1、班級：一對一所授年級+科目：高一數學授課教師：課次：第次學生：上課時間：教學目標熟練掌握求函數值域的方法教學重難點求函數值域的方法互動樂學師生互動，善教樂學求函數值域快速練習一選擇題1. (2006?陜西)函數f (x)= (x R)的值域是()1+JA.(0, 1)B.(0, 1C.0 , 1)D. 0 , 1考點：函數的值域。811365分析： 本題為一道基礎題，只要注意利用x2的范圍就可以.解答： 解：T函數f (x) =(x R), A 1+x2 1,所以原函數的值域是(0, 1, r 1+f點評：注意利用x20 ( x R).解： 2x 1)利用反# / 10比例函數圖象求出函數的值

2、域.解答:1=-2-1 1+/1+/y=一-，得 x2解法一：y=y解法二：由2/ 1+x 1 , 0v21+x2 0,解得-1v yw 1.# / 10# / 10點評:解法三：令 x=ta n 0 （-K27TQi、血 1 - tan 0),貝廿 y=1十tan2日=cos2 0 .此類分式函數的值域通常采用逆求法、分離變量法，應注意理解并加以運用.# / 10# / 10-n V 2 0 V n ,- 1V cos2 0W 1,即-1V yW 1.5.在區間（1, +8）上不是增函數的是（ C ）B.1 -A. y=2x -1考點：分析：函數單調性的判斷與證明。811365C.y=2x2

3、- 6xD.y=2x2- 2x由于函數y=2x - 1在R上是增函數，故排除 A,# / 10# / 10由7- - - -在區間（1, +8）上是增函數，故排除 B.X利用二次函數的圖象特征和性質可得C滿足條件，應排除 D.解答：解：由于函數y=2x - 1在R上是增函數，故排除 A.由于函數尸-丄在區間（1,+8）上是增函數，故尸-一一1在區間（1 , +8）上是增函數，故排# / 10# / 10除B.由于二次函數y=2x2 - 6x的對稱軸為上是減函數，故它在區間（1, +8）由于二次函數y=2x2 - 2x的對稱軸為X* ,開口向上，故函數在三 上不是增函數，故滿足條件._1xp,+

4、8）上是增函數，在（-8,-，故函數在丄，+8）上是增函數，在（-8,上是減函# / 10數，故它在區間（1, +8）上是增函數，故排除 D.點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，屬于基礎題.二.填空6.函數 一、_工的值域為-8, 1分析：先確定函數的定義域，再考查函數在定義域內的單調性，根據函數的單調性來確定函數的值 域.互動樂學師生互動，善教樂學解答:解：函數_，的定義域是(-8,1，且在此定義域內是減函數, x=1時，函數有最大值為1, xt-8時，函數值 yi-g,函數：j勺值域是(-8,1.點評：先利用偶次根式的被開方數大于或等于0求出函數的定義域，再判斷函數的單調性，由函數

5、的單調性確定函數的值域.7 函數的值域是(-8, 1 ) U( 1 , +8),1+115尸敖-4x+3的值域是(0, 5分析:(1)把原函數化為y=1 -，根據反比例函數的性質即可求解;X+1(2)先把函數化為：2yx2- 4yx+3y - 5=0,根據判別式厶0即可得出函數的值域.解答:解：(1)T函數尸，函數的值域為(-8,1)U( 1 , +8)；=1 -1+(2)原式可化為：2yx - 4yx+3y - 5=0, =16y2-8y (3y - 5) 0,二 y ( y - 5) 0,二 0y0),則F+1 x= 2=5=(t+1) 22 112在t 0上的值域問題,問題轉化為求函數

6、f (t)因為t 0時，函數f (t )有最小值f (0)于.無最大值，故其值域為-：,+m).即原函數的值域為二,+R).點評：本題主要考查用換元法求值域以及二次函數在閉區間上求值域問題.換元法求值域適合于函數 解析式中帶根式且根式內外均為一次形式的題目.9 .函數 f (x) =x+|x - 2| 的值域是 _2 , +8).分析：根據函數的解析式，去絕對值符號，根據函數的單調性求得函數的值域.3 / 10www.hudonglexuexom師生互動，善教樂學解答：解：因為當x (-s,2時，f (x) =2;當 x ( 2, +s)時，f (x) =2x- 2 2,故 f (x )的值域

7、是2 , +s).點評：本題考查函數的值域，去絕對值符號是解題的關鍵，屬基礎題.-m, 210.已知函數f(I)=2Vk+1 -工，則函數f (x)的值域為分析：根據函數解析式的形式：采取換元法，令t=r, t 0,轉化為二次函數f(t)=2t -1 +i 在0 , +s)上求函數的值域，禾用配方法即可求得結果.解答： 解：令 t= V對X t 0,貝y x=t2- 1 , f (t) =2t - t2+ 仁-(t - 1) 2+2, t 0, f ( x)w 2,.函數 f (x)的值域為(-s,2.點評：本題考查利用換元法求函數的值域，體現了轉化的思想方法，同時考查二次函數在定區間上的 最

8、值問題，注意換元后引進新變量的范圍，是易錯點，屬基礎題.11.函數的值域f (x) =2x - 3+的值域是(-s, 4分析:令 7=t，將函數轉化成關于t的二次函數求解.# / 10www.hudonglexuexom師生互動，善教樂學# / 10www.hudonglexuexom師生互動，善教樂學解答：解：令13 - 4x=t，t0,貝U x= y= 丄-丄 |二，當且僅當t=1時取等zii故所求函數的值域為(-s, 4,點評：通過換元將原函數轉化為某個變量的二次函數，利用二次函數的最值，確定原函數的值域換元法是一種重要的數學解題方法，掌握它的關鍵在于通過觀察、聯想，發現與構造出變換式(

9、或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式)-s, 112函數f (只)二1 - 3心? 一 q疋2)的值域是6耳分析：已知f (x)的定義域，利用導數判斷函數 f (x)的單調性，然后再求其值域; 解答： x 2,二 f( x)v 0 , f ( x)為減函數；f (x ) f ( 2) =1, 函數f (x)的值域為(-s,1，故答案為(-s,1.曰解：函數f點評：此題考查函數的值域，利用導數先判斷函數的單調性，再求值域，是一種新的方法，同學們要 掌握.13 函數的值域：y=J _嚴_腦_ 5為0 , 2# / 10www.hudonglexuexom師生互動，善教樂學分析：設卩=-x2-6

10、x- 5,欲求原函數的值域， 只須考慮 卩的取值范圍即可， 根據二次函數的圖象與 性質即可求得卩的取值范圍，從而問題解決.解答：解析：設= - x - 6x - 5 (卩0),則原函數可化為口 .又 1 =- x2- 6x - 5= -( x+3) 2+4 4,. 0 卩 4,故0 , 2,.：-.的值域為0 , 2.故答案為:0 , 2# / 10www.hudonglexuexom師生互動，善教樂學# / 10www.hudonglexuexom師生互動，善教樂學點評：本題以二次函數為載體考查根式函數的值域，屬于求二次函數的最值問題，屬于基本題.# / 10師生互動，善教樂學互訓樂學www

11、* 14.函數y=x - 2x的定義域為0, 1, 2, 3，那么其值域為 - 1 , 0, 3分析：根據所給的函數的解析式和定義域，做出當自變量取定義域中的不同值時的對應的值域中的結 果，寫出值域.解答：解：函數y=x2-2x的定義域為0 , 1, 2, 3,當 x=0 時，y=0 ;當 x=1 時，y= - 1;當 x=2 時，y=0 ;當 x=3 時，y=3綜上可知值域對應的集合是 - 1, 0, 3故答案為： - 1, 0, 3點評：本題考查函數的值域，本題解題的關鍵是求出定義域對應的函數值，做出值域對應的集合，本 題是一個基礎題.15.下列函數中在(-a,0)上單調遞減的 丁 一;y

12、=1 - x2；y=x2+x:：.匸】_:.分析：對于函數在(-a, - 1) 上單調遞增，可判定是否符合題意；對于 y=1 - x2在(-a, 0)解答:上單調遞增，故不符合題意；對于根據開口向上與對稱軸為x=,可判定單調性；對于根據定義域為(-a,1 ),以及復合函數的單調性可知是否正確.Tx+ly=1 - x2在(-a,0)上單調遞增，故不符合題意；解：，在(-a, -1 )上單調遞增，故不符合題意;2y=x +x開口向上，對稱軸為 x=在(一a 叮在(,上單調遞減,(-,+a)上單調遞219.求下列函數的值域# / 1019.求下列函數的值域# / 10增，故不符合題意;屮1 一工，定

13、義域為(-a, 1)，在(-a, 1) 上單調遞減，故正確 故答案為：點評：本題主要考查了二次函數、分式函數、根式函數單調性的判斷，屬于基礎題.16.已知二次函數 f (x) =2x2-4x+3，若f (x)在區間2a , a+1上不單調，則a的取值范圍是分析：二次函數圖象的對稱軸為直線 x=1,開口朝上，說明在區間(-a,1)上函數為減函數，在區間(1, +a)上是增函數.函數在區間2a , a+1上不單調，說明在此區間上函數有減也有增，因此不難求出實數 a的取值范圍.解答:-4，即直線x=1, 2X2函數f (x)在區間2a , a+1上不單調，說明直線 x=1在區間2a , a+1內部因

14、此列式：2av 1 v a+1所以a的取值范圍是 0 va 0，則m的取值范圍是.分析：先將題中條件：f ( m- 1) - f (2m- 1) 0”移項得：f (m- 1)f (2m- 1),再結合f (x)是定義在-3, 3上的減函數，脫去符號：“ f ”，轉化為關于 m的一元不等式組，最后解得實 數m的取值范圍，必須注意原函數的定義域范圍.解答：解：T f ( x)在-3, 3上是減函數.由 f ( m- 1)- f (2m- 1 ) 0,互動樂學www.hudo師生互動，善教樂學得 f (m 1) f (2m 1)函數f (x)在-3, 3上是減函數,解得0 vm2,.m的取值范圍是(

15、0, 2.-3虬m- 13“ -31 - 2ni3即id - 1 0求原函數的值域.解：(1)用分離變量法將原函數變形為：y= =2+ .K- 3 K 一 E：=2+19.求下列函數的值域# / 1019.求下列函數的值域# / 10工0.a y工2,即函數值域為y|y R且y工2.(2) 用配方法將原函數變形為：y= ( x 1) 2+1，根據二次函數的性質， 在區間0 , 3上，當x=1時，函數取最大值1，當x=3時，函數取最小值是-3, 則原函數的值域是-3, 1.(3) 由 1 x 0,得1Wx 1, 0vv 2，- 1 v 1 +lt2Kl+2xv 1,.所求值域為(-1, 1)19

16、.求下列函數的值域# / 1019.求下列函數的值域# / 10點評：本題考查了求函數值域的方法，即分離常數法，配方法和換元法等， 注意每種方法適用的類型.19.求下列函數的值域# / 10師生互動，善教樂學(1)1-xv=-分析:(1)本題宜用分離常數法求值域，其定義域為x|x工0函數可以變為y=- 1亠再l+iq由函數的單調性求值域.(2) 令| -：,=t，將函數轉化成關于 t的一道定函數在定區間上的值域問題，通常利用配方法，結合函數的圖象及函數在區間上的單調性，求得相應的最值，從而得函數的值域.2(3) 先把函數化為：2yx - 3yx+y - 1=0，根據判別式30 即可得出函數的值

17、域.解答：解：(1)由題函數的定義域為x|x工0丁 =- 1+工-1故函數的值域為y|y工-1y L+x 1+x2呷(2 )：令汕t , t 0,則 X= t ； 1 , y=*F - t -異(t 1) 2- 1-1 ,當且僅當t=1時取等號，故所求函數的值域為-1, +8),(3)原式可化為：2yx - 3yx+y -仁0,.A =9y - 8y (y - 1)0, y ( y+8 ) 0,. y 0 或 yw- 8,故答案為：(-8,- 8 U( 0, +8)點評：本題考查了函數的值域，屬于基礎題，關鍵是掌握函數值域的兩種不同求法.(1)小題求值域采用了分離常數法的技巧，對于分式形函數單

18、調性的判斷是一個好辦法，注意總結這種技巧的 適用范圍以及使用規律.(2)是通過換元將原函數轉化為某個變量的二次函數，利用二次函數 的最值，確定原函數的值域. 換元法是一種重要的數學解題方法，掌握它的關鍵在于通過觀察、 聯想，發現與構造出變換式(或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式)20. 求下列函數的值域2 (I )尸一；(II )尸卞+Uit+1.K -H分析：(I )將函數變形為-1 ,因為x20,用觀察分析法求值域即可.十1(II )先令被開方數大于等于0求出函數的定義域，然后判斷出函數的單調性，進一步求出函數的值域.2 1 1解答：解：(I)二 ,Tx20,.0 1,.00),則原

19、函數可化為y=ET|，再配方法求得卩的范圍，可得.的范圍.(3)可用分離變量法：將函數變形,y=3x+l 3 (z - 2) +7，再利用反比例函數求解.(4)用換元法設t=.訂 F 0,則2x=1 - t，原函數可化為2y=1 - t +4t，再用配方法求解解答:O 1- I(5)由1 - x 0 ? - 1WxW 1,可用三角換元法：設x=cosa , a 0 , n ，將函數轉化為用三角函數求解y=cos a +sin a = Jsin ( a2(6 )由x +x+1 0恒成立，即函數的定義域為 R,用判別式法，將函數轉化為二次方程( 求解.y - 2) x2+ ( y+1) x+y -

20、 2=0 有根+ 2(2)求復合函數的值域：設 卩=-x2- 6x - 5又t 卩=-x - 6x - 5= -( x+3)+4W 4,. 0W y=_5 的值域為0 , 2解: (1)(配方法)T y=3x 2- x+2=3 ( x-+= ； y=3x2 - x+2 的值域為12 12(卩0),則原函數可化為卩 W4,故. 0 , 2,(3)分離變量法：y=3h+1J3 J - 2) +7k-2一工0,二 3+X- 2x- 23k+1豐3,二函數y=(4)換元法(代數換元法)：設t= V的值域為y R|y工30,貝U x=1 - t2,原函數可化為 y=1-12+4t= -(t - 2) 2+