1、知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念【知識(shí)要點(diǎn)】1. 二次根式的定義：形如"一的式子叫二次根式，其中二叫被開(kāi)方數(shù)，只有當(dāng)盒是一個(gè)非負(fù)數(shù) 時(shí)，才有意義.2. ( . a)2 a( 0).3. 公式.a2 |a| a(a 0)與(a)2 a 0)的區(qū)別與聯(lián)系.a(a 0)(1) a2表示求一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實(shí)數(shù).(2) (. a)2表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負(fù)數(shù).(3) a2和(a)2的運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)的.精典考題類型一：考查二次根式的概念(求自變量取值范圍)1、下列各式中，不是二次根式的是()A.,45 B .,3C .14 D 2、二次根式一雲(yún)1有意義時(shí)的x的取

2、值范圍是x 43、已知：y 一 x2 . x 21，貝U (x y) 2001 =。(圖1)類型二：考查二次根式的性質(zhì)(非負(fù)性、化簡(jiǎn))4、代數(shù)式34 x2的最大值是。5、 實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖1所示，化簡(jiǎn)a 1 J(a 2)2 KK 6把4.3的根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)得；5 2.6的平方根是。7、化簡(jiǎn)：x；(37)22(7 5)2(27)28、若 y= . x 5 + . 5 x +2009,則 x+y=9、若x、y都是實(shí)數(shù)，且y= 2x 33 2x 4，求xy的值10、當(dāng)a取什么值時(shí)，代數(shù)式''2a 1 1取值最小，并求出這個(gè)最小值。11、若.x y y2 4y 4 0，求

3、 xy 的值。12、若 I 1995-a | a 2000 =a，求 a-19952 的值.13、若-3 < x< 2 時(shí)，試化簡(jiǎn) | x-2 | +；(x 3)2+.x2 10x 25。A已知a是 5整數(shù)部分，b是 5的小數(shù)部分，求 a的值。b 2若.3的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b，則 3a b 。2 1若17的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，求X-的值知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)【知識(shí)要點(diǎn)】1. 非負(fù)性：，a(a 0)是一個(gè)非負(fù)數(shù).注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運(yùn)算中經(jīng)常用到.2.(.a)2 aa 0).注意：此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)

4、式寫(xiě)成完全平方的形式：a ( a)2(a 0)3.a2 |a|a(a 0)a(a 0)注意：(1)字母不- -定是 正數(shù).(2)能開(kāi)得盡方的因式移到根號(hào)外時(shí)，必須用它的算術(shù)平方根代替.(3)可移到根號(hào)內(nèi)的因式，必須是非負(fù)因式，如果因式的值是負(fù)的，應(yīng)把負(fù)號(hào)留在根 號(hào)外.4.公式 a2|a| a(a 0)與(.a)2 aQ 0)的區(qū)別與聯(lián)系a(a 0)(1) .a2表示求一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實(shí)數(shù).(2) C a)2表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負(fù)數(shù).(3) 和( a)2的運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)的.【典型例題】【例4】若a 2舉一反三：1、若,m 3 （n 1）20,則m n的

5、值為。2、已知x, y為實(shí)數(shù)，且、x13y 220，則x y的值為（B.- 3C. 1D. 13、已知直角三角形兩邊x、y的長(zhǎng)滿足丨x2 4 | + y2 5y 6 = 0,則第三邊長(zhǎng)為4、若a b 1與Ja 2b 4互為相反數(shù)，則2005a b（公式c. a）a（a 0）的運(yùn)用）例 5】化簡(jiǎn)：a 1 （JT3）2的結(jié)果為（）A、4 2a B、0 C 、2a4 D、4舉一反三：1、 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2 3= ； m4 4m2 4 =x4 9 , x2 2岳 2 2、化簡(jiǎn)：,33 1 .33、 已知直角三角形的兩直角邊分別為、2和I, 5，則斜邊長(zhǎng)為雹a®。）的應(yīng)用）【例6】已

6、知x 2 ,則化簡(jiǎn).x2 4x 4的結(jié)果是舉一反三:1、根式（ 3）2的值是（）A. -3B. 3 或-32、已知a<0，那么I，a 2a |可化簡(jiǎn)為（）3、若 2 p a p 3，則.2 a2- a 3?等于()A. 5 2a B. 1 2a C. 2a 5 D. 2a 14、 若a-3v 0,則化簡(jiǎn)Va 6a 9 4 a的結(jié)果是()(A) 1(B) 1(C) 2a 7(D) 7 2a5、 化簡(jiǎn)4x24x_12x 3 1得()(A)2(B)4x 4(C) 2(D) 4x 4、a2 2a 126、當(dāng)avl且0時(shí)，化簡(jiǎn) a a =.J4(a 丄)2j'4(a )27、已知a 0，化

7、簡(jiǎn)求值：a.a【例7】如果表示 a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)丨a b I(a b)2的結(jié)果等于()* baoA 2b B . 2b C2a D . 2a舉一反三：實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡(jiǎn)： |a 1 J(a 2)2L 11 3 I1 0 1 2【例8】化簡(jiǎn)1 x Vx 8x 16的結(jié)果是2X-5，則x的取值范圍是()(A) x 為任意實(shí)數(shù)(B) 1 < x < 4(C) x > 1(D) x w 1A. a=0 B. a=1 C. a=0或 a=1 D. a w 1舉一反三：若代數(shù)式> (2a)2(a 4)2的值是常數(shù)2，貝U a的取值范

8、圍是( )A. a> 4B.a w 2c. 2 w a w 4d. a 2 或 a 4【例9】如果a.a2 2a1 1 ,那么a的取值范圍是()舉一反三：1、如果a . a2 6a 9 3成立，那么實(shí)數(shù) a的取值范圍是()x1 aA.a OB.a 3;C.a3; D.a 32、若 /(x 3)2 x 3(A) x 3(B)0 ,貝U x的取值范圍是(x 3(C) x 3)(D)x 3【例10】化簡(jiǎn)二次根式a 'a 22的結(jié)果是Va(A)、a 2(B)、a 2(C)a 2(D).a 21、把二次根式a1化簡(jiǎn)，正確的結(jié)果是() aA.,aB,aC.aD. . a2、把根號(hào)外的因式移到

9、根號(hào)內(nèi)：當(dāng)b >0時(shí)，知識(shí)點(diǎn)三：最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式【知識(shí)要點(diǎn)】1、最簡(jiǎn)二次根式：(1)最簡(jiǎn)二次根式的定義：被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開(kāi)方數(shù)中不含能 開(kāi)得盡方的數(shù)或因式；分母中不含根號(hào).2、同類二次根式(可合并根式)：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類 二次根式，即可以合并的兩個(gè)根式。【典型例題】【例11】在根式1).a2b2；2)xy;4) . 27abc ,最簡(jiǎn)二次根式是(A . 1) 2) B . 3) 4) C . 1) 3) D . 1) 4)解題思路：掌握最簡(jiǎn)二次根式的條件。舉一反三：1、45a, 30, 2；!，. 40b2

10、,-.54, 17(a2 b2)中的最簡(jiǎn)二次根式是。2、下列根式中，不是 最簡(jiǎn)二次根式的是(D. .2A.7B. .3C.14、A. . a2 1B. . 21D. 0.1yF列各式中哪些是最簡(jiǎn)二次根式，哪些不是？為什么?；3ab(1)3a2b(2)2.a b(a b)-8xy5、把下列各式化為最簡(jiǎn)二次根式:x2A. . 8 B.27C.2. 5D.舉一反三：1、下列各組根式中，是可以合并的根式是()CA、.3 和.18 B、.a2b和.ab2(1) 12【例12】下列根式中能與，3是合并的是（）能與.3合并的二次根式是。2、在二次根式：.12 :一23 :2 :27中,33、如果最簡(jiǎn)二次根式

11、.3a 8與.17 2a能夠合并為一個(gè)二次根式，則 a=.知識(shí)點(diǎn)四：二次根式計(jì)算一一分母有理化【知識(shí)要點(diǎn)】1. 分母有理化定義：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化。2有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下： 單項(xiàng)二次根式：利用 .a a a來(lái)確定，如：a與、a ,/a b與；a b，- a b與.a b等分別互為有理化因式。 兩項(xiàng)二次根式：利用平方差公式來(lái)確定。如a . b與a , b , “a . b與、a . b ,a、x b y與a x b y分別互為有理化因式。3. 分母有理化的方法與步驟： 先將分子

12、、分母化成最簡(jiǎn)二次根式； 將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 最后結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式或有理式。【典型例題】【例13】把下列各式分母有理化(1)(2)4-33、7(4)【例14】把下列各式分母有理化(1)、2x8x3y(2)a b(3)8x3 x(4)(1)2L舉一反三：1、已知x2y232、把下列各式分母有理化:【例15】把下列各式分母有理化:2 _!，求下列各式的值:2、3(3)3.33.2 2.3(1) 3( 2)x2 3xy y2 x y一 a2 廠2a 2*a 2(3)b /a2b2b . a2b2小結(jié)：一般常見(jiàn)的互為有理化因式有如下幾類: / 與 '

13、 P 與- j'. 叮 '知識(shí)點(diǎn)五：二次根式計(jì)算二次根式的乘除【知識(shí)要點(diǎn)】1積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。=,a . b (a>0, b>0)2二次根式的乘法法則：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。, a b = , ab . (a>0, b> 0)3商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方4二次根式的除法法則：兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)的商的算術(shù)平方根。注意：乘、除法的運(yùn)算法則要靈活運(yùn)用，在實(shí)際運(yùn)算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的 左邊，同時(shí)還要考

14、慮字母的取值范圍，最后把運(yùn)算結(jié)果化成最簡(jiǎn)二次根式.【典型例題】【例16】化簡(jiǎn)，廠16(2).1681(3)5 2.15(4), 9x2y2( x 0, y 0)1 x 62 3【例17】計(jì)算（1 ）、' r(2 ) J(8)【例18】化簡(jiǎn):0,b0)0,y0)0,y 0)【例19】計(jì)算:(1)(2)34.1617例 20】能使等式x的取值范圍是（A、x 2 Bx 0 c 、0x2 d無(wú)解知識(shí)點(diǎn)六：二次根式計(jì)算二次根式的加減【知識(shí)要點(diǎn)】需要先把二次根式化簡(jiǎn)，然后把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）的系數(shù) 相加減，被開(kāi)方數(shù)不變。注意：對(duì)于二次根式的加減， 關(guān)鍵是合并同類二次根式， 通

15、常是先化成最簡(jiǎn)二次根式, 再把同類二次根式合并.但在化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，二次根式的被開(kāi)方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能 開(kāi)得盡的因數(shù).【典型例題】【例20】計(jì)算（1）321 75 2 0.5(2) 102 .203(3).32 . 1 55¥85丄763727233 .245 ；74 11 ；3 屈-74824【例21】(1) 3.xy 4x 4yx42 2x y(2)3a2a -108a4(4)a b .a . b(5) J81a3 5a石J4a5 ay:yx 2x, xy知識(shí)點(diǎn)七：二次根式計(jì)算二次根式的混合計(jì)算與求值【知識(shí)要點(diǎn)】1、確定運(yùn)算順序；2、靈活運(yùn)用運(yùn)算定律；3、正確使用乘法公式；4、

16、大多數(shù)分母有理化要及時(shí)；5、在有些簡(jiǎn)便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化;【典型習(xí)題】1、 2 ab5 (ba3b)3b2、,a48 )二(2 12 +4y2(722二3)3 765、（2、33.2.6)(2 33.2. 6)、(32、5)2(45)(4. 5)7、（2、65)10(2、65)118、-'9m (lOm325卅:）（m0)- 4口 +4 十 J/ 一 n 十1【例21】1.已知：，求一j 一、1 的值.-5 + 1產(chǎn)十K十12. 已知亠匚，求的值。（広-&嚴(yán)+4屈3. 已知：一f 二-，求 ： 的值4 .求 J$-+ J&+755 的值JF 9+J9 5

17、. 已知工、是實(shí)數(shù)，且.:，求'-1 的值.知識(shí)點(diǎn)八：根式比較大小【知識(shí)要點(diǎn)】1、根式變形法 當(dāng)a 0, b 0時(shí)，如果a b，則.： a -；ib ；如果a b，則-.； a 、.： b。2、平方法當(dāng)a 0,b 0時(shí)，如果a2 b2，則a b ；如果a2 b2，則a b。3、 分母有理化法通過(guò)分母有理化，利用分子的大小來(lái)比較。4、 分子有理化法通過(guò)分子有理化，利用分母的大小來(lái)比較。5、倒數(shù)法6、 媒介傳遞法適當(dāng)選擇介于兩個(gè)數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進(jìn)行比較。7、 作差比較法 在對(duì)兩數(shù)比較大小時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：a b 0 a b :a b 0 a b8、求商比較法它運(yùn)用如下性質(zhì):a

18、當(dāng)a>0, b>0時(shí)，則：b【典型例題】【例22】比較3.5與5 3的大小。（用兩種方法解答）2 1例 23】比較一/ 與r '的大小。V3 1 V2 1【例24】比較15"4與1413的大小。【例25】比較76與65的大小。【例26】比較7 3與'873的大小二次根式典型習(xí)題集-、概念（一）二次根式F列式子，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式：、3 3、1 x （x>0）> 0、4 2、x“2、廠 y (x > 0, y?> 0).x y(二)最簡(jiǎn)二次根式X (y>0)化為最簡(jiǎn)二次根式結(jié)果是a.(y>o),y化簡(jiǎn)x2y

19、2 =_1把二次根式B . xy (y>0).C.衛(wèi)(y>0)yD.以上都不對(duì)2.3.紜I' 化簡(jiǎn)二次根式號(hào)后的結(jié)果是4.已知xy 0，化簡(jiǎn)二次根式x_y的正確結(jié)果為(三)同類二次根式1.以下二次根式：.12 ；22 ；A .和B .和2 .在 >/8、1 75a、2 J9a、33次根式的有,2 ;：27中，與,3是同類C.和D .和1 中Jl25、2 J3a3、3 Jo.2、-2a3.若最簡(jiǎn)根式3a b4a 3b與根式 2ab2 b3 6b2是同類二次根式，求4若最簡(jiǎn)二次根式2與n 丁4喬10是同類二次根式，求 m3(四)-分母有理化”與 有理化因式”1.J2+J3

20、的有理化因式是； x-jy的有理化因式是-Jx 1-Jx 1的有理化因式是 2把下列各式的分母有理化(1) ；(2)V5 11 2丁3二、二次根式有意義的條件：(4)1.(1)當(dāng)當(dāng)x是多少時(shí)，(2)當(dāng)當(dāng)x是多少時(shí)，(3)當(dāng)當(dāng)x是多少時(shí)，(4)當(dāng)3x 1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?2x 3 + 丄 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?x 12X 3 +x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?x時(shí)，r_21 2x有意義。2.使式子 (x 5)2有意義的未知數(shù)C. 2x有()個(gè).D .無(wú)數(shù)【次根式的是 ().，與3a是同類二c a、b的值.n的值.3 3 4 23 3 42 x3.已知y= . 2 x+.x 2+5，求一的值.y4 .若

21、X +3有意義，則Jx 2 =.5. 若/不有意義，則m的取值范圍是。m 16. 要是下列式子有意義求字母的取值范圍（1）”4<73 <8x x"2 2x（6） . x2 2x 1三、二次根式的非負(fù)數(shù)性1. 若.a +、b 1 =0，求 a2004+b2004 的值.2. 已知、.x y 1 + . x 3 =0，求 xy 的3若；x y y2 4y 4 0，求 xy 的值。a a > 0四、TO2 |a的應(yīng)用a a v 01. a>0時(shí)，.a2、 、（ a）2a2，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（）.A. a2 =、.( a)2 > - a2c

22、. . a2 v . ( a)2 <-、a2B. a2 >、.( a)2 >- . a2D. - , a2 > . a2 = ._ ( a)2甲的解答為:乙的解答為:兩種解答中,的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是2. 先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng) a=9時(shí)，求a+J 2a a2的值，甲乙兩人的解答如下:原式 =a+ (1 a)2 =a+ (1-a) =1 ;原式 =a+ .(1 a)2 =a+ (a-1) =2a-1=17 .3.若 | 1995-a |+、一 a 2000 =a,求 a-19952 的值.（提示：先由a-2000> 0，判斷1995-a?的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕

23、對(duì)值）4.若-3< x< 2 時(shí)，試化簡(jiǎn) |x-2 | + ,(X 3)2+ x2 10x25。5.化簡(jiǎn)a的結(jié)果是（）.B. a c.6.把(a-1)1中根號(hào)外的（a 1a-1）移入根號(hào)內(nèi)得（).五、求值問(wèn)題：1.當(dāng) x= .15+., 7 ,y= . 15 - 、7，求 x2-xy+y 2 的值2 .已知 a=3+22 , b=3-2 J2，貝U a2b-ab2=.3已知 a= 3 -1,求 a .計(jì)算(' x + . x 1 )( -. x - . x 1 )的值是().A . 2 B . 3C . 4+2a2-a 的值4. 已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求

24、(| 9x +yT)-( x1 -5 )的值.5已知J5 - 2.236，求(顧-尼 )-(J 31+4. 如果，則（*的取值范圍是2>/45 )的值.(結(jié)果精確到0.01) 6先化簡(jiǎn)，再求值.(6xp + yjxy) - (4xp + J36xy),其中 x=3 , y=27.7.當(dāng)x=!時(shí)，求x 1 x x+x 1 x x的值.（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）V2 1x 1 Jx2 x x 1 Jx2 x8.已知x2 3x 1 0 ,求i x2； 2的值六、其他1.等式.x 1g x 1 ix21成立的條件是（）A . x> 1 B . x >-1 C. -1 w xw 1 D

25、. x> 1 或 x< -12.已知9 x、9 x-x 6、廠6，且x為偶數(shù)，求（1+x)的值.(x 7)2命5.如果匸，則x的取值范圍是。6若、a2 G，a)2則a的取值范圍是。7.設(shè) a. 3, 2 , b=2 , 3 , c=5 2，貝U a、b、c 的大小關(guān)系是。8若 243n是一個(gè)整數(shù)，則整數(shù) n的最小值是。9.已知.111的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b，試求.11 ab 1的值七、計(jì)算(m>0，n>0)23.a ba . ba b 2 - aby,x x y y x x y6.a 2、ab ba b八、應(yīng)用1鐵路基的橫截面是梯形 ABCD，如圖，已知AD=BC

26、 ,CD=8cm ,路基的高度 DE=6cm ,斜坡BC的坡比為1:.3，求路基下底寬AB的長(zhǎng)度2. 如圖，扶梯 AB的坡比為4; 3，滑梯CD坡比為1: 2, AE=6cm , BC=5cm，男孩從扶梯 A走到滑梯的頂部，然 后從滑梯滑下到 D,共經(jīng)過(guò)多少路程？R3如圖，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為 1, ABC是格點(diǎn)三角形，求：（1） ABC的面積（2） ABC的周長(zhǎng)；（3）點(diǎn)C到AB的距離。*i4*Zi4二次根式新題型近幾年的中考數(shù)學(xué)試題圍繞二次根式出現(xiàn)了許多重素質(zhì)、考能力的新穎題型，歸納起 來(lái)，主要有以下幾種。一.開(kāi)放求值題例1請(qǐng)先化簡(jiǎn)下列式子，再選取兩個(gè)能使原式有意義，而你又喜愛(ài)的數(shù)代入

27、化簡(jiǎn)后的 式子中求值。廠11VT lx2 x解：原式x1x 1x1x 1.x( x 1)當(dāng)x 2時(shí)，原式 ,2 ；當(dāng)x 3時(shí)，原式 、3。評(píng)注：將一道常規(guī)的條件求值題，稍加改編，成為開(kāi)放求值題，其意境截然不同，可貴之處不但在于從更高層次上考查了學(xué)生縝密思考（改編的同時(shí)，暗設(shè)陷阱x 1）、靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，而且體現(xiàn)了人文關(guān)愛(ài)，利于激發(fā)興趣，緩解考試壓力。計(jì)算器操作探索題例2.用計(jì)算器探索：已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù):1,.31、191。如果從中選出若干個(gè)數(shù)，使它們的和大于x203，那么至少要選個(gè)數(shù)。解析：由于各數(shù)據(jù)的分母依次增大，故這組數(shù)據(jù)依次減小，根據(jù)題意可選前面數(shù)值較大的數(shù)據(jù)求和。由計(jì)算器

28、可求得:3.2至少要選5個(gè)數(shù)，故填5。例3.借助于計(jì)算器可以求得、432,44332 , . 44433324444233332仔細(xì)觀察上面幾道題的計(jì)算結(jié)果，試猜想44 423332,2003個(gè) 2003個(gè)解析：城3r 5, J442 332 55,.4442 3332 555, . 44442 33332 5555觀察以上各式，易發(fā)現(xiàn)等式左端被開(kāi)方數(shù)各加數(shù)的幕底數(shù)位數(shù)與等式右端的數(shù)的位數(shù) 相同，于是可猜想：44 42；2003個(gè)33322003個(gè)5552003個(gè)評(píng)注：養(yǎng)成正確使用計(jì)算器的習(xí)慣，能熟練地運(yùn)用計(jì)算器去完成復(fù)雜的運(yùn)算或探究性 問(wèn)題，是國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)大綱的要求。從上述兩例中可

29、看到，由于使用了計(jì)算器, 避免了繁冗、重復(fù)的運(yùn)算過(guò)程，大大提高了解題效率，計(jì)算器進(jìn)課堂、進(jìn)考場(chǎng)是時(shí)代的要 求，學(xué)習(xí)的需要，應(yīng)引起高度重視。三讀圖計(jì)算題例4.在第六冊(cè)課本的閱讀材料中，介紹了一個(gè)第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽，它的 主體圖案是由一連串如圖所示的直角三角形演化而成的。設(shè)其中的第一個(gè)直角三角形OAi A2是等腰直角三角形，且 OAAi A2A? A3A3A4 A9 1，請(qǐng)你先把圖中其他8條線段的長(zhǎng)計(jì)算出來(lái)，填在下面的表格中，然后再計(jì)算這8條線段的長(zhǎng)的乘積。OA,OA,a4OA.oatOAflOAo解析：觀察圖形可知，待求線段既是前一個(gè)直角三角形的斜邊，又是后一個(gè)直角三角形的直角邊，因而

30、利用勾股定理可求出各線段的長(zhǎng)依次為.2、.32 、5、. 6、： 7、22、3，它們的積為 23 25672 23 72 70 o評(píng)注：解這類題的關(guān)鍵是結(jié)合題設(shè)讀懂圖，從圖中獲取信息，借助數(shù)形結(jié)合，就能迅速、正確地找到解題途徑。四閱讀判斷題例5.化簡(jiǎn)3.5.、2時(shí)，甲的解法是:3,5.2352.5252乙的解法是:5252V5 V 2以下判斷正確的是（）A. 甲的解法正確，乙的解法不正確B. 甲的解法不正確，乙的解法正確C. 甲、乙的解法都正確D. 甲、乙的解法都不正確解析：正確答案應(yīng)為 C。甲采用分母有理化的方法，而乙采用分解約分法，雖然兩人 的思路不同，解法各異，但最后殊途同歸。例6.對(duì)于

31、題目“化簡(jiǎn)并求值:2，其中a-”，甲、乙兩人的解答5不同,甲的解答是:a249乙的解答是:2 a誰(shuí)的解答是錯(cuò)誤的？為什么?解析：解答此題的關(guān)鍵是對(duì)于式子脫去根號(hào)后，得到a，還是a1這就必須要明確a是正還是負(fù)。a故乙的解答是錯(cuò)誤的。評(píng)注：這兩道題格調(diào)清新，考查面寬廣，從分母有理化、二次根式的性質(zhì)、二次根式 的化簡(jiǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能到思維的靈活性、深刻性、批判性等方面都進(jìn)行了考查。解 答時(shí)要慎重思考，仔細(xì)甄別。這類題有利于學(xué)生養(yǎng)成對(duì)待問(wèn)題認(rèn)真負(fù)責(zé)、一絲不茍的態(tài)度。六歸納、猜想題例7.觀察下列各式:415你能得出怎樣的結(jié)論？并給出證明。解析：仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)每個(gè)算式左邊根號(hào)內(nèi)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)的分子與

32、右邊根號(hào)外的 整數(shù)、根號(hào)內(nèi)的分?jǐn)?shù)的分子都相同，而分母比分子的平方少1,故得結(jié)論為（）2 n（n 1的整數(shù)）證明:3 nn21n評(píng)注：歸納、猜想題，常常是從簡(jiǎn)單情形入手，通過(guò)對(duì)若干特例的觀察、分析，從中 類比、歸納，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，進(jìn)而猜想出具有一般規(guī)律的結(jié)論，并對(duì)結(jié)論的正確性給予 驗(yàn)證或證明。七閱讀理解題例8.觀察下列分母有理化的運(yùn)算:12，2.3、3,.3.41,2001 .20021,2001,2002 ,.2002、20032002、2003,利用上面的規(guī)律計(jì)算:2001. 20022002.20031.2003解析：要計(jì)算的式子有兩個(gè)因式，第一個(gè)因式可根據(jù)題中給出的規(guī)律求得120031

33、、2、2、334200220022003原式 12003 120032002例9閱讀下面的問(wèn)題及解答:問(wèn)題：化簡(jiǎn) 235 23.5223.5 2廠r- 23 . 5解：設(shè)則x210,于是原式(x22 5X 5)(X22f5) (y 2.5y 5)(y22 5y 5)2 22(x y )2040從上面的解答可以看出，一個(gè)很復(fù)雜的根式，化簡(jiǎn)的結(jié)果卻是個(gè)簡(jiǎn)單的有理數(shù)，做完 這道習(xí)題后，現(xiàn)在請(qǐng)你當(dāng)一回老師，編四個(gè)類似的二次根式的化簡(jiǎn)題，要求滿足以下兩個(gè) 條件：（1）題目是由.2, .3, 5這三個(gè)無(wú)理數(shù)（或是其中兩個(gè)）經(jīng)過(guò)各種運(yùn)算組成的（每題要包含加、減、乘、除、乘方幾種運(yùn)算中的一種或幾種運(yùn)算，如,3

34、232 1等，在你編出的四道題中，不能漏掉了五種運(yùn)算中的某一種運(yùn)算）。（2）化簡(jiǎn)的結(jié)果是一個(gè)有理數(shù)。解析：閱讀材料介紹了解決本題的一個(gè)方法一一構(gòu)造共軛因式。因此，利用共軛因式的積、商、平方或結(jié)合其他手段來(lái)嘗試編擬符合條件的二次根式化簡(jiǎn)題，如：.3 2,5 2(1)52523 ；5.3 25216 ；- 2(3)32-2321 ；v3 込 7323232 10 ；(5)23.523. 5(6)2352355325322 100評(píng)注：閱讀理解題取材廣泛，是考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)及其綜合素質(zhì)的熱門(mén)題型。它一般 由兩部分組成：一是閱讀材料，二是考查內(nèi)容。根據(jù)閱讀內(nèi)容、考查目標(biāo)的不同，又可分 為許多題型。例

35、8例9都屬于知識(shí)性閱讀題，即通過(guò)閱讀給出的材料，理解并掌握方法, 進(jìn)而應(yīng)用方法解答題中設(shè)置的問(wèn)題。這類題對(duì)學(xué)生的閱讀理解能力、自學(xué)能力、創(chuàng)新應(yīng)用 能力等都有較高的要求。、選擇題:1.若A. m > 212.若A. x=03.二次根式空2過(guò)關(guān)測(cè)試在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則B. m>2B.52二、胃m的取值范圍是（C. m w 2=3,則 x1 w X w 2、的大小關(guān)系是的取值范圍是（C. x > 2°D. m<2D. xw 1A.C. 14.下列式子中，正確的是（A.（十3） （，+3） =2 頂-®£ 區(qū)C. 2 X（： =2 1B. 5D.

36、 (2 J2= 2 'J5.使等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（B. aA. a 豐 3> -，且a豐3（a>0）中，屬于同類二次根式的是（和2盤(pán)2aC. a>3R.屆和C.D. a7.當(dāng)0<x<2時(shí)，化簡(jiǎn)A. -鼻+44托鮎 的結(jié)果是（ ）°苗x8.甲、乙兩個(gè)同學(xué)化簡(jiǎn) ！ JL 時(shí)，分別作了如下變形： 述b 衛(wèi) （M-M）（松+ 爲(wèi)）ab-bZb 甲： J， 人= 一'，： 工Va - -Vat - Jb - -/aS Jb(a-b)11 估計(jì)J8 J* J3的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在A. 1到2之間C. 3到4之間12.若使二次根式.x 2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)

37、有意義A. x 2B. x 2二、填空題：1.已知a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，B. 2到3之間D.4到5之間，則x的取值范圍是C. x 2D. x 2V r'：l' ：l |b a |的化簡(jiǎn)結(jié)果是3.已知4.如果5.已知成立的條件是m是小于10的正整數(shù)，且-:可化為同類二次根式,xy=忑,x y=5拒1，那么（x+1） （x 1）的值為 _x=12, x=m可取的值有6.若 a< 2,、oaa）（a+2）V的化簡(jiǎn)結(jié)果是乙：:=7a -a- b。其中，（）。A.甲、乙都正確B.甲、乙都不正確C.只有甲正確D.只有乙正確9.卜列運(yùn)算止確的是（)A.3 . 273B. ( n3.14：