1、實變函數(shù)論課后答案第二章1弟一F弟一下一 、 、 、1 .證明Po E的充要條件是對于任意含有 P0的鄰域N P0,（不一定以P0為中心）中,恒有異于po的點(diǎn)pi屬于E （事實上這樣的pi其實還是有無窮多個） 而po為E的內(nèi)點(diǎn)的充要條件則上有含有 po的鄰域N po,（同樣，不一定以po為中心）存在，使N po,E.'證明：先設(shè)po E,則 o,N po,I E中有無窮多個點(diǎn)。現(xiàn)在設(shè) po N po,這表明op, po,故 y N po,，有 y, p y, popo, p故 N po,N p,故N po,I E有無窮個點(diǎn)，自然有異于 po的點(diǎn)pi N po,I EN p,.這就證明了

2、必要性， 事實上，N po,I Epo是無窮集，故N p,中有無窮多個異于 po的E中的點(diǎn).反過來，若任意含有 po的鄰域N p,中,恒有異于po的點(diǎn)pi屬于E ,則o,N p, 中，有異于po的點(diǎn)p1屬于E ,記p1, po1 ,則顯然1由條件Npo, 1中有異于 po的點(diǎn) p2p2,po由歸納法易知，有 n , n 1,2,L , npnEI N po,pnpo, n 1,2,L這表明N po,中有無窮個E中的點(diǎn).由o的任意性知,Xo E若po為E的內(nèi)點(diǎn)，則o,使Npo,E ,故必要性是顯然的.若存在鄰域N p,E,使poN p,則從前面的證明知N po,po, pp,E ,故po為E的內(nèi)

3、點(diǎn).n 1'2 .設(shè)Rn R1是全體實數(shù)，E1是o,1上的全部有理點(diǎn)，求 E1 ,E1 .解：x 0,1 ,由有理數(shù)的稠密性知,0,N x,x中有無窮個E1中的點(diǎn)，故x E1 ,故0,1E1 .而另一方面，x 0,1 ,必有 0,使%,0,1 ，故 x0E1故 E10,1 ,所以 0,1 已 0,1 .表明E10,1而 E1E1UE10,1 UE10,1故 E1E10,1 .1.設(shè) Rn2 .R是普通的xy平面E22x,y ;x1，求 E2 ,E2 .解：e222x, y ;x y 1事實上，若Poxo, VoE2 ,則由于f x,yy2是R2上的連續(xù)函數(shù)，必存在0,使x,yPo,有

4、f x,y1.故 N Po,I E2故P0不是E2中的點(diǎn)矛盾故 xo2yo21時Po22x,y ;x y反過來，若P0x0, Vo2x,y ;xy2 10,作0,1上的函數(shù)tPo, Potx02 y0xoty。y。0,1上的連續(xù)函數(shù),1,0,1,t 0,1現(xiàn)在任取0, 0min1,，使P0,N P0,由上面的結(jié)論，存在1.故t P0滿足（1） tP0P°； (2) t P0t II P0P01.故tP0E2(3) t Po, Po，故 t P N Po,所以 t p N Po, I E2Po由習(xí)題1的結(jié)論知PoE2,所以E2'x,y;x2y21而百E2u E2 E2'

5、 x, y ; x2y2 12.設(shè)RnR2是普通的xy平面，E3是函數(shù)y.1 sin 一x0x 0的圖形上的點(diǎn)所作成的集x 0合，求E3.解：設(shè)函數(shù)的圖形是x, f x ; x R , E3.、一. ，下證 E30,; 11 U E31_1x,sin ;x R 0 U 0,0 xP0%,y0E3存在 Pn xn,ynE3x0, y° ,Pnxn , ynP0xnx°,ynNo,Pn, P00設(shè)P0飛*E3 ,則存在xn, ynE3x°, y° 使 xnxO,yny01y0 sin 一x0若x00 ,則xnc.10 , ynsin xny0,1y°

6、;1若x00,則xn 0 （當(dāng)n充分大）. 1貝U ynsin -xn所以,y。E3所以 5,y00,； 11故 E30, ; 11 UE3反過來：P0xO,y00, ; 1若 x00 , y0.1sin 一 ,x。故存在xnx0 ,使xn 0, xn%從而 sin sin Xn X即存在xn,sin XnXo,yO故 PoE3 .若 Po0,y00,； 11則從V。1,1知存在xo使sinxoyo,人1一.令 Xk 0,k 1,2,L .2kXo貝U sin 工 sin 2kXosin Xo yo ,Xk11所以 Xk,sinE3, Xk,sino,y0， Xk, yoo,y0XkXkXk, yoo,yo' 故 PoE3故結(jié)論成立.3.證明當(dāng)E是Rn中的不可數(shù)無窮點(diǎn)集時，E不可能是有限集.證明：記B為E的孤立點(diǎn)集，則E BE所以 E E B UB E UB.若能證明B是至多可數(shù)集，則若E'是有限集或可列集知 E'UB E為至多可數(shù)集，這將與E是Rn中的不可數(shù)無窮點(diǎn)集矛盾.故只用證E的孤立點(diǎn)集B是至多可數(shù)集 p B, p o使 N p