1、專題訓練（三）相似三角形的五種基本模型?模型一“X”字型1 .如圖3ZT 1, P是？ABCD勺邊AB上的一點，射線 CP交DA的延長線于點 E,則圖 中的相似三角形有（）圖 3-ZT- 1.3對3-ZT- 2, BE是 ABC勺角平分線，延長BE至點D,使求CE的長.圖 3-ZT- 2A. 0 對 B . 1 對 C . 2 對 D2 . 2018 杭州西湖區一模如圖得 CD= BC(1)求證： AE改 CED(2)若 AB= 2, BC= 4, AE= 1,3 .如圖3-ZT- 3, E是？ABCD勺邊BC延長線上一點， AE交CD于點F, FG/ AD交AB于點G(1)填空：圖中與 CE

2、F相似的三角形是 (寫出圖中與 CEF相似的所有三角 形)；(2)從 中選出一個三角形，并證明它與CEFffi似.圖 3-ZT- 3?模型二“A”字型4 .如圖 3-ZT-4,在ABC43,點 D, E分別在邊 AB, AC上，且/ AED= / B 若 AB=10, AC= 8, AD= 4,求 AE的長.圖 3-ZT- 45 .如圖 3-ZT- 5,在 AB8, / C= 90° , AC= 6 cm, BC= 8 cm ,點 D從點 C出發, 以2 cm/s的速度沿折線 C A- B向點B運動，同時，點 E從點B出發，以1 cm/s的速度沿 BC邊向點C運動，設點E運動的時間為

3、t(s)(0 vt<8).(1)求AB的長；(2)當ABD蕾直角三角形時，求 t的值.圖 3-ZT- 5?模型三子母型6 .如圖 3-ZT- 6 所示，點 D 在ABC勺邊 AB 上，AD= 2, BD= 4, AC= 2 J3. 求證： ACDh AABC圖 3-ZT- 67 .如圖3-ZT-7, CD是RtABC勺斜邊AB上的高，E是BC上任意一點，EF± AB于點F.求證：AC=AD AF+ CD EF.圖 3-ZT- 78.如圖3-ZT- 8, 4ABC是等邊三角形，點 D, E分別在 與BE相交于點F.(1) AAEF-A ABEf似嗎？說明你的理由.(2) bD =

4、 AD-FD嗎？請說明理由.AC上，且 BD= CE AD圖 3-ZT- 8?模型四旋轉型9.已知：如圖 3-ZT- 9, ABD" AACE求證：(1) / DAE= / BAC(2) ADAIE BACA圖 3-ZT- 910.如圖 3-ZT- 10,已知：在 ABC和EDC43, AB= AC 點A, D在直線CE的同側，直線 AE B吩于點F.EC= ED, / BAO / CED,則/ AFB=°(1)當點B, C, E在同一直線上，且/ BAC= 60°時(如圖(a)（2）當點B, C, E不在同一條直線上時（點F不與點 A, B重合），如圖（b）或圖

5、（c） .若/ BAC= a ,則在圖（b）中，求/ AFB的度數（用含a的式子表示）.在圖（c）中，中的結論是否還成立？若成立，請說明理由；若不成立，則/ AFB等 于什么？寫出推理過程.D(b)©圖 3-ZT- 10?模型五一線三等角型11.如圖3-ZT- 11,等邊三角形 ABC勺邊長為6, D是BC邊上的動點，/ EDF= 60° 求證： BDEo ACFD（2）當 BD- 1, CF= 3 時，求 BE的長.“圖 3-ZT- 11詳解詳析1.解析D 二.四邊形ABC虛平行四邊形，.AB/ DC AD/ BCEA向 EDC EA向 CBP ED© CBP故

6、有3對相似三角形.故選D.2.解：(1)證明：: BE是ABC勺角平分線， ./ ABE= / CBECD= BC / CD號 / CBE= / ABE又. / AEB= / CED . AEH CED(2) BC= 4, CD= 4. AE改 CEDCE CD CE 4"AFAB 即彳=2，. CE= 2.3 .解析(1)根據已知及相似三角形的判定方法進行分析，從而得到圖中與CEF相似的三角形；(2)根據已知及相似三角形的判定方法進行分析，從而得到答案.解：(1) DAF ABE/A AGFA(2)答案不唯一，選證 DAFo CEF證明：四邊形 ABC師平行四邊形，BE/ AD./

7、 1=/ E, / 2=/ D,DA% CEF4 .解析利用兩角分別相等的三角形相似得到AEDABCt目似，由相似得比例式求出AE的長即可.解：/ AED= / B, / A= / A,AE AD.AE5 AB(C.AB AC. AB=10, AC=8, AD=4,.AE 4 10=8'AE= 5.5.解：(1)由勾股定理，得 AB= 462 + 82 = 10(cm).(2)當點 D在 AC上運動日/ DEB= / C+ / CDE>90° , . BD環可能是直角三角形.若點D在AB上，如圖，當/ BED= 90°時， BD既直角三角形,則 BE= t ,

8、 AO AD= 2t , BD= 6+ 10-2t = 16-2t . / BED= / C=90 , B B= / B,BDlEo BACBE BD_ BC ABt 16-2t 丘/口 648=一，斛倚t =癡；圖圖如圖，當/ ED990°時， BD既直角三角形, 貝U BE= t , BD= 16-2t.在 BD臣口 BCAK. / BDE= / C, / B= / B,BD& BCABE BD"AeT BCt_162t10= -8 -40,解得t= 了.，當 BD次直角三角形時,64T 40 的值為不或二.1376.解析首先利用已知得出AD ACACT AE3

9、進而利用相似三角形的判定方法得出即可.繪_2_AC2_證明：. ACT 2 J3 3，AET 6 . 3，Ap_ACAC= AB又/ A= / A, AC中 ABC7.解析根據垂直的定義得到/ ACB= Z ADCf 90° ,推出AACD ABC根據相似三AC ADAD CDEF= FE于是得到角形的性質得到 益=m 即aC=AD- AB,由于AB= A斗FB,等量代換得 AC=AD-(A斗FB( AB AC= AD- AF+ AD-FB通過 AC爐 EBF根據相似三角形的性質得到AD-FB=CD- EF,即可得到結論.證明：CD是RtABC勺斜邊AB上的高， ./ ACB= /

10、ADC= 90° .又/ A= / A, . ACD ABC.AC_AD"AEf AC. AC= AD- AB. AB= AF+ FB, .AC= AD-(AF+ BF)=AD- AF+ AD- BFEF±AB于點 F, ./ADC= / EFB= /ACB= 90° . / A+ / ACD= / A+ / B= 90 , ./ ACD= / B,. / ACS EBF,AD CDEF=聲. AD- BF= CD- EF,. AC= AD- AF+ AD- BF= AD- AF+ CD- EF.8.解析(1) AAEF與 ABE相似，首先根據等邊三角形

11、的性質，可得AB= BC Z ABC= /C= /BAO 60° ,即可證明 AB挈 BCE 即可以求得/ AFE= / BADF Z ABE= 60° = /BAE再根據/ AEF= / BEA即可證明 AEW BEA(2)易證 ABNABFtD 即可得 bD=AD- DF解：(1) AAEF與 ABE相似.理由如下： ABC等邊三角形， .AB= BC / AB仔 / C= /BAO 60° .在 ABD BC計，AB= BC/ ABD= / C,BD= CE. .AB坐 BCESAS), / BAD= / CBE又. / AFE= / BADF / ABE

12、./AFE= Z CBEF Z ABE= 60° , / AFE= / BAC在 AEFW BEA中，/ AEF= / BEA / AFE= / BAE . AEW BEA(2) bD=AD- DF理由如下：在 ABD BFD43,. / BDF= / ADB / FBD= / BAD AB及 BFDBD_APFD= Bd. BD= AD- FD9.解析(1)先利用相似三角形的性質得/BAD= / CAE則/ BADF / BAE= / CAE-ZBAE從而得到結論；AD AB AD AF(2)先利用 AB及ACEH到箝器 再利用比仞的性質得 AD= * 而/ DAE= / BACA

13、E ACAB AC根據相似三角形的判定方法可得到結論.證明：(1) .ABDo ACE/ BAD= / CAE/ BADF / BAE= / CAEF / DAE= / BAC(2) . ABDo ACEAD ABAE= AcAD AEAB AC而/ DAE= / BAC DAEo BAC10 .解：(1)60.Z ACB= / ECDBC_APdcT EC ./ BCD= / ACEBC_DCACT ECBAEBAG= / CEDBCS ACE/ CBD= / CAE ./ AFB= 180° -Z CAE-Z . AB= AC / BAC= a , 1ACB= 90°

14、-a ,BAC- / ABD= 180 / BAC- / ABC= / ACB/1 .Z AFB= 90 -a ._,、1不成立，/ AFB= 90 +-” .推理過程如下：. AB= AC EC= ED Z BAO Z CED . ABCo EDC ./ ACB= / ECDBC_APdcT EC. / BCD= / ACEBC_DCACT EC(2). AB= AC EC= ED / . ABCo EDC. BCS ACE. / CBD= / CAE. / BDC= / AEC. / AFB= / BDQ- / CDE- / DEF= / CDEb / CED= 180° -Z DCE. EC= ED / BAC= / CED= a ,/O 1Z DCM 90