1、20182018 年成人高考專升本高等數學考前復習重點分析第一章函數、極限和連續 1.1函數一、主要內容函數的概念1.函數的定義:定義域：D(f),值域：Z(f).2 .分段函數：H；：出;3 .隱函數：F(x,y)=04 .反函數：y=f(x)一x=(Ky)=f-1(y)y=f-1(x)定理：如果函數：y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y 是嚴格單調增加(或減少)的； 則它必定存在反函數：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是嚴格單調增加(或減少)的。函數的幾何特性1.函數的單調性：y=f(x),xD,x1、x2D當 x1x2時， 若 f(x)f(x2),則稱 f(x

2、)在 D 內單調減少()；若 f(x1)f(x2),則稱 f(x)在 D 內嚴格單減少()。2.函數的奇偶性：D(f)關于原點對稱偶函數：f(-x)=f(x)奇函數：f(-x)=-f(x)3.函數的周期性：周期函數：f(x+T)=f(x),x6(-,+)周期：T-最小的正數4.函數的有界性：|f(x)|0、a?1)5.對數函數：y=logax,(a0、a?1)6.三角函數：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx7.反三角函數：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx復合函數和初等函數 1.復合函數：y=f(u),u=(

3、|)(x)y=fd(x),x6X 2.初等函數：由基本初等函數經過有限次的四則運算(加、減、乘、除)和復合所構成的,并且能用一個數學式子表示的函數3限一、主要內容;11.x0-xx0無窮大量和無窮小量1.無窮大量：lim|f(x)=+a稱在該變化過程中 f(x)f(x)為無窮大量。X 再某個變化過程是指：2 .無窮小量：limf(x)=0稱在該變化過程中f(X)為無窮小量3 .無窮大量與無窮小量的關系：定理：limf(x)=0ulim卜1)=g(f(x)#0)4 .無窮小量的比較：lima=0,limP=0若lim艮=0,則稱(3是比較高階的無窮小量；a若limE=c(c為常數)，則稱(3與同

4、階的無窮小量；若limE=1,則稱B與是等價的無窮小量，記作：B;a若limE=?則稱B是比較低階的無窮小量。aL-t.X、fj定理：若：%除口202；,則：lim-=lim筌兩面夾定理(1)數列極限存在的判定準則：設：ynMXnwZn(0=12、3)limynr.limzn二an.二n二n(2)函數極限存在的判定準則:設：對于點 x。的某個鄰域內的一切點(點 x0除外)有：且：呵 g(x)二網 h(x)=A則：limf(x)=Axxx0極限的運算規則則:lim：xn=an)：且:若：limu(x)=A,limv(x)=B貝U：limu(x)-v(x)-limu(x)-limv(x)-A-B1

5、limu(x)v(x)=limu(x)limv(x)=AB2lim收=limu(x)&(linv(x)(linv(x)= =0)0)v(x)limv(x)B推論：limudx)一u?(x)一-un(x)Dlimcu(x)Dlimcu(x)=.=.climu(x)climu(x)一、主要內容函數的連續性1.函數在刈處連續：f(x)在 x。的鄰域內有定義,1olm0y=lm0f(xx)-f(刈)=02olimf(x)=f(xlimf(x)=f(x0) )xx0左連續：xso-f(x)=f(x0)右連續：limf(x)=f(xlimf(x)=f(x) )xx1 .函數在處連續的必要條件：定理

6、：f(x)在 A A 處連續二f(x)f(x)在 x x0處極限存在2 .函數在幾處連續的充要條件：limu(x)n=limu(x)n兩個重要極限sinxsinxd d1.lim11.lim1x0 x x2.lim(11)x=exx(1)續limsin(x)=1：(x).0(x)1四0(1+ +x)x)x=e=e定理：limf(x)=f(xo)=limf(x)=limf(x)=f(%)xX0 x)X0-X_.X04,函數在*a,b】上連續：f(x)在a,b上每一點都連續。在端點a和 b 連續是指：limf(x)limf(x)= =f(a)f(a)左端點右連續；x_a-limf(x)=f(b)右

7、端點左連續。x_b-a+0b-x5.函數的間斷點：若f(x)在 x x。處不連續，則x。為 f(x)的間斷點。I/J間斷點有三種情況：_X.J|10f(x)f(x)在 x0處無定義；，:；.2。limf(x)不存在；xx0730f(x)f(x)在 x0處有定義，且順f(x)(x)存在，xx0但 limf(x)#f(xlimf(x)#f(x0)。xx0兩類間斷點的判斷：1。第一類間斷點：特點：limlim_ _f(X)和1 1imim+ +f f(x)都存在。xx0 xx0可去間斷點：l叮1f(x)存在，但x,x0limf(x)f(x0),或f(x)在x0處無定義x-,x02。第二類間斷點：li

8、m_f(x)和1 1imim+ +f f(x)至少有一個為-xrxxxx0特點:或理。f(x)振蕩不存在函數在xo處連續的性質1.連續函數的四則運算:呵0f(x)Y(x):f(x。)一內。)limf(x)g(x)=f(x。)g(x。)xx0limf(x)f(x). .f(xf(x。)x,x0g(x)g(x。)三)函數在a,b上連續的性質無窮間斷點：limf(x)limf(x)和 gf(x)x.X0一x，X0至少有一個為OOf(x)1.最大值與最小值定理:f(x)f(x)f(x)在a,b上一定存在最大值與最小值。設xim0f(x)=f(x。),網0gKAEX。)limg(x)#0XTxoJ2.復

9、合函數的連續性:則:limf(x)=flimx.xox-xo(x)=f(x。)3.反函數的連續性:-Ma)有界定理:f(x)f(x)在a,b上連續二f(x)f(x)在a,ba,b上一定有界。3,介值定理:f(x)在a,b上連續在(a,b)(a,b)內至少存在一點巴，使得：fC)=c,推論:f(x)在a,b上連續，且f(a)與f(b)異號=在(a,b)內至少存在一點使得：f(t)=0b)初等函數的連續性:初等函數在其定域區間內都是連續的f(x)2.1 導數與微分一、主要內容導數的概念1.導數：y=f(x)在xo 的某個鄰域內有定義,f(x)-f(xo)右導數：門汽卜。xxo其內可導，且極限存在;

10、(或:f；(xo)=limf(x)xxo(六) .函數可導的必要條件：_rII1定理：f(x)在x xo處可導=f(x)在x xo處連續(七).函數可導的充要條件：定理：yx=o=f(x。) )存在=f1xo)=fxo),且存在。(八).導函數：y=f(x),x三( (a,b)f(x)在(a,b)內處處可導。f(x)(九).導數的幾yf(xo)是曲線一元函數微分學2.左導數:f(xo)=limxxo-f(X) )-f(xo)x-xo定理:f(x)在/的左(或右)鄰域上連續在則:f(xo)=limf(x)x-xo-iIM(xo,y。)處切線的斜率。求導法則1.基本求導公式:2 .導數的四則運算:

11、(u-v)=u-v(uv)=uvuv3 .復合函數的導數:(崇墨，或f(x):f(x)(x)注意f(x)與fx)的區別：f*(x)表示復合函數對自變量x求導;fd(x)表示復合函數對中間變量*(x)求導。4 .高階導數：f(x),f(x),或f(3)(x)函數的 n 階導數等于其 n-1 導數的導數。微分的概念1.微分：f(x)在X的某個鄰域內有定義,其中：A(x)與&X無關，o0 x)是比&X較高o(x)階的無窮小量，即：lim0 xx則稱y=f(x)在X處可微，記作:2 .導數與微分的等價關系:oX0uuv-uvvv2(v10)定理：f(x)在X處可微=f(x)在x處可導,

12、且：f(x)=A(x)3 .微分形式不變性：不論 u 是自變量，還是中間變量，函數的微分dy都具有相同的形式。4 2.2 中值定理及導數的應用一、主要內容中值定理1.羅爾定理：f(x)滿足條件：yf(。f(x)工一V-aobbxx,X1|1II2.拉格朗日定理：f(x)滿足條件:羅必塔法則：(0,-型未定式)0定理：f(x)和g(x)滿足條件：limf(x)=0(或。0)oxa1limg(x)=0(或。0)；xa2o在點 a 的某個鄰域內可導，且g(x)，0；30 x以裁hA，(或 8)則:limxa(二)f(x).g(x)limL)=A,x；a(:g(x)f()注意： 1o法則的意義： 把函

13、數之比的極限化成了它們導數之比的極限。1.0若不滿足法則的條件，不能使用法則。0即不是 7型或一型時，不可求導。02.0應用法則時，要分別對分子、分母求導，而不是對整個分式求導。3.0若 f(x)和 g(x)g(x)還滿足法則的條件，可以繼續使用法則，即：4.0若函數是00產-8 型可采用代數變,八.00-0一形，化成0或一型；若是1,0產型可0采用對數或指數變形，化成 2 2 或二型。0導數的應用1.切線方程和法線方程：設：y=f(x),M(X0,y0) )切線方程：y-y0=f( (X0)()(x-X0) )i法線方程：y-y0(x-X0),(f(x0) )=0)f(x。) )2 .曲線的

14、單調性：3 .函數的極值：極值的定義：設f f(x)在(a,b)內有定義，”是(為功內的一點；若對于 x0的某個鄰域內的任意點x*x0,都有：則稱f（xo）是f（x）的一個極大值（或極小值）稱x0為f（x）的極大值點（或極小值點）極值存在的必要條件：1o.f(x)存在極值f(x0)l0r,十4一定理：20f(xo)存在。Jf(%)=0Xo稱為f（x）的駐點極值存在的充分條件:定理一:當X漸增通過X0時，f（x*（+）變（-）;_X.則f（X0）為極大值；當X漸增通過X0時，f（x）由（-）變（+）;則f（%）為極小值。10f（%）=0;f（%）是極值；定理二.20.f*（x0）存在。廠x是極值

15、點。若f”（Xi,則f（x。）為極大值；若f f（“）0 0, ,則f（%）為極小值。注意：駐點不一定是極值點，極值點也不一定是駐點。4 .曲線的凹向及拐點：若f（x）0，xa,b）；則f（x）在（a a，b b）內是上凹的（或凹的），（U）;f“（X）0,Y（a,b）；則f f（x x）在（a a，b b）內是下凹的（或凸的），），（A A）；5。曲線的漸近線：水平漸近線:鉛直漸近線:第三章一元函數積分學(1)不定積分一、主要內容重要的概念及性質：(9).原函數：設：f( (x) )，F( (x) )，ID若：F(x)=f(x)則稱F F( (x) )是f( (x) )的一個原函數，并稱F(

16、x)+C是f(x)的所有原函數，其中 C 是任意常數。(10).不定積分：函數f(x)的所有原函數的全體，稱為函數f(x)f(x)的不定積分；記作：其中：f(x)稱為被積函數；f(x)dx稱為被積表達式；x稱為積分變量。(11).不定積分的性質：(16)-f(x)dx=f(x)或：d1f(x)dx1f(x)dxf(x)dx=f(x)C或：df(x)=f(x)Cfi(x)f2(x)fn(x)dx一分項積分法kf(x)dx=kIf(x)dx(k 為非零常數)(12).基本積分公式：換元積分法：1.第一換元法：(又稱“湊微元”法)常用的湊微元函數有：1odx=1d(ax)=1d(ax+b)(a,b為

17、常數，a=0)aa2oxmdx=dxm+1=-d(axm5+b)(m為常數)m1a(m1)3oexdx=d(ex)=1d(aex+b)ac14odxd(lnx)x5osindx二d(cosx)cosxdx=d(sinx),J/I16odx=d(arcsinx)-d(arccosx)(2)-x2(3).第二換元法：第二換元法主要是針對含有根式的被積函數，其作用是將根式有理化。一般有以下幾種代換：1ox=tn,n為偶數時,t0(當被積函數中有 ux 時)2ox=asint,(或 x=acosx),0Mtw:(當被積函數中有 Ja2-x2時)3ox=atant,(或x=acott),0-t7,(0t

18、-7)(當被積函數中有 Ja2+x2時)4ox=asect,(或x=acsct),0-tf,(0t-y)(當被積函數中有 Jx2a2時)分部積分法：(5).分部積分公式：(6).分部積分法主要針對的類型：3P(x)sinxdx,P(x)cosxdxP(x)exdxP(x)arcsinxdx,P(x)arccosxdxeaxsinbxdx,eaxcosbxdx其中：P(x)=a0 xn+aixn+an(多項式)(7).選 u 規律：在三角函數乘多項式中，令P(x)=u,其余記作 dv;簡稱“三多選多”。在指數函數乘多項式中，令P(x)=u,其余記作 dv;簡稱“指多選多”。在多項式乘對數函數中，

19、令 lnx=ulnx=u, ,其余記作 dv;簡稱“多對選對”。在多項式乘反三角函數中，選反三角函數為 u,其余記作 dv;簡稱“多反選反”。在指數函數乘三角函數中，可任選一函數為 u,其余記作 dv;簡稱“指三任選”。簡單有理函數積分：P(x)1.有理函數：f(x)=-Q(x)其中 P(x)P(x)和 Q(x)Q(x)是多項式。2,簡單有理函數:f(x)=P(x)1xf(x)=P(x)1x2f(x)二P(x)(xa)(xb)f(x)=P(x)(xa)2b3.2f(x)一.主要內容(一).重要概念與性質1,定積分的定義:Xi-i由 Xn-ibx定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾

20、何意義：是介于 x 軸，曲線 y=f(x),直線x=a,x=b 之間各部分面積的代數和。x 軸上方的面積 iIyx 軸下方的面積+a0-bx2,定積分存在定理:若：f(x)滿足下列條件之一若積分存在，則積分值與以下因素無關:(6) .牛頓一一萊布尼茲公式：牛頓一一萊布尼茲公式是積分學中的核心定理，其作用是將一個求曲邊面積值的問題轉化為尋找原函數及計算差量的問題。(7) .原函數存在定理：(8) .定積分的性質：（二）小積分的計算：i;(9) .換元積分(10) .分部積分(11) .廣義積分(12) .定積分的導數公式（三）定積分的應用1.平面圖形的面積：與 x 軸所圍成的圖形的面積 y1.求

21、出曲線的交點，畫出草圖；2.確定積分變量，由交點確定積分上下限；3.應用公式寫出積分式，并進行計算。2 .旋轉體的體積及 x 軸所圍圖形繞 x 軸旋轉所得旋轉體的體積：J0.廠bx_y及 y 軸所圍成圖形繞 y 軸旋轉所得旋轉體的體積：,3 一Ii-JI1-第四章多元函數微積分初步.II/,1，偏導數與全微分一.主要內容：.多元函數的概念c)二元函數的定義：d)二元函數的幾何意義：二元函數是一個空間曲面。(而一元函數是平面上的曲線).二元函數的極限和連續：.極限定義：設 z=f(x,y)滿足條件：.連續定義：設 z=f(x,y)滿足條件：.偏導數：.全微分：.定義:z=f(x,y)是工=f(X

22、,y)在點(x,y)處的全微分。.全微分與偏導數的關系f(x).復全函數的偏導數:.設：z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y).設丫=f(U,V) ),U=U( (X) ),V=V( (X) ).隱含數的偏導數：.設F(x,y,z)=0,z=f(x,y),且Fz#0.設F(x,y)=0,y=f(x)，且Fy#0.二階偏導數：.二元函數的無條件極值.二元函數極值定義：-極大值和極小值統稱為極值，xxJ7極大值點和極小值點統稱為極值點。.極值的必要條件：兩個一階偏導數存在，則：1使fx(x0,y0)=f；(x0,y0)=0的點(x0,yO),而非充分條件。22.例：z=y-x1%I-

23、I駐點不一定是極值點。e)極值的充分條件：求二元極值的方法：極值點。二倍角公式：(含萬能公式)-一.9+H6sin2=2sinccos-=吟-tgJ)，2.2.一2._2.1-tg二cos21-cos二-sin二-2cos-1=1-2sin1二2-1tgl第五章排列與組合(1)加法原理：完成一件事情與分類有關，即每一類各自獨立完成，此事即可完成。(2)乘法原理：完成一件事情與步驟有關，即一次完成每一步驟，此事才能完.1I.成。i排列：從 n 個不同元素里，任取(1mn)個元素，按照一定的順序排列成一I.j./；列，稱為從 n 個不同元素里取出 m 個元素的一個排列，計算公式：，品./一,.一(

24、1MmMn)/,.,/一組合：從 n 個不同元素里，任取(lmn)個元素組成一組，叫做從 n 個不同mnC或()元素里取出 m 個元素的一個組合，組合總數記為nn,計算公式:第六章概率論符號概率論集合論樣本空間全集1r11X.%F/不可能事件空集基本事件集合的元素A事件子集二上丑堂1tg2u2cos211cos2A 的對立事件A 的余集事件 A 發生導致A 是 B 的事件 B 發生子集A=BA 與 B 兩事件相等集合 A 與B 相等事件 A 與事件 B至少有一個發生A 與 B 的并集事件 A 與事件 B 同時發生A 與 B 的交集A-B事件 A 發生而事件B 不發生A 與 B 的差集事件 A

25、與事件 B 互產1不相容11A 與 B 沒有相同元素由于隨機事件都可以用樣本空間 Q 中的某個集合來表示，于是事件間的關系和運算就可以用集合論的知識來討論和表示，為了直觀，可以用集合的韋恩圖來表示LI-I事件的各種關系和運算法則，一般用某個矩形區域表示樣本空間，該區域的一個子區域表示某個事件。于是各事件的關系運算如圖中的圖示所示。各事件的關系運算如圖示：9,完備事件組n 個事件 4 出,4,如果滿足下列條件：4U&UU*G；(2)4 口 4=中1/=1，入川，則稱其為完備事件組。顯然任何一個事件 A 與其對立事件月構成完備事件組10.事件運算的運算規則：(1)交換律月凡，總(2)結合律

26、 SUqU-rUtEg(3)分配律切 nc“nGU(Enc)(4)對偶律(二國=皿及可 R=率的古典定義定義：在古典概型中，若樣本空間所包含的基本事件總數為 n,事件 A 包河月)=竺1含的基本事件數為 m,則事件 A 發生的概率為理。概率的基本性質與運算法則111I性質 1.0P(A)I特別地，P()=0,P(Q)=1力./I、Z/1/Z；J產性質 2.若,則 P(B-A)=P(B)-P(A)性質 3.(加法公式).對任意事件 A,B,有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。推論 1.若事件 A,B 互不相容(互斥)，則 P(A+B)=P(A)+P(B)推論 2.對任一事件 A,有

27、嗝P推論 3.對任意事件 A,B,C,有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)%.FI條件概率、乘法公式、事件的獨立性條件概率定義 1:設有事件 A,B,且 P(B)0,稱類似地，如果 P(A)0,則事件 B 對事件 A 的條件概率為概率的乘法公式乘法公式可推廣到有限多個事件的情況，例如對事件 A,B,C,有事件的獨立性一般地說，P(A|B)?P(A),即說明事件 B 的發生影響了事件 A 發生的概率。若P(A|B)?P(A),則說明事件 B 的發生在概率意義下對事件 A 的發生無關，這時稱事件 A,B 相互獨立。定義：對于事件 A,B

28、,若 P(AB)=P(A)P(B),則稱事件 A 與事件 B 相互獨立。獨立試驗序列概型在相同的條件下，獨立重復進行 n 次試驗，每次試驗中事件 A 可能發生或可能不發生，且事件 A 發生的概率為 p,則在 n 次試驗中事件 A 恰好發生 k 次的概率為一維隨機變量及其概率分布J/,I1(一)隨機變量.隨機變量定義：設 Q 為樣本空間，如果對每一個可能結果口，變量 X 都有一個確定的實數值/叮)與之對應，則稱 X 為定義在 Q 上的隨機變量，簡記作乂(或彳)。.離散型隨機變量定義： 如果隨機變量 X 只能取有限個或無限可列個數值， 則稱 X 為離散型隨機變量。(二)分布函數與概率分布布函數定義

29、：設 X 是一個隨機變量，x 是任意實數，則函數四工”戶(工幻(S3稱為隨機變量 X 的分布函數。分布函數 F(x)有以下性質：F(x)是 x 的不減函數，即對任意可沁有網砧*網肛)口飛)躍工+0”15小)F(x)是右連續的，即 e(5)對任意實數 ab,有 PaXwb=F(b)-F(a)2,離散型隨機變量的概率分布則稱上式為離散型隨機變量 X 的概率分布(或概率函數或分布列)。離散型隨機變量 X 的概率分布也可以用下列列表形式來表示：3.分布函數與概率分布之間的關系尸兀”名網若 X 為離散型隨機變量，則。I.產隨機變量的數字特征1.數學期望i!i,(1)數學期望的概念1定義：設 X 為離散型

30、隨機變量，其概率函數為)J“力./IIJ產若級數絕對收斂，則稱為 X 的數學期望，簡稱期望或均值，記作 EX,即(2)數學期望的性質若 C 為常數，則 E(C)=C若 a 為常數,則 E(aX)=aE(X)若 b 為常數，則 E(X+b)=E(X)+b若 X,Y 為隨機變量，則 E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.方差(1)方差的概念定義：設 X 為隨機變量，如果趴X2存在，則稱取 X-甌為 X 的方差,記作 DX,即如方差的算術平方根稱為均方差或標準差，,X1一、二丁丁對于離散型隨機變量 X,如果 X 的概率函數為=/=3=12E,則 X 的方差為 X(2)方差的性質若 C 為常數，則 D(

31、C)=0若 a 為常數,則次瓦一)=.以若 b 為常數，則 D(X+b)=D(X),；11/、.基本公式,i111。由ab=N(1)b-logaN(2)(1)對數的性質：,：I-1/I負數和零沒有對數；1 的對數是零；底數的對數等于 1。(2)對數的運算法則：loga(MN)=logaM+logaN(M,N三R+)小MlogaN=logaM-logaNM,NRloga(Nn)=nlogaN(NWR+)loga%N=1logaNNRe+)nII3、對數換底公式：由換底公式推出一些常用的結論：lo9ab=或logablogba=110gbaloganbm=mlogabnloganbn=logabl

32、oganam=m三角函數的單調區間:x的遞增區間是|2kn:-,2kir+1(kZ)一22遞減區間是叫囁加十幻);y=cosx的遞增區間是2knn,2kn(k運Z),遞減區間是2k二,2k二二1(kZ),y=tanx的遞增區間是kn,kn+三(kwZ),Q,a?1)(6)(ex)=ex為雨】(8)x_gXJ|vU(sinx)=cosx(1。)(cosx)=sinx-L=sec3xCcotr)=-L-esc3x(11)(12)77(arcain)(15)(13)(secx)=secx(arccosx)三三tanx(14)(cscx)=cscxcotx(國xtsn1=/(3tCcotx)=一門(1

33、8)K數的四則運算法則設 u=u(x),v=v(X)均為 X 的可導函數，則有(1)(u 士 v)=u土 v(uv)=u-v+u-v(cu)=c-u(uv-w)=uvw+uvw+uv-w.復合函數求導法則如果 u=(|)(x)在點 x 處可導，而 y=f(u)在相應的點 u=(|)(x)處可導，則%，I./復合函數 y=fx0在點 x 處可導，且其導數為I!八同理，如果 y=f(u),u=“)，v=少僅)，則復合函數 y=f(x0)的導ii|i,數為.反函數求導法則力./I、Z/1/Z；J產如果 x=(|)(y)為單調可導函數，則其反函數 y=f(x)的導數17、微分的計算dy=f，(x)dx

34、求微分 dy 只要求出導數 f(x)再乘以 x,所以我們前面學過的求導基本公式與求導法則完全適用于微分的計算。于是有下列的微分公式及微分法則：(1)d(c)=0(c 為常數)(2)取/)=產以(口為任意實數)d(ex)=exdxd(sinx)=cosxdxd(cosx)=-sinxdx)d(cu)=cdu18、微分形式不變性設函數 y=f(u),則不論 u 是自變量還是中間變量，函數的微分 dy 總可表示為uv-uV(v*0)dy=f，(u)du19、常用的湊微分公式:dr=d(ax+b)fdr2x+l=J-d(2x+1)22x+l=i-ln12H+1+Cfax+b)dx=f(ax-b)a(ax+b)a=d(ax2+b)j=dx=2d而la,W“-，3,團=一及0)secxdx=