1、第二章2.42.4.2第2課時 A級基礎鞏固一、選擇題1拋物線yx2的焦點關于直線xy10的對稱點的坐標是(A)A(2，1)B(1，1)C(，) D(，)解析yx2x24y，焦點為(0,1)，其關于xy10的對稱點為(2，1)2過拋物線y24x的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，O為坐標原點，則·的值是(D)A12B12C3D3解析設A(，y1)、B(，y2)，則(，y1)，(，y2)，則·(，y1)·(，y2)y1y2，又AB過焦點，則有y1y2p24，·y1y243，故選D3過拋物線y24x的焦點，作一條直線與拋物線交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于

2、5，則這樣的直線(B)A有且僅有一條 B有且僅有兩條C有無窮多條 D不存在解析由定義|AB|527，|AB|min4，這樣的直線有兩條4已知拋物線x22py(p>0)的焦點為F，過F作傾斜角為30°的直線，與拋物線交于A，B兩點，若(0,1)，則(C)A B C D解析因為拋物線的焦點為(0，)，直線方程為yx，與拋物線方程聯立得x2pxp20，解方程得xAp，xBp，所以.故選C5已知AB是過拋物線2x2y的焦點的弦，若|AB|4，則AB的中點的縱坐標是(D)A1 B2 C D解析如圖所示，設AB的中點為P(x0，y0)，分別過A，P，B三點作準線l的垂線，垂足分別為A，Q，

3、B，由題意得|AA|BB|AB|4，|PQ|2，又|PQ|y0，y02，y06設F為拋物線y24x的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，若0，則|等于(B)A9 B6 C4 D3解析設A、B、C三點坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)由題意知F(1,0)，因為0，所以x1x2x33.根據拋物線定義，有|x11x21x31336.故選B 二、填空題7頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線，截直線2xy10所得弦長為，則拋物線方程為_y212x或y24x_.解析設所求拋物線方程為y2ax(a0)直線變形為y2x1設拋物線截直線所得弦長為d消y得(2x1)2ax整理得4x2(4a)x10

4、d解得a12或a4所求拋物線方程為y212x或y24x8已知點F為拋物線y28x的焦點，O為原點，點P是拋物線準線上一動點，A在拋物線上，且|AF|4，則|PA|PO|的最小值是_2_.解析由|AF|4及拋物線定義得A到準線的距離為4A點橫坐標為2，A(2,4). 又原點關于準線的對稱點的坐標為B(4,0)，所以|PA|PO|的最小值為：|AB|2三、解答題9已知點C的坐標為(4,0)，A，B是拋物線y24x上不同于原點O的相異的兩個動點，且OAOB(1)求證：點A，B，C共線；(2)若(R)，當·0時，求動點Q的軌跡方程解析(1)證明：設直線AB方程為xmyb，A(x1，y1)，B

5、(x2，y2)，將直線AB方程代入拋物線方程y24x，得y24my4b0，則y1y24m，y1y24b，OAOB，kOA·kOB1，b4于是直線AB方程為xmy4，該直線過定點(4,0)，即點A，B，C共線；(2)由題意，Q是直角三角形AOB斜邊上的垂足，CQO90°設Q(x，y)，則(x，y)，(x4，y)，x(x4)y20，即(x2)2y24(x0)10已知拋物線y2x與直線yk(x1)相交于A，B兩點.(1)求證：OAOB；(2)當OAB的面積等于時，求k的值解析(1)如圖所示，由，消去x得，ky2yk0設A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根與系數的關系得y1&#

6、183;y21，y1y2A、B在拋物線y2x上，yx1，yx2，y·yx1x2kOA·kOB·1，OAOB(2)設直線與x軸交于點N，顯然k0令y0，得x1，即N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|·|y1y2|，SOAB·1·SOAB，解得k±B級素養提升一、選擇題1已知拋物線y24x的焦點為F，過焦點F的直線與拋物線交于點A(x1，y1)、B(x2，y2)，則yy的最小值為(C)A4 B6 C8 D10解析當直線的斜率不存在時，其方程為x1，y4，y4，yy8當直線的斜率存在時，設其方程為y

7、k(x1)(k0)，由，得ky24y4k0，y1y2，y1y24，yy(y1y2)22y1y28，k2>0，yy>8，綜上可知，yy8，故yy的最小值為82已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為(D)A B C D解析由題意知，準線方程為x2，p4，拋物線方程：y28x，焦點坐標(2,0)設過A點的直線為yk(x2)3聯立化簡得y2y1604(16)0，k，k2(舍去)將k代入方程，y8，x8B點坐標為(8,8)kBF3(2019·四川理，8)設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y22p

8、x(p>0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|2|MF|，則直線OM斜率的最大值為(C)A B C D1解析設P(，t)，易知F(，0)，則由|PM|2|MF|，得M(，)，當t0時，直線OM的斜率k0，當t0時，直線OM的斜率k，所以|k|，當且僅當時取等號，于是直線OM的斜率的最大值為，故選C4(2019·全國卷理，8)設拋物線C：y24x的焦點為F，過點(2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則·(D)A5 B6 C7 D8解析由題意知直線MN的方程為 y(x2)，聯立直線與拋物線的方程，得解得或不妨設M為(1,2)，N為(4,4)又 拋物線焦點為F

9、(1,0)， (0,2)，(3,4) ·0×32×48故選D二、填空題5已知F是拋物線y24x的焦點，M是這條拋物線上的一個動點，P(3,1)是一個定點，則|MP|MF|的最小值是_4_.解析過P作垂直于準線的直線，垂足為N，交拋物線于M，則|MP|MF|MP|MN|PN|4為所求最小值6(江西九江一中20192019期末)設圓x2(yb)24的切線l與拋物線x22y相交于A，B兩點，且切點為線段AB的中點若這樣的直線l恰有2條，則b的取值范圍是_(2，_.解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)切點C(x0，y0)，AB斜率為k，則x1x22×，即2x

10、02k，若x0k0，b>2時，有兩條直線，符合題意，b2時，有一條直線符合題意，若x0k0，則，y0b1代入圓方程可得，x3，若(x0，y0)在拋物線內，則共有4條直線符合題意，(x0，y0)在拋物線上或在拋物線外，32(b1)，即b，b的取值范圍是(2，故答案為(2，三、解答題7(2019·安徽黃山市高二期末)已知曲線C上的任意一點M到點F(1,0)的距離與到直線x1的距離相等，直線l過點A(1,1)，且與C交于P，Q兩點.(1)求曲線C的方程；(2)若A為PQ中點，求三角形OPQ的面積解析(1)設曲線上任意一點M(x，y)，由拋物線定義可知，曲線是以點F(1,0)為焦點，直

11、線x1為準線的拋物線，所以曲線的方程為y24x(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y4x1，y4x2，所以yy(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，因為A為PQ中點，所以y1y22，所以直線l的斜率為kPQ2，所以直線方程為y12(x1)，即y2x1，此時直線l與拋物線相交于兩點設T為l與x軸交點，則|OT|，由消去x得y22y20，所以y1y22，y1y22，所以三角形OPQ的面積為S|OT|y1y2|8(2019·安徽師大附中高二期末)已知拋物線C：y22px(p>0)過點A(1，2).(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；(2)是否存在平行于OA(O為坐標原

12、點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由解析(1)將(1，2)代入y22px，得(2)22p·1，p2故所求的拋物線C的方程為y24x，其準線方程為x1(2)假設存在符合題意的直線l，其方程為y2xt由消去x得y22y2t0因為直線l與拋物線C有公共點，所以48t0，解得t另一方面，由直線OA與l的距離d，可得，解得t±1綜上知：t1所以符合題意的直線l存在，其方程為2xy10C級能力拔高(2019·福建八縣一中高二期末)已知點P在拋物線x2y上運動，過點P作y軸的垂線段PD，垂足為D動點M(x，y)滿足2，設點M的軌跡為曲線C(1)求曲線C的方程；(2)設直線l：y1，若經過點F(0,1)的直線與曲線C相交于A、B兩點，過點A、B分別作直線l的垂線，垂足分別為A1、B1，試判斷直線A1F與B1F的位置關系，并證明你的結論解析(1)設P(x0，y0)，由2知