1、精選優質文檔-傾情為你奉上定積分典型例題20例答案例1 求分析 將這類問題轉化為定積分主要是確定被積函數和積分上下限若對題目中被積函數難以想到，可采取如下方法：先對區間等分寫出積分和，再與所求極限相比較來找出被積函數與積分上下限 解 將區間等分，則每個小區間長為，然后把的一個因子乘入和式中各項于是將所求極限轉化為求定積分即=例2 =_解法1 由定積分的幾何意義知，等于上半圓周 ()與軸所圍成的圖形的面積故=解法2 本題也可直接用換元法求解令=（），則=例3 （1）若，則=_；（2）若，求=_分析 這是求變限函數導數的問題，利用下面的公式即可解 （1）=；（2） 由于在被積函數中不是積分變量，故

2、可提到積分號外即，則可得 =例4 設連續，且，則=_解 對等式兩邊關于求導得，故，令得，所以例5 函數的單調遞減開區間為_解 ，令得，解之得，即為所求例6 求的極值點解 由題意先求駐點于是=令=，得，列表如下：-故為的極大值點，為極小值點例7 已知兩曲線與在點處的切線相同，其中，試求該切線的方程并求極限分析 兩曲線與在點處的切線相同，隱含條件，解 由已知條件得，且由兩曲線在處切線斜率相同知故所求切線方程為而例8 求 ； 分析 該極限屬于型未定式，可用洛必達法則解 =注 此處利用等價無窮小替換和多次應用洛必達法則例9 試求正數與，使等式成立分析 易見該極限屬于型的未定式，可用洛必達法則解 =，由

3、此可知必有，得又由 ，得即，為所求例10 設，則當時，是的（ ）A等價無窮小 B同階但非等價的無窮小 C高階無窮小 D低階無窮小解法1 由于 故是同階但非等價的無窮小選B解法2 將展成的冪級數，再逐項積分，得到，則例11 計算分析 被積函數含有絕對值符號，應先去掉絕對值符號然后再積分解 注 在使用牛頓萊布尼茲公式時,應保證被積函數在積分區間上滿足可積條件如，則是錯誤的錯誤的原因則是由于被積函數在處間斷且在被積區間內無界.例12 設是連續函數，且，則分析 本題只需要注意到定積分是常數（為常數）解 因連續，必可積，從而是常數，記，則，且所以，即，從而，所以 例13 計算分析 由于積分區間關于原點對

4、稱，因此首先應考慮被積函數的奇偶性 解 =由于是偶函數，而是奇函數，有, 于是=由定積分的幾何意義可知, 故 例14 計算，其中連續分析 要求積分上限函數的導數，但被積函數中含有，因此不能直接求導，必須先換元使被積函數中不含，然后再求導解 由于=故令，當時；當時，而，所以=，故=錯誤解答 錯解分析 這里錯誤地使用了變限函數的求導公式，公式中要求被積函數中不含有變限函數的自變量，而含有，因此不能直接求導，而應先換元例15 計算分析 被積函數中出現冪函數與三角函數乘積的情形，通常采用分部積分法解 例16 計算分析 被積函數中出現對數函數的情形，可考慮采用分部積分法解 = =例17 計算分析 被積函數中出現指數函數與三角函數乘積的情形通常要多次利用分部積分法 解 由于， （1）而 ， （2）將（2）式代入（1）式可得 ,故 例18計算分析 被積函數中出現反三角函數與冪函數乘積的情形，通常用分部積分法解 （1）令，則 （2）將（2）式代入（1）式中得 例19設上具有二階連續導數，且，求分析 被積函