1、1.1 試求理想氣體的體脹系數,壓強系數和等溫壓縮系數。解：已知理想氣體的物態方程為 （1）由此易得 （2） （3） （4）1.2 證明任何一種具有兩個獨立參量的物質，其物態方程可由實驗測得的體脹系數及等溫壓縮系數，根據下述積分求得：如果，試求物態方程。解：以為自變量，物質的物態方程為其全微分為 （1）全式除以，有根據體脹系數和等溫壓縮系數的定義，可將上式改寫為 （2）上式是以為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分，有 （3）若，式（3）可表為 （4）選擇圖示的積分路線，從積分到，再積分到（），相應地體積由最終變到，有即（常量），或 （5）式（5）就是由所給求得的物態方程。 確定常量C需要

2、進一步的實驗數據。1.3 在和1下，測得一銅塊的體脹系數和等溫壓縮系數分別為可近似看作常量，今使銅塊加熱至。問：（a）壓強要增加多少才能使銅塊的體積維持不變？（b）若壓強增加100，銅塊的體積改變多少？解：（a）根據1.2題式（2），有 （1）上式給出，在鄰近的兩個平衡態，系統的體積差，溫度差和壓強差之間的關系。如果系統的體積不變，與的關系為 （2）在和可以看作常量的情形下，將式（2）積分可得 （3）將式（2）積分得到式（3）首先意味著，經準靜態等容過程后，系統在初態和終態的壓強差和溫度差滿足式（3）。 但是應當強調，只要初態和終態是平衡態，兩態間的壓強差和溫度差就滿足式（3）。 這是因為，平

3、衡狀態的狀態參量給定后，狀態函數就具有確定值，與系統到達該狀態的歷史無關。 本題討論的銅塊加熱的實際過程一般不會是準靜態過程。 在加熱過程中，銅塊各處的溫度可以不等，銅塊與熱源可以存在溫差等等，但是只要銅塊的初態和終態是平衡態，兩態的壓強和溫度差就滿足式（3）。將所給數據代入，可得因此，將銅塊由加熱到，要使銅塊體積保持不變，壓強要增強（b）1.2題式（4）可改寫為 （4）將所給數據代入，有因此，將銅塊由加熱至，壓強由增加，銅塊體積將增加原體積的倍。 1.4 簡單固體和液體的體脹系數和等溫壓縮系數數值都很小，在一定溫度范圍內可以把和看作常量. 試證明簡單固體和液體的物態方程可近似為 解: 以為狀

4、態參量，物質的物態方程為根據習題1.2式（2），有 （1）將上式沿習題1.2圖所示的路線求線積分，在和可以看作常量的情形下，有 （2）或 （3）考慮到和的數值很小，將指數函數展開，準確到和的線性項，有 （4）如果取，即有 （5）1.5 描述金屬絲的幾何參量是長度，力學參量是張力J，物態方程是實驗通常在1下進行，其體積變化可以忽略。線脹系數定義為等溫楊氏模量定義為其中是金屬絲的截面積，一般來說，和是T的函數，對J僅有微弱的依賴關系，如果溫度變化范圍不大，可以看作常量，假設金屬絲兩端固定。試證明，當溫度由降至時，其張力的增加為解：由物態方程 （1）知偏導數間存在以下關系： （2）所以，有（3） 積

5、分得 （4）與1.3題類似，上述結果不限于保持金屬絲長度不變的準靜態冷卻過程，只要金屬絲的初態是平衡態，兩態的張力差就滿足式（4），與經歷的過程無關。1.6一理想彈性線的物態方程為其中是長度，是張力J為零時的L值，它只是溫度T的函數，b是常量. 試證明：（a）等溫揚氏模量為在張力為零時，其中A是彈性線的截面面積。（b）線脹系數為其中（c）上述物態方程適用于橡皮帶，設，試計算當分別為和時的值，并畫出對的曲線.解:（a）根據題設，理想彈性物質的物態方程為 （1）由此可得等溫楊氏模量為（2） 張力為零時，（b）線脹系數的定義為由鏈式關系知 （3）而所以（4） （c）根據題給的數據，對的曲線分別如圖1

6、-2（a），（b），（c）所示。1.7 抽成真空的小匣帶有活門，打開活門讓氣體沖入，當壓強達到外界壓強時將活門關上，試證明：小匣內的空氣在沒有與外界交換熱量之前，它的內能與原來在大氣中的內能之差為，其中是它原來在大氣中的體積，若氣體是理想氣體，求它的溫度與體積。解：將沖入小匣的氣體看作系統。系統沖入小匣后的內能與其原來在大氣中的內能由式（1.5.3） （1）確定。由于過程進行得很迅速，過程中系統與外界沒有熱量交換， 過程中外界對系統所做的功可以分為和兩部分來考慮。一方面，大氣將系統壓入小匣，使其在大氣中的體積由變為零。由于小匣很小，在將氣體壓入小匣的過程中大氣壓強可以認為沒有變化，即過程是等壓

7、的（但不是準靜態的）。過程中大氣對系統所做的功為另一方面，小匣既抽為真空，系統在沖入小匣的過程中不受外界阻力，與外界也就沒有功交換，則因此式（1）可表為 （2）如果氣體是理想氣體，根據式（1.3.11）和（1.7.10），有 （3） （4）式中是系統所含物質的量。代入式（2）即有 （5）活門是在系統的壓強達到時關上的，所以氣體在小匣內的壓強也可看作，其物態方程為 （6）與式（3）比較，知 （7）1.8 滿足的過程稱為多方過程，其中常數名為多方指數。試證明：理想氣體在多方過程中的熱容量為解：根據式（1.6.1），多方過程中的熱容量 （1）對于理想氣體，內能U只是溫度T的函數，所以 （2）將多方過

8、程的過程方程式與理想氣體的物態方程聯立，消去壓強可得（常量）。 （3）將上式微分，有所以 （4）代入式（2），即得（5）其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。1.9 試證明：理想氣體在某一過程中的熱容量如果是常數，該過程一定是多方過程，多方指數。假設氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常量。解：根據熱力學第一定律，有 （1）對于準靜態過程有對理想氣體有氣體在過程中吸收的熱量為因此式（1）可表為 （2）用理想氣體的物態方程除上式，并注意可得 （3）將理想氣體的物態方程全式求微分，有 （4）式（3）與式（4）聯立，消去，有 （5）令，可將式（5）表為 （6）如果和都是常量，將上式積分即得（常量）。

9、（7）式（7）表明，過程是多方過程。1.10 聲波在氣體中的傳播速度為假設氣體是理想氣體，其定壓和定容熱容量是常量，試證明氣體單位質量的內能和焓可由聲速及給出：其中為常量。解：根據式（1.8.9），聲速的平方為 （1）其中v是單位質量的氣體體積。理想氣體的物態方程可表為式中是氣體的質量，是氣體的摩爾質量。 對于單位質量的氣體，有 （2）代入式（1）得 （3）以表示理想氣體的比內能和比焓（單位質量的內能和焓）。 由式（1.7.10）（1.7.12）知 （4）將式（3）代入，即有 （5）式（5）表明，如果氣體可以看作理想氣體，測定氣體中的聲速和即可確定氣體的比內能和比焓。1.11大氣溫度隨高度降低

10、的主要原因是在對流層中的低處與高處之間空氣不斷發生對流，由于氣壓隨高度而降低，空氣上升時膨脹，下降時收縮，空氣的導熱率很小，膨脹和收縮的過程可以認為是絕熱過程，試計算大氣溫度隨高度的變化率，并給出數值結果。解：取軸沿豎直方向（向上）。以和分別表示在豎直高度為和處的大氣壓強。 二者之關等于兩個高度之間由大氣重量產生的壓強，即 （1）式中是高度為處的大氣密度，是重力加速度。 將展開，有代入式（1），得 （2）式（2）給出由于重力的存在導致的大氣壓強隨高度的變化率。以表大氣的平均摩爾質量。 在高度為處，大氣的摩爾體積為，則物態方程為 （3）是豎直高度為處的溫度。 代入式（2），消去得 （4）由式（1

11、.8.6）易得氣體在絕熱過程中溫度隨壓強的變化率為 （5）綜合式（4）和式（5），有（6）大氣的（大氣的主要成分是氮和氧，都是雙原子分子），平均摩爾質量為，代入式（6）得 （7）式（7）表明，每升高1km，溫度降低10K。 這結果是粗略的。由于各種沒有考慮的因素，實際每升高1km，大氣溫度降低6K左右。1.12 假設理想氣體的是溫度的函數，試求在準靜態絕熱過程中的關系，該關系式中要用到一個函數，其表達式為解：根據式（1.8.1），理想氣體在準靜態絕熱過程中滿足 （1）用物態方程除上式，第一項用除，第二項用除，可得 （2）利用式（1.7.8）和（1.7.9），可將式（2）改定為 （3）將上式積分

12、，如果是溫度的函數，定義 （4）可得（常量）， （5）或（常量）。 （6）式（6）給出當是溫度的函數時，理想氣體在準靜態絕熱過程中T和V的關系。1.13 利用上題的結果證明：當為溫度的函數時，理想氣體卡諾循環的效率仍為解：在是溫度的函數的情形下，§1.9就理想氣體卡諾循環得到的式（1.9.4）（1.9.6）仍然成立，即仍有 （1） （2） （3）根據1.13題式（6），對于§1.9中的準靜態絕熱過程（二）和（四），有 （4） （5）從這兩個方程消去和，得 （6）故 （7）所以在是溫度的函數的情形下，理想氣體卡諾循環的效率仍為 （8）1.14試根據熱力學第二定律證明兩條絕熱線

13、不能相交。解：假設在圖中兩條絕熱線交于點，如圖所示。設想一等溫線與兩條絕熱線分別交于點和點（因為等溫線的斜率小于絕熱線的斜率，這樣的等溫線總是存在的），則在循環過程中，系統在等溫過程中從外界吸取熱量，而在循環過程中對外做功，其數值等于三條線所圍面積（正值）。循環過程完成后，系統回到原來的狀態。根據熱力學第一定律，有。這樣一來，系統在上述循環過程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉變為功了，這違背了熱力學第二定律的開爾文說法，是不可能的。 因此兩條絕熱線不可能相交。1.15 熱機在循環中與多個熱源交換熱量，在熱機從其中吸收熱量的熱源中，熱源的最高溫度為，在熱機向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為，試

14、根據克氏不等式證明，熱機的效率不超過解：根據克勞修斯不等式（式（1.13.4），有 （1）式中是熱機從溫度為的熱源吸取的熱量（吸熱為正，放熱為負）。 將熱量重新定義，可將式（1）改寫為 （2）式中是熱機從熱源吸取的熱量，是熱機在熱源放出的熱量，恒正。 將式（2）改寫為 （3）假設熱機從其中吸取熱量的熱源中，熱源的最高溫度為，在熱機向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為，必有故由式（3）得 （4）定義為熱機在過程中吸取的總熱量，為熱機放出的總熱量，則式（4）可表為 （5）或 （6）根據熱力學第一定律，熱機在循環過程中所做的功為熱機的效率為 （7）1.16 理想氣體分別經等壓過程和等容過程，溫度由

15、升至。 假設是常數，試證明前者的熵增加值為后者的倍。解：根據式（1.15.8），理想氣體的熵函數可表達為 （1）在等壓過程中溫度由升到時，熵增加值為 （2）根據式（1.15.8），理想氣體的熵函數也可表達為 （3）在等容過程中溫度由升到時，熵增加值為 （4）所以 （5）1.17 溫度為的1kg水與溫度為的恒溫熱源接觸后，水溫達到。試分別求水和熱源的熵變以及整個系統的總熵變。欲使參與過程的整個系統的熵保持不變，應如何使水溫從升至？已知水的比熱容為解：的水與溫度為的恒溫熱源接觸后水溫升為，這一過程是不可逆過程。為求水、熱源和整個系統的熵變，可以設想一個可逆過程，它使水和熱源分別產生原來不可逆過程中

16、的同樣變化，通過設想的可逆過程來求不可逆過程前后的熵變。為求水的熵變，設想有一系列彼此溫差為無窮小的熱源，其溫度分布在與之間。令水依次從這些熱源吸熱,使水溫由升至。在這可逆過程中,水的熵變為 （1）水從升溫至所吸收的總熱量為為求熱源的熵變，可令熱源向溫度為的另一熱源放出熱量。在這可逆過程中，熱源的熵變為 （2）由于熱源的變化相同，式（2）給出的熵變也就是原來的不可逆過程中熱源的熵變。則整個系統的總熵變為（3） 為使水溫從升至而參與過程的整個系統的熵保持不變，應令水與溫度分布在與之間的一系列熱源吸熱。水的熵變仍由式（1）給出。這一系列熱源的熵變之和為 （4）參與過程的整個系統的總熵變為 （5）1

17、.18 10A的電流通過一個的電阻器，歷時1s。（a）若電阻器保持為室溫，試求電阻器的熵增加值。（b）若電阻器被一絕熱殼包裝起來，其初溫為，電阻器的質量為10g，比熱容為 問電阻器的熵增加值為多少？解：（a）以為電阻器的狀態參量。設想過程是在大氣壓下進行的，如果電阻器的溫度也保持為室溫不變，則電阻器的熵作為狀態函數也就保持不變。（b）如果電阻器被絕熱殼包裝起來，電流產生的焦耳熱將全部被電阻器吸收而使其溫度由升為，所以有故電阻器的熵變可參照§1.17例二的方法求出，為1.19 均勻桿的溫度一端為，另一端為，試計算達到均勻溫度后的熵增。解：以L表示桿的長度。桿的初始狀態是端溫度為，端溫度

18、為，溫度梯度為（設）。 這是一個非平衡狀態。通過均勻桿中的熱傳導過程，最終達到具有均勻溫度的平衡狀態。為求這一過程的熵變，我們將桿分為長度為的許多小段，如圖所示。位于到的小段，初溫為 （1）這小段由初溫T變到終溫后的熵增加值為（2）其中是均勻桿單位長度的定壓熱容量。根據熵的可加性，整個均勻桿的熵增加值為 （3）式中是桿的定壓熱容量。1.20 一物質固態的摩爾熱量為，液態的摩爾熱容量為. 假設和都可看作常量. 在某一壓強下，該物質的熔點為，相變潛熱為. 求在溫度為時，過冷液體與同溫度下固體的摩爾熵差. 假設過冷液體的摩爾熱容量亦為. 解: 我們用熵函數的表達式進行計算.以為狀態參量. 在討論固定

19、壓強下過冷液體與固體的熵差時不必考慮壓強參量的變化.以a態表示溫度為的固態，b態表示在熔點的固態. b, a兩態的摩爾熵差為（略去摩爾熵的下標不寫） （1）以c態表示在熔點的液相，c，b兩態的摩爾熵差為 （2）以d態表示溫度為的過冷液態，d，c兩態的摩爾熵差為 （3）熵是態函數，d，c兩態的摩爾熵差為 （4）1.21 物體的初溫，高于熱源的溫度，有一熱機在此物體與熱源之間工作，直到將物體的溫度降低到為止，若熱機從物體吸取的熱量為Q，試根據熵增加原理證明，此熱機所能輸出的最大功為其中是物體的熵減少量。解：以和分別表示物體、熱機和熱源在過程前后的熵變。由熵的相加性知，整個系統的熵變為由于整個系統與

20、外界是絕熱的，熵增加原理要求 （1）以分別表示物體在開始和終結狀態的熵，則物體的熵變為 （2）熱機經歷的是循環過程，經循環過程后熱機回到初始狀態，熵變為零，即 （3）以表示熱機從物體吸取的熱量，表示熱機在熱源放出的熱量，表示熱機對外所做的功。 根據熱力學第一定律，有所以熱源的熵變為 （4）將式（2）（4）代入式（1），即有 （5）上式取等號時，熱機輸出的功最大，故 （6）式（6）相應于所經歷的過程是可逆過程。1.22 有兩個相同的物體，熱容量為常數，初始溫度同為。今令一制冷機在這兩個物體間工作，使其中一個物體的溫度降低到為止。假設物體維持在定壓下，并且不發生相變。試根據熵增加原理證明，此過程所

21、需的最小功為解： 制冷機在具有相同的初始溫度的兩個物體之間工作，將熱量從物體2送到物體1,使物體2的溫度降至為止。以表示物體1的終態溫度，表示物體的定壓熱容量，則物體1吸取的熱量為 （1）物體2放出的熱量為 （2）經多次循環后，制冷機接受外界的功為 （3）由此可知，對于給定的和，愈低所需外界的功愈小。 用和分別表示過程終了后物體1，物體2和制冷機的熵變。由熵的相加性和熵增加原理知，整個系統的熵變為 （4）顯然因此熵增加原理要求 （5）或 （6）對于給定的和，最低的為代入（3）式即有 （7）式（7）相應于所經歷的整個過程是可逆過程。1.23 簡單系統有兩個獨立參量。 如果以為獨立參量，可以以縱坐

22、標表示溫度，橫坐標表示熵，構成圖。圖中的一點與系統的一個平衡態相對應，一條曲線與一個可逆過程相對應。試在圖中畫出可逆卡諾循環過程的曲線，并利用圖求可逆卡諾循環的效率。解： 可逆卡諾循環包含兩個可逆等溫過程和兩個可逆絕熱過程。 在圖上，等溫線是平行于T軸的直線。 可逆絕熱過程是等熵過程，因此在圖上絕熱線是平行于S軸的直線。 圖1-5在圖上畫出了可逆卡諾循環的四條直線。（一）等溫膨脹過程工作物質經等溫膨脹過程（溫度為）由狀態到達狀態。 由于工作物質在過程中吸收熱量，熵由升為。吸收的熱量為 （1）等于直線下方的面積。（二）絕熱膨脹過程工作物質由狀態經絕熱膨脹過程到達狀態。過程中工作物質內能減少并對外

23、做功，其溫度由下降為，熵保持為不變。（三）等溫壓縮過程工作物質由狀態經等溫壓縮過程（溫度為）到達狀態。工作物質在過程中放出熱量，熵由變為，放出的熱量為 （2）等于直線下方的面積。（四）絕熱壓縮過程工作物質由狀態經絕熱壓縮過程回到狀態。溫度由升為，熵保持為不變。在循環過程中工作物質所做的功為 （3）等于矩形所包圍的面積。可逆卡諾熱機的效率為（4） 上面的討論顯示，應用圖計算（可逆）卡諾循環的效率是非常方便的。實際上圖的應用不限于卡諾循環。根據式（1.14.4） （5）系統在可逆過程中吸收的熱量由積分 （6）給出。如果工作物質經歷了如圖中的（可逆）循環過程，則在過程中工作物質吸收的熱量等于面積，在

24、過程中工作物質放出的熱量等于面積，工作物質所做的功等于閉合曲線所包的面積。 由此可見（可逆）循環過程的熱功轉換效率可以直接從圖中的面積讀出。 在熱工計算中圖被廣泛使用。 補充題1 1mol理想氣體，在的恒溫下體積發生膨脹，其壓強由20準靜態地降到1，求氣體所作的功和所吸取的熱量。解：將氣體的膨脹過程近似看作準靜態過程。根據式（1.4.2），在準靜態等溫過程中氣體體積由膨脹到，外界對氣體所做的功為氣體所做的功是上式的負值，將題給數據代入，得在等溫過程中理想氣體的內能不變，即根據熱力學第一定律（式（1.5.3），氣體在過程中吸收的熱量為補充題2 在下，壓強在0至1000之間，測得水的體積為如果保持

25、溫度不變，將1mol的水從1加壓至1000，求外界所作的功。解：將題中給出的體積與壓強關系記為 （1）由此易得 （2）保持溫度不變，將1mol的水由1加壓至1000，外界所做的功為在上述計算中我們已將過程近擬看作準靜態過程。補充題3 承前1.6題，使彈性體在準靜態等溫過程中長度由壓縮為，試計算外界所作的功。解：在準靜態過程中彈性體長度有dL的改變時，外界所做的功是 （1）將物態方程代入上式，有 （2）在等溫過程中是常量，所以在準靜態等溫過程中將彈性體長度由壓縮為時，外界所做的功為（3）值得注意，不論將彈性體拉長還是壓縮，外界作用力都與位移同向，外界所做的功都是正值。補充題4 在和1下，空氣的密

26、度為,空氣的定壓比熱容。今有的空氣，試計算：（i）若維持體積不變，將空氣由加熱至所需的熱量。（ii）若維持壓強不變，將空氣由加熱至所需的熱量。（iii）若容器有裂縫，外界壓強為1，使空氣由緩慢地加熱至所需的熱量。解：（a）由題給空氣密度可以算得空氣的質量為定容比熱容可由所給定壓比熱容算出維持體積不變，將空氣由加熱至所需熱量為（b）維持壓強不變，將空氣由加熱至所需熱量為（c）若容器有裂縫，在加熱過程中氣體將從裂縫漏出，使容器內空氣質量發生變化。根據理想氣體的物態方程為空氣的平均摩爾質量，在壓強和體積不變的情形下，容器內氣體的質量與溫度成反比。 以表示氣體在初態的質量和溫度，表示溫度為T時氣體的質

27、量，有所以在過程（c）中所需的熱量為將所給數據代入，得補充題5 熱泵的作用是通過一個循環過程將熱量從溫度較低的物體傳送到溫度較高的物體上去。 如果以逆卡諾循環作為熱泵的循環過程，熱泵的效率可以定義為傳送到高溫物體的熱量與外界所做的功的比值。試求熱泵的效率。 如果將功直接轉化為熱量而令高溫物體吸收，則“效率”為何？解：根據卡諾定理，通過逆卡諾循環從溫度為的低溫熱源吸取熱量，將熱量送到溫度為的高溫熱源去，外界必須做功因此如果以逆卡諾循環作為熱泵的過程，其效率為（1）式中第三步用了的結果（式（1.12.7）和（1.12.8）。 由式（1）知，效率恒大于1。如果與相差不大，可以相當高。不過由于設備的價

28、格和運轉的實際效率，這種方法實際上很少使用。將功直接轉化為熱量（如電熱器），效率為1。補充題6 根據熵增加原理證明第二定律的開氏表述：從單一熱源吸取熱量使之完全變成有用的功而不引起其它變化是不可能的。解：如果熱力學第二定律的開爾文表述不成立，就可以令一熱機在循環過程中從溫度為的單一熱源吸取熱量，將之全部轉化為機械功而輸出。熱機與熱源合起來構成一個絕熱系統。在循環過程中，熱源的熵變為，而熱機的熵不變，這樣絕熱系統的熵就減少了，這違背了熵增加原理，是不可能的。第二章 均勻物質的熱力學性質2.1已知在體積保持不變時，一氣體的壓強正比于其熱力學溫度. 試證明在溫度保質不變時，該氣體的熵隨體積而增加.解

29、：根據題設，氣體的壓強可表為 （1）式中是體積的函數. 由自由能的全微分得麥氏關系 （2）將式（1）代入，有 （3）由于，故有. 這意味著，在溫度保持不變時，該氣體的熵隨體積而增加.2.2設一物質的物態方程具有以下形式：試證明其內能與體積無關.解：根據題設，物質的物態方程具有以下形式： （1）故有 （2）但根據式（2.2.7），有 （3）所以 （4）這就是說，如果物質具有形式為（1）的物態方程，則物質的內能與體積無關，只是溫度T的函數.2.3求證：解：焓的全微分為 （1）令，得 （2）內能的全微分為 （3）令，得 （4）2.4已知，求證解：對復合函數 （1）求偏導數，有 （2）如果，即有 （3

30、）式（2）也可以用雅可比行列式證明： （2）2.5試證明一個均勻物體的在準靜態等壓過程中熵隨體積的增減取決于等壓下溫度隨體積的增減.解：熱力學用偏導數描述等壓過程中的熵隨體積的變化率，用描述等壓下溫度隨體積的變化率. 為求出這兩個偏導數的關系，對復合函數 （1）求偏導數，有 （2）因為，所以的正負取決于的正負.式（2）也可以用雅可經行列式證明： （2）2.6試證明在相同的壓強降落下，氣體在準靜態絕熱膨脹中的溫度降落大于在節流過程中的溫度降落. 解：氣體在準靜態絕熱膨脹過程和節流過程中的溫度降落分別由偏導數和描述. 熵函數的全微分為在可逆絕熱過程中，故有 （1）最后一步用了麥氏關系式（2.2.4

31、）和式（2.2.8）.焓的全微分為在節流過程中，故有 （2）最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）. 將式（1）和式（2）相減，得 （3）所以在相同的壓強降落下，氣體在絕熱膨脹中的溫度降落大于節流過程中的溫度降落. 這兩個過程都被用來冷卻和液化氣體.由于絕熱膨脹過程中使用的膨脹機有移動的部分，低溫下移動部分的潤滑技術是十分困難的問題，實際上節流過程更為常用. 但是用節流過程降溫，氣體的初溫必須低于反轉溫度. 卡皮查（1934年）將絕熱膨脹和節流過程結合起來，先用絕熱膨脹過程使氦降溫到反轉溫度以下，再用節流過程將氦液化.2.7實驗發現，一氣體的壓強與體積V的乘積以及內能U都只是溫度的函

32、數，即試根據熱力學理論，討論該氣體的物態方程可能具有什么形式.解：根據題設，氣體具有下述特性： （1） （2）由式（2.2.7）和式（2），有 （3）而由式（1）可得 （4）將式（4）代入式（3），有或 （5）積分得或 （6）式中C是常量. 因此，如果氣體具有式（1），（2）所表達的特性，由熱力學理論知其物態方程必具有式（6）的形式. 確定常量C需要進一步的實驗結果.2.8證明并由此導出根據以上兩式證明，理想氣體的定容熱容量和定壓熱容呈只是溫度T的函數.解：式（2.2.5）給出 （1）以T，V為狀態參量，將上式求對V的偏導數，有 （2）其中第二步交換了偏導數的求導次序，第三步應用了麥氏關系（2

33、.2.3）. 由理想氣體的物態方程知，在V不變時，是T的線性函數，即所以 這意味著，理想氣體的定容熱容量只是溫度T的函數. 在恒定溫度下將式（2）積分，得 （3）式（3）表明，只要測得系統在體積為時的定容熱容量，任意體積下的定容熱容量都可根據物態方程計算出來. 同理，式（2.2.8）給出 （4）以為狀態參量，將上式再求對的偏導數，有 （5）其中第二步交換了求偏導數的次序，第三步應用了麥氏關系（2.2.4）. 由理想氣體的物態方程知，在不變時是的線性函數，即所以這意味著理想氣體的定壓熱容量也只是溫度T的函數. 在恒定溫度下將式（5）積分，得式（6）表明，只要測得系統在壓強為時的定壓熱容量，任意壓

34、強下的定壓熱容量都可根據物態方程計算出來.2.9證明范氏氣體的定容熱容量只是溫度T的函數，與比體積無關.解：根據習題2.8式（2） （1）范氏方程（式（1.3.12）可以表為 （2）由于在V不變時范氏方程的p是T的線性函數，所以范氏氣體的定容熱容量只是T的函數，與比體積無關.不僅如此，根據2.8題式（3） （3）我們知道，時范氏氣體趨于理想氣體. 令上式的，式中的就是理想氣體的熱容量. 由此可知，范氏氣體和理想氣體的定容熱容量是相同的.順便提及，在壓強不變時范氏方程的體積與溫度不呈線性關系. 根據2.8題式（5） （2）這意味著范氏氣體的定壓熱容量是的函數.2.10證明理想氣體的摩爾自由能可以

35、表為解：式（2.4.13）和（2.4.14）給出了理想氣體的摩爾吉布斯函數作為其自然變量的函數的積分表達式. 本題要求出理想氣體的摩爾自由能作為其自然變量的函數的積分表達式. 根據自由能的定義（式（1.18.3），摩爾自由能為 （1）其中和是摩爾內能和摩爾熵. 根據式（1.7.4）和（1.15.2），理想氣體的摩爾內能和摩爾熵為 （2） （3）所以 （4）利用分部積分公式令可將式（4）右方頭兩項合并而將式（4）改寫為 （5）2.11求范氏氣體的特性函數，并導出其他的熱力學函數. 解：考慮1mol的范氏氣體. 根據自由能全微分的表達式（2.1.3），摩爾自由能的全微分為 （1）故 （2）積分得

36、（3）由于式（2）左方是偏導數，其積分可以含有溫度的任意函數. 我們利用時范氏氣體趨于理想氣體的極限條件定出函數. 根據習題2.11式（4），理想氣體的摩爾自由能為 （4）將式（3）在時的極限與式（4）加以比較，知 （5）所以范氏氣體的摩爾自由能為 （6）式（6）的是特性函數范氏氣體的摩爾熵為 （7）摩爾內能為 （8）2.12一彈簧在恒溫下的恢復力與其伸長成正比，即，比例系數是溫度的函數. 今忽略彈簧的熱膨脹，試證明彈簧的自由能，熵和內能的表達式分別為解：在準靜態過程中，對彈簧施加的外力與彈簧的恢復力大小相等，方向相反. 當彈簧的長度有的改變時，外力所做的功為 （1）根據式（1.14.7），彈

37、簧的熱力學基本方程為 （2）彈簧的自由能定義為其全微分為將胡克定律代入，有 （3）因此在固定溫度下將上式積分，得 （4）其中是溫度為，伸長為零時彈簧的自由能.彈簧的熵為 （5）彈簧的內能為 （6）在力學中通常將彈簧的勢能記為沒有考慮是溫度的函數. 根據熱力學，是在等溫過程中外界所做的功，是自由能.2.13X射線衍射實驗發現，橡皮帶未被拉緊時具有無定形結構；當受張力而被拉伸時，具有晶形結構. 這一事實表明，橡皮帶具有大的分子鏈.（a）試討論橡皮帶在等溫過程中被拉伸時，它的熵是增加還是減少；（b）試證明它的膨脹系數是負的.解：（a）熵是系統無序程度的量度.橡皮帶經等溫拉伸過程后由無定形結構轉變為晶

38、形結構，說明過程后其無序度減少，即熵減少了，所以有 （1）（b）由橡皮帶自由能的全微分可得麥氏關系 （2）綜合式（1）和式（2），知 （3）由橡皮帶的物態方程知偏導數間存在鏈式關系即 （4）在溫度不變時橡皮帶隨張力而伸長說明 （5）綜合式（3）-（5）知所以橡皮帶的膨脹系數是負的，即 （6）2.14假設太陽是黑體，根據下列數據求太陽表面的溫度；單位時間內投射到地球大氣層外單位面積上的太陽輻射能量為（該值稱為太陽常量），太陽的半徑為，太陽與地球的平均距離為.解：以表示太陽的半徑. 頂點在球心的立體角在太陽表面所張的面積為. 假設太陽是黑體，根據斯特藩-玻耳茲曼定律（式（2.6.8），單位時間內在

39、立體角內輻射的太陽輻射能量為 （1）單位時間內，在以太陽為中心，太陽與地球的平均距離為半徑的球面上接受到的在立體角內輻射的太陽輻射能量為令兩式相等，即得 （3）將和的數值代入，得2.15計算熱輻射在等溫過程中體積由變到時所吸收的熱量.解：根據式（1.14.3），在可逆等溫過程中系統吸收的熱量為 （1）式（2.6.4）給出了熱輻射的熵函數表達式 （2）所以熱輻射在可逆等溫過程中體積由變到時所吸收的熱量為 （3）2.16試討論以平衡輻射為工作物質的卡諾循環，計算其效率.解：根據式（2.6.1）和（2.6.3），平衡輻射的壓強可表為 （1）因此對于平衡輻射等溫過程也是等壓過程. 式（2.6.5）給出

40、了平衡輻射在可逆絕熱過程（等熵過程）中溫度T與體積V的關系 （2）將式（1）與式（2）聯立，消去溫度T，可得平衡輻射在可逆絕熱過程中壓強與體積的關系（常量）. （3）下圖是平衡輻射可逆卡諾循環的圖，其中等溫線和絕熱線的方程分別為式（1）和式（3）.下圖是相應的圖. 計算效率時應用圖更為方便.在由狀態等溫（溫度為）膨脹至狀態的過程中，平衡輻射吸收的熱量為 （4）在由狀態等溫（溫度為）壓縮為狀態的過程中，平衡輻射放出的熱量為 （5）循環過程的效率為 （6） 2.17如圖所示，電介質的介電常量與溫度有關. 試求電路為閉路時電介質的熱容量與充電后再令電路斷開后的熱容量之差.解：根據式（1.4.5），當

41、介質的電位移有的改變時，外界所做的功是 （1）式中E是電場強度，是介質的體積. 本題不考慮介質體積的改變，可看作常量. 與簡單系統比較，在變換 （2）下，簡單系統的熱力學關系同樣適用于電介質. 式（2.2.11）給出 （3）在代換（2）下，有 （4）式中是電場強度不變時介質的熱容量，是電位移不變時介質的熱容量. 電路為閉路時，電容器兩極的電位差恒定，因而介質中的電場恒定，所以也就是電路為閉路時介質的熱容量. 充電后再令電路斷開，電容器兩極有恒定的電荷，因而介質中的電位移恒定，所以也就是充電后再令電路斷開時介質的熱容量.電介質的介電常量與溫度有關，所以 （5）代入式（4），有 （6）2.18 試證明磁介質與之差等于解：當磁介質的磁化強度有的改變時，外界所做的功是 （1）式中H是電場強度，V是介質的體積.不考慮介質體積的改變，V可看作常量. 與簡單系統比較，在變換 （2）下，簡單系統的熱力學關系同樣適用于磁介質. 式（2.2.11）給出 （3）在代換（2）下，有 （4）式中是磁場強度不變時介質的熱容量，是磁化強度不變時介質的熱容量. 考慮到（5）（5）式解出,代