1、化簡(jiǎn)得(a b c)OA bAB cAC =0向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識(shí)的交匯、四心的概念介紹角平分線分對(duì)邊兩段之比等于角的對(duì)應(yīng)兩邊之比二、四心與向量的結(jié)合4*(1)OA OB OC = 0：=O是ABC的重心.證法 1：設(shè)O(x, y), A(xyj B(x2, y2)，C(x3, y3)(Xr_ x) + (x2_ x)十(x3_ x) = 0(yi-y) +(y2 y) +卜3-y) = oxrx2x33yiy2y33O是ABC的重心證法 2:如圖OA OB OC=OA 2OD二0.AO =2OD-A、0、D三點(diǎn)共線，且 為2： 1-O是ABC的重心O分AD(2)OA OB

2、= OB OC = OC OA：二O為ABC的垂心.證明：如圖所示 O 是三角形 ABC 的垂心，BE 垂直 AC，AD 垂直 BC， D、E 是垂足.OA OB 二 OB OC = OB(OA - OC)二 OB CA 二 0同理OA _ BC，OC _ AB二O為丄ABC的垂心(3)設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長(zhǎng)， O 是厶 ABC 的內(nèi)心aOA bOB cOC =0二O為ABC的內(nèi)心.AB AC證明：.MB、竺分別為ABAC方向上的單位向量,c bAB牛平分.BAG,AB些)，令，c ba b cAObea b cAB ACc baOA bOB cOC二0典型例題：例 1 :O是平面上一

3、定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP =：0A，（AB AC），0,七 ，則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的（C ）A .外心B .內(nèi)心C.重心D.垂心例 2:（ 03 全國(guó)理 4）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)P. AB AC. 一滿足OP = OA +扎(1)，乙0,畑),AB ACAC平分-BAC,AB AC點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心，即選B.ABAC.=-+-），乙總0,址），則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABcosB ACcosCAB BC cosBAB cosBAC BC cosCAC cosC=BC+BC=0點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的垂心，即選D

4、.練習(xí):例 3 :O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足)A .外心B .內(nèi)心C.重心分析：如圖所示 AD 垂直 BC , BE 垂直 AC , D、E 是垂足.ABAB cosBACAC cosC)BCAB BC AC BCAB cosB AC cosCD .垂心外心分析:ABACB .內(nèi)心C. 重心D.垂心AB、AC分別為AB、AC方向上的單位向量,則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的ABOPABC的O為ABC的外心。1 已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，滿足PA PB0，若實(shí)數(shù)滿足：AB A AP，則.的值為()3A . 2B. -C. 3D. 62C. 12

5、2 2CA = OC AB，則O是ABC的()A.外心B .內(nèi)心C.重心D .垂心6 .ABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H , OH = m(OA OB OC),則實(shí)數(shù)m =7 . （06 陜西） 已知非零向量宀PAB ACAB 與 AC 滿足(+ ) BC=0 且AC =!,則|AB| |AC|AB|AC| ABC為（）A .三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D .等邊三角形、2 & 已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C，若AB AB AC AB CB BC CA，則ABC為（ ）A .等腰三角形B .等腰直角三角形C.直角三角形D .既非等腰又非直角三角形練習(xí)答案：C、D、C、D、D、1、D、C2.若.ABC的外接圓的圓心為 O,半徑為1,OA OB OC =0，貝 UOA OB =()3 點(diǎn)O在ABC內(nèi)部且滿足OA 2OB 2OC =0，則ABC面積與凹四邊形ABOC面積之比是（)3B .24.ABC的外接圓的圓