED,/.AG=AD,ZABF=ZCDA,/.ZG=ZCDAz在CGA和CDA中,ZGCA=ZDCA,乙CGA=ZCDA,AG=AD.CGA合CDA,/.CG=CD,CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF.CD=2

10、BF+DE.【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì),解決第3問需作輔助線,延長BF到G,使得FG=FB,證得CGA合CDA是解題的關(guān)鍵.4.如圖,AB=12cm,AC±AB,BDJ_AB,AC=BD=9cm,點P在線段AB上以3cm/s的速度,由A向B運動,同時點Q在線段BD上由B向D運動.1假設(shè)點Q的運動速度與點P的運動速度相等,當(dāng)運動時間t=ls,ACP與ABPQ是否全等？說明理由,并直接判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；2將“AC_LAB,BD_LAB改為“NCAB=NDBA",其他條件不變.假設(shè)點Q的運動速度與點P的運動速度不相等,當(dāng)點Q的運動速度為多少時,能使

11、4ACP與aBPQ全等.3在圖2的根底上延長AC,BD交于點E,使C,D分別是AE,BE中點,假設(shè)點Q以2中的運動速度從點B出發(fā),點P以原來速度從點A同時出發(fā),都逆時針沿4ABE三邊運動,求出經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次相遇.【解析】【分析】(1)利用SAS證得ZkACP合4BPQ,得出NACP=ZBPQ,進(jìn)一步得出ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90.得出結(jié)論即可：(2)FhAACPBPQ,分兩種情況：AOBP,AP=BQ,(2)AC=BQ,AP二BP,建立方程組求得答案即可.(3)由于Vq<Vp,只能是點P追上點Q,即點P比點Q多走PB+BQ的路程,據(jù)此列出方程,解這個方程即

12、可求得.【詳解】(1)當(dāng)t=l時,AP=BQ=3fBP=AC=9,XVZA=ZB=90°,AP=BQ在ACP與aBPQ中,<乙4=N8,AC=BPACP合4BPQ(SAS),工ZACP=ZBPQ/,ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90ofZCPQ=90°f那么線段PC與線段PQ垂直.(2)設(shè)點Q的運動速度x,假設(shè)AACP合BPQ,那么AC=BP,AP=BQ,9=12-4t=xtt=3解得假設(shè)4ACP合BPQ,那么AC=BQ,AP=BP,9=xtf=12-*7=6解得,3,x=2綜上所述,存在f=63使得4ACP與4BPQ全等.x=2(3)由于Vq<Vp,

13、只能是點P追上點Q,即點P比點Q多走PB+BQ的路程,設(shè)經(jīng)過x秒后P與Q第一次相遇,VAC=BD=9cm,C,D分別是AE,BD的中點；/.EB=EA=18cm.當(dāng)VQ=1時,依題意得3x=x+2x9,解得x=9；31 1Vq=一時,23依題意得3x=x+2x9,2解得x=12.故經(jīng)過9秒或12秒時P與Q第一次相遇.【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元一次方程的性質(zhì)與運算.5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A、3坐標(biāo)為6,0、0,6,P為線段A3上的一點.1如圖1,假設(shè)夕為A3的中點,點M、N分別是04、.8邊上的動點,且保持AM=ON,那么在點M、N運動的過程中,探究

14、線段尸M、PN之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系,并說明理由.2如圖2,假設(shè)P為線段A8上異于A、8的任意一點,過4點作3O_LOP,交.尸、04分別于產(chǎn)、.兩點,E為04上一點,且NPEA=ZBD0,試判斷線段OD與AE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【答案】1PM=PN,PM1PN,理由見解析；20D=AE,理由見解析【解析】【分析】1連接0P.只要證實PONTPAM即可解決問題：2作AGJ_x軸交0P的延長線于G.rfUDBOAGOA,推出0D=AG,NBDO=NG,再證實PAEgPAG即可解決問題：【詳解】1結(jié)論：PM=PN,PM1PN.理由如下：如圖1中,連接0P.,:A、B坐標(biāo)為6,0、0,6,A0

15、B=0A=6,ZAOB=90°,VP為AB的中點,AOP=-AB=PB=PA,OP_LAB,ZPON=ZPAM=45°,2AZOPA=90°t在aPON和APAM中,ON=AM<ZPON=NP4M,OP=AP.APONPAM(SAS),PN二PM,ZOPN=ZAPM,/.ZNPM=ZOPA=90o,PM_LPN,PM=PN.(2)結(jié)論：OD=AE.理由如下:如圖2中,作AG_Lx軸交OP的延長線于G.VBD±OPf,ZOAG=ZBOD=ZOFD=90°,AZODF+ZAOG=90%NODF+NOBD=90°,ZAOG=ZDBO,

16、VOB=OA,AADBOAGOA,?.OD=AG,ZBDO=ZG,VZBDO=ZPEA,/G=NAEP,在ZiPAE和PAG中,ZAEP=ZG*NPAE=ZPAG,AP=APAAPAEAPAG(AAS),JAE二AG,AOD=AE.考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)犍是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題.6.如圖1,在A3C中,ZA=90°,A3=AC,點.是斜邊8C的中點,點E,產(chǎn)分別在線段A3,4c上,且NEDF=90.1求證：.所為等腰直角三角形：2假設(shè)ABC的面積為7,求四邊形AEDF的面積：3如圖2,

17、如果點E運動到A8的延長線上時,點尸在射線C4上且保持ZEDF=90°,.石尸還是等腰直角三角形嗎.請說明理由.【答案】1證實見解析；23.5：3是,理由見解析.【解析】【分析】1由題意連接AD,并利用全等三角形的判定判定BD年ADFASA,進(jìn)而分析證得.瓦'為等腰直角三角形；2由題意分析可得S網(wǎng)邊形aedf=Smdf+Saade=Sabde+Sacdf,以此進(jìn)行分析計算求出四邊形AEDF的面積即可；3根據(jù)題意連接AD,運用全等三角形的判定判定BDEADFASA,進(jìn)而分析證得.所為等腰直角三角形.【詳解】解：1證實：如圖,連接AD.NBAC=90°,AB=AC,點D

18、是斜邊BC的中點,/.AD±BC,AD=BD, ,Z1=ZB=45°,ZEDF=90%Z2+Z3=90%又,Z3+Z4=90°,/.Z2=Z4,在BDE和ADF中,Z1=ZB,AD=BD,Z2=Z4,/.BDE合,ADF(ASA), ,DE二DF,又；ZEDF=90 ADEF為等腰直角三角形.(2)由(1)可知DE=DF,NON6=45.,又N2+N3=90°,Z2+Z5=90%JZ3=Z5,aADE級CDF, 'Sn邊h,aedf=Saadf+Scade二Sabde+Scdf,Smbc=2S網(wǎng)邊毛aedf,Swijn；aedf=3.5.(3)是

19、,如圖,連接AD. /ZBAC=90AB=AC,D是斜邊BC的中點,/.AD±BCZAD=BD,Z1=45°,ZDAF=180°-Zl=180°-45°=135%ZDBE=180°-ZABC=180°-45°=135%/.ZDAF=ZDBE,ZEDF=90/.Z3+Z4=90%又；Z2+Z3=90°,Z2=Z4,在仆BDE和aADF中,ZDAF=ZDBE,AD=BD,N2=Z4,BDE合ADF(ASA),.DE=DB又：ZEDF=90.aDEF為等腰直角三角形.【點睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等

20、三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)題意作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.7.在AAbC中,A8=A.,點.在8C邊上,且n4.3=60.,£是射線0A上一動點不與點.重合,且ZMWO8,在射線OB上截取.=.石,連接跖.1當(dāng)點E在線段AO上時,假設(shè)點E與點A重合時,請說明線段斯=OC；如圖2,假設(shè)點E不與點A重合,請說明BF=DC+AE；備用圖2當(dāng)點E在線段DA的延長線上.七>時,用等式表示線段AE,BF、CD之間的數(shù)量關(guān)系直接寫出結(jié)果,不需要證實.【答案】1證實見解析：證實見解析；2BF=AE-CD【解析】【分析】1根據(jù)等邊對等角,求到NB=NC,再由含有60°角的等腰三

21、角形是等邊三角形得到AAOE是等邊三角形,之后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到ZAFB=ZADC=nO°,推出&A8/運根.,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；過點A做AGEF交BC于點G,由ADEF為等邊三角形得到DA=DG,再推出AE=GF,根據(jù)線段的和差即可整理出結(jié)論：2根據(jù)題意畫出圖形,作出AG,由1可知,AE=GF,DC=BG,再由線段的和差和等量代換即可得到結(jié)論.【詳解】1證實：:AB=AC:"B=ZCDF=DE、ZADB=60°,且E與A重合,.AOP是等邊三角形:.ZADF=ZAFD=60°:.ZAFB=ZADC=20Q在

22、AABE和A4CQ中ZAFB=ZADC<ZB=ZCAB=ACAABFAACD.BF=DC如圖2,過點A做AGEF交BC于點G,VZADB=60°DE=DFDEF為等邊三角形VAG/EFAZDAG=ZDEF=60%ZAGD=ZEFD=60°AZDAG=ZAGDADA=DGADA-DE=DG-DF,即AE=GF由易證AGBg/iADC,BG=CD,BF=BG+GF=CD+AE(2)如圖3,和(1)中相同,過點A做AGEF交BC于點G,由1可知,AE=GF,DC=BG,BF+CD=BF+BG=GF=AE故BF=AECD.【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的

23、判定和性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.8.1如圖a所示點.是等邊3c邊84上一動點點.與點8不重合,連接DC,以DC為邊在8c上方作等邊OCQ,連接4F.你能發(fā)現(xiàn)線段4F與8D之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證實.2如圖b所示當(dāng)動點.運動至等邊ABC邊84的延長線上時,其他作法與1相同,猜測4F與8.在1中的結(jié)論是否仍然成立？直接寫出結(jié)論3如圖c所示,當(dāng)動點.在等邊3c邊以上運動時點.與點8不重合,連接.C,以0C為邊在8c上方、下方分別作等邊.廠和等邊QCF',連接AF、BP,探究4F、8尸'與A8有何數(shù)量關(guān)系？并證實.如圖d所示,當(dāng)動點D在等邊aABC邊84

24、的延長線上運動時,其他作法與3相同,中的結(jié)論是否成立？假設(shè)不成立,是否有新的結(jié)論？并證實.【答案】1AF=BD,理由見解析：2AF=BD,成立：3證實見解析；中的結(jié)論不成立新的結(jié)論是=+理由見解析【解析】【分析】1根據(jù)等邊三角形的三條邊、三個內(nèi)角都相等的性質(zhì),利用全等三角形的判定定理SAS可證得BCOgzMb,然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等知AF=8.2通過證實BC性Ab,即可證實A/=%>.3A尸+8/'=A8,利用全等三角形88g"b的對應(yīng)邊,同理BCF'9/ACD,那么8尸=4.,所以A/+8尸=鉆：中的結(jié)論不成立,新的結(jié)論是從/=人8+3/：通過證實Bbg

25、AAC.,那么BF,=AD全等三角形的對應(yīng)邊相等,再結(jié)合2中的結(jié)論即可證得AF=AB+BF'.【詳解】AF=BD證實如下：.ABC是等邊三角形,/.BC=ACZBCA=60°.同理可得：DC=CF,ZDCF=60°.:.ZBCA-ZDCA=ZDCF-ZDCA.即ABCD=ZACF.8C-CE./.AF=BD.2證實過程同1,證得BCDgAACE,那么=全等三角形的對應(yīng)邊相等,所以當(dāng)動點D運動至等邊AABC邊BA的延長線上時,其他作法與1相同,Af=8£依然成立.3®AF+BF=AB證實：由1知,ABCD口/ACF.:.BD=AF.同理Bb'

26、;gAAC.:.BFr=AD.：.AF+BF,=BD+AD=AB.中的結(jié)論不成立新的結(jié)論是AF=AB+BFf:vBC=AC,ABCF'=ZACD,F'C=DC,BCFXAACD.:.BFr=AD.又由2知,AF=BD.:.AF=BD=AB+AD=AB+BF,.即AF=AB+BF'.【點睛】此題考查了三角形的綜合問題,掌握等邊三角形的三條邊、三個內(nèi)角都相等的性質(zhì)、全等三角形的判定定理、全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.9.：在MBC中,AB=AC,ZBAC=90°,尸.為過點A的一條直線,分別過B、C兩點作8M_LP0,CN_LP0,垂足分別為M、N.1如圖所

27、示,當(dāng)P.與邊有交點時,求證：MN=CNBM；2如圖所示,當(dāng)與邊不相交時,請寫出線段8M、OV和MN之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【答案】1見解析：2MN=BM+CN或BM=MNCN或CN=MN-BM,理由見解析【解析】【分析】1根據(jù)條件先證A切運ACN4,得到AM=CN,BM=4N,即可證得MN=CNBM：2由1知得到AM=CN,BM=4N,即可確定MN=BM+CN.【詳解】證實：BM_LPQ,CN_LP.,NAME=NCAN=90., ZBAC=90°,.ZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCAN+ZAOV=Z.CAN+ZBAM) ZBAM=ZACN,在/HAMB和ACNA中,'ZAMB=4CNA .N8AM=ZACN,AB=CA:.AAM*ACN4(A4S),:.AM=CN,BM=AN, MN=AM-AN,:MN=CNBM.(2)MN=BM+CN(或BM=MNCN或CN=MNBM).理由：8M_LP0,CN_LP., ,.ZAMB=ZCAN=90°, ZBAC=90°,.ZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NC4N+NACN=NC4N+NBAM), ZBAM=ZACN,在AAMB和NCNA中,AAMB=ZCNAABAM=ZACN,AB=CA:.AAM