1、數學模型與數學建模    數學模型    數學模型（Mathematical Model）    是近些年發展起來的新學科，是數學理論與實際問題相結合的一門科學。它將現實問題歸結為相應的數學問題，并在此基礎上利用數學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究，從而從定性或定量的角度來刻畫實際問題，并為解決現實問題提供精確的數據或可靠的指導。    一、建立數學模型的要求：    1、真實完整。

2、0;   1）真實的、系統的、完整的,形象的映客觀現象；    2）必須具有代表性；    3）具有外推性，即能得到原型客體的信息，在模型的研究實驗時，能得到關于原型客體的原因；    4）必須反映完成基本任務所達到的各種業績，而且要與實際情況相符合。    2、簡明實用。在建模過程中，要把本質的東西及其關系反映進去，把非本質的、對反映客觀真實程度影響不大的東西去掉，使模型在保證一定精確度的條件下，盡可能的

3、簡單和可操作，數據易于采集。    3、適應變化。隨著有關條件的變化和人們認識的發展，通過相關變量及參數的調整，能很好的適應新情況。    根據研究目的，對所研究的過程和現象(稱為現實原型或原型)的主要特征、主要關系、采用形式化的數學語言，概括地、近似地表達出來的一種結構，所謂“數學化”，指的就是構造數學模型通過研究事物的數學模型來認識事物的方法，稱為數學模型方法簡稱為MM方法。    數學模型是數學抽象的概括的產物，其原型可以是具體對象及其性質、關系，也可以是數學對象及其性

4、質、關系。數學模型有廣義和狹義兩種解釋廣義地說，數學概念、如數、集合、向量、方程都可稱為數學模型，狹義地說，只有反映特定問題和特定的具體事物系統的數學關系結構方數學模型大致可分為二類：(1)描述客體必然現象的確定性模型，其數學工具一般是代效方程、微分方程、積分方程和差分方程等，（2）描述客體或然現象的隨機性模型，其數學模型方法是科學研究相創新的重要方法之一。在體育實踐中常常提到優秀運動員的數學模型。如經調查統計現代的世界級短跑運動健將模型為身高1.80米左右、體重70公斤左右，100米成績10秒左右或更好等。    用字母、數字和其他數學符號構成的等式或

5、不等式，或用圖表、圖像、框圖、數理邏輯等來描述系統的特征及其內部聯系或與外界聯系的模型。它是真實系統的一種抽象。數學模型是研究和掌握系統運動規律的有力工具，它是分析、設計、預報或預測、控制實際系統的基礎。數學模型的種類很多，而且有多種不同的分類方法。    靜態和動態模型 靜態模型是指要描述的系統各量之間的關系是不隨時間的變化而變化的，一般都用代數方程來表達。動態模型是指描述系統各量之間隨時間變化而變化的規律的數學表達式，一般用微分方程或差分方程來表示。經典控制理論中常用的系統的傳遞函數也是動態模型，因為它是從描述系統的微分方程變換而來的（見拉普拉斯變換

6、）。    分布參數和集中參數模型 分布參數模型是用各類偏微分方程描述系統的動態特性，而集中參數模型是用線性或非線性常微分方程來描述系統的動態特性。在許多情況下，分布參數模型借助于空間離散化的方法，可簡化為復雜程度較低的集中參數模型。    連續時間和離散時間模型 模型中的時間變量是在一定區間內變化的模型稱為連續時間模型，上述各類用微分方程描述的模型都是連續時間模型。在處理集中參數模型時，也可以將時間變量離散化，所獲得的模型稱為離散時間模型。離散時間模型是用差分方程描述的。   

7、60;隨機性和確定性模型 隨機性模型中變量之間關系是以統計值或概率分布的形式給出的，而在確定性模型中變量間的關系是確定的。    參數與非參數模型 用代數方程、微分方程、微分方程組以及傳遞函數等描述的模型都是參數模型。建立參數模型就在于確定已知模型結構中的各個參數。通過理論分析總是得出參數模型。非參數模型是直接或間接地從實際系統的實驗分析中得到的響應，例如通過實驗記錄到的系統脈沖響應或階躍響應就是非參數模型。運用各種系統辨識的方法，可由非參數模型得到參數模型。如果實驗前可以決定系統的結構，則通過實驗辨識可以直接得到參數模型。  

8、60; 線性和非線性模型 線性模型中各量之間的關系是線性的，可以應用疊加原理，即幾個不同的輸入量同時作用于系統的響應，等于幾個輸入量單獨作用的響應之和。線性模型簡單，應用廣泛。非線性模型中各量之間的關系不是線性的，不滿足疊加原理。在允許的情況下，非線性模型往往可以線性化為線性模型，方法是把非線性模型在工作點鄰域內展成泰勒級數，保留一階項，略去高階項，就可得到近似的線性模型。    二、數學模型的定義    現在數學模型還沒有一個統一的準確的定義，因為站在不同的角度可以有不同的定義。不過我們可以給出如下定義

9、。"數學模型是關于部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結構。"具體來說，數學模型就是為了某種目的，用字母、數學及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式。    二建立數學模型的方法和步驟    第一、 模型準備    首先要了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征。 第二、 模型假設    根據對象的特征和

10、建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設，是建模至關重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應盡量使問題線性化、均勻化。    第三、 模型構成    根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量間的等式關系或其它數學結構。這時，我們便會進入一個廣闊的應用數學天地，這里在高數、概率老人的膝下，有許多可愛的孩子們，他們是圖論、排隊論、線性規

11、劃、對策論等許多許多，真是泱泱大國，別有洞天。不過我們應當牢記，建立數學模型是為了讓更多的人明了并能加以應用，因此工具愈簡單愈有價值。    第四、模型求解    可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算，許多時候還得將系統運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數學軟件包能力便舉足輕重。    第五、模型分析    對模型解答進行數學上的分

12、析。"橫看成嶺側成峰，遠近高低各不"。能否對模型結果作出細致精當的分析，決定了你的模型能否達到更高的檔次。還要記住，不論那種情況都需進行誤差分析，數據穩定性分析。    第六數學模型分類:    按模型的應用領域分類：    生物數學模型    醫學數學模型    地質數學模型    數量經濟學模型   &#

13、160;數學社會學模型    數學物理學模型    按是否考慮隨機因素分類：    確定性模型    隨機性模型    按是否考慮模型的變化分類：    靜態模型    動態模型    按應用離散方法或連續方法分類：    離散模型

14、0;   連續模型    按建立模型的數學方法分類：    幾何模型    微分方程模型    圖論模型    規劃論模型    馬氏鏈模型    按人們對是物發展過程的了解程度分類：    白箱模型：    

15、指那些內部規律比較清楚的模型。如力學、熱學、電學以及相關的工程技術問題。    灰箱模型：    指那些內部規律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學、生態學經濟學等領域的模型。    黑箱模型：    指一些其內部規律還很少為人們所知的現象。如生命科學、社會科學等方面的問題。但由于因素眾多、關系復雜，也可簡化為灰箱模型來研究。 =    數學建模 

16、;   什么是數學建模    數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程。這里的實際現象既包涵具體的自然現象比如自由落體現象，也包涵抽象的現象比如顧客對某種商品所取的價值傾向。這里的描述不但包括外在形態，內在機制的描述，也包括預測，試驗和解釋實際現象等內容。    我們也可以這樣直觀地理解這個概念：數學建模是一個讓純粹數學家（指只懂數學不懂數學在實際中的應用的數學家）變成物理學家，生物學家，經濟學家甚至心理學家等等的過程。    數學模型一般是實際

17、事物的一種數學簡化。它常常是以某種意義上接近實際事物的抽象形式存在的，但它和真實的事物有著本質的區別。要描述一個實際現象可以有很多種方式，比如錄音，錄像，比喻，傳言等等。為了使描述更具科學性，邏輯性，客觀性和可重復性，人們采用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現象，這種語言就是數學。使用數學語言描述的事物就稱為數學模型。有時候我們需要做一些實驗，但這些實驗往往用抽象出來了的數學模型作為實際物體的代替而進行相應的實驗，實驗本身也是實際操作的一種理論替代。    數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學，在它產生和發展的歷史長河中，一直是和各種各樣的應用

18、問題緊密相關的。數學的特點不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴密性，結論的明確性和體系的完整性，而且在于它應用的廣泛性，進入20世紀以來，隨著科學技術的迅速發展和計算機的日益普及，人們對各種問題的要求越來越精確，使得數學的應用越來越廣泛和深入，特別是在即將進入21世紀的知識經濟時代，數學科學的地位會發生巨大的變化，它正在從國或經濟和科技的后備走到了前沿。經濟發展的全球化、計算機的迅猛發展，數學理倫與方法的不斷擴充使得數學已經成為當代高科技的一個重要組成部分和思想庫，數學已經成為一種能夠普遍實施的技術。培養學生應用數學的意識和能力已經成為數學教學的一個重要方面。   &#

19、160;應用數學去解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程。要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系，然后利用數學的理論和方法去分析和解決問題。這就需要深厚扎實的數學基礎，敏銳的洞察力和想象力，對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁，是數學在各個領械廣泛應用的媒介，是數學科學技術轉化的主要途徑，數學建模在科學技術發展中的重要作用越來越受到數學界和工程界的普遍重視，它已成為現代科技工作

20、者必備的重要能力之。為了適應科學技術發展的需要和培養高質量、高層次科技人才，數學建模已經在大學教育中逐步開展，國內外越來越多的大學正在進行數學建模課程的教學和參加開放性的數學建模競賽，將數學建模教學和競賽作為高等院校的教學改革和培養高層次的科技人才的個重要方面，現在許多院校正在將數學建模與教學改革相結合，努力探索更有效的數學建模教學法和培養面向21世紀的人才的新思路，與我國高校的其它數學類課程相比，數學建模具有難度大、涉及面廣、形式靈活，對教師和學生要求高等特點，數學建模的教學本身是一個不斷探索、不斷創新、不斷完善和提高的過程。為了改變過去以教師為中心、以課堂講授為主、以知識傳授為主的傳統教學

21、模式，數學建模課程指導思想是：以實驗室為基礎、以學生為中心、以問題為主線、以培養能力為目標來組織教學工作。通過教學使學生了解利用數學理論和方法去分析和解決問題的全過程，提高他們分析問題和解決問題的能力；提高他們學習數學的興趣和應用數學的意識與能力，使他們在以后的工作中能經常性地想到用數學去解決問題，提高他們盡量利用計算機軟件及當代高新科技成果的意識，能將數學、計算機有機地結合起來去解決實際問題。數學建模以學生為主，教師利用一些事先設計好問題啟發，引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生 積極開展討論和辯論，培養學生主動探索，努力進取的學風，培養學生從事科研工作的初步能力，培養學生團結協作

22、的精神、形成一個生動活潑的環境和氣氛，教學過程的重點是創造一個環境去誘導學生的學習欲望、培養他們的自學能力，增強他們的數學素質和創新能力，提高他們的數舉素質，強調的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結果。接受參加數學建模競賽賽前培訓的同學大都需要學習諸如數理統計、最優化、圖論、微分方程、計算方法、神經網絡、層次分析法、模糊數學，數學軟件包的使用等等“短課程”（或講座），用的學時不多，多數是啟發性的講一些基本的概念和方法，主要是靠同學們自己去學，充分調動同學們的積極性，充分發揮同學們的潛能。培訓中廣泛地采用的討論班方式，同學自己報告、討論、辯論，教師主要起質疑、答疑、輔導的作用，

23、競賽中一定要使用計算機及相應的軟件，如Mathemathmatica,Matlab,Mapple，甚至排版軟件等。    數學建模的幾個過程    模型準備：了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。用數學語言來描述問題。    模型假設：根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。    模型建立：在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變量之間的數學關系，建立相應的數學結構

24、。（盡量用簡單的數學工具）    模型求解：利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（估計）。    模型分析：對所得的結果進行數學上的分析。    模型檢驗：將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差,則應該修改假設，再次重復建模過程。    模型應用：應用方式因問題的性質和建模的目的而異。  

25、  全國大學生數學建模競賽章程    （一九九七年十二月修訂）    第一條 總則    全國大學生數學建模競賽（以下簡稱競賽）是國家教委高教司和中國工業與    應用數學學會共同主辦的面向全國大學生的群眾性科技活動，目的在于激勵    學生學習數學的積極性，提高學生建立數學模型和運用計算機技術解決實際    問題的綜合能力，鼓勵廣大學生

26、踴躍參加課外科技活動，開拓知識面，培養    創造精神及合作意識，推動大學數學教學體系、教學內容和方法的改革。    第二條 競賽內容    競賽題目一般來源于工程技術和管理科學等方面經過適當簡化加工的實際問題，    不要求參賽者預先掌握深入的專門知識，只需要學過普通高校的數學課程。題    目有較大的靈活性供參賽者發揮其創造能力。參賽者應根據題目要求，完成一   

27、 篇包括模型的假設、建立和求解、計算方法的設計和計算機實現、結果的分析    和檢驗、模型的改進等方面的論文（即答卷）。競賽評獎以假設的合理性、建    模的創造性、結果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標準。    第三條 競賽形式、規則和紀律    1全國統一競賽題目，采取通訊競賽方式，以相對集中的形式進行。    2競賽一般在每年9月末的三天內舉行。  

28、0; 3大學生以隊為單位參賽，每隊3人，專業不限。研究生不得參加。每隊可設一名指    導教師（或教師組），從事賽前輔導和參賽的組織工作，但在競賽期間必須回避參    賽隊員，不得進行指導或參與討論，否則按違反紀律處理。    4競賽期間參賽隊員可以使用各種圖書資料、計算機和軟件，在國際互聯網上瀏覽，    但不得與隊外任何人（包括在網上）討論。    5  

29、0; 工作人員將密封的賽題按時啟封發給參賽隊員，參賽隊在規定時間內完成答卷，    并準時交卷。    6 參賽院校應責成有關職能部門負責競賽的組織和紀律監督工作，保證本校競賽    的規范性和公正性。    第四條 組織形式    1競賽由全國競賽組織委員會主持，負責每年發動報名、擬定賽題、組織全國優秀    答卷的復審和評獎、印制獲獎證書、舉辦

30、全國頒獎儀式等。全國競賽組委會每屆    任期四年，其組成人員由國家教委高教司和中國工業與應用數學學會負責確定。    2競賽分賽區組織進行。原則上一個省（自治區、直轄市）為一個賽區，每個賽區    應至少有6所院校的20個隊參加（每所院校至多10個隊）。鄰近的省可以合并成立    一個賽區。每個賽區建立組織委員會，負責本賽區的宣傳發動及報名、監督競賽紀    律和組織評閱答卷等工作。組委會成員由各省（自治區、直轄市）教委、工業與應    用數學學會的同志及有關人士組成（沒有成立地方學會的，由各地教委與全國競賽    組委會指定的院校協商確定），報全國競賽組委會備案，并保持相對穩定。未成立    賽區的各省院校的參賽隊可直接向全國競賽組委會報名參賽。    3設立組織工作優秀獎，表彰在競賽組織工作中成績優異或進步突出的賽區組委會，    以參賽