1、1第二章第二章 解析函數解析函數基本要求：基本要求：1、掌握復變函數求導數、掌握復變函數求導數 2、掌握解析函數的判斷及柯西、掌握解析函數的判斷及柯西-黎曼方程黎曼方程3、初等函數的定義及性質、初等函數的定義及性質2、導數：、導數：1可可導導。在在存存在在，則則：稱稱如如果果內內定定義義在在區區域域定定義義：00000)()()(lim,)(zzfzzfzzfDzDzfwz 00000()()()limzzzf zzf zdwfzdzz 1 解解 析析 函函 數數比比實實變變嚴嚴格格。的的方方式式是是任任意意的的注注意意：,z0 ( )Df zD如果在區域 內處處可導，則稱在 內可導。可導連續

2、同實變函數一樣，復變函數可導和連續之間的關系：同實變函數一樣，復變函數可導和連續之間的關系：302200( )( )lim( )limlim(2 )2 .zzzf zzf zzzzzzzzz21fz例 ：求的導數2fz連續、處處導數存在/目標：判斷函數的可導性 求導數。4000()( )lim()2()2lim2limzzzf zzf zzxxyy ixyixyixyixyi zxyO2( )2wf zxyi例 ：判斷函數：的可導性f (z)=x+2yi的導數不存在.連續、不可導5同同。同同，求求導導法法則則與與實實變變相相導導數數定定義義形形式式與與實實變變相相求求導導法法則則：121 (

3、)02 ()3( )( )( )( )4( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )5( )( )6 ( )( )( )( )nncznznf zg zfzg zf zg zfz g zf z g zf zfz g zf z g zg zg zf g zfw g zwg z 、正整數、17( ),( )( )( ),( )0.fzwf zzwww、其中與是兩個互為反函數 的單值函數 且6 微分：微分：設函數w=f (z)在z0可導, 則有, 0)(lim0zz其中因此, |(z)z|是|z|的高階無窮小量, 可忽略而f (z0)z是函數w=f (z)的改變量w的線性部

4、分, 稱為函數w=f (z)在點z0的微分, 記作 dw=f (z0) dz如果函數在z0的微分存在, 則稱函數函數f(z)在在z0可微可微.zzzzfz-fzzfw)()( )()(0000( )|zzdwfzdz由此可見, 函數函數w=f(z)在在z0可導可導與在與在z0可微是等價的可微是等價的.如果f(z)在區域D內處處可微, 則稱 f(z)在D內可微.72、解析函數（全純函數、正則函數）為為奇奇點點。不不解解析析在在00)(zzzf000( )( )wf zzf zzz及 的鄰域在內點 解析：在處處可導內內每每一一點點解解析析。在在內內解解析析：在在區區域域DzfD)(可導解析可導解析

5、Z0點區域D在復變函數的研究中，我們更關心的是函數的解析性在復變函數的研究中，我們更關心的是函數的解析性8連續、可導、解析的關系：內內解解析析在在 D)z(f可可導導在在0z)z(f解解析析在在0z)z(f內內可可導導在在 D)z(f連連續續在在0z)z(f高高層層中中層層低低層層922(1) (2) ( )21(3) ( )(4) ( )fzg zxyih zzw zz例 判斷下列函數的解析性 目標：由定義或定理判斷函數的解析點。10220000000000()()|()()h zzh zzzzzzzz zzz zzzzzzz 2( )h zz1111yizxyikixyzxyikiix 不

6、趨于一個確定的值. 因此, h(z)=|z|2僅在z=0處可導, 而在其他點都不可導. 由定義, 它在復平面內處處不解析.11解 因為w在復平面內除點z=0外處處可導, 且21,dwdzz 所以在除z=0外的復平面內, 函數處處解析, 而z=0是它的奇點.1( )w zz12處處都都解解析析。在在處處解解析析有有在在，如如果果定定理理：00)(,)()(),()(),()(:)()(zzgfzgzfzgzfzgzfzzgzf 點點外外，處處處處解解析析。的的分分母母不不為為（兩兩個個多多項項式式的的商商）除除有有理理分分式式整整個個復復平平面面上上解解析析。有有理理函函數數（多多項項式式）在在

7、0)()()(10zQzPwzazaazPwnn 使分母為零的點是它的奇點使分母為零的點是它的奇點13( )( , )( , )1( , ), ( , )( , )2-C-R),f zu x yiv x yzxiyu x y v x yz x yuvuvxyyx 定理一：在一點可導的充分必要條件為：（ ）在點可微(可導)；（ ）滿足柯西 黎曼(方程：2 函數解析的條件函數解析的條件( )( , )( , )1( , ), ( , )2,f zu x yiv x yDu x y v x yDuvuvDCRxyyx 定理二：在區域 內解析的充分必要條件為：）在 內可微；）在 內滿足方程：14yui

8、yvxvixu)z(f 給給出出了了求求導導公公式式。導導的的方方法法；提提供供了了判判斷斷函函數數是是否否可可yvxvyuxu -柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程將z看作(x,y)的函數z=x+iy,即 f (z)=f (x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) 假設是解析函數, 分別對x求偏導和對y求偏導,由復合函數求導得兩個公式：( )( , )( , )( )( )( )( )( , )( , )( )( )( )xxyyf zdzu x yv x yfzfzifzuivxdxxxf zdzu x yv x yfzfz iifzviuydyyy, 即：, 即：

9、由以上兩式即可得C-R方程1511( ) 2 ( )Re( ) 3( )(cossin )xf zzf zzzf zeyiy例，判斷下列函數的解析性：（）（ ）（）目標：由柯西黎曼方程判斷函數的解析性。不滿足C-R方程, 所以 f(z) 在復平面內處處不可導、不解析1, 0, 0, 1yvxvyuxu u=x, v=-y,1( )f zz（） 僅當x=y=0時, 它們才滿足柯西-黎曼方程，因而函數僅在z=0可導, 但在復平面內任何地方都不解析. u=x2, v=xy2 , 0 , uuvvxyxxyxy，2( )Re( )f zzz（ ）16 u=excos y, v=exsin yyyvyx

10、vyyuyxuxxxxcose,sinesine,cose 柯西-黎曼方程成立, 由于上面四個偏導數都是連續的, 所以f(z)在復平面內處處可導, 處處解析, 且有 f (z)=ux+ivx=ex(cos y+isin y)=f(z) 這個函數就是指數函數ez.3( )(cossin )xf zeyiy（ ）17處處處處解解析析。可可使使：例例)(?,)()(22222zfdcbaydxycxibyaxyxzf 3 ( )0( )fzDf z例 ： 證明 在 內常數00)(yvxvyuxuyuiyvxvixuzf故所以u=常數, v=常數, 因而f(z)在D內是常數.f(z)在D處處可導，故解

11、析，于是有：1812( )( )0( , )( , )f zuivfzu x ycv x yc例4:證明若為解析函數，且則： 曲線組和互相正交。11221212( )0,0(1) ,0( , )( , )1(2) 0,0000yyyyyyxyxyxxyyyxxyxxxyyyfzviuuvuvu x ycukuv x ycvkvu vCRk ku vuvuvuuvkykxuvv 證明：不全為都不為 ，任一條曲線斜率為：任一條曲線斜率為：利用方程得：兩曲線正交。不妨設平行與 軸，平行與 軸顯然兩曲線正交（詳見高數第9章9.4節隱函數求導公式）1910111108642x2468v=101y1086

12、42u=02468uv10101010例如函數w=z2對應于兩個二元實變函數:u=x2-y2, v=2xy.設 u=c1,v=c2, （分別為z平面上的兩族平行直線）相應的有 x2-y2=c1, 2xy=c2（直角坐標平面上的兩族分別以直線y=x和坐標軸為漸近線的等軸雙曲線）由于w=z2解析，因此它們必互相正交.203 初初 等等 函函 數數, log , , sin, Ln , , sin ,xxnazaexxezzz本課程針對實變函數中的4個基本初等函數：介紹其相應的初等復變函數：在此基礎上用初等函數的四則和復合運算得到一般函數。注注意意性性質質：周周期期性性、多多值值性性、奇奇偶偶性性、

13、解解析析性性在工程中, 往往是要用復變函數來解決實際問題. 而實際問題中遇到的復變函數, 通常都是某個實變函數延拓而來的. 例如實變函數 f (x)=x2-x+1, 相應的復變函數就是f (z)=z2-z+1.21exp ,zz e一、指數函數： （周期性）( )31( )2( )( )3 Im( )0.zxf zf zfzf zzee定義：滿足 個條件為指數函數： （ ）在復平面內處處解析； （ ）； （ ）時有( ) exp(cossin )xf zzeyiy|exp|,Arg(exp )2, ()xzezykk其中 為任何整數:( )exp0f zz顯然 exp zze指數函數可以用來表

14、示)sin(cosyiyeexz . exp , 的的符符號號只只是是代代替替沒沒有有冪冪的的意意義義注注意意zez22加法定理加法定理)exp(expexp2121zzzz 證 , , 222111iyxziyxz 設設12expexpzz)sin(cos)sin(cos221121yiyeyiyexx )sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx )sin()cos(212121yyiyyexx 12exp()zz2cos2sin21iei2 k i周期為（實變函數不具有的性質）22zizizee ee指數函數的周期性：指數函數的周期

15、性：證 , , 222111iyxziyxz 設設23例例1 );Re()3(;)2(;) 1 ( , 122zzzieeeiyxz求設解解zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 24例例2 求出下列復數的輻角及輻角主值求出下列復數的輻角及輻角主值:22 33 43 4(1); (2); (3); (4)iiiieeee )1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32

16、 kei; 3arg32 ie3 4(3)Arg42, iek;24arg43 ie3 44Arg42, iek （ ）;24arg43 ie25例例3 的周期的周期求函數求函數. )( 5zezf 解解,2ikez 的的周周期期是是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函數故函數.10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 26 12121. ( )02. 3. 4. 2zzzzzzzf zeeee eek i處處解析滿足加法定理：周期性：周期為(4)ze 的性質：條 問題： ？2121)(zzzzee27Ln z二、對數函數：（多值）(0)Lnwez zwz使

17、成立的函數lnlnargargLnln21, 2zzizzzzkik 對數函數主值：分支：LnlnArgzziz多值！lnarg2zizi k 0 , Ln lnln ,.zxzzx當時的主值是實變對數函數1. 定義定義28例例4 解解 . )1(Ln , 2Ln 以以及及與與它它們們相相應應的的主主值值求求 Ln2ln22,k i Ln2 ln2. 的的主主值值就就是是 Ln( 1)ln1Arg( 1) (21) 0, 1, 2,ikik Ln( 1) . i的的主主值值就就是是注意注意: 在實變函數中在實變函數中, 負數無對數負數無對數, 而復變數對而復變數對數函數是實變數對數函數的拓廣數

18、函數是實變數對數函數的拓廣.29例例5解解. 031 iez解方程解方程 13 ,zei Ln(13 )ziln 132 3iikln223ik(0, 1, 2,)k 302. 性質性質1212(1) Ln()LnLn,zzzz1122(2) LnLnzLn,zzz(3) (), , , 在除去負實軸 包括原點 的復平面內 主值支和其它各分支處處連續 處處可導 且1(ln ),1(Ln ).zzzz兩端可能取的函數值的全體是相同的1LnLnLnLnnnznzzzn？ ？31 , ln arg是是單單值值的的內內的的反反函函數數在在區區域域zwzezw ln11wdzdedzzdwln|argW

19、hy zz除原點外，在其它點都是連續的而在原點和負實軸上都不連續(?)性質（性質（3）的證明）的證明所以除原點與負實軸外，在復平面內其它點lnz處處連續由反函數求導法則可得由反函數求導法則可得以上是對主值支的證明，對其它各個分支 ，有類似的結論。321. 乘冪乘冪 , , , Lnabbeaba定義為定義為乘冪乘冪復數復數為任意一個為任意一個為不等于零的一個復數為不等于零的一個復數設設 . Lnabbea 即即注意注意: :. , )2arg(lnLn 也也是是多多值值的的因因而而是是多多值值的的由由于于bakaiaa bbaz三、乘冪與冪函數：、定義：定義： 33abikbaiabeeln2

20、)arg(ln .具有單一的值ba ,0) ,( )2(時為互質的整數與當qqpqpbln(arg2)ln(arg2)lnarg2 ppppppaiakaiakaiaikbqqqqqqaeeee , 個值具有 qab .) 1( , 2 , 1 , 0 時相應的值即取qk , ) 1 (為整數時當b)2arg(lnLn kaiababbeea2種特殊情況：種特殊情況： , 無窮多個值具有除此以外，ba34LnLnLnLnLnLnLnLn1 e, . :) , ee: eee bbannaaaaaaaabnnananibnaa aa 定義當 為正整數 及分數時是與 的 次冪及 的 次根的定義是完

21、全一致的 因為當 為正整數 時 根據定義注意111Lnln| |11) ,arg2arg2eecossinarg2arg2 |cossin,0,1,2,(1).aannnnniibnakakainnakakaiannkn若 是分述有其中35; , bzwza 就就得得到到一一般般的的冪冪函函數數為為一一復復變變數數如如果果. , 1 1nnnnzzwwzzwnnb 的的反反函函數數及及數數就就分分別別得得到到通通常常的的冪冪函函時時與與當當2. 冪函數冪函數36Lnln22( )bbzbzb kibb kif zzeeeze所以： 的多值性取決于的多值性。1111(1) (2) ,1nnnnb

22、znzmbbnnzzn為整數，為單值，處處解析，；為有理數有 個分支多值函數，除原點和負實軸外處處解析，；1(3) bbbbzzbz為一般數，有無窮多個分支，除原點和負實軸外處處解析，3. 冪函數的解析性冪函數的解析性(單值、有限個值、無窮多值單值、有限個值、無窮多值)37例例7 72 1 . ii求和的值解解22Ln11e2 2 k iecos(2 2)sin(2 2)kik 0, 1, 2,. k 其中Lniiiie22 iik ie22 ke 0, 1, 2,. k 其中1,bbbbazzbz目標：求的值。38例例8 8解解Ln(1)(1)iiiie1ln2224 iik ie 0, 1

23、, 2,. k 其其中中ln1(1)iiiArgie 12ln242 kie2411 cosln2sinln222kei ln2.21 )(1 的的輻輻角角的的主主值值為為故故ii 計算計算 并求其輻角的主值并求其輻角的主值 (1)ii39四、三角函數1. 三角函數三角函數 cossin ,iyeyiy因為 cossin ,iyeyiy:cos,2iyiyeey所以sin.2iyiyeeyi推廣到自變數取復值的情況推廣到自變數取復值的情況,定義復變數的三角函數定義復變數的三角函數:cos2izizeezsin2izizeezisin tan,coszzz正切函數cos cot,sinzzz余切

24、函數1 sec,coszz正割函數1 csc.sinzz余割函數40.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz 奇偶性周期性.sin)(cos,cos)(sinzzzz 解析性正弦函數和余弦函數在復平面內都是解析函數正弦函數和余弦函數在復平面內都是解析函數.cos2izizeezsin2izizeezicossinizeziz歐拉公式41有關正弦函數和余弦函數的幾組重要公式有關正弦函數和余弦函數的幾組重要公式 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzz

25、zzzzzzzzz .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix42例例9 9 . 5sin)( 的的周周期期求求zzf 解解,sin)2sin( zz 因因為為,5sin)25sin( zz 所所以以 525sin)25sin( zz又又因因為為,5sin525sin zz 所所以以 .52 5sin)( 的的周周期期是是故故zzf43sin0z 例10：解方程 sin0022izizizizizizeezeeieezzkzk 44 不不成成立立但但；一一些些三三角角公公式式仍仍然然成成立立歐歐拉拉公公式式仍仍然然成成立立；在在復復平平面面內內處處處處解解析析；的的周周期期函函數數；周周期期為為1cos&1sin, 1cossin)sin(, )cos(sincossincos,cossin2222121 zzzzzzzzzizezzzziz 有有本本質質的的差差異異有有相相同同的的基基本本性性質質，但但與與解解釋釋當當：zxzeeeeziyzyyyiyiiyisinsincoslim22cos)()( 2. 三角函數性質（三角函數性質（5條）：條）：45小結小結第二章第二章一一、導導數數與與解解析析：、導導數數定定義義：10000()()(