1、?1.3.1函數的單調性與導數?教學案3一、教材分析以前,我們用定義來判斷函數的單調性.對于任意的兩個數X1,X2CI,且當X1VX2時,都有f(Xi)vf(X2),那么函數f(x)就是區間I上的增函數.對于任意的兩個數Xi,X2CI,且當X1VX2時,都有f(Xi)>f(X2),那么函數f(X)就是區間I上的減函數.在函數y=f(X)比擬復雜的情況下,比擬f(X1)與f(X2)的大小并不很容易.如果利用導數來判斷函數的單調性就比擬簡單.根據課程標準,本節分為四課時,此為第一課時.二、教學目標1,知識目標：1)正確理解利用導數判斷函數的單調性的原理；2)掌握利用導數判斷函數單調性的步驟.

2、2,水平目標：學生經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程,提升創新水平.3,情感、態度與價值觀目標：在愉悅的學習氣氛中,學生感受到解決數學問題的一般方法：從簡單到復雜,從特殊到一般.三、教學重點難點教學重點：利用導數判斷函數單調性.教學難點：利用導數判斷函數單調性.四、教學方法:探究法五、課時安排：1課時六、教學過程【引例】1.確定函數y=x2-4x+3在哪個區間內是增函數？在哪個區間內是減函數？解：y=x24x+3=(x2)21,在(*,2)上是減函數,在(2,)上是增函數.問：1)、為什么y=x2-4x+3在(*,2)上是減函數,在(2,十必)上是增函數?2)、研究函數的單調區間

3、你有哪些方法?都是反映函數隨自(1)觀察圖象的變化趨勢；(函數的圖象必須能畫出的)變量的變化情況.(2)利用函數單調性的定義.(復習一下函數單調性的定義)2、確定函數f(x)=2x36x2+7在哪個區間內是增函數？哪個區間內是減函數？(1)能畫出函數的圖象嗎？(2)能用單調性的定義嗎？試一試,提問一個學生：解決了嗎？到哪一步解決不了？(產生認知沖突)【發現問題】定義是解決單調性最根本的工具,但有時很麻煩,甚至解決不了.尤其是在不知道函數的圖象白時候,如函數f(x)=2x3-6x2+7,這就需要我們尋求一個新的方法來解決.(研究的必要性)事實上用定義研究函數y=x2-4x+3的單調區間也不容易.

4、【探究】我們知道函數的圖象能直觀的反映函數的變化情況,下面通過函數的圖象規律來研究.問：如何入手？(圖象)從函數f(x)=2x36x2+7的圖象嗎？1、研究二次函數y=x24x+3的圖象；(1)學生自己畫圖研究探索.(2)提問：以前我們是通過二次函數圖象的哪些特征來研究它的單調性的？(3)(開口方向,對稱軸)既然要尋求一個新的方法,顯然要換個角度分析.(4)提示：我們最近研究的哪個知識(通過圖象的哪個量)能反映函數的變化規律？(5)學生繼續探索,得出初步規律.幾何畫板演示,共同探究.得到這個二次函數圖象的切線斜率的變化與單調性的關系.(學生總結)：該函數在區間(口,2)上單調遞減,切線斜率小于

5、0,即其導數為負；在區間(2,收)上單調遞增,切線斜率大于0,即其導數為正；注：切線斜率等于0,即其導數為0;如何理解？就此函數而言這種規律是否一致？是否其它函數也有這樣的規律呢？2、先看一次函數圖象；3、再看兩個我們熟悉的函數圖象.(驗證)(1)觀察三次函數y=x3的圖象；(幾何畫板演示)(2)觀察某個函數的圖象.(幾何畫板演示)這節課我們就來學習如何用指出：我們發現函數的單調性與導數的符號有密切的關系.導數研究函數的單調性(幻燈放映課題).【新課講解】4、請同學們根據剛剛觀察的結果進行總結：導數與函數的單調性有什么關系？請一個學生答復.(幻燈放映)一般地,設函數y=f(x)在某個區間可導,

6、那么函數在該區間內如果在這個區間內f(x)A0,那么y=f(x)為這個區間內的增函數；如果在這個區間內f(x)M0,那么y=f(x)為這個區間內的減函數.假設在某個區間內恒有f'(x)=0,那么f(x)為常函數.這個結論是我們通過觀察圖象得到的,只是一個猜測,正確嗎？答案是肯定的.嚴格的證實需要用到中值定理,大學里才能學到.這兒我們可以直接用這個結論.小結：數學中研究問題的常規思想方法是：從特殊到一般,從簡單的復雜.結論應用：由以上結論知：函數的單調性與其導數有關,因此我們可以用導數法去探討函數的單調性.下面舉例說明：【例題講解】例1、求證：y=x3+1在(3,0)上是增函數.由學生表

7、達過程老師板書：3,2一由于y=(x+1)=2x,x=(*,0),2'所以x>0,即y>0,所以函數y=x3+1在(3,0)上是增函數.注：我們知道y=x3+1在R上是增函數,課后試一試,看如何用導數法證實.學生歸納步驟：1、求導；2、判斷導數符號；3、下結論.例2、確定函數f(x)=2x36x2+7在哪個區間內是增函數,哪個區間內是減函數.由學生表達過程老師板書：解：f'(x)=(2x36x2+7)'=6x2-12x,令6x2-12x>0,解得x>2或x<0,當xC(oo,0)時,f'(x)>0,f(x)是增函數；當xC(2

8、,+8)時,f'(x)>0,f(x)是增函數.令6x2-12x<0,解得0vx<2.,當xC(0,2)時,f'(x)<0,f(x)是減函數.學生小結：用導數求函數單調區間的步驟：(1) 確定函數f(x)的定義域；(2) 求函數f(x)的導數f'(x).(3) 令f'(x)>0解不等式,得x的范圍就是遞增區間.令f'(x)v0解不等式,得x的范圍,就是遞減區間【課堂練習】1 .確定以下函數的單調區間(1) y=x3-9x2+24x(2)y=3x-x3(1)解：y'=(x39x2+24x)'=3x218x+24=

9、3(x2)(x4)令3(x-2)(x-4)>0,解得x>4或x<2.y=x39x2+24x的單調增區間是(4,+8)和(oo,2)令3(x-2)(x-4)<0,解得2vxv4.1-y=x3-9x2+24x的單調減區間是(2,4)(2)解：V,=(3xx3)'=33x2=-3(x2-1)=-3(x+1)(x-1)令-3(x+1)(x-1)>0,解得1<x<1.y=3xx3的單調增區間是(一1,1).令3(x+1)(x1)v0,解得x>1或xv1.,y=3xx3的單調減區間是(一00,1)和(1,+oo)2、設y=f'(x)是函數y=

10、f(x)的導數,y=f'(x)的圖象如下圖,那么y=f(x)的圖象最有可能是()小結：重點是抓住導函數的圖象與原函數的圖象從哪里發生聯系？【課堂小結】1 .函數導數與單調性的關系：假設函數y=f(x)在某個區間內可導,如果f(x)>0,那么f(x)為增函數；如果f(x)<0,那么f(x)為減函數.2 .本節課中,用導數去研究函數的單調性是中央,能靈活應用導數解題是目的,另外應注意數形結合在解題中的應用.3 .掌握研究數學問題的一般方法：從特殊到一般,從簡單到復雜.【課后練習】1 .(2007年浙江卷)設f'(x)是函數f(x)的導函數,將y="刈和y=f&

11、#39;(x)的圖象2 .函數f(x)=xlnx,那么()A.在(0,)上遞增B.在(0,收)上遞減一Ji、.rnC.在0,-i上遞增D.在0,-i上遞減<e)eeJ3.函數f(x)=x3-3x2-5的單調遞增區間是.【課堂作業】課本P42習題2.41,2【課后記】本節課是一節新授課,課本所提供的信息很簡單,如果直接得出結論,學生也能接受,可學生只能進行簡單的模仿應用.為了突出知識的發生過程,不把新授課上成習題課,設計思路如下,以便教會學生會思考解決問題：1、首先研究從熟悉的二次函數入手,簡單復習回憶以前的方法；1、 從不熟悉的三次函數入手,使學生體會到以前的知識已不能解決,必須尋求一個新的解決方法,產生認知沖突,熟悉到再次研究單調性的必要性；2、 從簡單的、熟悉