1、2.3.2空間向量基本定理教案一、教學目標：1 .知識目標：掌握空間向量基底的概念；了解空間向量的基本定理及其推論； 了解空間向量基本定理的證明。2 .能力目標：理解空間任一向量可用空間三個不共面向量唯一線性表示，會在 平行六面體、四面體為背景的幾何體中選用空間三個不共面向量作基底，表示其它向量。會作空間任一向量的分解圖。類比平面向量的基本定理學習空間向量基 本定理，培養學生類比、聯想、維數轉換的思想方法和空間想象能力。3 .情感目標：創設適當的問題情境，從生活中的常見現象引入課題，開始就引 起學生極大的學習興趣，讓學生容易切入課題，培養學生用數學的意識，體現新 課程改革的理念之一，加強數學與

2、生活實踐的聯系。二、教學重難點：1 .教學難點：空間向量的分解作圖，用不同的基底表示空間任一向量。靈活運用空間向量 基本定理證明空間直線的平行、共面問題。2 .教學重點：運用空間向量基本定理表示空間任一向量， 并能根據表達式判斷向量與基底 的關系。三、教學方法：在多媒體和實物模型的環境下，學生分組自主與合作學習相結合，老師引導、 參與學生活動和討論的民主式的教學。四、教學過程（一）、引入：對比平面向量的基本定理，生活實際需要向三維空間發展（播放美伊戰爭畫面，地面的坦克如何瞄準空中的飛機畫面），推廣到空間向量的基本 定理。用向量來描述：若空間三個向量不共面，那么空間的任一向量都可以用這三個向 量

3、表示。我們研究一下怎么表示。（提示學生思考平面的任一向量怎么用平面向 量的基底表示）學生：el、e2是平面內兩個不共線的向量，則該平面內的任一向量 a都可以表示為a二入晟+屹晟，其中心力是一對唯一的實數。（二）、推廣:請學生猜測推廣到空間向量的基本定理如何?學生：空間向量的基本定理：如果空間三個向量 a、b、c不共面，則空間的任一向量p者B可表示為 xa+yb+zc。師：若猜想正確，則給出證明，若猜想不正確，先給出定理，再證明老師板演證明：設空間三個不共面的向量 OA=a, OB =b, OC=c, OP = p是空間任一向量，過p 作 PD / OC 交平面 OAB 于 D,貝Op =oD

4、+ Dp , 由空間兩直線平行的充要條件知 DP = zc,由平面 向量的基本定理知向量 OD與OA、OB共面， 則OD = xa+yb,所以，存在x,y,z使得OP = xa+yb+ zc o這樣的實數x,y,z是否唯一呢？用反證法證明：若另有不同于 x,y,z的實數xi,yi,zi滿足OP= xia+yib + zic ,則 x a +y b+ zc= xi a+yi b + zic, 即(x xi) a +(y yi) b+(z zi) c = 0又a、b、c不共面，則x xi=0, y yi=0, z zi=0,所以x,y,z是唯一的實數。這樣，就把平面向量的基本定理推廣到空間向量的基

5、本定理。老師介紹相關概念：其中3、，、2叫做空間向量的一個基底，1、，、c都叫做基向量。師：對于空間向量的基底（a、b、4的理解，要明確：空間任意不共面的三個向量都可以作為向量的基底，基底不唯一；三個向量不共面，隱含它們都是非零向量；基底是一個集合，一個向量組，一個向量不能構成基底，基向量是基底中的某 一向量。通常選擇共點不共面的三個向量作為空間向量的基底。若3、b、C是空間向量的一個基底，則由這三個基向量還能生成其它的基 底嗎？引導學生舉例說明，結果不唯一，通過思考培養學生的發散思維。如：a+b、a + c、6 + c； 2a+3b、4c、b等構成向量的基底。能否由原來的基向量生成新的基底，

6、 取決于生成的新向量是否共面，即其中的一 個向量能否用另兩個向量線性表示，請同學隨便說一組向量，大家判斷這組向量 能否構成向量的基底。通過老師的引導，不僅讓學生理解空間向量的基本定理， 還要讓學生學會把 平面向量的知識遷移到空間向量來，用發展、聯系的觀點看以前在平面向量中成 立的結論，空間向量比平面向量發展了什么，保留了什么，滲透辨證法的思想。特別地，當x=0，則p與b、c共面；若y=0,貝Up與a、c共面；若z=0,則p與a、b共面。當x=0, y=0時，p與c共線；當x=0, z=0時，p與b共線；當y=0, z=0時，p與a共線.說明每一次維數增加了，高維數的定理不但發展了低維數的定理，

7、 并包含了 低維數的結論，使得原來的定理仍適用，這種發展是繼承的發展，是合理的發展。 這不僅體現在平面向空間的遷移，也體現在數學中其它知識的遷移（如數系的發 展）。（三）、類比：對比平面向量中成立的結論推廣到空間是什么相應的結論：平向向量中成立的結論空間向量中成立的結論（學生回答）向量b與非零向量a共線u存在唯一實數人使得b =入a向量b與非零向量a共線£存在唯一實數人使得b =入a （用來證明空間向量共線或直線平行）同一平聞的任總兩個向量都共面向量a、b是空間/、共線的兩個向量，則向量p 與I可重a、b共回u存在唯一頭數x,y使得p - xa+y b （用來證明空間向量共面）若 O

8、A, = a , OB = b ,則OA+OB = OC, OC是平行四邊若 OA = a , OB = b , OC = c ,（四）、例題：例1、在平行六面體 ABCDAiBiCiDi中，AB = a, AD = b ,AA1 =c, P是CAi的中點，M是CDi的中點，N是CiDi的中點，點Q在CAi上，且 CQ: QAi=4: i,用基底、b、C表示以下向量：（i）Ap ,（2）AN, 分析：所求的向量與基底都共點，符合平行四邊形法 則的特征，盡量將所求向量作為平行四邊形的對角線。解：（i）由P是CAi的中點，i i得AP= （AA+AC） =- （c + AD+AB）22i ,=-（

9、a +b +c）2(2) AnLaiM + MnLaiM+2cci(c + a) +b+1c = b + c +2a2222法2:AN =AAi +AiN=AAi+AiDi+DiN=c + b+ia4 一 4 一 一 i 一 4 (3) AQ=AC+CQ=AC+CA產AC+(AA1+CA ) =AC+AAi 5555(b + a)+4c 55例2、在例1中，設。是AC的中點，判斷AQ和OCi所在直線的位置關系i 一 一 4 一 I 解：由例 I 得：AQ=-(b+a)+- c, OCI = OC+CCI =- AC +AAI 552i ,=-(b +a ) +c2貝U AQ和忘與(b +a)和

10、c共面，又AQ w OC),貝u aq和OCi所在直線不能平行，只能相交。 C4 - 5+ a+ b/V1l5追問：要使AQ和OCi所在直線平行，則。應在AC的什么位置?分析：要使AQ和OCi所在直線平行，則OC1 = XAQ =又 OC1=OC+CC1 ,設 OC/AC = N ( b+a )4 一 5+X.7a+b/V1L5入nu貝c +6 / 61忌+ 1入a+4入c =3+pa + c ,由a、b、c不共面即空間向量基本定理的唯性知： 5 =九=5F=工，所以，OC=1AC4、,444九=1 3學生可能不一定用剛學過的不熟悉的向量法去做，而是用平面幾何的方法, 根據平行線分線段成比例定

11、理，也應加以肯定，讓學生自己從中體會向量幾何與 平面幾何風格的不同，更深地了解向量幾何側重定量研究， 即將空間任一向量放 在空間坐標系中，用向量的基底表示，再進行運算，思路簡捷，不需要很強的演 繹推理。請學生板演平面幾何證法：易證 AAiQzXCCiR,則 CR=AiQ=1CQ,4又OCACCRCQOC 二 iAC 4（五）、練習：已知向量 a = ei - 2e2 +3e3 , b =2 ei + e2 , c=6ei 2e2 +6e3 ,判斷a+ b與c能否共面或共線？ c 3b與b 2a能否共面或共線？a + b =3 ei e2 +3 e3 , c=2 (a + b),貝U a + b 與 c 共線即平行c 3b =6 e1 一 2e2+6e3 6e1 一 3e2 6eg 5e2b 2 a =2 e1 + e2 2 e1 +4 e2 6e3 = 6 e3 +5 e2c 3b與b 2a共線但反向思維發散訓練：已知甲烷（CH4）的分子結構：中心為碳原子，外圍有四個氫原 子，四個氫原子構成正四面體的頂點， 確定了四個氫原子的位置，能找到碳原子的位置嗎