1、V 求函數定義域、值域方法和典型題歸納一、基礎知識整合1函數的定義：設集合A和B是非空數集，按照某一確定的對應關系f,使得集合A中任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)與之對應。 則稱f:為A到B的一個函數。2由定義可知：確定一個函數的主要因素是確定的對應關系(f),集合A的取值范圍。由這兩個條件就決定了 f(x)的取值范圍y|y=f(x),x A。3.定義域：由于定義域是決定函數的重要因素，所以必須明白定義域指的 是：(1) 自變量放在一起構成的集合，成為定義域。(2) 數學表示：注意一定是用集合表示的范圍才能是定義域，特殊的一個個的數時用“列舉法”；一般表示范圍時用集合的“描述法

2、”或“區間” 來表示。4值域：是由定義域和對應關系( f )共同作用的結果，是個被動變量， 所以求值域時一定注意求的是定義域范圍內的函數值的范圍。(1)明白值域是在定義域 A內求出函數值構成的集合：y|y=f(x),x A。(2 )明白定義中集合 B是包括值域，但是值域不一定為集合B。二、求函數定義域(一)求函數定義域的情形和方法總結1已知函數解析式時：只需要使得函數表達式中的所有式子有意義。(1)常見要是滿足有意義的情況簡總： 表達式中出現分式時：分母一定滿足不為 0; 表達式中出現根號時：開奇次方時，根號下可以為任意實數；開偶次方時，根號下滿足大于或等于0 (非負數)。 表達式中出現指數時

3、：當指數為0時，底數一定不能為 0. 根號與分式結合，根號開偶次方在分母上時：根號下大于0. 表達式中出現指數函數形式時：底數和指數都含有 x,必須滿足指數底數大于0且不等于1. ( 0底數1;底數1) 表達式中出現對數函數形式時：自變量只出現在真數上時，只需滿足真數上所有式子大于 0，且式子本身有意義即可；自變量同時出現在底數和 真數上時，要同時滿足真數大于0,底數要大于0且不等于1.(f (X) =log X(x -1)注：(1)出現任何情形都是要注意，讓所有的式子同時有意義，及最后求的是所有式子解集的交集。(2)求定義域時，盡量不要對函數解析式進行變形，以免發生變化。(形2如：f (X

4、)二 x )X2. 抽象函數(沒有解析式的函數)解題的方法精髓是“換元法”，根據換元的思想，我們進行將括號為整 體的換元思路解題，所以關鍵在于求括號整體的取值范圍。總結為：(1 )給出了定義域就是給出了所給式子中x的取值范圍；(2) 在同一個題中x不是同一個x ；(3) 只要對應關系f不變，括號的取值范圍不變。(4) 求抽象函數的定義域個關鍵在于求f(x)的取值范圍，及括號的取值范 圍。例1 :已知f(x+1)的定義域為-1,1，求f (2x-1 )的定義域。解：/ f(x+1)的定義域為-1,1;(及其中x的取值范圍是-1,1) 0 _x 7 _2 ;(x+1的取值范圍就是括號的取值范圍)

5、f(x)的定義域為0,2 ; (f不變，括號的取值范圍不變) f(2x-1)中0乞2x 1乞21 3-x < -2 2f13 I f(2x-1)的定義域為x | -一豈x乞一I22 J3. 復合函數定義域復合函數形如：y = f (g(x),理解復合函數就是可以看作由幾個我們熟悉的函數組成的函數，或是可以看作幾個函數組成一個新的函數形式。例2：若函數 f (x)的定義域為(-2,3), g(x) =f(x 1) f (x - 2),求g(x)的定義域分析：由題目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三個函數復合起來 的新函數。此時做加運算，所以只要求出 f(x+1)和f

6、(x-2)的定義域，再根 據求函數定義域要所有式子同時滿足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定義域的交集即可。解：由f(x)的定義域為(-2,3 ),貝Uf(x+1)的定義域為(-3,2 ), f(x-2)的定義域為(0,4 );一3 ： x : 2，解得0<x<20 : x : 4所以，g(x)的定義域為(0,2 )3(二)求定義域的典型題1.已知函數解析式(1)求下列函數的定義域 f(X)=x 4 二;(2) f (x) = (x 1)0x +321x -1；(3) f (x):. x 23x -1x 半211 f(x)=(x1)已(5) f(x) =log(2x)(x

7、)； (6) f (x)=42 _ xX2 一 1.(2)求下列函數的定義域Jlg( x +2)J1 - 2x(1)f (x)；(2) f (x)1x -2x -1x -1 f (x) ：；(4) f (x)1 - log 1 x721丁6 _x _x?(3)與函數定義域有關的問題題若函數f(x) 口2 2x (2 m 1) x m的定義域為R,求實數m的取值范圍。 函數y = . kx '2kx k 6的定義域為 R求k的取值范圍。 函數f (x) = mx 2 -6 mx m 8的定義域為 R,求m的取值范圍。2. 求抽象數定義域1 若函數f(x)的定義域為(-2,6 )，求f(x

8、1)的定義域。2f (2 x) 若數f (x)的定義域為0,2, 求函數g(x)的定義域。x 11 若數f(x1)的定義域為-1,2, 求函數g (x)= f (x + 2)+ F的J3x +7定義域。1 若函數 f(x)的定義域為0,1, g (x) = f (x+a) + f (x a), ( a 蘭一)， 求函數g(x)的定義域。 若 f (x) = log a (x g (x) = log a (1 - x) , (a 0,且 a 屮1)，令F (x) =f(x)-g(x), 求 F (x)的定義域。二、求函數值域(一)求函數值域方法和情形總結1. 直接觀察法(利用函數圖象)一般用于給

9、出圖象或是常見的函數的情形，根據圖象來看出y值的取值范圍。2. 配方法適用于二次函數型或是可以化解成二次函數型的函數，此時注意對稱軸的位置，在定義域范圍內(以 a<0為例)，此時對稱軸的地方為最大值，定 義域為內端點離對稱軸最遠的端點處有最小值；對稱軸在定義域的兩邊則根據單調性來求值域。總結為三個要點：(1)含參數的二次型函數，首先判斷是否為二次型，即討論a；(2)a不為0時，討論開口方向；(3)注意區間，即討論對稱軸。例1 ：求f (x) =x2 -4x 6在1,5 上的值域.解：配方： f (x) =(x -2)22f(x)的對稱軸為x=2在1,5中間ymin f (2) 2(端點5

10、離x=2距離較遠，此時為最大值)max = f (5) =11所以，f(x)的值域為2,11.3. 分式型(1) 分離常量法： 應用于分式型的函數，并且是自變量x的次數為1,或是可以看作整體為 1的函數。具體操作：先將分母搬到分子的位子上去，觀察與原分子的區別，不夠什么就給什么，化為dy 二 abx +c55x 1例2:求f (x)二1的值域.4x +2解:5x -1f(x)A5 (4 x 2)410-1 -44x 242(4 x 2)#5由于分母不可能為 0，則意思就是函數值不可能取到 -,45 即：函數f(x)的值域為y I y = .4跟蹤練習：已知f (x) = ax 2 - 4( a

11、 1) x - 3( x三0, 2 )在x=2處有最大值，(2) 利用x2 _0來求函數值域： 適用于函數表達式為分式形式，并且只出現x2形式，此時由于為平方形式大多時候x可以取到任意實數，顯然用分離常量法是行不通，只有另想它法(有界變量法)2例3 :求函數二1的值域.X2 +2解：由于x22不等于0,可將原式化為2 2yx 2 y = 3x 1即(y-3)x 二1-2y (由于 x 0 )只需y =3 ,則有2 一1 一 2 yx0(y-3)(-1-2y)_0y - 3所以，函數值域(3)方程根的判別式法:適用于分式形式,其中既出現變量x又出現混合，此時不能化為分離常量，也不能利用上述方法。

12、對于其中定義域為R的情形，可以使用根的判別式法。2 x例4：求函數3 =一2的值域x +1解：由于函數的定義域為 R,即x2 7 = 0, 2原式可化為 yx 2x y =0（由于x可以取到任意的實數，那么也就說總有一個x會使得上述方程有實數根，即方程有根那么判別式大于或等于0，注：這里只考慮有無根，并不考慮根為多少）2所以，厶=4 4 y 亠0所以，函數值域為 y ：= I 1,1 跟蹤練習：求下列函數值域(2)21 -X21 xx2x 3x 6（5）若y = log 3 mx8x_-的定義域為 R,值域為10, 2 ,求常數 m,n x2 +1的值（m=n=5）4. 換元法通過換元將一個復雜的問題簡單化更便于求函數值域，一般函數特征是函數解析式中含有根號形式，以及可將問題轉換為我們熟悉的函數形式等問題。而換元法其主要是讓我們明白一種動態的方法來學習的一種思路，注重換元思維的培養，并不是專一的去解答某類問題，應該多加平時練習。注： 換元的時候應及時確定換元后的元的取值范圍。例5 :求函數f （x） = 2x - x -1的值域解：令t x .1,t亠0,則x =t2亠1，帶入原函數解析式中得221 215y =2（t