1、導數的應用常見題型一、常用不等式與常見函數圖像1 ,1、ex 之 x+1ln(x+1)wx1- < ln x < x-1x2、常見函數圖像二、選擇題中的函數圖像問題(一)新型定義問題 對與實數a,b,定義運算 ：a*b= ?a2-ab，a?b,設 ?b - ab,a > bf (x) = (2 x- 1)*( x-1)且關于 x的方程f(x) = m(m? R)恰有三個互不相等的實數根為？2,%,則為*2*3的取值范圍為(二)利用導數確定函數圖像已知函數f (x) = ax3 - 3x2 +1 ,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,則a的取值范圍為()A、(2,+

2、? ) B 、(-? , 2) C 、(1,+? ) D 、(-? , 1)設函數f(x)=ex(2x-1)-ax + a,其中a41,若存在唯一的整數x0,使得f(%)<0,則a的取值范圍是()(A)- 2,1)(B)- a, 3)(C), -)(D) W, 1)2e2e 42e 42e三、導數與單調性實質：導數的正負決定了原函數的單調性處理思路：求導，解不等式f'(x) >0或f'(x) <0求解f'(x)=0,分段列表根據y = f'(x)的圖像確定(一)分段列表已知函數f x =ex -e -2x(I )討論f (x )的單調性;(n

3、)設 g(x)= f(2x4bf(X),當 x>0時，g(x)0,求 b 的最大值；已知函數f(x)=(x2)ex xe2",討論函數的單調性設函數 f(x) =emx x2 . mx(I)證明：f(x)在(-箋，0)單調遞減，在(0,+a)單調遞增；(n)若對于任意%«2H0,1,都有|f(xi)-f(x2) We-1,求m的取值范圍(二)根據導函數圖像確定1已知函數f(x) = ax +(a1)x + lnx 試討論函數的單調性 2已知函數 f (x) =2(x+a)in x + x2 2ax -2a2 +a ,其中 a>0.設 g(x)是 f (x)的導函

4、數，討論g(x)的單調性已知函數f (x) =ax2+bx-in x(a,b w R) , a > 0 ,求f(x)的單調區間(三)已知單調性，求參數取值范圍已知函數f (x) =x2+ln xax在xw (0,1)是增函數，求a的取值范圍；已知函數 g(x) =1x3+l(a-2)x2, h (x) =2alnx , f (x) = g'(x) - h(x)。 62(1)當aGR時，討論函數f(x)的單調性. 是否存在實數a,對任意的”?2亡(0,),且x-x2,都有f(x2)f(x1)Aa x1 一x2恒成立，若存在，求出 a的取值范圍；若不存在，說明理由。四、極值與零點問題

5、實質：第一種說法：導函數或原函數對應方程的根第二種說法：導函數或原函數圖像與x軸的交點處理方法：根源：利用討論導函數和原函數的圖像處理極值點與零點問題利用導數對函數圖像的三個影響要素，數形結合I. 單調性函數圖像大致形狀II. 極值I> 函數圖像相對位置III. 某些特殊點的函數值，兩端的趨勢完善函數圖像代入法將極值點或零點滿足的等式帶入求解表達式進行后續處理代入后目前似乎有三種處理思路I .保留兩個橫坐標，利用替換法(通常令t=S)構建新函數 X2II .保留一個坐標，另一個坐標被替換，構建新函數III不保留坐標，坐標全用參數替換構建新函數構建對稱函數構建比較函數利用對數不等式、指數不

6、等式放縮(一)數形結合已知函數 f(x) =x3 ax2 b(a,b R)(1)試討論函數的單調性(2)若b=1-a,函數有三個零點，求實數 a的取值范圍知函數 f (x) = x3+ax + 1, g(x) = - ln x 4(1)當a為何值時，x軸為y = f(x)的切線；(2)用 minm,n表示 m,n 中的最小值，設函數 h(x) = min f (x), g (x)( x > 0),討論h(x)的零點個數(二)代入法f (x) =x4 -4x3 -a有兩個零點x1，x23 求實數a的取值范圍(2)證明x1 +x2 <2已知常數a>0,函數f (x) = ln(1

7、+ax)2x(1)討論“*)在(0,十8)上的單調性(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2,且f(xi) + f (x2)>0,求實數a的取值范圍一、“1設函數 f (x) = x-alnx( a 三 R)(I)討論f(x)的單調性；(II )若f(x)有兩個極值點xi和x2 ,記過點A(xi，f(xi)，B(x2,f(x2)*q直線的斜率為 人問：是否存在a,使得k = 2-a若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由.(三)構建比較函數已知函數f(x) =ex ax有兩個零點x1,x2(1)求實數a的取值范圍(2)證明：xi +x2 <2lna(3)證明：x1 +x2 >

8、2 , x1x2 <1(四)構建對稱函數1已知函數f(x) = -ax +(a-1)x + lnx,右函數有兩個零點 x1,x2(1)求實數a的取值范圍(2)比較f,(0孥)與0的大小，并證明你的結論2(五)利用對數不等式、指數不等式放縮已知函數f(x)=xe"(1)求函數的單調性及極值(2)如果x1 #x2,且f (x1)= f(x2),證明x1 + x2 > 2設函數f(x) =ex-ax+a(a w R),其圖像與x軸交于A(x1,0),B( x2,。)兩點，且xix2(1)求實數a的取值范圍 (2)證明：xi+x2<2lna ( 3)證明：f'(，x

9、%)<0已知函數 f(x)=lnx-ax2 (2 -a)x(1)討論f (x)的單調性(2)若函數y = f (x)的圖像與x軸交于A、B兩點,線段AB的中點的橫坐標為X。，求證：f'(x0)<0四、導數與最值、恒成立、存在問題實質：恒成立問題存在問題最值問題調性問題處理思路：數形結合分離函數分離參數主元思想例：a .2b-3ab至0對于VaMTlB成立，求b的最大值)(一)不含參數類1.直接翻譯成最值已知函數f (x) =ex-ax-b ,若f (x) >0恒成立，求ab的最大值已知函數f (x) =1 x ,g(x) =x3圖象的下萬+In x,求證：在區間1,y

10、)上，函數f(x)的圖象在函數 2(n)證明：當k<l時，存在>0,使得對任意x?(o, x0),恒有f(x)>g(x)；已知函數f(x)=ln巖.(I)求曲線y=f(x)在點(0,f(0)處的切線方程；(n)求證：當 x? (0,1)時，f(x)>24 + g ；(田)設實數k使得f(x)>kx+：對x?(0,1)恒成立，求k的最大值已知函數f(x)=ax+b在點(-1,f(-1)處的切線方程為x+y + 3 = 0 x +1(1)求函數f (x)的解析式(2)設 g(x) = ln x ,求證：g (x) 3 f (x)在 x? 1, ?)恒成立4、利用常用函

11、數、基本不等式放縮已知函數f (x) = axrb在點(-1, f (-1)處的切線方程為x + y+3 = 0x +1(1)求函數f(x)的解析式(2)設g(x) = lnx,求證：g(x)3 f(x)在x?1, ?)恒成立5、構建關于最值點的新函數討論函數f(x) =2ex的單調性，并證明當x >0時，(x-2)ex + x + 2>0;x 2x(II)證明：當a=0,1)時，函數g(x)=e -axa(x>0)有最小值.設g (x)的最小 x值為h(a),求函數h(a)的值域.(二)含參數類1.直接討論最值 f (x) =ln x-ax2 ,x w (0,1,求 f(x

12、)在區間(0,1上的最大值.設函數f (x) =(1+x)2-2ln(1+x),若定義域內存在Xo ,使得不等式f(x0)-mM0成立，求實數m的最小值；已知函數 f (x) = ax T-ln x (a w R),若函數f (x)在x = 1處取得極值，對 以三(0 , + g ) , f (x)之bx 2恒成立，求實數b的取值范圍；已知函數 f(x)=xalnx, g(x)= _1a, (aWR).x(1)若a =1 ,求函數f (x)的極值；(2)設函數h(x) = f (x) _g(x),求函數h(x)的單調 區間；(3)若在1,e上存在一點x0,使得f(x0) <g(x0)成立

13、，求a的取值范圍.設函數 f (x) =emx x2 .mx(I)證明：f(x)在(-笛，0)單調遞減，在(0,+ +如)單調遞增；(n)若對于任意ximHQI,都有1f(xi)-f(x2)1,求m的取值范圍設函數 f (x) = ln x-ax+1a -1 .x(I)當a=1時，求曲線f(x)在x=1處的切線方程；(II)討論函數f(x)的單調性；(田)當a=1時，設函數g(x) = x2 -2bx-9，若對于Vx w【1,2，三xzb,1,使312f(x)之g(x2)成立，求實數b的取值范圍.已知函數 f(x)=x+a+b(x*0),其中 a,bw R.x(1)若曲線y = f(x瘡點P(

14、2,f(2 )處的切線方程為y = 3x+1,求函數f(x)的解析式；(2)若對于任意的aw 口,2 I不等式f(x產10在，1/上恒成立，求b的取值范圍._2一4已知函數 f(x) = (x2 -3x+3) ex定義域為-2,t(t>2)，設f(-2) = m, f(t) = n.(1)試確定t的取值范圍，使得函數 f(x)在-2,t上為單調函數；(2)求證：n >m；(3)求證：對于任意的t a-2,總存在小W(-2,t),滿足 W=2(t-1)2,并確定這e03樣的x0的個數.2、分離參數分離參數直接求最值已知函數f (x) = 2ln x +ax ,若f(x)<x恒成

15、立，求實數的取值范圍分離參數多次求導已知函數f(x)是奇函數，f(x)的定義域為(-°°,").當x<0時，f (x) = ln( ex)1(1)右函數f (x)在區間(a,a+-)(a> 0)上存在極值點，求頭數a的取值氾圍； 3(2)如果當x>l時，不等式f(x)之上恒成立，求實數k的取值范圍. x 1分離參數多次求導，洛必達法則設函數 f(x)= ex - 1- x - ax2.(I )若a=0,求f(x)的單調區間；(n)若當x0時f(x) >0,求a的取值范圍.分離參數后，構建關于新函數極值點的函數已知函數f (x) =xln x

16、 ,若k為正整數，且f (x)>(k-1 )x-k對任意x >1恒成立，求k的最大值.3、某點處函數值相等，利用函數變化快慢設函數 f (x) = ln (x + 1) + a (x2 - x),其中 a? R.(I)討論函數f(x)極值點的個數，并說明理由；(II)若"x>0, f (x)?0成立，求a的取值范圍.4、分離出一次函數，利用切線數形結合已知函數f(x) =ax + x ln x(a ? R)(1)若函數f(x)在e,+?)上為增函數，求實數a的取值范圍(2)當a = 1且k? Z時，不等式k(x-1) < f (x)在x? (1, ?)上恒成立，求k的最大值若對任意x,y?0, ?),不等式ax?ex+y-2 ex-y-2 + 2恒成立，求實數a的取值范圍5、分離函數，利用數形結合已知函數f (x) = x2+ex-1(x <0)與g(x) = x2+ln(x十a)圖象上存在關于y軸對 2稱的點，求a的取值范圍6、構建關于極值點的函數已知