1、高中數學基礎知識梳理（共十章）（精編版）623708039第一章 集合與簡易邏輯基礎知識梳理一、集合集合的概念：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集；集合中的每一 個對象叫集合的元素. 元素a在集合M內的表示法，元素a不在集合M內的表示法.集合中的元素必須具備“三性”：、.空集的意義及記號：不含任何元素的集合叫空集，空集記作Ø；常用數集及記號：非負整數集（零和正整數的全體）N；正整數集N*或N+ ；整數集Z； 有理數集Q； 實數集R. 無理數集CRQ集合的分類（按集合中的元素個數來分）：有限集無限集集合的表示法：列舉法把集合中元素一一列舉出來寫在大括號內；描述法把集合中元素的

2、公共熟性用語言或式子描述出來寫在大括號內，其基 本模式是x| p（x）.集合的形象表示法韋恩圖，即用一條封閉的曲線圍成的圖形（內部）表示集合.子集、交集、并集、補集：子集子集、真子集的意義： 對于兩個集合A、B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，那么集 合A叫做集合B的子集，記作AÍB；如果A是B的子集，并且B中至少有一 個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，記作A B.子集的性質：（用Í、 填空）AA，ØA，若AØ，則ØA；若AÍB，BÍC，則AC；若A B，BÍC，則AC；若AÍB，B

3、C，則AC；若A B，BC，則AC.子集的個數： 若集合A中有n個元素，則 集合A的子集個數是2 n；集合A的真子集 個數是2 n 1；集合A的非空真子集個數是2 n 2.集合相等的意義：若集合A與B含有相同的元素，稱它們相等，記作A=B； 集合相等的充要條件：A=B Û AÍB且BÍA. 交集交集的意義： 由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A、B的交集，AB 記作AB，即AB=x|xA且xB 請根據右面的韋恩圖打出AB的陰影.交集的性質：AA=；AØ=；AB=BA；若ABÍA，則ABÍB；若ABÍA，則A&#

4、205;B.并集并集的意義： 由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A、B的并AB 集，記作AB，即AB=x|xA或xB 請根據右面的韋恩圖打出AB的陰影.并集的性質：AA=；AØ=；AB=BA；ABÊA； ABÊB； AB=A Û BÍA補集全集、補集的意義： 如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合叫做全集，全 集通常用U表示； 設S是一個集合,A是S的一個子集（即AÍS）,由S中所有不屬于A的元素組 成的集合,叫做集合A的補集（或余集）,記作CSA,即CSA=x|xS且xÏA.SA

5、請根據右面的韋恩圖打出CSA的陰影.補集的性質:ACUA=； ACUA=； CUU=；CUØ=； CU（CUA）=； CU（AB）=（CUA）（CUB）；CU（AB）=（CUA）（CUB）.集合的元素的個數：“集合A的元素的個數”可用符號記作；對任意兩個有限集合A，B，有 card（AB）=card（A）+card（B）card（AB）.二、簡易邏輯命題概念：可以判斷真假的語句叫做命題.邏輯聯結詞：“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯結詞.簡單命題：不含邏輯聯結詞的命題叫做簡單命題.復合命題：由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題叫做復合命題.真值表：表示命題的真假的表叫真值表.非p形式

6、復合命題的真值表（填“真”或“假”） p 非p 真 假p且q形式復合命題的真值表（填“真”或“假”） p q P且q對p且q形式的復合命題，只要p和q中有一個是假即為 . 真 真 真 假 假 真 假 假p或q形式復合命題的真值表（填“真”或“假”） p q P或q對p或q形式的復合命題，只要p和q中有一個是真即為 . 真 真 真 假 假 真 假 假四種命題：互逆命題及逆命題的概念： 在兩個命題中，如果第一個命題的條件（或題設）是第二個命題的結論，且第一 個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題；如果把第一 個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的逆命題.互否命題及否命題的概念

7、： 在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論，分別是另一個命題的條件的否定 和結論的否定，那么這樣的兩個命題叫做互否命題；把其中一個命題叫做原命 題，另一個就叫做原命題的否命題.互為逆否命題及逆否命題的概念： 在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論，分別是另一個命題的結論的否定 和條件的否定，那么這樣的兩個命題叫做互為逆否命題；把其中一個命題叫做 原命題，另一個就叫做原命題的逆否命題.四種命題的一般形式：（用符號“”表示否定）原命題：若p則q； 逆命題：；否命題：； 逆否命題：.四種命題之間的關系：在下列雙箭頭符號旁填上相應的文字） 原命題 逆命題逆否命題 否命題一個命題的真假與其他三個命題的真

8、假關系：原命題為真，它的逆命題；原命題為真，它的否命題；原命題為真，它的逆否命題.用反證法證明命題的一般步驟：假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；由矛盾判斷假設不正確，從而肯定命題的結論正確.充分條件和必要條件：充分條件和必要條件的概念： 若p則q，即p Þq，我們說，p是q的條件，q是p的條件.充要條件的概念： 若p則q，且若q則p，即p Û q，我們說p是q的條件，q是p的條件.第二章 函數基礎知識梳理一、映射：映射的定義：設A、B是兩個集合，按照某種對應法則f ，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對

9、應，那么這樣的對應（包括集合A、B以及A到B的對應法則f ）叫做集合A到集合B的映射，記作f ：AB.象與原象的概念：給定一個集合A到B的映射，且aA，bB.如果元素a和元素b對應，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.一一映射的定義：設A、B是兩個集合，f ：AB是集合A到集合B的映射，如果在這個映射下，對于集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象，而且B中每一個元素都有原象，那么這個映射叫做A到B上的一一映射.二、函數：函數的傳統定義：設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數.我們將自變量x取值的

10、集合叫做函數的定義域，和自變量x的值對應的y的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域.函數的近代定義：如果A、B都是非空數集，那么A到B的映射f ：AB就叫做A到B的函數，記作y=f (x)，其中xA，yB.原象的集合A叫做函數y=f (x)的定義域，象集合C（CÍB）叫做函數y=f (x)的值域.函數的三要素是：、.函數的表示法：解析法、列表法、圖象法.關于區間的概念：滿足不等式axb的實數x的集合叫做閉區間，表示為；滿足不等式axb的實數x的集合叫做開區間，表示為；滿足不等式axb或axb的實數x的集合叫做半開半閉區間，分別表示為 或. 以上的實數a與b都叫做相應區間的端點.函

11、數解析式的求法：換元法；待定系數法.求函數定義域的主要依據：分式中的分母不為0；偶次根式的被開方數不小于零；對數的真數大于零；零指數冪的底數不等于零；指數函數和對數函數的底數大于零且不等于1；對于應用問題，要注意自變量所受實際意義的限制.求函數值域的方法有：配方法；換元法；判別式法；單調性法；基本不等式法；數形結合法；反函數法.三、函數的單調性：函數單調性的定義： 如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1x2時, 都有f (x1)f (x2),那么就說f (x)在這個區間上是增函數.這個區間叫增區間. 如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1,x2

12、,當x1x2時, 都有f (x1)f (x2), 那么就說f (x)在這個區間上是減函數.這個區間叫減區間.注意：函數的單調區間(增區間或減區間)是其定義域的子集；函數的定義域不一定是函數的單調區間.函數單調性的判別方法：圖象法.若函數f (x)的圖象在區間D上從左至右是上升(下降)的,則f (x)在區間D上是增(減)函數；定義法.其一般步驟是：取值.在所給區間上任取x1x2；作差f (x1)f (x2)；變形.分解因式或配方等；定號.看 f (x1)f (x2)的符號；下結論.利用復合函數的單調性：設y=f (u),u=g(x),已知g(x)在a,b上單調遞增(或遞減), y=f (u)在g

13、(a), g(b) (或g(b), g(a)上單調, 那么復合函數y=fg (x)在a,b上一定單調,并且有如下結論: 當f (u)與g(x)的單調性相同時, fg (x)在a,b上為；增(增)=增；減(減)=增.當f (u)與g(x)的單調性相反時, fg (x)在a,b上為. 增(減)=減；減(增)=減.利用函數單調性的判定定理：用定義可直接證出.函數f (x)與f (x)+c(c為常數)具有相同的單調性；當c0時,函數f (x)與cf (x)具有相同的單調性；當c0時,函數f (x)與cf (x)具有相反的單調性；若f (x)0,則函數f (x)與具有相反的單調性；若f (x)0,則函數

14、f (x)與具有相同的單調性；若函數f (x), g(x)都是增函數,則f (x)+g(x)也是增函數； (增+增=增)若函數f (x), g(x)都是減函數,則f (x)+g(x)也是減函數； (減+減=減)若函數f (x)是增函數, g(x)是減函數,則f (x)g(x)也是增函數；(增減=增)若函數f (x)是減函數, g(x)是增函數,則f (x)g(x)也是減函數；(減增=減)另外還有以下幾個重要結論：（用定義可直接證出）*兩個恒正的增函數的積還是增函數；*兩個恒正的減函數的積還是減函數；*兩個恒負的增函數的積是減函數；*兩個恒負的減函數的積是增函數；一些特殊函數的單調性：一次函數y

15、=kx+b,當k0時,在R上是 ；當k0時,在R上是 .二次函數y=ax2+bx+c, 當a0時,在(,上為,在,+)上為； 當a0時,在(,上為,在,+)上為.反比例函數y=,當k0時,在(,0),(0,+)上都是 ； 當k0時,在(,0),(0,+)上都是 .指數函數y=ax,當a1時,在R上是 , 當0a1時,在R上是 .對數函數y=logax,當a1時,在(0,+)是, 當0a1時,在(0,+)是.*記住重要函數y=x+的單調性,并會證明：當x0時，函數在(0,)上單調遞減,在,+上單調遞增；當x0時，函數在上單調遞減,在上單調遞增.四、函數的奇偶性：函數奇偶性的定義： 如果對于函數f

16、 (x)的定義域內任意一個x,都有f (x)=f (x),那么函數f (x)叫做偶函數.如果對于函數f (x)的定義域內任意一個x,都有f (x)=f (x),那么函數f (x)叫做奇函數.注意：由定義可知,函數具有奇偶性的必要條件是定義域關于對稱.函數的奇偶性可分為四類：奇函數、偶函數、既是奇函數又是偶函數(此時我們說該函數 具有奇偶性)、既不是奇函數又不是偶函數(此時我們說該函數不具有奇偶性). 注意：設函數f (x)的定義域關于原點對稱,那么函數f (x) 既是奇函數又是偶函數的充要條件是f (x)恒等于0. 例：f (x)=0,x(1,1)；f (x)=0,x2,2；f (x)=等等.

17、具有奇偶性函數的圖象特征：奇函數Û圖象關于對稱； 偶函數Û圖象關于對稱.判斷函數奇偶性的方法：圖象法；定義法.其一般步驟是：求函數的定義域,并判斷定義域是否關于原點對稱,若不對稱,則此函數不具有奇偶性；若對稱,再進行第二步；判斷f (x)與f (x)的關系,并下結論. 若f (x)=f (x)且f (x)不恒等于0,則此函數為奇函數； 若f (x)=f (x)且f (x)不恒等于0,則此函數為偶函數； 若f (x)=f (x)且f (x)=f (x),則此函數為既是奇函數又是偶函數； 若f (x)f (x)且f (x)f (x),則此函數為既不是奇函數又不是偶函數.函數奇偶

18、性的性質：兩個奇函數的和(或差)仍是奇函數； 即：奇±奇=奇.兩個偶函數的和(或差)仍是偶函數； 即：偶±偶=偶.奇偶性相同的兩個函數的積(或商,分母不為0)為； 即：奇×奇=偶；偶×偶-偶；奇/奇=偶；偶/偶=偶.奇偶性相反的兩個函數的積(或商,分母不為0)為； 即奇×偶=奇；偶×奇=奇；奇/偶=奇；偶/奇=奇.奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上具有 相反的單調性；定義域關于原點對稱的函數f (x)可以表示成一個奇函數g (x)與一個偶函數h(x)之和,即f (x)= g (x)+h(x),其

19、中g (x)=, h(x)=.若f (x)是奇函數，且f (0)有意義，則必有f (0)=.f (0)=0是f (x)是奇函數的條件.五、反函數：定義：函數y=f (x)(xA),設它的值域為C,我們根據這個函數中x,y的關系,用y的式子表示x,得 到x=(y).如果對于C中的任何一個值,通過x=(y),x在A中都有唯一的值和它對應那么, x=(y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數.這樣的函數x=(y) (yC)叫做函數y=f (x) 的反函數,記作x=f1(y),習慣上一般用x表示自變量,用y表示函數, 所以y=f (x)的反函數 通常寫為y=f1(x). 由反函數的定義知函數y=f (

20、x)與它的反函數y=f1(x)互為反函數；f f1 (x)=x；f1f (x)=x.函數x=f1(y)(yC,xA)、函數y=f1(x)(xC,yA)與函數y=f (x) (xA, yC) 的區別與聯系：函數x=f1(y)與函數y=f1(x)都是y=f (x)的反函數；在y=f (x)與x=f1(y)中,x,y所處的地位不同：在y=f (x)中,x是自變量,y是x的函數； 在x=f1(y)中,y 是自變量,x是y 的函數. 在同一坐標系中y=f (x)與x=f1(y)的圖象；在y=f (x)與y=f1(x)中, x,y所處的地位相同,但取值的范圍不同：在y=f (x)中, xA, yC,而在

21、y=f1(x)中,xC,yA. 在同一坐標系中y=f (x)與y=f1(x)的圖象關于直線對稱； 求函數y=f (x)的反函數的步驟：求原函數的值域,即反函數y=f1(x)的定義域；將y=f (x)看成方程,在其定義域內解出x= f1(y)；將x,y互換得y=f (x),并注明其定義域. 注意：求分段函數的反函數,先分別在各段中求出其反函數,然后用大刮號聯立.關于反函數的有關結論：函數y=f (x)的定義域是它的反函數y=f1(x)的,函數y=f (x)的值域是它的 反函數y=f1(x)的；定義域上的單調函數必有反函數；互為反函數的兩個函數具有相同的單調性；若奇函數有反函數,則其反函數也是奇函

22、數；(注意：并不是每個奇函數都有反函數, 例如：y=sinx(xR).定義域為非零的偶函數不存在反函數； 注意：函數f (x)=1,(x0)是不是偶函數(為什么?)它有沒有反函數?若有,則它的反函數 是.反函數的奇偶性是什么?答：.f f1(x)=, f f1(y)=；互為反函數的兩個函數的圖象關于直線對稱.六、函數圖象的變換：平移變換：y=f (x)的圖象沿x軸向右平移a (a0)個單位得到y=f (xa)的圖象；y=f (x)的圖象沿x軸向左平移a (a0)個單位得到y= f (x+a)的圖象；y=f (x)的圖象沿y軸向上平移a (a0)個單位得到y= f (x)+a的圖象；y=f (x

23、)的圖象沿y軸向下平移a (a0)個單位得到y= f (x)a的圖象.伸縮變換：把y=f (x)的圖象上所有的點的橫坐標變為原來的(a>0)倍,縱坐標不變,可得到y=f (ax)的圖象；把y=f (x)的圖象上所有的點的縱坐標變為原來的A(A>0)倍,橫坐標不變,可得到y=Af (x)的圖象；對稱變換： (一)兩個函數圖象的對稱關系：y=f (x)與y=f (x)的圖象關于x軸對稱；y=f (x)與y=f (x)的圖象關于y軸對稱；y=f (x)與y= f (x)的圖象關于原點軸對稱；y=f (x)與y= f1(x)的圖象關于直線y=x軸對稱；y=f (|x|)的圖象是保留y=f

24、(x)的圖象中y軸右邊部分,并作其關于y軸對稱的圖象, 再擦掉y=f (x) 的圖象中y軸左邊部分而得到；y=|f (x)|的圖象是保留y=f (x)的圖象中x軸上方的圖象及x軸上的點,并將x軸下方的圖象以 x軸為對稱軸翻折到x軸上方去；*函數y=f (a+mx)與函數y=f (bmx)(a、b：mR,m0)的圖象關于直線x=對稱. (二)函數圖象自身的對稱性：奇函數的圖象關于對稱；偶函數的圖象關于對稱；對函數f (x)的定義域內的任意一個x,都有f (a+mx)=f (amx)（a、mR,且m0）Ûf (x)的圖象關于直線 對稱；對函數f (x)的定義域內的任意一個x,都有f (a

25、+mx)=f (bmx)（a、b、mR,且m0）Ûf (x)的圖象關于直線 對稱；對函數f (x)的定義域內的任意一個x,都有f (a+x)= f (ax) Ûf (x)的圖象關于 點對稱.以上結論會證嗎？七、指數與指數函數：根式的定義：方根：如果一個數的n次方等于a (n1且nN*),那么這個數叫做a的n次方根. 即：若x n=a,則x叫做a的n次方根.根式：式子叫做根式,其中n叫做根指數,a叫做被開方數.當n是偶數時, 表示正數a的正的n次方根.根式的性質：()n=a； 當n為奇數時,當n是偶數時；.分數指數冪： 當a0,m、nN*且n1時,規定：； ； ； 無意義.有

26、理指數冪的性質：ar·as=ar+s (a0, r、sQ)；(ar)s=ar s (a0, r、sQ)；(ab)r=arbr (a0, b0,rQ).指數函數：指數函數的定義：把形如y=ax(a0,且a1)的函數叫做指數函數.指數函數的圖象和性質： y=ax(a0,且a1) a1 0a1圖 象 性 質定義域值 域單調性其 它性 質x0時,y1；x0時,0y1；x=0時,y=1. 即圖象恒過點(0,1)x0時, 0y1；x0時, y1；x=0時,y=1. 即圖象恒過點(0,1)八、對數與對數函數：對數的概念：對數的定義：如果a(a0,a1)的b次冪等于N，即ab=N,那么,數b叫做以a

27、為底 N的對數.其中,a叫做對數的底數,N叫做對數的真數.常用對數：把以10為底的對數叫做常用對數,并記log10N為lgN.自然對數：把以e為底的對數叫做自然對數,并記logeN為lnN. 其中e=2.71828,是一個無理數.對數恒等式：.對數的運算法則： 如果a0,a1,M0,N0,那么loga(MN)= logaM+logaN；logaMn=n logaM. 對數的三個性質：1的對數為0(即loga1=0)；底的對數為1(即logaa=1)；零和負數沒有對數.對數函數：對數函數的定義：把形如y=logax(a0,且a1)的函數叫做對數函數.對數函數的圖象和性質： y=logax(a0,

28、且a1) a1 0a1圖 象 性 質定義域值 域單調性其 它性 質x1時,y0；0x1時, y0；x=1時,y=0. 即圖象恒過點(1,0)x1時, y0；0x1時, y0；x=1時,y=0. 即圖象恒過點(1,0)第三章 數列基礎知識梳理一、數列定義：按一定次序排列的一列數叫做數列,數列中的每一個數都叫做數列的項,各項依 次叫做這個數列的第一項(或首項),第二項,第n項,.數列中的數有兩個特性：有序性；可重復性.數列與函數：數列是定義在N*(或它的有限子集1,2,n)上的函數當自變量從小到 大依次取值時對應的一列函數值.數列的表示：數列的一般形式：a1,a2,a n,簡記為a n.解析法：若

29、an與n的函數關系可用一個解析式an=f (n)表示,這個公式叫做數列的通 項公式.圖象法：數列的圖象是一群孤立的點(n,a n)(nN*)所組成的圖形(在縱軸的右邊).數列的分類：數列按項數n的取值范圍分：有窮數列；無窮數列.數列按相鄰項的大小關系分：遞減數列(an+1an,nN*)； 遞增數列(an+1an,nN*；擺動數列(an+1與an的大小不定nN*)；常數列(an+1=an,nN*).由遞推關系給定的數列：已知數列的前若干項,而這些項之后的任意一項都可以用它相鄰的前若干項的一個關系式表示出來,這個關系式稱做遞推公式,這種給定數列的方法叫做遞推法.請思考：已知數列an中,a1=1,a

30、n=an1+(n2),求an. 答案：an=.an與Sn的關系：設Sn=a1+a2+an,則an=二、等差數列定義：如果一個數列從第二項起每一項與它前一項的差都等于同一個常數,那么這個數 列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,通常用字母d表示. 等差數列定義的數學表達式：an+1an=d (nN*).表示方法：定義法：a2a1= a3a2=an+1an=d；遞推法： (n2)；通項法：a1,a1+d, a1+2d, ,a1+(n1)d.,.通項公式：已知首項a1和公差d,則an=a1+(n1)d. (一般公式為：an=dn+q).已知非首項am(m2)和公差d,則an=am+(nm)d

31、.等差中項：如果a,A,b成等差數列,那么A叫做a與b的等差中項.顯然2A=a+b.前n項和公式：Sn=；或Sn=na1+.要求會推導! 前n項和的一般公式：Sn=An2+Bn (A、B為常數).性質：在有窮等差數列中,與首末兩項等距離的兩項和相等,且等于首末兩項的和. 即a1+an= a2+an1 = a3+an2 = ak+ank+1；若m+n=p+q,(m,n,p,qN*),則am+an= ap+aq；等差數列中除首項外的每一項an(n2)都是到它距離相等的兩項的等差中項, 即2an=ank+an+ k (nk)；公差d是數列圖象上任意兩點所在直線的斜率.即d=.數列(an為等差數列的充

32、要條件是an是關于n的一次函數(d0)或常數(d=0).數列(an為等差數列的充要條件是Sn=An2+Bn (A、B為常數). 注意：下面的一個重要結論可用于解選擇題和填空題： 有窮等差數列均勻分段后,各段的和也成等差數列, 即Sn,S2nSn, S3nS2n,SknS(k1)n (k2) 成等差數列. 三、等比數列定義：如果一個數列從第二項起每一項與它前一項的比都等于同一個常數,那么這個數 列就叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比,通常用字母q表示. 等比數列定義的數學表達式： (nN*). 由定義知,在等比數列中,an0,且公比q0.表示方法：定義法：；遞推法： ；通項法：a1,a1q

33、, a1q2, ,a1q(n1).通項公式：已知首項a1和公差d,則an=a1q(n1). 已知非首項am(m2)和公比q,則an=amq(nm).等比中項：如果a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項. G2=ab或G=±.前n項和公式：Sn= 或Sn=.要求會推導!性質：在有窮等比數列中,與首末兩項等距離的兩項積相等,且等于首末兩項的積. 即a1an= a2an1 = a3an2 = akank+1；若m+n=p+q,(m,n,p,qN*),則aman= apaq；等比數列中除首項外的每一項an(n2)都是到它距離相等的兩項的等比中項, 即an2=ankan+ k (nk

34、),或an=±； 注意：下面的一個重要結論可用于解選擇題和填空題： 有窮等比數列均勻分段后,各段的和也成等比數列, 即Sn,S2nSn, S3nS2n,SknS(k1)n (k2) 成等比數列.四、特殊數列求和的方法： 倒序法、通項分解法、錯位相減法、裂項法等.第四章 三角函數綜合復習一、概 念1、角。正角負角零角。象限角。終邊相同的角。2、角度制；弧度制。1弧度角的規定。任意圓中圓心角弧度的算法。3、三角函數值的定義。單位圓；有向線段。三角函數線。4、三角函數值的符號判定：三角函數象限第一象限第二象限第三象限第四象限sinxcosxtanx5、正弦型函數中：振幅；周期；頻率；相位；

35、初相。6、反三角函數：（1）若，則（2）若，則（3）若，則二、公式1、有關概念的公式：終邊相同的兩角；任意圓中圓心角弧度大小；角度與弧度的換算公式；扇形的幾個面積計算公式。2、誘導公式：A組(函數名不變，符號看象限)B組(函數名要變，符號看象限)3、同角三角函數間的關系公式（1）平方關系；。（2）商數關系；。（3）倒數關系；。4、直角坐標系中兩點間的距離公式。5、兩角和與差的三角函數及變形公式：（1）；。（2）6、二倍角公式：；。（1）降冪公式：；。（2）半角公式：；。7*、積化和、差公式：；。8*、和差化積公式：；。9、同名三角函數值相等的角的關系公式：；。10*、反三角函數的有關公式：（主

36、要搞清楚下列公式中x的含義及范圍）（！）（2）三、解題方法、技巧1、判斷兩個角的集合間的關系： 。2、求兩個集合的交集：（1）當兩個集合都是角的集合時。（2）當兩個集合都是“普通”實數集合時。（3）當一個是角集合而另一個是“普通”實數集合時。3、三角函數式的化簡、證明過程中常用的方法與技巧：（1）消“1”；（2）化“1”；（3）切、割化弦。4、求任意角的三角函數值步驟：（1）（2）（3）。5、三角函數式的化簡、證明過程的巧配角：（1）未知角用已知角來表示；（2）非特殊的角用特殊角來表示。6、對三角函數式的化簡、證明問題的特征分析：（1）對角的特征分析（2）對函數名稱進行分析（3）對冪指數進行分

37、析。7、根據已知條件求角的大小的方法：（1）選取恰當的三角函數求值；（2）根據角的范圍得角的大小（在求、判斷角的范圍時有時要根據三角函數值去逼出角在一個更小的范圍才能求角的大小）。8、把引入輔助角化成一個角的三角函數：。（把三角函數式化成一個角的三角函數是求周期、單調區間、函數最值的較佳方法）9、。10、題型(1)(2) (3) (4) (5).11、三角函數值大小的比較：（1） 用誘導公式把角化到該三角函數的同一單調區間（或干脆化成銳角）；（2）再由單調性進行大小比較。12、三角函數不等式的解法：A類方法-利用單位圓中的三角函數線求解：（1）；（2）。B類方法-利用正弦函數、余弦函數、正切函

38、數的圖象求解：（1）；（2）。13、將正弦函數變成正弦型函數的過程：。（如果是正弦型函數變正弦型函數那么要用上學期學的圖象變換方法）14、根據正、余弦型函數的圖象寫解析式的方法：（1）；（2）。15、求三角函數型函數的單調區間：。16、已知三角函數值求角的方法：（1）；（2）；（3）。四、典型問題 常錯易錯題第四章 三角函數基礎知識梳理一.本單元知識網絡圖二.本單元重點知識梳理角的概念與度量象限角軸上角角度制與弧度制的換算：1弧度=度；1度=弧度.度0°30°45°60°90°120°135°150°180

39、6;270°360°弧度與角終邊相同的角的集合是： |=k·360°+ ，kZ 或|=2k+ ，kZxyo P (x,y)r三角函數的定義與符號： sin= cos= tan= cot= sec= csc= 當在第象限時,sin, csc的值是正的. 當在第象限時,sin, csc的值是負的. 當在第象限時,cos, sec的值是正的. 當在第象限時,cos, sec的值是負的. 當在第象限時,tan, cot的值是正的. 當在第象限時,tan, cot的值是負的.三角函數線： 三角函數值可以用單位圓中的有向線段表示，如下圖所示： 圖1 圖2 圖3 圖4

40、圖中單位圓的圓心是坐標原點O，與x、y軸的正半軸分別相交于點A、B，與角的終邊相交于點P，P在x軸上的射影是M，過A、B作圓的切線與角的終邊所在的直線分別相交于T、S，則不論角在哪一個象限，恒有：sin=，cos=，tan=，cot=.注意：從上圖可以清楚地看出角所在象限各三角函數值的符號，例當在第二象限時（圖2），sin=MP0，=OM0，tan=ATO，cot=BS0.同角三角函數關系式：平方關系：sin2+cos2=；1+tan2=；1+cot2=.商數關系：；.倒數關系：sin·=1；cos·=1；tan·=1.注意：上述公式的其他變形，如：1sin2=、

41、1cos2=、 sec21=、csc21=、 tan·cos=、cot·sin=.特殊角的三角函數值：角度 0° 30° 45° 60° 90°120°135°150°180°270°360°弧度sincostancot誘導公式：（偶同奇余，象限定號）同名誘導公式（5組）：(90°的偶數倍）k·360°+（kZ），180°+，180°，360°的三角函數值等于的同名三角函數值，前面加上把看作銳角時原三角函數

42、值的符號.如：sin（180°+）=；cos（）=.換名誘導公式（4組）：（90°的奇數倍）90°，90°+，270°，270°+的三角函數值等于的原三角函數的余函數的值，前面加上把看作銳角時原三角函數值的符號. 如：sin（90°+）=；cos（270）=.函數三角函數圖象及性質：性質 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx定義域值 域 y1，1 y1，1 yR yR最 值當x=時,y最大值=；當x=時,y最小值=.當x=時,y最大值=；當x=時,y最小值=. 無 無圖 象(一個周期)周 期 T= T= T

43、= T=x2k,2k+,y奇偶性x2k,2k+,yx2k,2k,yx2k+,2k+,y單調性 (以上kZ) (以上kZ)在x(k,k+)內y都為單調增函數 (以上kZ)在x(k,k+)內y都為單調減函數 (以上kZ)對稱性注意：會用五點法作函數y=Asin（x+）的圖象.y=Asin（x+）的圖象是由y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到的？兩角和與差的三角函數、兩倍角的三角函數公式：sin（±）= cos（±）=tan（±）=sin2= cos2=tan2= 注意：公式的逆用，如：； sin2cos2=公式的變形，如：sin·cos= 1+cos2= 1

44、cos2= 降冪公式：sin2= cos2=半角公式：sin=±； cos=±； tan=±=.萬能公式：sin2=；cos2=；tan2=.會用和角公式求函數y=asinx+bcosx的最大值、最小值、周期、單調區間.三角形中的三角函數：在ABC中，0A，B，C，且A+B+C=，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)= cosC；正弦定理： a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC, 其中R是ABC的外接圓的半徑.abc=sinAsinBsinC.余弦定理：a2 =b2+c22bccosA；b2 =a2+c22accosB；c2 =a2+b

45、22abcosC.或cosA= cosB= cosC=反三角函數：arcsinx (其中|x|1)表示在區間,內的一個角,它的正弦值為x.arccosx (其中|x|1)表示在區間0,內的一個角,它的余弦值為x.arctanx (其中xR)表示在區間 (,)內的一個角,它的正切值為x.第五章 平面向量基礎知識梳理一、向量的概念：有向線段：叫做有向線段.向量：叫做向量. 向量通常用有向線段或表示.向量的模：向量的又叫做向量的模，記作.兩個重要概念：零向量：叫做零向量.記作. 注意：零向量沒有規定它的方向，因此零向量的方向是任意的.單位向量：叫做單位向量.注意：單位向量的方向與它所在向量的方向相同

46、.相等向量：叫做相等向量. 向量與相等記作.平行向量：叫做平行向量. 向量與平行可記作. 規定：與任一向量平行.即，.共線向量：叫做共線向量. 注意：若與是共線向量，則與的方向，它們所在的直線它們的夾角是.相反向量：叫做相反向量.的相反向量是，的相反向量是，的相反向量是.兩個非零向量和的夾角：.點P分有向線段所成的比： 注意：的取值范圍是.當點P在線段P1P2（不含端點）上時，的取值范圍是；當點P在線段P1P2的延長線上時，的取值范圍是；當點P在線段P2P1的延長線上時，的取值范圍是.二、向量的運算：向量的加法：向量與的和的定義：向量加法法則：三角形法則（請畫圖于右）+（首尾相連）平行四邊形法則（請畫圖于右）+（起點相同）向量加法運算律：交換律：結合律：特例：=，=，=.向量加法的坐標運算：設=（x1，y1），=（x2，y2），則=.向量的減法：向量與的差的定義：向量加上的相反向量叫做與的差，記作+()=.OAB是怎樣的一個向量?答：.向量減法法則：設=，=，ABD則=-=.（請畫圖于右）.重要結論：設，是兩個不共線向量，則以AB、AD為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長分別是這兩個向量和與差的模