1、精選優質文檔-傾情為你奉上安大略湖和伊利湖的污染問題摘要本文利用數學建模的方法，分析了安大略湖和伊利湖的湖水污染問題，運用了差分方程、等級結構理論和馬氏鏈模型定量分析了兩個湖泊系統的污染物流入流出的過程。首先，通過對安大略湖的相關因素分析，適當的做出了相關假設，安大略湖的換水和污染物進入過程看成一個時間離散的過程，引入了差分方程的方式，構建了一個湖泊污染物總量隨時間變化的模型，最終得到了，安大略湖的污染總額是隨著時間的推移衰減的，并在相對長的時間上是維持在一個相對穩定的水平。接著，在考量安大略湖污染物衰減的過程中，通過對湖水的流入與流出的分開分析，引入換水系數和水質因子相關概念，分析得到了安大

2、略湖湖水污染物下降到10%以下大概需要34年的時間。其次，在描述安大略湖與伊利湖的長期情況時，利用馬氏鏈模型與等級結構的相關理論，考慮到了相關政策對湖水水質的要求，查閱了相關的資料，假設了相關的污染物含量標準，并得到了需達到這個狀態的兩個湖泊系統的長期行為。最后，基于對問題的分析與認識，提出了對模型的進一步改進的方面，討論了模型的有點與不足。以期能全面分析問題的本質，同時也針相關的問題給出了一些建議。1. 問題復述Background Information:Most of the water flowing into Lake Ontario is from Lake Erie. Suppo

3、se that pollution of the lakes ceased, except for pollution from an aluminum factory on Lake Ontario. How long would it take for the pollution level in each lake to be reduced to 10 percent of its present level?First, to simplify matters, let's assume that 100 percent of the water in Lake Ontari

4、o comes from Lake Erie. Let a(n) and b(n) be the total amount of pollution in Lake Erie and Lake Ontario, respectively, after n years. Since pollution has stopped, the concentration of pollution in the water coming into Lake Erie is c = 0. It has also been determined that, each year, the percentage

5、of water replaced in Lakes Erie and Ontario is approximately 38 and 13 percent, respectively. Additionally, suppose that an aluminum factory on Lake Ontario directly dumps 25 units of pollutant into the lake each year. Initially, there are 2500 units of pollutant in Lake Ontario, and 3150 units of p

6、ollution in the lake after 1 year.Problem:1. Build a model to estimate the total amount of current pollution in Lake Ontario. 2. Find the particular solution and determine how long it would take for the pollution level in Lake Ontario to be reduced to 10 percent of its present level. 3. Describe the

7、 long term behavior of this system. 2. 問題分析 染物變化的分析，在化學與熱動力學上，湖泊污染物的分布是一個相當復雜的問題。于數學建模的定性與定量分析的需要，湖泊中污染物的分布是均勻這個假設很重要，這是后面問題分析的出發點。 問題一要求根據已有的背景資料，求出安大略湖的污染物總量。很明顯，湖是一個動態變化的湖泊系統，污染物又從伊利湖中流入，也有自身的流出，所以，該湖泊的污染量總額應該是一個變化的數值，且隨著時間的推移發生變化。 問題二要求求出安大略湖污染物下降到10%以下所需的時間，根據對問題的分析可以知道污染物是程一個衰減的態勢。安大略湖的污染物既有流出

8、也有流入，在假設湖水總量不變的情況下，可以將流入與流出看成兩個過程，分開描述污染物的變化狀況。 問題三要求描述安大略湖與伊利湖的長期行為，由于安大略湖與伊利湖的污染物既有流入又有流出，且總體上程衰減的態勢。安大略湖與伊利湖兩個系統可以看成是一個二維的等級結構，利用馬氏鏈模型與等級結構的相關理論，通過查找相關資料，定義一個可變的污染物含量標準，構造一個穩定控制狀態，可以描述這兩個湖泊系統在一定的污染物要求下的長期行為。3. 模型準備3.1安大略湖與伊利湖的相關地理資料安大略湖是北美洲五大湖之一。在美國和加拿大之間。略呈東西延伸，東西長約311千米，南北最寬85千米。面積1.95萬平方千米，在五大

9、湖中最小。湖面海拔75米，比伊利湖低99米。平均水深85米，最大深度236米。蓄水量1688立方千米。湖岸線長1380千米，岸線較平直，僅東北端較曲折。伊利湖是北美洲五大湖之一。為美國和加拿大共有，東、西、南面為美國，北面為加拿大。呈西西南-東東北向。東西長388千米，最寬92千米。面積2.57萬平方千米，在五大湖中居第四位，僅大于安大略湖。湖面海拔174米，比安大略湖高99米。平均水深18米，最大深度64米，在五大湖中最淺。蓄水量455立方千米。湖岸線總長1200千米，較平直，少湖灣。湖中有島嶼，集中在湖的西端，以加拿大的皮利島為最大。3.2馬氏鏈模型馬氏鏈描述的是系統在每個時期所處的狀態是

10、隨機的，從這個時期到下個時期的狀態按照一定的概率進行轉移，并且下個時期的狀態只取決于這個時期的狀態和轉移的概率，與以前各時期的狀態無關。馬氏鏈及其基本方程 按照系統的發展，時間離散化為n=0,1,2,對每個n,系統的狀態用隨機變量表示，設可以取k個離散值=1，2，3，k,且記，即狀態概率。從到的概率記為：，稱為轉移概率。由狀態轉移的無后效性和全概率公式可以得到基本方程為：并且和應滿足以下 n=0,1,2, I,j=1,2,3,k i=1,2,k引入狀態概率向量和轉移概率矩陣3.2等級結構理論等級結構理論描述的是等級結構的演變過程，預測未來的結構，確定為達到某個理想結構應采取的策略。成員按等級的

11、分布向量 成員按等級比例分布轉移矩陣退出比例向量調入比例向量等級結構的基本方程當系統每年以固定的比例增長時，上式轉化為若假定系統的總量保持不變上式可化為：4. 模型符號與假設4.1模型的符號說明n年后伊利湖的污染情況n年后安大略湖的污染情況V安大略湖的湖水體積湖水的換水系數T湖水更換的周期K綜合降解系數4.2模型的基本假設（1）全部安大略湖的湖水來自于伊利湖（2）流入伊利湖的湖水未受過任何污染（3）兩個湖泊的湖水總量保持不變，且更新速度是一致的（4）污染物的濃度很小，可以忽略湖水的密度影響（5）污染物可以瞬間在湖泊中均勻分布5. 模型的建立與求解5.1安大略湖污染總額模型（問題一）假定安大略湖

12、百分之百的水發源于伊利湖。a(n)和b(n)分別代表n年之后伊利湖和安大略湖的污染物比例。因為污染已經停止，所以進入伊利湖的污染含量是c = 0。每一年,伊利湖和安大略湖的換水的比例大約分別是38%和13%。此外,處于問題的簡單化，假設每年安大略湖旁只有一個鋁廠直接將二十五個單位的污染物排入湖中。開始時,安大略湖含有2500單位污染物，一年后達到3510單位。首先將安大略湖的污染總量定義為一個可以數值計量的標量，污染物在安大略湖的分布是均勻的，新排入的污染物也能迅速地在湖中均勻的擴散開。所以用差分方程構造一個安大略湖污染總額的模型為：在這個模型中，出于對問題的簡單化處理，將安大略湖的換水和污染

13、物進入過程看成一個時間離散的過程，即每一年安大略湖一次性完成換水，并且湖水的體積保持不變，通過這樣與的推到關系為：所以，的通解為：又由于初始條件、所以可以得出安大略湖污染總額的年份變化為由此，可以通過通解求出安大略湖任意具體的年份求出安大略湖污染物總量，相關的變化見圖1圖中現實，安大略湖的污染物總量經過了一個先增長再衰減的過程，在較長的時間刻度上，污染物的總量會維持在一個較為穩定的數值上。5.2安大略湖污染程度下降模型（問題二）在考量安大略湖污染物濃度時，假設安大略湖的湖水都是由伊利湖流入，并且安大略湖的湖體容積不變，容積為V，安大略湖中污染物的初始平均濃度為C0, 由于安大略湖是一個貫通的湖

14、泊，因此流入的湖水體積與流出的水體體積大致上保持不變。在此，我們將安大略湖湖水的流入與流出過程，看成一個以年份為標志的離散過程。每個年份開始一次湖水流入流出的過程是先排水, 緊接著引水, 排水量與引水量相等,湖泊水位不變。由于，伊利湖水流入安大略湖是一個持續的過程，湖水中污染物的濃度持續下降，為簡化分析，可以假設由伊利湖流入的湖水中污染物的平均濃度為, 記引排周期為T, 單位時間內周邊環境輸入的該種污染物負荷為 , 一個周期中周邊環境排入該水體的該種污染物的負荷總量為, ( ) , 設每次流入或流出的水體體積為, 其中定義為換水系數假定引排換水所需的時間很短與T 相比可忽略不計, 水體混摻均勻

15、, 水體中污染物服從一階或零階降解, 綜合降解系數為K 。在上述條件和假設下, 在上一次引水完成后至下一次排水開始前, 水體中該種污染物的平均濃度可用下式描述:即：在該式子中C1 為某一引排周期初始時刻的平均濃度。其最后時刻的平均濃度為:由均勻混摻假設, 可知在第1 次排水和引水以后, 水體中該種污染物的平均濃度為:以此作為下一時段的初始濃度, 利用( 3) 式可以推出在第2 次排水開始時水體中該種污染物的平均濃度。一般地我們可以推出第n 次排水和引水后, 水體中該種污染物的平均濃度為:在第n+ 1 次排水前任意時刻t 該種污染物的平均濃度為:在第n+ 1 次排水開始時該種污染物的平均濃度為:

16、取第n 次引水和n+ 1 次排水時間間隔內水體的平均濃度為: 對無降解的情況( K = 0) 有：上述式中 包含了安大略湖湖水流入與流出周期T 的影響。式中是平均的水質改善因子。上面可見, 水體中的污染物平均濃度由3 部分組成( 分別為方程右端的第一、二、三項) , 即原來水體中殘留的污染物、引入水中的污染物和周邊環境排入的污染物。顯然, 周邊環境排入的污染物愈多, 污染負荷系數越大, 引入水質愈差, 愈大, 使水體中平均濃度愈高, 水質改善因子愈小。由于安大略湖的污染物下降到10%以下，則=250，又=2500，題目中已給出=68%，利用MATLAB可以計算得到，污染物含量衰減到10%是大概

17、n=34,即34年后安大略湖的污染下降到10%以下。污染負荷應盡可能予以削減, 否則為達到預定的水質目標不得不增加湖水流入量, 即增大換水系數。從上述表達式可見, 水體中污染物平均濃度 與換水系數1- 直接相關。事實上, 若, , 保持常數, 當n時, 濃度C( n) 和水質改善因子亦將趨近于常數。這意味著當周邊污染負荷和引入水的水質相對穩定, 繼續同樣的湖水流出流入, 湖內水質將趨于穩定狀態。5.3安大略湖系統長期模型（問題三）為了描述伊利湖與安大略湖這個系統的長期情況.考慮到湖水污染治理的主要目的是為了使其污染總量降低到人們可容忍的范圍以內.于是將問題的重點放在研究如何控制每年向伊利湖與安

18、大略湖排放的污染量,使兩個湖的湖水污染總量能在未來相當長的時間里降低到人們可容忍的范圍以內.下面先定義若干基本量, 建立基本方程, 然后討論如何控制每年向各湖排放的污染量,保持兩湖的污染量穩定在人們可容忍的范圍內.基本量與基本方程:設一個系統由湖組成,時間以年為單位離散化,即考慮每年向各湖排放的污染量.湖記作,時間記作引入以下的定義和記號:污染量按湖的分布向量,其中為第年湖的污染量,于是有.轉移矩陣,其中為每年從湖擴散到湖的污染量比例.污染量排放向量,其中為每年向湖排放的污染量.為了導出污染量按湖的分布向量的變化規律,先寫出各個湖污染量的轉移方程用向量,矩陣符號可將其表示為經遞推可得以上是為模型所作的準備,下面我們利用馬氏鏈模型對問題三進行研究在本題所提到的系統中,我們只考慮伊利湖與安大略湖的情況.為了描述的方便,我們將以下標1表示伊利湖,下標2表示安大略湖.伊利湖與安大略湖間的污染量轉移矩陣為其中,0.38表示每年由伊利湖轉移到安大略湖的污染量的比例.由第一題中的模型我們可以得到,兩個湖初始污染量為,而人們對安大略湖水可容忍的污染量我們不妨視為原污染量的10%,即為250。至于人們對