1、直梁的彎曲7.1 梁的類型及計算簡圖7.1.1 直梁平面彎曲的概念Concepts彎曲變形：桿件在垂直于其軸線的載荷作用下，使原為直線的軸線變為曲線的變形。梁Beam以彎曲變形為主的直桿稱為直梁，簡稱梁。彎曲 bending平面彎曲 plane bending所有外力部作用在縱向對稱向內 梁軸線蟲口線變為平面曲銭，發朱平血彎用I7.1.2 梁的計算簡圖載荷：1 集中力 concentrated loads2 集中力偶force-couple3 分布載荷distributed loadsf q M()-m In bFa-T7.1.3 梁的類型(1)簡支梁 simple supported bea

2、m上圖夕卜伸梁 overhanging beam和彎矩 bending moment7.2.1 梁彎曲時橫截面上的內力剪力shearing force問題:任截面處有何內力?該內力正負如何規定?例7 - 1圖示的懸臂梁 AB ,長為丨，受均布載荷 q的作用，求梁各橫截面上的內力inkII1II1IlliBI 4求內力的方法一一截面法截面法的核心一一截開、代替、平衡內力與外力平衡解：為了顯示任一橫截面上的內力，假想在距梁的左端為x處沿m-m 截面將梁切開梁發生彎曲變形時，橫截面上同時存在著兩種內力 剪力一一作用線切于截面、通過截面形心并在縱向對稱面內彎矩一一位于縱向對稱面內。剪切彎曲一一橫截面上

3、既有剪力又有彎矩的彎曲純彎曲一一梁的橫截面上只有彎矩而沒有剪力。工程上一般梁跨度L與橫截面高度 h之比L/h > 5，其剪力對強度和剛度的影響很小，可忽略不計,故只需考慮彎矩的影響而近似地作為純彎曲處理。規定：使梁彎曲成上凹下凸的形狀時，那么彎矩為正；反之使梁彎曲成下凹上凸形狀時，彎矩為負7.2.2 彎矩圖 bending moment diagrams彎矩圖：以與梁軸線平行的坐標 x表示橫截面位置，縱坐標 y按一定比例表示各截面上相應彎矩的大小。例7 2 試作出例7 - 1中懸臂梁的彎矩圖。解(1)建立彎矩方程 由例7 1知彎矩方程為1 tM -qx0 < -v< /(2

4、)畫彎矩圖彎矩方程為一元二次方程，其圖象為拋物線。求出其極值點相連便可近似作出其彎矩圖。x = 0M = 01 2X = ZM ql二?1 ,x= -M = 一qt22尹例7 3 圖示的簡支梁 AB，在C點處受到集中力 F作用，尺寸a、b和丨均為，試作出梁的彎矩圖LA/1 = 0F-F口 = QLA僉=0Fb-FA/ = 0(2 )建立彎矩方程上例中梁受連續均布載荷作用， 各橫截面上的彎矩為 x的一個連續函數，故彎矩可用一個方程來表達，而本例在梁的 C點處有集中力F作用，所以梁應分成 AC和BC兩段分別建立彎矩方程。0<Xj <a 皿=昭=珥a <X<1 M-巧勺 +

5、鞏.勺一 口)二 0M - Fax> - F(x2 -a) = Fx2 - Fx: +aF = - Fx + aF例7 4 圖示的簡支梁 AB，在C點處受到集中力偶 M 0作用，尺寸 a、 b和丨均為，試作出梁的 彎矩圖。解1求約束反力2 建立彎矩方程 由于梁在C點處有集中力偶 M作用，所以梁應分 AC和BC兩段分別建立彎矩方程。ac段M -巧旺二西日匚段 M = Afg F2 策？0 << aa<x7<l3 畫彎矩圖兩個彎矩方程均為直線方程= 0M = 0&= a= A/q兀2 = I2M = 00總結上面例題，可以得到作彎矩圖的幾點規律：1梁受集中力或

6、集中力偶作用時，彎矩圖為直線，并且在集中力作用處，彎矩發生轉折；在集中力偶作用處, 彎矩發生突變，突變量為集中力偶的大小。(2)梁受到均布載荷作用時，彎矩圖為拋物線，且拋物線的開口方向與均布載荷的方向一致。(3 )梁的兩端點假設無集中力偶作用，那么端點處的彎矩為0 ;假設有集中力偶作用時，那么彎矩為集中力偶的大小。7.3梁純彎曲時的強度條件731 梁純彎曲(pure bending )的概念 Concepts純彎曲一一梁的橫截面上只有彎矩而沒有剪力。Q = 0 ，M =常數。7.3.2 梁純彎曲時橫截面上的正應力Normal Stresses in Beams1 .梁純彎曲時的 變形特點 Ge

7、ometry of Deformation:平面假設:1變形前為平面變形后仍為平面2始終垂直與軸線中性層 Neutral Surface:既不縮短也不伸長不受壓不受拉。中性層是梁上拉伸區與壓縮區的分界面。中性軸Neutral Axis:中性層與橫截面的交線。變形時橫截面是繞中性軸旋轉的。2梁純彎曲時橫截面上正應力的分布規律純彎曲時梁橫截面上只有正應力而無切應力由于梁橫截面保持平面，所以沿橫截面高度方向縱向纖維從縮短到伸長是線性變化的，因此橫截面上的正應 力沿橫截面高度方向也是線性分布的。以中性軸為界，凹邊是壓應力，使梁縮短，凸邊是拉應力，使梁伸長，橫截面上同一高度各點的正應力相等，距 中性軸最

8、遠點有最大拉應力和最大壓應力，中性軸上各點正應力為零。3 梁純彎曲時正應力計算公式在彈性范圍內，經推導可得梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應力為式中，M 為作用在該截面上的彎矩Nmm ； y為計算點到中性軸的距離mm ； I z Moment of Areaabout Z-axis為橫截面對中性軸 z的慣性矩mm 4 。在中性軸上 y = 0 ，所以 s = 0 ；當 y = y max 時，s = s max 。最大正應力產生在離中性軸最遠的邊緣處，Wz橫截面對中性軸 z的抗彎截面模量mm 3 計算時，M和y均以絕對值代入，至于彎曲正應力是拉應力還是壓應力，那么由欲求應力的點處于受拉側還是 受

9、壓側來判斷。受拉側的彎曲正應力為正，受壓側的為負。彎曲正應力計算式雖然是在純彎曲的情況下導出的，但對于剪切彎曲的梁，只要其跨度 L與橫截面高度比L/h > 5，仍可運用這些公式計算彎曲正應力。7.3.3 慣性矩和抗彎截面模量簡單截面的慣性矩和抗彎截面模量計算公式駕 0.05D1石)d a D眄二眄二亠(1z 32“uy【i/)(ia =D7. 3.4梁純彎曲時的強度條件對于等截面梁，彎矩最大的截面就是危險截面，其上、下邊緣各點的彎曲正應力即為最大工作應力，具有最大工 作應力的點一般稱為危險點。梁的彎曲強度條件是：梁內危險點的工作應力不超過材料的許用應力運用梁的彎曲強度條件，可對梁進行強度

10、校核、設計截面和確定許可載荷。例7-6在例了一呂中的簡支樂，假設選用C-"加和川的空心國死 截面鋼制造*己.知梁的蹲展Un fl-JjWf戻2刖，臬中轂荷F-25iN許 州正應mpWMPe 不計梁的自重，試校核該梁的強險解1確定咼人彎矩據例T 撿鈦旳最犬彎矩為1 1QJ 2xlO53価25 > 10V-/iw = 1.667xl0 mm確定抗駕裁閆理量3校核強度L667X1018 7a10j< rr | = 200A侃2所虬該毘強度足夠7.4提高梁強度的主要措施提高梁強度的主要措施是:1 降低彎矩M的數值2增大抗彎截面模量W z的數值7.4.1 降低最大彎矩 M max數值的措施1 .合理安排梁的支承2 .合理布置載荷7.4.2合理選擇梁的截面1 .形狀和面積相同的截面，采用不同的放置方式，那么Wz值可能不相同2 .面積相等而形狀不同的截面，其抗彎截面模量Wz值不相同3.截面形狀應與材料特性相適應