1、學習必備歡迎下載最短路徑問題和最小【方法說明】“和最小”問題常見的問法是，在一條直線上面找一點，使得這個點與兩個定點距離的和最小（將軍飲馬問題）.十PB最小.如圖所示，在直線l上找一點P使得PA+PB最小.當點P為直線AB與直線l的交點時，PAP , B'【方法歸納】如圖所示，在直線l上找一點B使得線段AB最小.過點A作AB±l,垂足為B,則線段AB即為所求.如圖所示，在直線l上找一點P使得PA+ PB最小.過點B作關于直線l的對稱點B', BB與直線l交于點P,此時PA+PB最小，則點P即為所求.如圖所示,BO的對稱點 為所求.B耳P .B'在/ AOB的邊

2、AO, BO上分別找一點 C, D使得PC+ CD+ PD最小.過點P分別作關于 AO,E, F,連接EF,并與AO, BO分別交于點 C, D,止匕時PC + CD + PD最小，則點C, D即如圖所示，在/AO, BO的對稱點 F即為所求.AOB的邊AO , BO上分別找一點 E, F使得DE+EF十CF最小.分別過點 C,D； C',連接DC',并與AO, BO分別交于點E, F,止匕時DE+ EF + CF最小,D作關于則點E,D'%，CF .C'如圖所示，長度不變的線段 CD在直線l上運動，在直線l上找到使得AC+BD最小的CD的位置.分別 過點A,

3、D作AA'/ CD, DA 7/ AC, AA與DA交于點A；再作點B關于直線l的對稱點B',連接AB'與直 線l交于點D',此時點D'即為所求.如圖所示，在平面直角坐標系中，點P為拋物線(y=1x2)上的一點，點A (0, 1)在y軸正半軸.點P4在什么位置時PA + PB最小？過點B作直線l: y=- 1的垂線段BH', BH與拋物線交于點 P；止匕時PA+PB 最小，則點P即為所求.1.(13廣東)已知二次函數 y= x2- 2mx+ m2 1.(1)當二次函數的圖象經過坐標原點 O (0, 0)時，求二次函數的解析式；(2)如圖，當m =

4、 2時，該拋物線與y軸交于點C,頂點為D,求C、D兩點的坐標；(3)在(2)的條件下，x軸上是否存在一點 P,使得PC + PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若 P 點不存在，請說明理由.(1)由二次函數的圖象經過坐標原點 O (0, 0),直接代入求出(2)把m = 2代入求出二次函數解析式，令 x=0,求出y的值, 公式求出頂點坐標即可；(3)根據當P、C、D共線時根據“兩點之間，線段最短”得出令y=0,求出x的值，即可得出P點的坐標.【解題過程】m的值即可；得出點C的坐標；利用配方法或頂點坐標PC+ PD最短，求出CD的直線解析式,(2)(3);二次函數的圖象經過坐標原點O (0,

5、0),二代入二次函數 y= x2 2mx+ m2 1,得出：m2 1 = 0,解得：m=±1,;二次函數的解析式為：y= x22x或y=x2 +2x;m = 2, 二二次函數 y=x2- 2mx+ m2 1 得：y=x2-4x + 3= (x2) 2- 1 , :拋物線的頂點為：D (2, 1),當 x=0 時，y=3, ： C 點坐標為：(0, 3), C (0, 3)、D (2, 1);當P、C、D共線時PC+PD最短，【方法一】. C (0, 3)、D (2, 1),設直線CD的解析式為y= kx+ 3,代入得：2k+ 3=- 1,:k= - 2,y= - 2x+ 3,當 y=

6、0 時，2x+3 = 0,解得 x=|,PC+PD 最短時,P點的坐標為：P (1, 0).【方法二】過點D作DEy軸于點E,PO=4,解得：po=3.PC+ PD最短時,3P點的坐標為：P (2, 0).2.(11荷澤)如圖，拋物線(1)求拋物線的解析式及頂點y=2x2+bx 2與x軸交于A, B兩點，與y軸交于C點，且A ( 1, 0).D的坐標；(2)判斷 ABC的形狀，證明你的結論；(3)點M (m, 0)是x軸上的一個動點，當 MC + MD的值最小時，求 m的值.【思路點撥】(1)把點A的坐標代入求出b的值，即可得出拋物線的解析式，通過配方法即可求出頂點D的坐標；(2)觀察發現 A

7、BC是直角三角形，可以通過勾股定理的逆定理證明.由拋物線的解析式，分別求出點B,C的坐標，再得出AB, AC, BC的長度，易得AC2+BC2 = AB2,得出 ABC是直角三角形；(3)作出點C關于x軸的對稱點C；連接C'D交x軸于點M,根據“兩點之間，線段最短”可知MC +MD的值最小.求出直線 C'D的解析式，即可得出點 M的坐標，進而求出 m的值.【解題過程】1 c13解：(1) .,點 A ( 1, 0)在拋物線 y = 2x2+bx- 2 上，：2x ( 1 ) 2+bx ( 1) 2 = 0,解彳導 b=-2,:拋物線的解析式為y=?2%一2=； (x。)2頂點D

8、的坐標為 ("I，-，). 2222828(2)當 x=0 時 y=2, ： C (0, 2), OC = 2.當 y=0 時，2x2 3x2=0, ：x1=T, x2 = 4,B (4, 0), ：OA=1, OB=4, AB = 5. AB2= 25, AC2 = OA2+OC2= 5, BC2= OC2 + OB2=20, ： AC2+ BC2=AB2.ABC是直角三角形.(3)作出點C關于x軸的對稱點C；則C'(0, 2), OC'=2, 連接CD交x軸于點M ,根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC + MD的值最小.【方法一】、，41c-y=-y2x+2

9、.h= 2設直線CD的解析式為y=kx+ n,則'3k十n_ 25，解得:412424:當 y=0 時，一談十2=0, x = 41.m=41-【方法二】設拋物線的對稱軸交x軸于點E. ED/ y 軸，OM OC'=' EM ED 5：/ OC'M = /EDM , /COM = /DEM, . .A COMA DEM .,m2.24一 3=更 一 m41 2m -83. (11福州)已知，如圖，二次函數 y=ax2+2ax 3a (a，。圖象的頂點為 H,與x軸交于A、B兩點(B 在A點右側)，點H、B關于直線1： y=y3x+J3對稱.3于C點，得AC=2A

10、B=2,利用勾股定理求出 HC的長，即可得出點 H的坐標，代入二次函數解析式，求 出a,即可得到二次函數解析式；(3)直線BK/AH易得直線BK的解析式，聯立直線1的解析式方程組，即可求出 K的坐標.因為點 H, B關于直線AK對稱，所以HN = BN,所以根據“兩點之間，線段最短”得出HN+MN的最小值是MB .作點K關于直線AH的對稱點Q ,連接QK,交直線AH于E,所以QM = KM ,易得BM十MK的最小值為BQ , 即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，求出 QB的長即可.【解題過程】解：(1)依題意，得 ax2 + 2ax 3a=0 (a，。，解得 x1 = 3, x2=1,.B點

11、在A點右側，：A點坐標為(-3, 0), B點坐標為(1, 0),;直線 1 ： y=W3x + V3,當 x=-3 時，y = 3>< 3) + V3 = 0, .點 A 在直線 1 上.(2) 丁點H、B關于過A點的直線1： 丫=十寸3對稱，：AH = AB = 4,過頂點 H 作 HCLAB 交 AB 于 C 點，則 AC=2AB = 2, HC = 2V3,:頂點H (1, 25)，代入二次函數解析式，解得 a=喙，(1)求A、B兩點坐標，并證明點 A在直線1上；(2)求二次函數解析式；(3)過點B作直線BK / AH交直線1于K點，M、N分別為直線AH和直線1上的兩個動點

12、，連接 HN、 NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.【思路點撥】(1)二次函數 y=ax:二次函數解析式為y=-率x2 J3x+ 乎，(3)直線AH的解析式為y=q3x + 3y3,直線BK的解析式為y=3x+373,+2ax 3a(a中只有一個未知參數 a,令y=0,解出方程ax2+2ax 3a = 0 (a，。，即可得到點A, B的坐標.把點A的坐標代入直線1的解析式即可判斷 A是否在直線上；(2)根據點H、B關于過A點的直線1： y=x + J3對稱，得出AH = AB=4,過頂點H作HCLAB交AB 3.點H、B關于直線 AK對稱,，即 K (3, 23),貝U BK=4,：HN

13、+MN 的最小值是 MB, KD=KE = 23,過點K作直線AH的對稱點 Q,連接QK,交直線AH于E,則QM= MK , QE = EK = 23, AE± QK, BM + MK的最小值是 BQ,即BQ的長是HN+NM+MK的最小值， BK / AH ,BKQ = /HEQ=90° ,由勾股定理得 QB = 8,HN+ NM + MK的最小值為 8 .4. (14海南)如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經過A( - 1, 0), C (0, 5)兩點，與x軸另一交點為B.已 知M (0, 1), E (a, 0), F (a+1, 0),點P是第一象限內的拋物線上的動點

14、.(1)求此拋物線的解析式；(2)當a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點 P的坐標；(3)若 PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求 a為何值時，四邊形 PMEF周長最小？請說明理由.【思路點撥】(1)由對稱軸為直線x=2,可以得出頂點橫坐標為 2,設二次函數的解析式為 y = a (x-2) 2+k,再把點A, B的代入即可求出拋物線的解析式；(2)求四邊形MEFP的面積的最大值，要先表示出四邊形MEFP面積.直接求不好求，可以考慮用割補法來求，過點 P作PNy軸于點N,由S四郵 MEFP = S梯形OFPN SaPMN SaOME 即可彳導出；(3)四邊形PMEF的四條邊中，

15、線段 PM, EF長度固定，當ME + PF取最小值時，四邊形 PMEF的周長取得最小值.將點 M向右平移1個單位長度(EF的長度)，得到點M1 (1, 1),作點M1關于x軸的對稱 點M2(1, 1),連接PM2,與x軸交于F點，此時 ME + PF=PM2最小.【解題過程】解：(1) ;對稱軸為直線x=2,：設拋物線解析式為y=a (x-2) 2十k.將A (1, 0), C (0, 5)代入得：產十"0,解得，好丁 4a+k=5k= 9Jx2+ 4x+5),y=- (x2) 2 + 9=- x2 + 4x+5.(2)當 a= 1 時，E (1 , 0) , F (2, 0),

16、OE=1, OF =2.設 P (x,如答圖2,過點P作PNy軸于點N,則PN = x, ON = x2+4x+5, MN = ON-OM=- x2+ 4x+ 4 .,ccc111S 四邊形 mefp= S梯形 ofpn S1pmn - Saome =2 (PN+ OF)?ON - PN?MN - 2OM ?OE11 o .1.=2( x+ 2) (一 x + 4x+ 5) - 2x?( x + 4x+ 4) - 2X1X1-x2+9xW(x-9)2十臂:當x=9時，四邊形MEFP的面積有最大值為 K3,止匕時點P坐標為(9, 153).416416(3) M (0, 1) , C (0, 5

17、), 4PCM是以點P為頂點的等腰三角形，：點P的縱坐標為3.令y= x2+4x+ 5=3,解得x = 2±46.;.點P在第一象限，：P (2十寸6, 3).四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME + PF最小，則PMEF的周長將取得最小值.如答圖3,將點M向右平移1個單位長度(EF的長度)，得Mi (1, 1);作點M1關于x軸的對稱點M2,則M2 (1, 1);連接PM2,與x軸交于F點，止匕時ME+PF=PM2最小.設直線PM2的解析式為y=mx+n,將P (2+m,3), M2 (1, 1)代入得：(2+班)m+n = 3,解得：m=W240=山，”心x

18、 心.m+n=- 15'5''5'、5當yy時，解得x = £,F (%，0)a+仁勺，/餐.4444:a= *丁 1時，四邊形PMEF周長最小.4圖1圖2122. (14福州)如圖，拋物線 y=2(xd) 與x軸交于A, B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C, 頂點為D 了.(1)求點A, B, D的坐標；(2)連接CD,過原點。作OELCD,垂足為H, OE與拋物線的對稱軸交于點 E,連接AE, AD.求證： /AEO=/ ADC;(3)以(2)中的點E為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側的拋物線上有一動點P,過點P作OE的切線，切點為Q,當P

19、Q的長最小時，求點 P的坐標，并直接寫出點 Q的坐標.【思路點撥】(1)由頂點式直接得出點 D的坐標，再令y=0,得2(x3)2T=0解出方程，即可得出點 A, B的坐標;(2)設HD與AE相交于點F,可以發現 HEF與 ADF組成一個“ 8字型”.對頂角/ HFE=/AFD,只 要/FHE = /FAD即可.因為/ EHF = 90° ,只需證明/ EAD = 900即可.由勾股定理的逆定理即可得出 ADE為直角三角形，得/ FHE=/FAD=90°即可得出結論；(3)先畫出圖形.因為 PQ為。E的切線，所以 PEQ為直角三角形，半徑 EQ長度不變，當斜邊 PE最 小時，

20、PQ的長度最小.設出點 P的坐標，然后表示出 PE,求出PE的最小值，得到點 P的坐標，再求出點Q的坐標即可.【解題過程】1C解：（1）頂點D的坐標為（3,）.令y=0,得2（x二）2/=0,解得xi=3十平,X2=3f/2.點A在點B的左側，：A點坐標（32, 0）, B點坐標（3旬2, 0）.（2）過D作DG，y軸，垂足為G.則G （0,/），GD = 3.令x=0,則y=2，：C點坐標為（0, ：）.GC = 2_(-1) = 9.設對稱軸交 x 軸于點 M. OEXCD , ./ GCD + Z COH = 90攵./MOE + /COH=90 ; ： / MOE = /GCD.又/

21、CGD = /OMN =90 °, ; A DCGA EOM .9CG-=吧,即 2=-3-. ：EM=2,即點 E 坐標為(3, 2), ED = 3. OM EM 3 EM由勾股定理，得 AE2=6, AD2= 3, AE2+ AD2= 6 + 3=9= ED2.： AED是直角三角形，即/ DAE = 90 =!設 AE 交 CD 于點 F. ADC + Z AFD=90 °,又AEO+Z HFE=90°,：/ AFD = / HFE, ： / AEO=/ADC .(3)由。E的半徑為1,根據勾股定理，得 PQ2=EP2- 1 .要使切線長PQ最小，只需EP

22、長最小，即EP2最小.設P坐標為(x, v),由勾股定理，得 EP2=(x-3)2+(y-2)2.1. y=2(x-3)2- 1, ：(x3)2= 2y+ 2 .EP2= 2y+ 2+ y2- 4y+ 4 = (y 1)2+5.11 C當 y=1 時，EP?取小值為 5.把 y= 1 代入 y=2(x 3)2- 1,得2(x3)?3 = 1,解得 x1=1, x2=5.又二點P在對稱軸右側的拋物線上，：刈=1舍去.：點P坐標為（5, 1）. 19 13此時Q點坐標為（3, 1）或（3，）.6. (14遂寧)已知：直線l： y=-2,拋物線y=ax11c(2)如圖，設 P (a, 4a2 1),

23、就有 OE = a, PE = ：a2 1, PQL , ： EQ= 2, . QP =#十 1.在 RtPOE 中，由勾股定理，得 PO = Ja2+(4a2-1)2= 4a2+ 1, ： PO = PQ;(3) (i)如圖，- BN ±l, AM ±l , ：BN=BO, AM=AO, BN / AM ,：/ BNO = / BON, /AOM = /AMO, Z ABN+Z BAM = 180° .,/ BNO + Z BON+Z NBO= 180°, / AOM + / AMO + / OAM= 180°, BNO + Z BON+Z

24、NBO+Z AOM + / AMO + / OAM =360° , ; 2 / BON + 2/AOM = 180°,Z BON + Z AOM = 90° , ： / MON = 90°, ：ON，OM;(ii)如圖，作 F'Hl于H, DFl于G,交拋物線與 F,作FEXDG于E,+bx+ c的對稱軸是y軸，且經過點(0, 7),(2, 0).(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖，點P是拋物線上任意一點，過點 P作直線l的垂線，垂足為 Q,求證：PO = PQ.(3)請你參考(2)中結論解決下列問題：(i)如圖，過原點作任意直線 AB,交拋物

25、線y=ax2 + bx + c于點A、B,分別過A、B兩點作直線l的垂 線，垂足分別是點 M、N,連結ON、OM,求證：ONLOM.(ii)已知：如圖，點 D (1, 1),試探究在該拋物線上是否存在點F,使得FD + FO取得最小值？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由.【思路點撥】(1)因為拋物線的對稱軸是 y軸，所以b=0,再代入點(0, - 1), (2, 0)即可求出拋物線的解析式；(2)由(1)設出P的坐標，分別表示出 PE, PQ的長度，即可得出結論；(3) (i)因為 BN/AM,所以/ ABN + Z BAM= 180° .由(2)的結論可得 BO=BN,

26、AO=AM,可得出/BON = / BNO,/ AOM = / AMO ,易得/BON+/AOM = 90 ° 再得到/ MON =90° 即可;(ii)如圖，作 FH，l于H, DF，l于G,交拋物線與F,作F'EDG于E,由(2)的結論根據矩形的性質可以得出結論.【解題過程】-=0一 . 一 2a. 一解：(1)由題息，得£,解得:-1 = ci.0=4a+2b+c1r 1卜4b= 0c= 1:拋物線的解析式為:y=4x2T；：/ EGH = /GHF'= /F'EG=90°, FO=FG, F'H = F'O

27、,:四邊形 GHF E 是矩形，FO+FD = FG+FD=DG,F'O+F'D=F'H + F'D, ：EG=F'H, ：DE<DF',：DE + GE< HF'+ DF', ： DG < F 0+ DF： FO + FD < F O + DF：F 是所求作的點.5. D (1, 1),F 的橫坐標為 1, F (1, 5).【舉一反三】1. (12濱州)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+ bx+c經過A(-2, -4), O (0, 0), B (2,0)三點.(1)求拋物線y=ax2 + b

28、x + c的解析式；(2)若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OM的最小值.1 22. （13成都）在平面直角坐標系中，已知拋物線y= 2x + bx+c （b, c為常數）的頂點為 P,等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0,1）, C的坐標為（4, 3）,直角頂點B在第四象限.（1）如圖，若該拋物線過 A, B兩點，求該拋物線的函數表達式；（2）平移（1）中的拋物線，使頂點 P在直線AC上滑動，且與 AC交于另一點Q.（i）若點M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以 M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點M的坐標；（ii）取BC的中點N

29、,連接NP, BQ.試探究 PQ 是否存在最大值?若存在，求出該最大值；若不存NP+ BQ在，請說明理由.3. (11眉山)如圖，在直角坐標系中，已知點 A (0, 1), B (-4, 4),將點B繞點A順時針方向90°得到 點C;頂點在坐標原點的拋物線經過點B .(1)求拋物線的解析式和點 C的坐標；(2)拋物線上一動點 P,設點P到x軸的距離為d1,點P到點A的距離為d2,試說明d2 = d1+1;(3)在(2)的條件下，請探究當點 P位于何處時， PAC的周長有最小值，并求出 PAC的周長的最小值.【參考答案】1 .解：(1)把 A ( 2,4),O(0,0), B(2,0)

30、三點的坐標代入y=ax2+ bx+c 中，得Za2b+c=411/4a+2b+c= 0 ,解得 a= 2, b= 1, c= 0,二解析式為 y= 2x2+x.jc= 0(2)由 y= 2x2+x= 2 (x 1) 2+2,可得拋物線的對稱軸為 x= 1 ,并且對稱軸垂直平分線段 OB, ： OM=BM, .OM +AM = BM+AM,連接 AB交直線x=1于M點，則此時 OM+AM最小， 過點A作ANx軸于點 N,在RtAABN中，AB=4AN2+BN2 = 142+42=4卷, OM+AM最小值為4yp .2.解：(1)二.等腰直角三角形 ABC的頂點A的坐標為(0, 1), C的坐標為

31、(4, 3), :點B的坐標為(4, 1). .拋物線過 A (0, 1), B (4, 1)兩點，c= - 1 L1x 16+4b+ c=-1,解得：b = 2, C=T，、一 2:拋物線的函數表達式為：y= - 2x2+ 2x- 1 .(2) (i) A (0, 1), C (4, 3),：直線 AC 的解析式為：y=x-1 .設平移前拋物線的頂點為 P。，則由(1)可得P0的坐標為(2, 1),且P0在直線AC上. 丁點P在直線AC上滑動，：可設 P的坐標為(m, m-1),則平移后拋物線的函數表達式為：y=-1 (x-m) 2+ m-1.解方程組:x1 = m：x2=m 2y1 = m

32、i 1'% = m 3''y = x 112 一 八，解得，y=-2(x-m)2 + (m-1)P (m, mi 1), Q (m 2, m3).過點P作PE / x軸，過點Q作QF / y軸，貝UPE = m (m 2) =2, QF= ( m-1) ( m3) =2. PQ=2V2 = AP0.若以M、P、Q三點為頂點的等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況： 當PQ為直角邊時：點 M到PQ的距離為2寸2 (即為PQ的長).由 A (0, 1), B (4, 1) , Po (2, 1)可知， ABPo為等腰直角三角形，且 BPo±AC, BPo = 2V2.如答圖1,過點B作直線l1 /AC,交拋物線y=-2x2+ 2x-1于點M,則M為符合條件的點.;可設直線li的解析式為：y=x+bi, B (4, 一 1) , ： - 1 =4十bi,解得b= = -5,:直線11的解析式為:y=x 5.解方程組fy=X-5皿 xi=4|-2!y=-2x2+2x-r 胃. >i = 1' y2= 一7'M1 (4, 1) , M2 (2, 7).當PQ為斜邊時：MP = MQ = 2,可求得點M至I PQ的距離為2 如答圖2,取AB的中點F,則點F的坐標為(2, 1).由 A (0, - 1), F (