1、角平分線練習(xí)一、選擇題1. 如圖，在RtABC中，C=90°，BD是角平分線，若CD=m，AB=2n，則ABD的面積是（）A. mn B. 5mn C. 7mn D. 6mn2. 如圖，AD是ABC的角平分線，DFAB，垂足為F，DE=DG，ADG和AED的面積分別為60和35，則EDF的面積為（）A. 25 B. 5.5 C. 7.5 D. 12.53. 如圖，在ABC中，C=90°，AD平分BAC，DEAB于E，下列結(jié)論：CD=ED；AC+BE=AB；BDE=BAC；BE=DE；SBDE：SACD=BD：AC，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A. 5個(gè)B. 4個(gè)C. 3個(gè)D. 2個(gè)

2、4. 如圖，點(diǎn)P為定角AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且MPN與AOB互補(bǔ)，若MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A. 4B. 3C. 2D. 15. 如圖，RtABC中，C=90°，BD是ABC的平分線，DEAB于點(diǎn)E，AB=20cm，BC=12cm，ABC的面積為96cm2，則DE的長是（）A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm6. 如圖，在RtABC中，C=90°，AD是ABC的角平分線，若

3、CD=4，AC=12，AB=15，則ABC的面積為（）A. 48B. 50C. 54D. 607. 如圖，在ABC中，ACB=90°，BE平分ABC，DEAB于點(diǎn)D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm8. 如圖，已知在ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=8，DE=4，則BCE的面積等于（）A. 32 B. 16 C. 8 D. 49. 如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分CAB交BC于D點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點(diǎn)，則CE+EF的最小值為（）A. B.

4、C. D. 610. 如圖，在RtABC中，C=90°，A=30°，C的平分線與B的外角的平分線交于E點(diǎn)，則AEB是（）A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°二、填空題11. 如圖BD是ABC的一條角平分線，AB=8，BC=4，且SABC=24，則DBC的面積是_ 12. 如圖，BD是ABC的平分線，DEAB于E，SBDC=36cm2，BC=12cm，則DE的長是_ cm13. 如圖，已知ABC的面積是20，OB，OC分別平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=3，則ABC的周長是_ 14. 如圖，平行四邊形ABCD的對角

5、線AC，BD交于點(diǎn)O，CE平分BCD交AB丁點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，且ABC=60°，AB=2BC，連接OE下列四個(gè)結(jié)論：ACD=30°；SAOE=SOBE；S平行四邊形ABCD=ACAD；OE：OA=1：，其中結(jié)論正確的序號是_ （把所有正確結(jié)論的序號都選上）15. 如圖，已知：BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DEAB，DFAC，垂足分別為E、F，AB=6，AC=3，則BE=_三、解答題16. 如圖，四邊形ABDC中，D=ABD=90°，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，且OA平分BAC（1）求證：OC平分ACD；（2）求證：OAOC；（3）求證：AB+CD=AC17.

6、 如圖，BE=CF，DEAB的延長線于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，且DB=DC，求證：AD是EAC的平分線18. 已知MAN=120°，AC平分MAN，點(diǎn)B、D分別在AN、AM上（1）如圖1，若ABC=ADC=90°，請你探索線段AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；（2）如圖2，若ABC+ADC=180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由19. 如圖，在ABCD中，ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，延長BE交CD的延長線于F（1）若F=40°，求A的度數(shù)；（2）若AB=10，BC=16，CEAD，求ABCD的面積20. 如圖

7、，已知PBAB，PCAC，且PB=PC，D是AP上的一點(diǎn)，求證：BD=CD角平分線練習(xí)答案一、選擇題1.如圖，在RtABC中，C=90°，BD是角平分線，若CD=m，AB=2n，則ABD的面積是（）A. mn B. 5mn C. 7mn D. 6mn【答案】A【解析】解：如圖，過點(diǎn)D作DEAB于E，BD是ABC的平分線，C=90°，DE=CD=m，ABD的面積=×2n×m=mn，故選：A過點(diǎn)D作DEAB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=CD，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是

8、解題的關(guān)鍵2.如圖，AD是ABC的角平分線，DFAB，垂足為F，DE=DG，ADG和AED的面積分別為60和35，則EDF的面積為（）A. 25 B. 5.5 C. 7.5 D. 12.5【答案】D【解析】解：如圖，過點(diǎn)D作DHAC于H，AD是ABC的角平分線，DFAB，DF=DH，在RtADF和RtADH中，RtADFRtADH（HL），SRtADF=SRtADH，在RtDEF和RtDGH中， RtDEFRtDGH（HL），SRtDEF=SRtDGH，ADG和AED的面積分別為60和35，35+SRtDEF=60-SRtDGH，SRtDEF=故選D過點(diǎn)D作DHAC于H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角

9、的兩邊距離相等可得DF=DH，再利用“HL”證明RtADF和RtADH全等，RtDEF和RtDGH全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等列方程求解即可本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵3.如圖，在ABC中，C=90°，AD平分BAC，DEAB于E，下列結(jié)論：CD=ED；AC+BE=AB；BDE=BAC；BE=DE；SBDE：SACD=BD：AC，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A. 5個(gè)B. 4個(gè)C. 3個(gè)D. 2個(gè)【答案】C【解析】解：正確，在ABC中，C=90°，AD平分BAC，DEAB于E，CD=E

10、D；正確，因?yàn)橛蒆L可知ADCADE，所以AC=AE，即AC+BE=AB；正確，因?yàn)锽DE和BAC都與B互余，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，所以BDE=BAC；錯誤，因?yàn)锽的度數(shù)不確定，故BE不一定等于DE；錯誤，因?yàn)镃D=ED，ABD和ACD的高相等，所以SBDE：SACD=BE：AC故選C根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得CD=ED，易證得ADCADE，可得AC+BE=AB；由等角的余角相等，可證得BDE=BAC；然后由B的度數(shù)不確定，可得BE不一定等于DE；又由CD=ED，ABD和ACD的高相等，所以SBDE：SACD=BE：AC此題考查了角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)此題比較適中，注意掌握數(shù)形結(jié)

11、合思想的應(yīng)用4.如圖，點(diǎn)P為定角AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且MPN與AOB互補(bǔ)，若MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】解：如圖作PEOA于E，PFOB于FPEO=PFO=90°，EPF+AOB=180°，MPN+AOB=180°，EPF=MPN，EPM=FPN，OP平分AOB，PEOA于E，PFOB于F，PE=PF，在POE和POF中，POEPOF，

12、OE=OF，在PEM和PFN中，PEMPFN，EM=NF，PM=PN，故（1）正確，SPEM=SPNF，S四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值，故（3）正確，OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故（2）正確，MN的長度是變化的，故（4）錯誤，故選：B如圖作PEOA于E，PFOB于F只要證明POEPOF，PEMPFN，即可一一判斷本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型5.如圖，RtABC中，C=90°，BD是ABC的平分線，DEAB于點(diǎn)E，AB=20cm，BC=12cm，

13、ABC的面積為96cm2，則DE的長是（）A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm【答案】B【解析】解：C=90°，AC=16，BD是ABC的平分線，DEAB，DCBC，DE=DC，設(shè)DE=x，SADB+SBCD=SABC，20x+12x=96，解得x=16，即DE為6cm故選B先利用三角形面積公式可計(jì)算出AC，再利用勾股定理計(jì)算出AB，接著根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DE=DC，設(shè)DE=x，然后利用SADB+SBCD=SABC得到20x+12x=96，再解方程求出x即可本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等也考查了三角形面積公式6.如圖，在RtABC

14、中，C=90°，AD是ABC的角平分線，若CD=4，AC=12，AB=15，則ABC的面積為（）A. 48B. 50C. 54D. 60【答案】C【解析】解：作DEAB于E，AD是ABC的角平分線，C=90°，DEAB，DE=CD=4，ABC的面積為：×AC×DC+×AB×DE=54，故選：C作DEAB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出DE，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵7.如圖，在ABC中，ACB=90°，BE平分ABC，DEAB于點(diǎn)D，如果AC=3c

15、m，那么AE+DE等于（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm【答案】B【解析】解：ACB=90°，BE平分ABC，DEAB，DE=EC，AE+DE=AE+EC=AC=3cm，故選B由角平分線的性質(zhì)可得DE=EC，則AE+DE=AC，可求得答案本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵8.如圖，已知在ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=8，DE=4，則BCE的面積等于（）A. 32 B. 16 C. 8 D. 4【答案】B【解析】解：過E作EFBC于F，CD是AB邊上的高，BE平分ABC，交CD于點(diǎn)E，DE

16、=8，DE=EF=4，BC=8，×BC×EF=×8×4=16，故選B過E作EFBC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出EF=DE=8，根據(jù)三角形面積公式求出即可本題考查了角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)角平分線性質(zhì)求出EF=DE=8是解此題的關(guān)鍵，注意：在角的內(nèi)部，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等9.如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分CAB交BC于D點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點(diǎn)，則CE+EF的最小值為（）A. B. C. D. 6【答案】C【解析】解：如圖所示：在AB上取點(diǎn)C，使AC=AC，過點(diǎn)C作CFAC，垂足為F，交

17、AD與點(diǎn)E 在RtABC中，依據(jù)勾股定理可知BA=10AC=AC，CAD=CAD，AE=CE，AECAECCE=ECCE+EF=CE+EF當(dāng)CFAC時(shí)，CE+EF有最小值CFAC，BCAC，CFBCAFCACB=，即=，解得FC=故選：C依據(jù)勾股定理可求得AB的長，然后在AB上取點(diǎn)C，使AC=AC，過點(diǎn)C作CFAC，垂足為F，交AD與點(diǎn)E，先證明CE=CE，然后可得到CE+EF=CE+EF，然后依據(jù)垂直線段最短可知當(dāng)點(diǎn)CFAC時(shí)，CE+EF有最小值，最后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、軸對稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵10.如圖，

18、在RtABC中，C=90°，A=30°，C的平分線與B的外角的平分線交于E點(diǎn)，則AEB是（）A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°【答案】B【解析】解：E在C的平分線上，E點(diǎn)到CB的距離等于E到AC的距離，E在B的外角的平分線上，E點(diǎn)到CB的距離等于E到AB的距離，E點(diǎn)到AC的距離等于E到AB的距離，AE是A的外角的平分線在RtABC中，C=90°，A=30°，ABC=60°，EB是B的外角的平分線，ABE=60°，AEB=180°-60°-75°=45&

19、#176;故選B首先求得AE也是A的外角的平分線，根據(jù)平角的定義和角平分線的定義求得EAB，EBA的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得AEB此題主要考查角平分線的定義和性質(zhì)，求得AE是A的外角的平分線，是關(guān)鍵二、填空題）11.如圖BD是ABC的一條角平分線，AB=8，BC=4，且SABC=24，則DBC的面積是_ 【答案】8【解析】解：如圖，過點(diǎn)D作DEAB于E，DFBC于F，BD是ABC的一條角平分線，DE=DF，AB=8，BC=4，SABC=ABDE+BCDF=×8DF+×4DF=24，解得DF=4，DBC的面積=BCDF=×4×4=8故答案為

20、：8過點(diǎn)D作DEAB于E，DFBC于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=DF，然根據(jù)ABC的面積列式求出DF的長，再根據(jù)三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，作輔助線是利用角平分線的性質(zhì)的關(guān)鍵，也是本題難點(diǎn)12.如圖，BD是ABC的平分線，DEAB于E，SBDC=36cm2，BC=12cm，則DE的長是_ cm【答案】6【解析】解：作DFBC于F，BD是ABC的平分線，DEAB，DE=DF，×BC×DF=36，DE=DF=6，答：DE的長為6，故答案為：6 作DFBC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理

21、得到DE=DF，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算得到答案本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵13.如圖，已知ABC的面積是20，OB，OC分別平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=3，則ABC的周長是_ 【答案】【解析】解：如圖，連接OA，OB、OC分別平分ABC和ACB，點(diǎn)O到AB、AC、BC的距離都相等，ABC的面積是20，ODBC于D，且OD=3，SABC=×（AB+BC+AC）×3=20AB+BC+AC=，故答案為：根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn)O到AB、AC、BC的距離都相等，從而可得到ABC的面積等于周長的一

22、半乘以O(shè)D，然后列式進(jìn)行計(jì)算即可求解本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，判斷出三角形的面積與周長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵14.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，CE平分BCD交AB丁點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，且ABC=60°，AB=2BC，連接OE下列四個(gè)結(jié)論：ACD=30°；SAOE=SOBE；S平行四邊形ABCD=ACAD；OE：OA=1：，其中結(jié)論正確的序號是_ （把所有正確結(jié)論的序號都選上）【答案】【解析】解：四邊形ABCD是平行四邊形，ABC=ADC=60°，BAD=120°，CE平分BCD交AB于點(diǎn)E，DCE=BCE=6

23、0° CBE是等邊三角形，BE=BC=CE，AB=2BC，AE=BC=CE， ACB=90°，ACD=CAB=30°，故正確；ACBC，SABCD=ACBC，故正確，在RtACB中，ACB=90°，CAB=30°，AC=BC，AO=OC，AE=BE，OE=BC，OE：AC=，OE：AC=：6，故正確；AE=BE，SAOE=SOBE，故正確；故選：由四邊形ABCD是平行四邊形，得到ABC=ADC=60°，BAD=120°，根據(jù)角平分線的定義得到DCE=BCE=60°推出CBE是等邊三角形，證得ACB=90°

24、，求出ACD=CAB=30°，故正確；由ACBC，得到SABCD=ACBC，故正確，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=BC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OE=BC，AE=BE，于是得到；SAOE=SOBE；OE：AC=：6；故正確此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)注意證得ABE是等邊三角形，OE是ABC的中位線是關(guān)鍵15.如圖，已知：BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DEAB，DFAC，垂足分別為E、F，AB=6，AC=3，則BE=_【答案】1.5【解析】解：連接CD，BD，AD是BAC的平分線，DEAB，DFAC，DF=DE，F(xiàn)=DEB=

25、90°，ADF=ADE，AE=AF，DG是BC的垂直平分線，CD=BD，在RtCDF和RtBDE中，RtCDFRtBDE（HL），BE=CF，AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，AB=6，AC=3，BE=1.5故答案為：1.5首先連接CD，BD，由BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DEAB，DFAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)，易得CD=BD，DF=DE，繼而可得AF=AE，易證得RtCDFRtBDE，則可得BE=CF，繼而求得答案此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意掌握輔助線的作

26、法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用三、解答題16.如圖，四邊形ABDC中，D=ABD=90°，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，且OA平分BAC（1）求證：OC平分ACD；（2）求證：OAOC；（3）求證：AB+CD=AC【答案】證明：（1）過點(diǎn)O作OEAC于E，ABD=90，OA平分BAC，OB=OE，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，OB=OD，OE=OD，OC平分ACD；（2）在RtABO和RtAEO中，RtABORtAEO（HL），AOB=AOE，同理求出COD=COE，AOC=AOE+COE=×180°=90°，OAOC；（3）RtABORtAEO，AB=AE，同理可得CD=CE

27、，AC=AE+CE，AB+CD=AC【解析】（1）過點(diǎn)O作OEAC于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得OB=OE，從而求出OE=OD，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明；（2）利用“HL”證明ABO和AEO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得AOB=AOE，同理求出COD=COE，然后求出AOC=90°，再根據(jù)垂直的定義即可證明；（3）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=AE，CD=CE，然后證明即可本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵

28、17.如圖，BE=CF，DEAB的延長線于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，且DB=DC，求證：AD是EAC的平分線【答案】證明：DEAB的延長線于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，BED=CFD，BDE與CDE是直角三角形，在RtBDE和RtCDF中，RtBDERtCDF（HL），DE=DF，DEAB的延長線于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，AD是BAC的平分線【解析】首先證明RtBDERtCDF，可得DE=DF，再根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上可得AD是EAC的平分線此題主要考查了角平分線的判定，關(guān)鍵是掌握到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上18.已知MAN=120°，AC平分MAN，點(diǎn)B、D分別在

29、AN、AM上（1）如圖1，若ABC=ADC=90°，請你探索線段AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；（2）如圖2，若ABC+ADC=180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由【答案】（1）關(guān)系是：AD+AB=AC（1分）證明：AC平分MAN，MAN=120° CAD=CAB=60° 又ADC=ABC=90°，ACD=ACB=30°（2分）則AD=AB=AC（直角三角形一銳角為30°，則它所對直角邊為斜邊一半）（4分）AD+AB=AC（5分）；（2）仍成立證明：過點(diǎn)C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F（6分）AC平分MAN CE=CF（角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等）（7分）ABC+ADC=180°，ADC+CDE=180° CDE=ABC 又CED=CFB=90°，CEDCFB（AAS）（10分）ED=FB，AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF（11分）由（1）